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2009年全國高中數學聯賽江蘇賽區初賽
(2009年5月3日8∶00－10∶00)
一、填空題(每小題7分，共70分) http://www.mathedu.cn
1．已知sinαcosβ＝1，則cos(α＋β)＝ ．
2．已知等差數列{an}的前11項的和為55，去掉一項ak后，余下10項的算術平均值為4．若a1＝－5，則k＝ ．
3．設一個橢圓的焦距、短軸長、長軸長成等比數列，則此橢圓的離心率e＝ ．
4．已知＝，則實數x＝ ．
5．如圖，在四面體ABCD中，P、Q分別為棱BC與CD上的點，且BP＝2PC，CQ＝2QD．R為棱AD的中點，則點A、B到平面PQR的距離的比值為 ．
6．設f(x)＝log3x－，則滿足f(x)≥0的x的取值范圍是 ．
7．右圖是某種凈水水箱結構的設計草圖，其中凈水器是一個寬10cm、體積為3000cm3的長方體，長和高未定．凈水水箱的長、寬、高比凈水器的長、寬、高分別長20cm、20cm、60cm．若不計凈水器中的存水，則凈水水箱中最少可以存水 cm3．
8．設點O是△ABC的外心，AB＝13，AC＝12，則·＝ ．
9．設數列{an}滿足：an＋1an＝2an＋1－2(n＝1，2，…)，a2009＝，則此數列的前2009項的和為 ．
10．設a是整數，0≤b＜1．若a2＝2b(a＋b)，則b＝ ．
二、解答題(本大題共4小題，每小題20分，共80分) http://www.mathedu.cn
11．在直角坐標系xOy中，直線x－2y＋4＝0與橢圓＋＝1交于A，B兩點，F是橢圓的左焦點．求以O，F，A，B為頂點的四邊形的面積．
12．如圖，設D、E是△ABC的邊AB上的兩點，已知∠ACD＝∠BCE，AC＝14，AD＝7，AB＝28，CE＝12．求BC．
13．若不等式＋≤k對于任意正實數x，y成立，求k的取值范圍．
14．⑴ 寫出三個不同的自然數，使得其中任意兩個數的乘積與10的和都是完全平方數，請予以驗證；
⑵ 是否存在四個不同的自然數，使得其中任意兩個數的乘積與10的和都是完全平方數？請證明你的結論．
2009年全國高中數學聯賽江蘇賽區初賽
(2009年5月3日8∶00－10∶00)
一、填空題(每小題7分，共70分) http://www.mathedu.cn
1．已知sinαcosβ＝1，則cos(α＋β)＝ ．
填0．
解：由于|sinα|≤1，|cosβ|≤1，現sinαcosβ＝1，故sinα＝1，cosβ＝1或sinα＝－1，cosβ＝－1，
∴ α＝2kπ＋，β＝2lπ或α＝2kπ－，β＝2lπ＋π(α＋β＝2(k＋l)π＋(k，l∈Z)．
∴ cos(α＋β)＝0．
2．已知等差數列{an}的前11項的和為55，去掉一項ak后，余下10項的算術平均值為4．若a1＝－5，則k＝ ．
填11．
解：設公差為d，則得
55＝－5×11＋×11×10d(55d＝110(d＝2．
ak＝55－4×10＝15＝－5＋2(k－1)(k＝11．
3．設一個橢圓的焦距、短軸長、長軸長成等比數列，則此橢圓的離心率e＝ ．
填．
解：由(2b)2＝2c×2a(a2－c2＝ac(e2＋e－1＝0(e＝．
4．已知＝，則實數x＝ ．
填1．
解：即＝(32x－4×3x＋3＝0(3x＝1(舍去)，3x＝3(x＝1．
5．如圖，在四面體ABCD中，P、Q分別為棱BC與CD上的點，且BP＝2PC，CQ＝2QD．R為棱AD的中點，則點A、B到平面PQR的距離的比值為 ．
填．
