資源簡介

第五單元 四邊形
第19講 多邊形與平行四邊形
知識清單梳理
知識點一：多邊形
關鍵點撥與對應舉例
1.多邊形的相關概念
（1）定義：在平面內，由一些段線首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形．
（2）對角線：從n邊形的一個頂點可以引(n－3)條對角線，并且這些對角線把多邊形分成了(n－2)個三角形；n邊形對角線條數為．
多邊形中求度數時，靈活選擇公式求度數，解決多邊形內角和問題時，多數列方程求解.
例：
(1)若一個多邊形的內角和為1440°，則這個多邊形的邊數為10．
(2)從多邊形的一個頂點出發引對角線，可以把這個多邊形分割成7個三角形，則該多邊形為九邊形．
2.多邊形的內角和、外角和
( 1 ) 內角和：n邊形內角和公式為(n－2)·180°
（2）外角和：任意多邊形的外角和為360°.
3.正多邊形
（1）定義：各邊相等，各角也相等的多邊形.
（2）正n邊形的每個內角為，每一個外角為360°/n.
( 3 ) 正n邊形有n條對稱軸.
（4）對于正n邊形，當n為奇數時，是軸對稱圖形；當n為偶數時，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.
知識點二 ：平行四邊形的性質
4.平行四邊形的定義
兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形用“□”表示.
利用平行四邊形的性質解題時的一些常用到的結論和方法：
（1）平行四邊形相鄰兩邊之和等于周長的一半.
（2）平行四邊形中有相等的邊、角和平行關系，所以經常需結合三角形全等來解題.
（3）過平行四邊形對稱中心的任一直線等分平行四邊形的面積及周長.
例：
如圖，□ABCD中，EF過對角線的交點O，AB=4，AD=3，OF=1.3，則四邊形BCEF的周長為9.6.
5.平行四邊形的性質
邊：兩組對邊分別平行且相等.
即AB∥CD 且AB＝CD，BC∥AD且AD＝BC.
（2）角：對角相等，鄰角互補.
即∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BAD＋∠ADC＝180°.
（3）對角線：互相平分.即OA＝OC，OB＝OD
（4）對稱性：中心對稱但不是軸對稱.
6.平行四邊形中的幾個解題模型
（1）如圖①，AF平分∠BAD，則可利用平行線的性質結合等角對等邊得到△ABF為等腰三角形，即AB=BF.
（2）平行四邊形的一條對角線把其分為兩個全等的三角形，如圖②中△ABD≌△CDB；
兩條對角線把平行四邊形分為兩組全等的三角形，如圖②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；
根據平行四邊形的中心對稱性，可得經過對稱中心O的線段與對角線所組成的居于中心對稱位置的三角形全等，如圖②△AOE≌△COF.圖②中陰影部分的面積為平行四邊形面積的一半.
（3） 如圖③，已知點E為AD上一點，根據平行線間的距離處處相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.
（4） 根據平行四邊形的面積的求法，可得AE·BC=AF·CD.
知識點三 ：平行四邊形的判定
7.平行四邊形的判定
（1）方法一（定義法）：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.
即若AB∥CD，AD∥BC，則四邊形ABCD是□.
（2）方法二：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
即若AB＝CD，AD＝BC，則四邊形ABCD是□.
（3）方法三：有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.
即若AB＝CD，AB∥CD，或AD=BC,AD∥BC,則四邊形ABCD是□.
（4）方法四：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
即若OA＝OC，OB＝OD，則四邊形ABCD是□.
（5）方法五：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形
若∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，則四邊形ABCD是□.
例：如圖四邊形ABCD的對角線相交于點O,AO=CO，請你添加一個條件BO=DO或AD∥BC或AB∥CD（只添加一個即可），使四邊形ABCD為平行四邊形.
第20講 特殊的平行四邊形
知識清單梳理
知識點一：特殊平行四邊形的性質與判定
關鍵點撥及對應舉例
1.性質
（具有平行四邊形的一切性質，對邊平行且相等）
矩 形
菱 形
正方形
(1)矩形中,Rt△ABD≌Rt△DCA≌Rt△CDB≌Rt△BAC; _兩 對全等的等腰三角形.所以經常結合勾股定理、等腰三角形的性質解題.
（2）菱形中，有兩對全等的等腰三角形；Rt△ABO≌Rt△ADO≌Rt△CBO≌Rt△CDO;若∠ABC=60°，則△ABC和△ADC為 等邊 三角形，且四個直角三角形中都有一個30°的銳角.
（3）正方形中有8個等腰直角三角形，解題時結合等腰直角三角形的銳角為45°，斜邊=直角邊.
（1）四個角都是直角
（2）對角線相等且互相平分.即
AO=CO=BO=DO.
（3）面積=長×寬
=2S△ABD=4S△AOB.
（1）四邊相等
（2）對角線互相垂直、平分，一條對角線平分一組對角
（3）面積=底×高
=對角線_乘積的一半
(1)四條邊都相等，四個角都是直角
(2)對角線相等且互相垂直平分
(3)面積=邊長×邊長
=2S△ABD
=4S△AOB
2.判定
（1）定義法：有一個角是直角的平行四邊形
（2）有三個角是直角
（3）對角線相等的平行四邊形
（1）定義法：有一組鄰邊相等的平行四邊形
（2）對角線互相垂直的平行四邊形
（3）四條邊都相等的四邊形
（1）定義法：有一個角是直角，且有一組鄰邊相等的平行四邊形
（2）一組鄰邊相等的矩形
（3）一個角是直角的菱形
（4）對角線相等且互相垂直、平分
例：判斷正誤.
鄰邊相等的四邊形為菱形.（ ）
有三個角是直角的四邊形式矩形.
（ ）
對角線互相垂直平分的四邊形是菱形. （ ）
對邊相等的矩形是正方形.（ ）
3.聯系
包含關系：
知識點二：特殊平行四邊形的拓展歸納
4.中點四邊形
（1）任意四邊形多得到的中點四邊形一定是平行四邊形.
（2）對角線相等的四邊形所得到的中點四邊形是矩形.
（3）對角線互相垂直的四邊形所得到的中點四邊形是菱形.
（4）對角線互相垂直且相等的四邊形所得到的中點四邊形是正方形.
如圖，四邊形ABCD為菱形，則其中點四邊形EFGD的形狀是矩形.
5.特殊四邊形中的解題模型
（1）矩形：如圖①，E為AD上任意一點，EF過矩形中心O，則△AOE≌△COF,S1=S2.
（2）正方形:如圖②，若EF⊥MN，則EF=MN;如圖③，P為AD邊上任意一點，則PE+PF=AO. （變式：如圖④，四邊形ABCD為矩形，則PE+PF的求法利用面積法，需連接PO.）

圖① 圖② 圖③ 圖④

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