資源簡介

2009-2010年度 禪城區(qū)南莊中學(xué)
——（北師大版）七年級數(shù)學(xué)下冊
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溫馨提示：時(shí)間對每個(gè)人是公平的，我們應(yīng)抓緊時(shí)間，努力把握住每一個(gè)今天，在今天盡量多做實(shí)事，使今天的學(xué)習(xí)效率大大提高，請記住-----天道酬勤。
初一級數(shù)學(xué)備課組
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第一章《整式的運(yùn)算》基本知識回顧
溫馨提示：本資料中 ※ 表示重點(diǎn)部分；
一、整式的概念： ¤ 表示了解部分；◎ 表示僅供參閱部分。
※1、單項(xiàng)式
① 由數(shù)與字母的積組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式。單獨(dú)一個(gè)數(shù)或字母也是單項(xiàng)式。
② 單項(xiàng)式的系數(shù)是這個(gè)單項(xiàng)式的數(shù)字因數(shù)，作為單項(xiàng)式的系數(shù)，必須連同數(shù)字前面的性質(zhì)符號，如果一個(gè)單項(xiàng)式只是字母的積，并非沒有系數(shù)。
③ 一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。
※2、多項(xiàng)式
① 幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。在多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)。其中，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。一個(gè)多項(xiàng)式中，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。
② 單項(xiàng)式和多項(xiàng)式都有次數(shù)，含有字母的單項(xiàng)式有系數(shù)，多項(xiàng)式?jīng)]有系數(shù)。多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都是單項(xiàng)式，一個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)就是這個(gè)多項(xiàng)式作為加數(shù)的單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)。多項(xiàng)式中每一項(xiàng)都有它們各自的次數(shù)，但是它們的次數(shù)不可能都作是為這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)，一個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)只有一個(gè)，它是所含各項(xiàng)的次數(shù)中最高的那一項(xiàng)次數(shù)。
※3、整式單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。
二、整式的加減：
¤1. 整式的加減實(shí)質(zhì)上就是去括號后，合并同類項(xiàng)，運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式或是單項(xiàng)式.
¤2. 括號前面是“－”號，去括號時(shí)，括號內(nèi)各項(xiàng)要變號，一個(gè)數(shù)與多項(xiàng)式相乘時(shí)，這個(gè)數(shù)與括號內(nèi)各項(xiàng)都要相乘.
三、同底數(shù)冪的乘法
※同底數(shù)冪的乘法法則: (m，n都是正數(shù))是冪的運(yùn)算中最基本的法則，在應(yīng)用法則運(yùn)算時(shí)，要注意以下幾點(diǎn):
① 法則使用的前提條件是：冪的底數(shù)相同而且是相乘時(shí)，底數(shù)a可以是一個(gè)具體的數(shù)字式字母，也可以是一個(gè)單項(xiàng)或多項(xiàng)式；
② 指數(shù)是1時(shí)，不要誤以為沒有指數(shù)；
③ 不要將同底數(shù)冪的乘法與整式的加法相混淆，對乘法，只要底數(shù)相同指數(shù)就可以相加；而對于加法，不僅底數(shù)相同，還要求指數(shù)相同才能相加；
④ 當(dāng)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘時(shí)，法則可推廣為（其中m、n、p均為正數(shù)）；
⑤ 公式還可以逆用：（m，n均為正整數(shù)）
四、冪的乘方與積的乘方
※1、冪的乘方法則：(m，n都是正數(shù))是冪的乘法法則為基礎(chǔ)推導(dǎo)出來的，但兩者不能混淆。
※2、(m，n都是正數(shù))。
※3、底數(shù)有負(fù)號時(shí)，運(yùn)算時(shí)要注意，底數(shù)是a與(-a)時(shí)不是同底，但可以利用乘方法則化成同底，
如將（-a）3化成-a3
※4、底數(shù)有時(shí)形式不同，但可以化成相同。
※5、要注意區(qū)別（ab）n與（a+b）n意義是不同的，不要誤以為（a、b均不為零）。
※6、積的乘方法則：積的乘方，等于把積每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘，即（n為正整數(shù)）。
※7、冪的乘方與積乘方法則均可逆向運(yùn)用。
五、同底數(shù)冪的除法
※1、同底數(shù)冪的除法法則:同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即 (a≠0，m、n都是正數(shù)，且m>n).
