資源簡介

第一部分 教材知識梳理·系統復習
第一單元 數與式
第1講 實 數
知識點一：實數的概念及分類
關鍵點撥及對應舉例
1.實數
（1）按定義分 （2）按正、負性分
正有理數
有理數 0 有限小數或 正實數
負有理數 無限循環小數 實數 0
實數
正無理數 負實數
無理數 無限不循環小數
負無理數
（1）0既不屬于正數，也不屬于負數.
（2）無理數的幾種常見形式判斷：①含π的式子；②構造型：如3.010010001…（每兩個1之間多個0）就是一個無限不循環小數；③開方開不盡的數：如，；④三角函數型：如sin60°，tan25°.
（3）失分點警示：開得盡方的含根號的數屬于有理數，如=2，=-3，它們都屬于有理數.
知識點二 ：實數的相關概念
2.數軸
（1）三要素：原點、正方向、單位長度
（2）特征：實數與數軸上的點一一對應；數軸右邊的點表示的數總比左邊的點表示的數大
例：
數軸上-2.5表示的點到原點的距離是2.5.
3.相反數
（1）概念：只有符號不同的兩個數
（2）代數意義：a、b互為相反數( a+b=0
（3）幾何意義：數軸上表示互為相反數的兩個點到原點的距離相等
a的相反數為-a，特別的0的絕對值是0.
例：3的相反數是-3，-1的相反數是1.
4.絕對值
（1）幾何意義：數軸上表示的點到原點的距離
（2）運算性質：|a|= a (a≥0)； |a-b|= a-b(a≥b)
-a(a＜0). b-a(a＜b)
（3）非負性：|a|≥0，若|a|+b2=0,則a=b=0.
（1）若|x|=a（a≥0），則x=±a.
（2）對絕對值等于它本身的數是非負數.
例：5的絕對值是5；|-2|=2；絕對值等于3的是±3;|1-|=-1.
5.倒數
（1）概念：乘積為1的兩個數互為倒數.a的倒數為1/a(a≠0)
（2）代數意義：ab=1(a,b互為倒數
例：
-2的倒數是-1/2 ；倒數等于它本身的數有±1.
知識點三 ：科學記數法、近似數
6.科學記數法
（1）形式：a×10n,其中1≤|a|＜10，n為整數
（2）確定n的方法：對于數位較多的大數，n等于原數的整數為減去1；對于小數，寫成a×10-n，1≤|a|＜10，n等于原數中左起至第一個非零數字前所有零的個數（含小數點前面的一個）
例：
21000用科學記數法表示為2.1×104；
19萬用科學記數法表示為1.9×105；0.0007用科學記數法表示為7×10-4.
7.近似數
（1）定義：一個與實際數值很接近的數.
（2）精確度：由四舍五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位.
例：
3.14159精確到百分位是3.14；精確到0.001是3.142.
知識點四 ：實數的大小比較
8.實數的大小比較
（1）數軸比較法：數軸上的兩個數，右邊的數總比左邊的數大.
（2）性質比較法：正數＞0＞負數；兩個負數比較大小，絕對值大的反而 小.
（3）作差比較法：a-b＞0(a＞b；a-b=0(a=b；a-b＜0(a＜b.
（4）平方法：a＞b≥0(a2＞b2.
例：
把1，-2,0，-2.3按從大到小的順序排列結果為___1＞0＞-2＞-2.3_.
知識點五 ：實數的運算
9.
常見運算
乘 方
幾個相同因數的積; 負數的偶（奇）次方為正（負）
例：
（1）計算：1-2-6=_-7__;(-2)2=___4__;
3-1=_1/3_;π0=__1__;
(2)64的平方根是_±8__,算術平方根是__8_,立方根是__4__.
失分點警示：類似 “的算術平方根”計算錯誤. 例：相互對比填一填：16的算術平方根是 4___,的算術平方根是___2__.
零次冪
a0=_1_(a≠0)
負指數冪
a-p=1/ap（a≠0，p為整數）
平方根、
算術平方根
若x2=a（a≥0）,則x=.其中是算術平方根.
立方根
若x3=a,則x=.