解：A、B到平面PQR的距離分別為三棱錐APQR與BPQR的以三角形PQR為底的高．故其比值等于這兩個三棱錐的體積比．
VAPQR＝VAPQD＝×VAPCD＝××VABCD＝VABCD；
又，SBPQ＝SBCD－SBDQ－SCPQ＝(1－－×)SBCD＝SBCD，
VRBPQ＝VRBCD＝×VABCD＝VABCD．
∴ A、B到平面PQR的距離的比＝1∶4．
又，可以求出平面PQR與AB的交點來求此比值：
在面BCD內，延長PQ、BD交于點M，則M為面PQR與棱BD的交點．
由Menelaus定理知，··＝1，而＝，＝，故＝4．
在面ABD內，作射線MR交AB于點N，則N為面PQR與AB的交點．
由Menelaus定理知，··＝1，而＝4，＝1，故＝．
∴ A、B到平面PQR的距離的比＝1∶4．
6．設f(x)＝log3x－，則滿足f(x)≥0的x的取值范圍是 ．
填[3，4]．
解：定義域(0，4]．在定義域內f(x)單調增，且f(3)＝0．故f(x)≥0的x的取值范圍為[3，4]．
7．右圖是某種凈水水箱結構的設計草圖，其中凈水器是一個寬10cm、體積為3000cm3的長方體，長和高未定．凈水水箱的長、寬、高比凈水器的長、寬、高分別長20cm、20cm、60cm．若不計凈水器中的存水，則凈水水箱中最少可以存水 cm3．
填78000．
解：設凈水器的長、高分別為x，ycm，則
xy＝300，
V＝30(20＋x)(60＋y)＝30(1200＋60x＋20y＋xy)
≥30(1200＋2＋300)＝30(1500＋1200)
＝30×2700．
∴ 至少可以存水78000cm3．
8．設點O是△ABC的外心，AB＝13，AC＝12，則·＝ ．
填－．
解：設||＝||＝||＝R．則
·＝(＋)·＝·＋·＝R2cos(π－2C)＋R2cos2B
＝R2(2sin2C－2sin2B)＝(2RsinB)2－(2RsinC)2＝(122－132)＝－．
9．設數列{an}滿足：an＋1an＝2an＋1－2(n＝1，2，…)，a2009＝，則此數列的前2009項的和為 ．
填2008＋．
解：若an＋1≠0，則an＝2－，故a2008＝2－，a2007＝2－＝－，a2006＝2＋，a2005＝．
一般的，若an≠0，1，2，則an＝2－，則an－1＝，an－2＝，an－3＝an＋1，故an－4＝an．
于是，an＝502(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2009＝502(a2005＋a2006＋a2007＋a2008)＋a2009＝2008＋．
10．設a是整數，0≤b＜1．若a2＝2b(a＋b)，則b＝ ．
填0，，－1．
解：若a為負整數，則a2＞0，2b(a＋b)＜0，不可能，故a≥0．
于是a2＝2b(a＋b)＜2(a＋1)(a2－2a－2＜0(0≤a＜1＋(a＝0，1，2．
a＝0時，b＝0；
a＝1時，2b2＋2b－1＝0(b＝；
a＝2時，b2＋2b－2＝0(b＝－1．
說明：本題也可以這樣說：求實數x，使[x]2＝2{x}x．
二、解答題(本大題共4小題，每小題20分，共80分) http://www.mathedu.cn
11．在直角坐標系xOy中，直線x－2y＋4＝0與橢圓＋＝1交于A，B兩點，F是橢圓的左焦點．求以O，F，A，B為頂點的四邊形的面積．
解：取方程組代入得，25y2－64y＋28＝0．
此方程的解為y＝2，y＝．
即得B(0，2)，A(－，)，又左焦點F1(－，0)．
連OA把四邊形AFOB分成兩個三角形．
得，S＝×2×＋××＝(72＋7)．