※2、在應(yīng)用時(shí)需要注意以下幾點(diǎn):
① 法則使用的前提條件是“同底數(shù)冪相除”而且0不能做除數(shù)，所以法則中a≠0。
② 任何不等于0的數(shù)的0次冪等于1，即，如，，注意無意義。
③ 任何不等于0的數(shù)的次冪(是正整數(shù))，等于這個(gè)數(shù)的次冪的倒數(shù)，即(，是正整數(shù))， 注意，都是無意義的;當(dāng)時(shí)，的值一定是正的; 當(dāng)時(shí)， 的值可能是正也可能是負(fù)的，如：，，，。
④ 運(yùn)算要注意運(yùn)算順序。
六、整式的乘法
※1. 單項(xiàng)式乘法法則:單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。
單項(xiàng)式乘法法則在運(yùn)用時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：
①積的系數(shù)等于各因式系數(shù)積，先確定符號，再計(jì)算絕對值。這時(shí)容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤的是，將系數(shù)相乘與指數(shù)相加混淆；
②相同字母相乘，運(yùn)用同底數(shù)的乘法法則；
③只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，要連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式；
④單項(xiàng)式乘法法則對于三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用；
⑤單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，結(jié)果仍是一個(gè)單項(xiàng)式。
※2．單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘
單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，是通過乘法對加法的分配律，把它轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，即單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。
單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：
① 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，積是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同；
② 運(yùn)算時(shí)要注意積的符號，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前面的符號；
③ 在混合運(yùn)算時(shí)，要注意運(yùn)算順序。
※3．多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘
多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。
多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：
① 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘要防止漏項(xiàng)，檢查的方法是：在沒有合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)等于原兩個(gè)多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)的積；
② 多項(xiàng)式相乘的結(jié)果應(yīng)注意合并同類項(xiàng)；
③ 對含有同一個(gè)字母的一次項(xiàng)系數(shù)是1的兩個(gè)一次二項(xiàng)式相乘，其二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)等于兩個(gè)因式中常數(shù)項(xiàng)的和，常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)因式中常數(shù)項(xiàng)的積。
例如：
對于一次項(xiàng)系數(shù)不為1的兩個(gè)一次二項(xiàng)式和相乘可以得到
七、平方差公式
¤1、平方差公式：兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方差，
※即
¤其結(jié)構(gòu)特征是：
①公式左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，兩個(gè)二項(xiàng)式中第一項(xiàng)相同，第二項(xiàng)互為相反數(shù)；