10.混合運算
先乘方、開方，再乘除，最后加減；同級運算，從左
向右進行；如有括號，先做括號內的運算，按小括號、
中括號、大括號一次進行.計算時，可以結合運算律，
使問題簡單化
第2講 整式與因式分解
知識清單梳理
知識點一：代數式及相關概念
關鍵點撥及對應舉例
1.代數式
（1）代數式：用運算符號（加、減、乘、除、乘方、開方）把數或表示數的字母連接而成的式子，單獨的一個數或一個字母也是代數式．
（2）求代數式的值：用具體數值代替代數式中的字母，計算得出的結果，叫做求代數式的值．
求代數式的值常運用整體代入法計算.
例：a－b＝3，則3b－3a＝－9.
2.整式 （單項式、多項式）
（1）單項式：表示數字與字母積的代數式，單獨的一個數或一個字母也叫單項式.其中的數字因數叫做單項式的系數，所有字母的指數和叫做單項式的次數.
（2）多項式：幾個單項式的和.多項式中的每一項叫做多項式的項，次數最高的項的次數叫做多項式的次數.
（3）整式：單項式和多項式統稱為整式.
（4）同類項：所含字母相同并且相同字母的指數也相同的項叫做同類項.所有的常數項都是同類項.
例：
（1）下列式子：①-2a2;②3a-5b；③x/2;④2/x;⑤7a2;⑥7x2+8x3y；⑦2017.其中屬于單項式的是①③⑤⑦；多項式是②⑥；同類項是①和⑤.
（2）多項式7m5n-11mn2+1是六次三項式，常數項是 __1 .
知識點二：整式的運算
3.整式的加減運算
(1)合并同類項法則:同類項的系數相加，所得的結果作為系數，字母和字母的指數不變．
(2)去括號法則: 若括號外是“＋”，則括號里的各項都不變號；若括號外是“－”，則括號里的各項都變號.
(3)整式的加減運算法則：先去括號，再合并同類項.
失分警示：去括號時，如果括號外面是符號，一定要變號，且與括號內每一項相乘，不要有漏項.
例：－2(3a－2b－1)＝－6a＋4b＋2.
4.冪運算法則
(1)同底數冪的乘法：am·an＝am＋n；
(2)冪的乘方：(am)n＝amn；
(3)積的乘方：(ab)n＝an·bn；
(4)同底數冪的除法：am÷an＝am－n (a≠0).
其中m,n都在整數
(1)計算時，注意觀察，善于運用它們的逆運算解決問題.例：已知2m+n=2,則3×2m×2n=6.
（2）在解決冪的運算時，有時需要先化成同底數.例：2m·4m=23m.
5.整式的乘除運算
(1)單項式×單項式：①系數和同底數冪分別相乘；②只有一個字母的照抄．
(2)單項式×多項式： m(a+b)=ma+mb.
(3)多項式×多項式: (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.
(4)單項式÷單項式：將系數、同底數冪分別相除.
(5)多項式÷單項式：①多項式的每一項除以單項式；②商相加．
失分警示：計算多項式乘以多項式時，注意不能漏乘，不能丟項，不能出現變號錯.
例：(2a－1)(b＋2)＝2ab＋4a－b－2.
（6）乘法
公式
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
注意乘法公式的逆向運用及其變形公式的運用
完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2. 變形公式：
a2+b2=(a±b)2?2ab,ab=【(a+b)2-（a2+b2）】 /2
6.混合運算
注意計算順序，應先算乘除，后算加減；若為化簡求值，一般步驟為：化簡、代入替換、計算．
例：（a-1）2-(a+3)(a-3)-10=_-2a__.
知識點五：因式分解
7.因式分解
(1)定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式．
(2)常用方法：①提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c).
②公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
(3)一般步驟：①若有公因式，必先提公因式；②提公因式后，看是否能用公式法分解；③檢查各因式能否繼續分解.
(1) 因式分解要分解到最后結果不能再分解為止，相同因式寫成冪的形式；
(2) 因式分解與整式的乘法互為逆運算．
第3講 分 式
知識清單梳理
知識點一：分式的相關概念
關鍵點撥及對應舉例
分式的概念
（1）分式：形如 (A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子.
