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2009年全國高中數學聯合競賽湖北省預賽
試題參考答案及評分標準
說明：評閱試卷時，請依據本評分標準。填空題只設7分和0分兩檔；解答題的評閱，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可參考本評分標準適當劃分檔次評分。
一、填空題（本題滿分56分，每小題7分。）
1．已知復數滿足，則 0 ．
2．設，，則的值域為．
3．設等差數列的前n項和為，若，則中最大的是．
4．已知O是銳角△ABC的外心，，若，且，則．
5．已知正方體的棱長為1，O為底面ABCD的中心，M，N分別是棱A1D1和CC1的中點．則四面體的體積為．
6．設，且，，則符合條件的共有 1600 組．（注：順序不同視為不同組．）
7．設，則的最小值為．
8．設p是給定的正偶數，集合的所有元素的和是．
二、解答題（本題滿分64分，第9題14分，第10題15分，第11題15分，第12題20分。）
9．設數列滿足，，其中．
（1）證明：對一切，有；
（2）證明：．
證明 （1）在已知關系式中，令，可得；
令，可得
①
令，可得
②
由①得，，，，
代入②，化簡得． ------------------------------------------7分
（2）由，得，故數列是首項為，公差為2的等差數列，因此．
于是．
因為，所以
．
------------------------------------------14分
10．求不定方程的正整數解的組數．
解 令，，，則．
先考慮不定方程滿足的正整數解．
，，．----------------------------------5分
當時，有，此方程滿足的正整數解為．
當時，有，此方程滿足的正整數解為．
所以不定方程滿足的正整數解為
． ------------------------------------------10分
又方程的正整數解的組數為，方程的正整數解的組數為，故由分步計數原理知，原不定方程的正整數解的組數為
． ------------------------------------------15分
11．已知拋物線C：與直線l：沒有公共點，設點P為直線l上的動點，過P作拋物線C的兩條切線，A，B為切點．
(1)證明：直線AB恒過定點Q；
(2)若點P與（1）中的定點Q的連線交拋物線C于M，N兩點，證明：．
證明 (1)設，則．
由得，所以．
于是拋物線C在A點處的切線方程為，即．
　　設，則有．
　　設，同理有．
所以AB的方程為，即，
所以直線AB恒過定點． ------------------------------------------7分
(2)PQ的方程為，與拋物線方程聯立，消去y，得
．
設，，則
①
要證，只需證明，即
②
由①知，
②式左邊=
．
故②式成立，從而結論成立． ------------------------------------------15分
12．設為正實數，且．證明：
．
證明 因為，要證原不等式成立，等價于證明
① ----------------5分
事實上，
②----------------10分
由柯西不等式知

③----------------15分
又由知
④
由②，③，④，可知①式成立，從而原不等式成立． ------------------------------------20分

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