②公式右邊是兩項(xiàng)的平方差，即相同項(xiàng)的平方與相反項(xiàng)的平方之差。
八、完全平方公式
¤1、完全平方公式：兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍，
¤即；¤口決：首平方，尾平方，2倍乘積在中央；
¤2、結(jié)構(gòu)特征：
① 公式左邊是二項(xiàng)式的完全平方；
② 公式右邊共有三項(xiàng)，是二項(xiàng)式中二項(xiàng)的平方和，再加上或減去這兩項(xiàng)乘積的2倍。
¤3 在運(yùn)用完全平方公式時(shí)，要注意公式右邊中間項(xiàng)的符號，以及避免出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤。
九、整式的除法
¤1、單項(xiàng)式除法單項(xiàng)式
單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式；
¤2、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式
多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加，其特點(diǎn)是把多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，所得商的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同，另外還要特別注意符號。
十、公式的常見變化
※完全平方公式的常見變形：
① ②
③ ④
¤平方差公式的常見變化：
① 位置變化：
② 符號變化：
③ 系數(shù)變化：
④ 指數(shù)變化：
⑤ 增項(xiàng)變化：
⑥ 連用變化：
⑦ 換式變化：
⑧ 逆向變化：
第二章《平行線與相交線》基本知識回顧
余角
余角補(bǔ)角
補(bǔ)角
　 　角 兩線相交 對頂角
同位角
“三線八角” 內(nèi)錯(cuò)角
同旁內(nèi)角
平行線的判定
　平行線
平行線的性質(zhì)
尺規(guī)作圖
一、臺球桌面上的角
※1、互為余角和互為補(bǔ)角的有關(guān)概念與性質(zhì)
如果兩個(gè)角的和為90°（或直角），那么這兩個(gè)角互為余角；
如果兩個(gè)角的和為180°（或平角），那么這兩個(gè)角互為補(bǔ)角；
注意：這兩個(gè)概念都是對于兩個(gè)角而言的，而且兩個(gè)概念強(qiáng)調(diào)的是兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，與兩個(gè)角的相互位置沒有關(guān)系。
它們的主要性質(zhì)：同角或等角的余角相等；同角或等角的補(bǔ)角相等。
例：如圖，∵ （平角定義）
（直角三角形兩銳角互余）
∴ （等角的余角相等）
二、探索直線平行的條件
※“三線八角”：如圖，直線a、b被直線l所截：
① ∠1與∠5在截線l的同側(cè)，同在被截直線a、b的上方，
叫做 同位角 。（位置相同，形如字母“ F ”）
② ∠5與∠3在截線l的兩旁（交錯(cuò)），在被截直線a、b的
之間（內(nèi)），叫做 內(nèi)錯(cuò)角 。（形如字母“ Z ”）
③ ∠4與∠5在截線l的同側(cè)，在被截直線a、b的之間（內(nèi)），
叫做 同旁內(nèi)角 。（形如字母“ U ”）
※兩條直線互相平行的條件即兩條直線互相平行的判定定理，共有三條：
① 兩直線平行，同位角相等。如圖，∥，則
② 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。如圖，∥，則
③ 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。如圖，∥，則
※判斷兩條直線平行的特殊方法還有：
① 利用平行線的定義：沒有公共點(diǎn)的兩直線互相平行。
② 如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行；
即若a∥b，b∥c，那么a∥c。（如右上圖）
③ 如果兩條直線都與第三條直線垂直，那么這兩條直線互相平行；
即若a⊥c，b⊥c，那么a∥b。（如右下圖）
三、平行線的特征
※平行線的特征即平行線的性質(zhì)定理，共有三條：
① 兩直線平行，同位角相等。如圖，，則∥
② 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。如圖，，則∥
③ 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。如圖，，則∥
四、用尺規(guī)作線段和角
※1、關(guān)于尺規(guī)作圖
尺規(guī)作圖是指只用圓規(guī)和沒有刻度的直尺來作圖。
※2、關(guān)于尺規(guī)的功能
直尺的功能是：在兩點(diǎn)間連接一條線段；將線段向兩方向延長。
圓規(guī)的功能是：以任意一點(diǎn)為圓心，任意長度為半徑作一個(gè)圓；以任意一點(diǎn)為圓心，任意長度為半徑畫一段弧。