（2）最簡分式：分子和分母沒有公因式的分式.
在判斷某個式子是否為分式時，應注意：（1）判斷化簡之間的式子；（2）π是常數，不是字母. 例：下列分式：①;②; ③;④，其中是分式是②③④；最簡分式 ③.
2.分式的意義
(1)無意義的條件：當B＝0時，分式無意義；
(2)有意義的條件：當B≠0時，分式有意義；
(3)值為零的條件：當A＝0，B≠0時，分式＝0.
失分點警示：在解決分式的值為0，求值的問題時，一定要注意所求得的值滿足分母不為0.
例： 當的值為0時，則x＝-1.
3.基本性質
( 1 ) 基本性質：(C≠0)．
（2）由基本性質可推理出變號法則為：
； .
由分式的基本性質可將分式進行化簡：
例：化簡：=.
知識點三 ：分式的運算
4.分式的約分和通分
(1)約分(可化簡分式)：把分式的分子和分母中的公因式約去，
即；
(2)通分(可化為同分母)：根據分式的基本性質，把異分母的分式化為同分母的分式，即
分式通分的關鍵步驟是找出分式的最
簡公分母，然后根據分式的性質通分.
例：分式和的最簡公分母為.
5.分式的加減法
(1)同分母：分母不變，分子相加減.即±＝；
(2)異分母：先通分，變為同分母的分式，再加減.即±＝.
例： ＝－1.
6.分式的乘除法
(1)乘法：·＝； (2)除法：＝；
(3)乘方：＝ (n為正整數).
例：＝；＝2y；
＝.
7.分式的混合運算
(1)僅含有乘除運算：首先觀察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解后約分.
(2)含有括號的運算：注意運算順序和運算律的合理應用.一般先算乘方，再算乘除，最后算加減，若有括號，先算括號里面的．
失分點警示：分式化簡求值問題，要先將分式化簡到最簡分式或整式的形式，再代入求值.代入數值時注意要使原分式有意義.有時也需運用到整體代入.
第4講 二次根式
知識清單梳理
知識點一：二次根式
關鍵點撥及對應舉例
1.有關概念
（1）二次根式的概念：形如(a≥0)的式子.
（2）二次根式有意義的條件：被開方數大于或等于0.
（3）最簡二次根式：①被開方數的因數是整數，因式是整式（分母中不含根號）；②被開方數中不含能開得盡方的因數或因式
失分點警示：當判斷分式、二次根式組成的復合代數式有意義的條件時，注意確保各部分都有意義，即分母不為0，被開方數大于等于0等.例：若代數式有意義，則x的取值范圍是x＞1.
2.二次根式的性質
（1）雙重非負性：
①被開方數是非負數，即a≥0；
②二次根式的值是非負數，即≥0.
注意：初中階段學過的非負數有：絕對值、偶冪、算式平方根、二次根式.
利用二次根式的雙重非負性解題：
（1）值非負:當多個非負數的和為0時，可得各個非負數均為0.如+=0，則a=-1，b=1.
（2）被開方數非負:當互為相反數的兩個數同時出現在二次根式的被開方數下時，可得這一對相反數的數均為0.如已知b=+,則a=1,b=0.
(2)兩個重要性質：
①()2＝a(a≥0)；②＝|a|＝；
(3)積的算術平方根：＝·(a≥0，b≥0)；
(4)商的算術平方根： (a≥0，b＞0)．
例：計算：
＝3.14；＝2；
=；=2 ；
知識點二 ：二次根式的運算
3.二次根式的加減法
先將各根式化為最簡二次根式，再合并被開方數相同的二次根式．
例：計算：＝.
4.二次根式的乘除法
（1）乘法：·=(a≥0，b≥0)；
（2）除法： = (a≥0，b＞0)．
注意：將運算結果化為最簡二次根式.
例：計算：＝1；4.
5.二次根式的混合運算
運算順序與實數的運算順序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號里面的（或先去括號）．
運算時，注意觀察，有時運用乘法公式會使運算簡便.
例：計算：(+1)( -1)= 1 .

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