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2009全國高中數(shù)學聯(lián)賽
新疆維吾爾自治區(qū)預賽試題
（考試分值：150 考試時間：120分鐘，考試時間：2009年5月24日）
一、選擇題（每小題6分，共36分）
1、下列方程中與sinx＋cosx＝0解集相同的是（ ）
A．sin2x＝1－cos2x B．sinx＝－C．cos2x＝0 D．
2、已知θ是第三象限的角，且的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．
3、數(shù)且n≥2009，設[x]為x的整數(shù)部分，則除以8的余數(shù)是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．7
4、已知f（x）是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，當時，f（x）＝x2，若直線與的圖像恰好有兩個公共點，則a＝（ ）
A． B．k,∈Z C． D．
5、如圖，ABCD-A1B1C1D1是正方體，P－A1B1C1D1是正四棱錐，且P到平面ABC的距離為，則異面直線A1P與BC1的距離是（ ）
A． B． C． D．
6、已知f（x）的定義在實數(shù)上的函數(shù)，，且，則f（2009）＝（ ）
A． B． C． D．
二、填空題（每題9分，共54分）
7、已知C與F是線段AB上的兩點，AB＝12，AC＝6，D是以A為圓心，AC為半徑的圓上的任意點，，線段FD的中垂線與直線AD交于點P。若P點的軌跡是雙曲線，則此雙曲線的離心率的取值范圍是
8、在△ABC中，A、B、C的對邊分別是a、b、c，且都是方程的根，則△ABC的形狀是
9、設函數(shù)f(x)=的最大值為an，最小值為bn，則an-bn=________
10、不等式的解集是
11、有6本不同的書，其中一本數(shù)學書，兩本英語書，三本音樂書，將他們排成一排，若英語書不相鄰，音樂書也不相鄰的不同排法數(shù)為
12、曲線的點到坐標原點的距離的最小值為
三、解答題（每小題20分，共60分）
13、已知P是圓上一動點，向量依逆時針方向旋轉90°得到向量，又點P關于A(3，0)的對稱點為T，求的取值范圍。
14、已知△ABC的內(nèi)切圓半徑為2，且tanA=，求△ABC面積的最小值.
15、從直線l：上任意一點p向橢圓C：引切線PA,PB，切點分別為A、B，試求線段AB中點M的軌跡方程。
參考答案：
1、D
2、B
3、A
4、C
5、B
6、A
7、
8、A＝30°，B＝60°的直角三角形
9、解：由y=，得y·x2+y·x+y=x2+n, 即：(y-1)x2+ y·x+y-n=0.
y≠1時，y2-4(y-1)(y-n)≥0，即：3y2-4(n+1)y+4n≤0. 可知an,bn是方程3y2-4(n+1)y+4n=0的兩根. 所以：an+bn=, anbn=，故(an-bn)2=(an+bn)2-4anbn==
因為an>bn，所以an-bn=
10、解：整理，不等式化成
設，且不等式化為
∵是R上的增函數(shù)，故，得
故不等式的解集為｛x|x＞－1，x∈R｝
11、120種
12、
13、設點P(x，y)，則點S（－y，x），點T（6－x，－y），又圓心為C（2，2），半徑r＝1
∴,其中B（3,－3）
∴
∴
14、解：設AB=c, BC=a, AC=b，D為切點，可知：2AD+2a=a+b+c得：AD=(b+c-a)，由tanA=，可得：tan∠DAO=2，
所以：DO=b+c-a=2，sinA=.
S△ABC=bcsinA=(a+b+c)·2
即：bc=2(b+c)-2，所有bc=5(b+c)-5≥10-5
設=t，則知：t2-10t+5≥0，所以t≥5+2或t≤5-2(舍)
故bc≥45+20，所以S△ABC=bc≥18+8，b=c=5+2時取等號。
故△ABC面積的最小值為18+8.
15、點M是以（1，1）為中心長短半軸分別為，且長軸與x軸平行的橢圓（不包括原點）

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