※用尺規(guī)可以：① 作一條線段等于已知線段；② 作一個(gè)角等于已知角。利用這兩種基本作圖可以作出兩條線段的和或差，可以作出兩個(gè)角的和或差。

第三章《生活中的數(shù)據(jù)》基本知識回顧
一、認(rèn)識“百萬分之一”有多小
百萬分之一大小的數(shù)是客觀存在的，這可借助我們熟悉的事物，從不同的角度進(jìn)行感受。比如，世界第一高峰珠穆朗瑪峰高度約8844米，它的海撥高度的百萬分之一約為0.88cm，竟然事足一厘米；再如，天安門廣場面積約44萬平方米，它的百萬分之一約為0.44m2，還不如你的課桌面積大呢。
為了表示“百萬分之一”這樣較小的數(shù)，原有的長度單位（米、分米、厘米、毫米）已經(jīng)不夠用了。為了方便，把百萬分之一米（10-6米）稱為1微米，比微米還小的長度單位是納米。
¤即：1微米＝10-6米 1納米＝10-9米
1毫米＝103微米 1微米＝103納米 1米＝106微米＝109納米
二、會(huì)用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值較小的數(shù)
和七年級（上）學(xué)過的科學(xué)記數(shù)法類似，也可以把絕對值非常小的數(shù)寫成 a×10-n 的形式，其中 1≤a＜10 （只有一位整數(shù)的數(shù)），n是小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)的位數(shù)，小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)了多少位，n就是多少。比如，最薄的金箔的厚度大約為0.000 000 091米，小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)了8位得到a＝9.1 ，所以n＝8 ，即0.000 000 091米＝9.1×10-8米。
※三、理解近似數(shù)與有效數(shù)字
生活中非常大和非常小的正數(shù)一般都不是精確數(shù)（精確數(shù)即與實(shí)際完全符合的數(shù)），大多是與精確數(shù)非常接近但一完全相等的數(shù)，這樣的數(shù)就是近似數(shù)。近似數(shù)能在一定程度上反映被考查量的大小，所有測量得到的結(jié)果都是近似的。合理地取近似數(shù)，也能從很大程度上方便人們的生活需要。
利用四舍五入法取一個(gè)數(shù)的近似數(shù)時(shí)，四舍五入到哪一位，我們就說這個(gè)數(shù)精確到哪一位。
對于一個(gè)近似數(shù)，從左邊第一個(gè) 不為0 的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位止，所有的數(shù)字都叫做這個(gè)數(shù)的 有效數(shù)字 。寫出一個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字，關(guān)鍵是確定好“左邊第一個(gè)不為0的數(shù)字”和“精確到的數(shù)位”。例如，近似數(shù)0.002 601從左第一個(gè)不是0的數(shù)字“2”開始，到精確到的百萬分位上的數(shù)字“1”都是有效數(shù)字，即0.002 601有四個(gè)有效數(shù)字，分別是2、6、0、1。
¤四、象形統(tǒng)計(jì)圖：直觀、形象。我們要會(huì)讀象形統(tǒng)計(jì)圖。
“世界新生兒圖”是一類新穎的象形統(tǒng)計(jì)圖，在報(bào)紙、雜志上也常見到這類統(tǒng)計(jì)圖。這類統(tǒng)計(jì)圖的實(shí)質(zhì)與條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖是一致的，但它比條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖更直觀形象、更容易使人們了解其中所表達(dá)的信息。“世界新生兒圖”是用各個(gè)國家的面積大小表示這個(gè)國家某年的新生兒數(shù)，利用圖示告訴的面積比例，就可以估計(jì)出中國、美國、印度、澳大利亞這一年的新生兒數(shù)。
¤五、統(tǒng)計(jì)工作包括：
①設(shè)定目標(biāo)；②收集數(shù)據(jù)；③整理數(shù)據(jù)；④表達(dá)與描述數(shù)據(jù)；⑤分析結(jié)果。
第四章《概率》基本知識回顧
一、正確認(rèn)識事件發(fā)生的可能性
※生活中的事情有三種：① 必然事件 ；② 不可能事件 ；③ 不確定事件 。一定發(fā)生的事件叫做必然事件，一定不會(huì)發(fā)生的事件叫做不可能事件。
必然事件與不可能事件的發(fā)生情況都是確定的。還有許多事情，我們事先無法肯定它會(huì)不會(huì)發(fā)生，這樣的事情叫做不確定事件。
對于必然事件和不可能事件同學(xué)們易于掌握，而不確定事件是比較抽象的，為了深入研究不確定事件發(fā)生的具體情況，我們引入了可能性這個(gè)概念。