也可以這樣計算面積：
直線與x軸交于點C(－4，0)．所求面積＝×4×2－×(4－)×＝(72＋7)．
也可以這樣計算面積：
所求面積＝(0×2－0×0＋0×－(－)×2＋(－)×0－(－)×＋(－)×0－0×0)＝(＋)＝(72＋7)．
12．如圖，設D、E是△ABC的邊AB上的兩點，已知∠ACD＝∠BCE，AC＝14，AD＝7，AB＝28，CE＝12．求BC．
解：＝(△ACD∽△ABC(∠ABC＝∠ACD＝∠BCE．
∴ CE＝BE＝12．AE＝AB－BE＝16．
∴ cosA＝＝＝＝．
∴ BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA＝142＋282－2·14·28·＝72·9(BC＝21．
13．若不等式＋≤k對于任意正實數x，y成立，求k的取值范圍．
解法一：顯然k＞0．(＋)2≤k2(2x＋y)((2k2－1)x－2＋(k2－1)y≥0對于x，y＞0恒成立．
令t＝＞0，則得f(t)＝(2k2－1)t2－2t＋(k2－1)≥0對一切t＞0恒成立．
當2k2－1≤0時，不等式不能恒成立，故2k2－1＞0．
此時當t＝時，f(t)取得最小值－＋k2－1＝＝．
當2k2－1＞0且2k2－3≥0，即k≥時，不等式恒成立，且當x＝4y＞0時等號成立．
∴ k∈[，＋∞)．
解法二：顯然k＞0，故k2≥＝．令t＝＞0，則k2≥＝(1＋)．
令u＝4t＋1＞1，則t＝．只要求s(u)＝的最大值．
s(u)＝≤＝2，于是，(1＋)≤(1＋2)＝．
∴k2≥，即k≥時，不等式恒成立(當x＝4y＞0時等號成立)．
又：令s(t)＝，則s((t)＝＝，t＞0時有駐點t＝．且在0＜t＜時，s((t)＞0，在t＞時，s((t)＜0，即s(t)在t＝時取得最大值2，此時有k2≥(1＋s())＝．
解法三：由Cauchy不等式，(＋)2≤(＋1)(2x＋y)．
即(＋)≤對一切正實數x，y成立．
當k＜時，取x＝，y＝1，有＋＝，而k＝k＜×＝．即不等式不能恒成立．
而當k≥時，由于對一切正實數x，y，都有＋≤≤k，故不等式恒成立．
∴ k∈[，＋∞)．
14．⑴ 寫出三個不同的自然數，使得其中任意兩個數的乘積與10的和都是完全平方數，請予以驗證；
⑵ 是否存在四個不同的自然數，使得其中任意兩個數的乘積與10的和都是完全平方數？請證明你的結論．
解：對于任意n∈N*，n2≡0，1(mod 4)．
設a，b是兩個不同的自然數，①若a≡0(mod 4)或b≡0(mod 4)，或a≡b≡2(mod 4)，均有ab≡0(mod 4)，此時，ab＋10≡2(mod 4)，故ab＋10不是完全平方數；② 若a≡b≡1(mod 4)，或a≡b≡3(mod 4)，則ab≡1(mod 4)，此時ab＋10≡3(mod 4)，故ab＋10不是完全平方數．
由此知，ab＋10是完全平方數的必要不充分條件是ab(mod 4)且a與b均不能被4整除．
⑴ 由上可知，滿足要求的三個自然數是可以存在的，例如取a＝2，b＝3，c＝13，則2×3＋10＝42，2×13＋10＝62，3×13＋10＝72．
即2，3，13是滿足題意的一組自然數．
⑵ 由上證可知不存在滿足要求的四個不同自然數．
這是因為，任取4個不同自然數，若其中有4的倍數，則它與其余任一個數的積加10后不是完全平方數，如果這4個數都不是4的倍數，則它們必有兩個數mod 4同余，這兩個數的積加10后不是完全平方數．
故證．

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