可能性 是介于 0和1 之間的一個(gè)具體數(shù)字。
※人們通常規(guī)定：必然事件發(fā)生的可能性為1（或100%），不可能事件發(fā)生的可能性為0。顯然，不確定事件發(fā)生的可能性大于0而小于1。
我們可以用下面的圖來表示事件發(fā)生的可能性：
那么，所有不可能發(fā)生的
事件的機(jī)會(huì)都指向0，所在必
然發(fā)生的事件的機(jī)會(huì)都指向1。
二、深入理解概率的意義
概率是不確定事件發(fā)生的可能性的結(jié)果與總數(shù)的比值，用符號P（現(xiàn)象）表示。
不確定事件發(fā)生的概率是一個(gè)介于0與1之間的數(shù)，也就是說如果A是可能事件，
則0＜P＜1；而必然事件發(fā)生的概率為1；不可能事件發(fā)生的概率為0。如：盒子里放入若干個(gè)紅球，隨意摸出一個(gè)紅球，則P（摸出紅球）＝１，摸出黃球的概率P（摸出黃球）＝0。
三、進(jìn)行簡單的概率計(jì)算
概率的計(jì)算就是要求用分?jǐn)?shù)來表示事件發(fā)生的可能性的大小。從概率的意義來看，要求某一事件發(fā)生的概率，必須且只需弄清兩個(gè)數(shù)：操作過程中所有可能發(fā)生的 結(jié)果總數(shù) 和該 事件發(fā)生的結(jié)果數(shù) 。
¤概率是一個(gè)用以表示事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，常見的概率方面的計(jì)算問題有如下的類型：
① 古典型概率計(jì)算：求一事件的發(fā)生概率，需先求出所有可能的情形數(shù)n，再求出符合要求的情形數(shù)m，則該事件發(fā)生的概率為 。
② 幾何型概率的計(jì)算：事件發(fā)生的概率等于此事件所有可能結(jié)果所組成的圖形的面積除以所有可能結(jié)果組成的圖形的面積。
③ 概率的實(shí)際應(yīng)用：按具體事件發(fā)生的概率要求，利用數(shù)量關(guān)系建立概率模型，解決實(shí)際問題。
四、根據(jù)概率大小作出合理的決策
了解不確定事件發(fā)生的概率，有得于決策者對問題的解決作出合理的選擇。解決這類問題的一般方法是：從實(shí)際問題中抽象出概率模型，通過計(jì)算概率，然后根據(jù)概率的大小作出合理的決策。
幾個(gè)人玩一種游戲，對所有的人是否公平，主要從兩個(gè)方面來檢測，一是判斷游戲雙方操縱方式的是否是 相同 ，二是兩事件發(fā)生的概率是否 相等 。
¤理解游戲是否公平應(yīng)注意的問題：
①應(yīng)理解含義：游戲不具有公平性，游戲的結(jié)果就失去了意義，要使游戲?qū)﹄p方公平，首先是游戲的操作方式，程序、規(guī)則等條件必須相同，另一個(gè)重要的方面是對雙方獲勝的可能性要相等。我們在按題意設(shè)計(jì)游戲時(shí)，要注意這一點(diǎn)。
②在設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)盤游戲中，一般要將轉(zhuǎn)盤均勻分成若干份，從而保證指針落在各個(gè)區(qū)域的可能性都相同，特別要注意這一點(diǎn)。
第五章《三角形》基本知識回顧
一、認(rèn)識三角形
1、由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫三角形。
① 組成三角形的三條線段要“不在同一直線上”；如果在同一直線上，三角形就不存在；
② 三條線段“首尾是順次相接”，是指三條線段兩兩之間有一個(gè)公共端點(diǎn)，這個(gè)公共端點(diǎn)就是三角形的頂點(diǎn)。
※2、三角形三邊的關(guān)系：兩邊之 和大于 第三邊；兩邊之 差小于 第三邊。
已知三條線段確定能否組成三角形：小 ＋ 小 ＞ 大而且大 － 大 ＜ 小
已知兩邊、（其中），則第三邊c的取值范圍是
※3、三角形的內(nèi)角和定理：三角形的 內(nèi)角和是180° ；直角三角形的 兩銳角互余 。
銳角三角形 （三個(gè)角都是銳角）
※4、三角形按角分類： 直角三角形 （有一個(gè)角是直角）
鈍角三角形 （有一個(gè)角是鈍角）
※5、三角形的特殊線段：（也叫三角形的“三”線段）
① 三角形的中線：連結(jié)頂點(diǎn)與對邊中點(diǎn)的線段。（分成的兩個(gè)三角形面積相等）
② 三角形的角平分線：內(nèi)角平分線與對邊的交點(diǎn)到內(nèi)角所在的頂點(diǎn)的線段。
三角形的兩個(gè)內(nèi)角的平分線的夾角與第三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系：
如圖，在⊿ABC中，BE和CF分別是∠ABC和∠ACB的平分線，
BE和CF相交于點(diǎn)O，則

（此結(jié)論可以不記住，但結(jié)論的推導(dǎo)說理過程自己要會(huì)組織）
三角形的高：頂點(diǎn)到對邊的垂線段。（會(huì)看圖找出相應(yīng)邊上的高，會(huì)作出每一種三角形每條邊上的高）
6、三角形具有 穩(wěn)定性 ，要知道在日常生活中的應(yīng)用例子。例如：生活中，我們經(jīng)常會(huì)看到如圖所示的情況，在電線桿上拉兩條鋼筋，來加固電線桿，這是利用了三角形的 穩(wěn)定性 。又例如：如圖，為了使一扇舊木門不變形，木工師傅在木門的背面加釘了一根木條，這樣做的道理是 三角形具有穩(wěn)定性 。
二、全等三角形：
1、全等三角形：能夠重合的兩個(gè)三角形。
※2、全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等。
如圖，如果 △ABC≌△DEF，那么根據(jù)三角形全等的性質(zhì)定理有：
∵ △ABC≌△DEF （ 已 知 ）
∴ AB=DE，AC=DF，BC=EF ( 全等三角形對應(yīng)邊相等 )
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F ( 全等三角形對應(yīng)角相等 )
※3、全等三角形的判定：
判 定 方 法
內(nèi) 容
簡 稱
邊邊邊
三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
SSS
邊角邊
兩邊與這兩邊的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
SAS
角邊角
兩角與這兩角的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
ASA
角角邊
兩角與其中一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
AAS
斜邊直角邊
斜邊與一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等
H L
注意：三個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不能判定兩個(gè)三角形全等；沒有AAA。
兩條邊與其中一條邊的對角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不能判定兩個(gè)三角形全等；沒有SSA。
※4、全等三角形的證明思路：
條 件
下一步的思路
運(yùn)用的判定方法
已經(jīng)兩邊對應(yīng)相等
找它們的夾角
SAS
找第三邊
SSS
已經(jīng)兩角對應(yīng)相等
找它們的夾邊
ASA
找其中一個(gè)角的對邊
AAS
已經(jīng)一角一邊
找另一個(gè)角
ASA或AAS
找另一邊
SAS
※三、用尺規(guī)作圖作三角形（作圖驗(yàn)證全等三角形）
1、已知三邊作三角形（SSS）
2、已知兩邊與它們的夾角作三角形（SAS）
3、已知兩角與它們的夾邊作三角形（ASA）
已知兩角與其中一角的對邊轉(zhuǎn)化成這種情況（AAS）
4、已知斜邊與一條直角邊作直角三角形（H L）
¤四、測量距離的常用方案：
方案1：如圖1所示，要測量A、B間的距離，先在地上取一個(gè)可以直接到達(dá)A點(diǎn)和B點(diǎn)的點(diǎn)C，連接AC并延長到D，使CA=CD，連接BC并延長到E，使CB=CE，連接DE并測量出它的長度，DE的長度就是A、B間的距離。（證明時(shí)用SAS證明，與課本P174想一想相同）
方案2：如圖2所示，要測量A、B間的距離，可以在AB的垂線BD上取兩點(diǎn)E，使EB=ED，再過D點(diǎn)作出BD的垂線CD，使A，C，E在一條直線上，這時(shí)測得的CD的長就是A、B間的距離。（證明時(shí)用ASA或AAS證明，與課本P176數(shù)學(xué)理解第2題相同）
第六章《生活中的變量》基本知識回顧
¤一、變量、自變量與因變量
在一個(gè)變化過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量叫做 變量 。
在一個(gè)變化過程中，有兩個(gè)變量，如果一個(gè)變量隨著另一個(gè)變量的改變而改變，那么是 自變量 （先變的量），是 因變量 （后變的量）。
※二、變量之間的表示方法：
① 列表法： 如，一根原長為10厘米的彈簧，其長度與所掛物品的質(zhì)量之間有如下的關(guān)系：
物品的質(zhì)量／千克
1
2
3
4
5
彈簧的長度／厘米
10.5
11.0
11.5
12.0
12.5
其中，物品的質(zhì)量是自變量，彈簧的長度是因變量；當(dāng)物品的質(zhì)量是6千克時(shí)，彈簧的長度是13厘米。
② 關(guān)系式法（解析式法）：能精確地反映自變量與因變量之間數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系。上述問題中因變量彈簧的長度與自變量物品的質(zhì)量之間的關(guān)系式為：
③ 圖象法： 用水平方向的數(shù)軸（橫軸）上的點(diǎn)表示自
變量，用堅(jiān)直方向的數(shù)軸（縱軸）表示因變量。如圖
中的折線ABCDE描述的是汽車行駛過程中，離開出發(fā)
地的距離s（千米）和行駛時(shí)間t（小時(shí)）之間的關(guān)
系。其中，汽車行駛的時(shí)間是自變量，汽車行駛離出
發(fā)地的距離因變量，當(dāng)t=1.5小時(shí)時(shí)，s=80千米；
t=4.5小時(shí)時(shí)，s=0千米。
¤三、幾種特殊的變量之間的圖象：
1、速度與時(shí)間
2、路程與速度
3、甲乙兩人追逐與先后出發(fā)問題
4、日常生活中的常見問題的變量之間的圖象


一杯越晾越?jīng)龅乃? 足球守門員大腳開出去的球 勻速行駛的汽車 一面冉冉上升的旗子
(溫度與時(shí)間的關(guān)系) (高度與時(shí)間的關(guān)系) (速度與時(shí)間的關(guān)系) （高度與時(shí)間的關(guān)系)
第七章《生活中的軸對稱》基本知識回顧
¤一、軸對稱圖形與軸對稱
① 如果一個(gè)圖形沿某一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形。這條直線叫做對稱軸。
② 兩個(gè)圖形沿某一條直線折疊，這兩個(gè)圖形能完全重合，就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線成軸對稱。這條直線叫做對稱軸。
③ 常見的軸對稱圖形：線段（兩條對稱軸），角，長方形，正方形，等腰三角形，等邊三角形，等腰梯形，圓，扇形；還要知道哪些數(shù)字、漢字、英文字母、國家國旗是軸對稱圖形。并且會(huì)把軸對稱圖形的所有對稱軸都找出來。例如：請?jiān)谙旅孢@一組圖形符號中找出它們所蘊(yùn)含的內(nèi)在規(guī)律，然后在橫線上的空白處填上恰當(dāng)?shù)膱D形。
※二、角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。
∵ OP平分∠AOB PB⊥OB PA⊥OA
∴ PB=PA （角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）
※三、線段垂直平分線（簡稱中垂線）：
① 概念：垂直且平分線段的直線叫做這條線段的垂直平分線。
② 性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。
∵ OA=OB PC⊥AB于O
∴ PA=PB （線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）
※四、等腰三角形性質(zhì)：（有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形）
①等腰三角形是軸對稱圖形； （僅有一條對稱軸）
②等腰三角形底邊上中線，底邊上的高，頂角的平分線重合； （也稱“三線合一”）
應(yīng)用“三線合一”性質(zhì)時(shí)的幾何語言要按以下的組織過程書寫
∵
∴ （三角形底邊上的高與中線重合）
（三角形底邊上的高與頂角平分線重合）
③等腰三角形的兩個(gè)底角相等。 簡稱：等邊對等角）
∵ ( 已知 ) ∴( 等邊對等角 ）
※五、等角對等邊：在一個(gè)三角形中，如果有兩個(gè)角相等，那么它所對的兩條邊也相等。
（簡稱：等角對等邊）
∵( 已知 ) ∴( 等角對等邊）
（ 溫馨提示 ：等邊對等角和等角對等邊 只能在三角形中使用 。）
六、等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性質(zhì)。
等邊三角形的三條邊相等，三個(gè)角都等于60度；
等邊三角形是軸對稱圖形，有三條對稱軸；
等邊三角形邊上的中線、高和這條邊的對角的平分線重合；（每邊上都有“三線合一”）
¤七、軸對稱的性質(zhì)：
① 關(guān)于某條直線對稱的兩個(gè)圖形是全等圖形； ② 對應(yīng)點(diǎn)的連線被對稱軸垂直且平分；
③ 如果對應(yīng)線段所在的直線相交，那么交點(diǎn)在對稱軸上；④ 對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等。
※八、會(huì)用軸對稱的性質(zhì)進(jìn)行作軸對稱圖形的另一半：
請分別補(bǔ)充下列軸對稱圖形的另一部分。(虛線為對稱軸)

⑴ ⑵ ⑶
¤九、鏡子改變了什么：
1、鏡子不改變我們物體的形狀和大小，但改變了鏡子內(nèi)外圖像的左右位置，使物體與所成的像成軸對稱（叫做鏡面對稱）。
2、常見的問題：①物體成像問題；②數(shù)字與字母成像問題；③時(shí)鐘成像問題等。要會(huì)把看到的像轉(zhuǎn)變?yōu)閷?shí)際圖形。例如：小明照鏡子的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)T恤上的英文單詞在鏡子中呈現(xiàn)“ ”的樣子，我們可以判斷這個(gè)英文單詞是（ ）
十、鑲邊與剪紙普遍具有兩個(gè)特性：重復(fù)性和對稱性。
※十一、軸對稱的應(yīng)用：
如圖所示，要在街道旁修建一個(gè)牛奶站，
向居民區(qū)A、B提供牛奶，牛奶站應(yīng)建在什
么地方，才能使A、B到它的距離之和最短？
（此題的數(shù)學(xué)思想在好多類型的題目中應(yīng)用）

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