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高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)之概率
四川省成都列五中學(xué)　　　楊新建　　李興文
概率統(tǒng)計(jì)是近年高考的熱點(diǎn)，注重對(duì)四個(gè)基本公式的考查，以大題呈現(xiàn)的形式居多，其試題與教材及學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活實(shí)際緊密聯(lián)系，題目往往立意高、情境新、設(shè)問巧。近三年來大致出現(xiàn)過三種類型：一是課本中出現(xiàn)加以概括的；二是與橫向?qū)W科有聯(lián)系的；三是賦予時(shí)代氣息的數(shù)學(xué)問題。在教學(xué)中，應(yīng)充分研究大綱、考綱，使學(xué)生做到：（1）五個(gè)了解，即了解隨機(jī)事件的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性；隨機(jī)事件的概率；等可能事件的概率；互斥事件點(diǎn)概率；相互獨(dú)立事件概率．（2）五個(gè)會(huì)，即會(huì)用排列組合基本公式計(jì)算等可能事件的概率；會(huì)用互斥事件的概率加法公式計(jì)算事件的概率；會(huì)用獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算事件的概率；會(huì)計(jì)算事件在 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰發(fā)生 k次的概率；會(huì)求出某些簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的分布列、期望值、方差．在復(fù)習(xí)中，應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生善于從普通語(yǔ)言中捕捉信息、將普通語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言的能力，使學(xué)生能以數(shù)學(xué)語(yǔ)言為工具進(jìn)行數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)交流及數(shù)學(xué)表達(dá)．
?1．通過對(duì)事件的理解與把握來解決問題?例．（年天津）已知甲盒內(nèi)有大小相同的個(gè)紅球和個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的個(gè)紅球和個(gè)黑球．現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取個(gè)球．
（Ⅰ）求取出的個(gè)球均為黑球的概率；
（Ⅱ）求取出的個(gè)球中恰有個(gè)紅球的概率；
（Ⅲ）設(shè)為取出的個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
解題思路：（Ⅰ）設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的個(gè)球均為黑球”為事件，“從乙盒內(nèi)取出的個(gè)球均為黑球”為事件．由于事件相互獨(dú)立，故取出的個(gè)球均為黑球的概率為
．
（Ⅱ）設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的個(gè)球均為黑球；從乙盒內(nèi)取出的個(gè)球中，個(gè)是紅球，個(gè)是黑球”為事件，“從甲盒內(nèi)取出的個(gè)球中，個(gè)是紅球，個(gè)是黑球；從乙盒內(nèi)取出的個(gè)球均為黑球”為事件．由于事件互斥，
且，．
故取出的個(gè)球中恰有個(gè)紅球的概率為．
（Ⅲ）可能的取值為．由（Ⅰ），（Ⅱ）得，，
．從而．
從而可得的分布列，進(jìn)而可求 的數(shù)學(xué)期望．
命題立意：本小題主要考查互斥事件、相互獨(dú)立事件、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，會(huì)用排列組合基本公式計(jì)算等可能事件的概率，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．這類考題比較多，如2008年北京卷·理17，浙江卷·理19，安徽卷·文18，山東卷·文18等．又如年江西卷·理18題：
、兩位同學(xué)各有五張卡片，現(xiàn)以投擲均勻硬幣的形式進(jìn)行游戲，當(dāng)出現(xiàn)正面朝上時(shí)贏得一張卡片，否則贏得一張卡片，如果某人已贏得所有卡片，則游戲終止。求擲硬幣的次數(shù)不大于7次時(shí)游戲終止的概率．
解題思路：本題涉及隨機(jī)事件的有關(guān)概率．設(shè)表示游戲終止時(shí)擲硬幣的次數(shù)，設(shè)正面出現(xiàn)的次數(shù)為，反面出現(xiàn)的次數(shù)為．
則，可得：當(dāng)或時(shí)，。
當(dāng)或時(shí)．所以的值為：，．
．
這是一道比較復(fù)雜的概率題目，首先我們應(yīng)理解隨機(jī)變量及其概率分布的概念，掌握分布函數(shù)的概念及其性質(zhì)，才能會(huì)計(jì)算與隨機(jī)變量相關(guān)的事件的概率．準(zhǔn)確描述與點(diǎn)關(guān)系以及的約束條件，這樣才能保證此類題目得高分或全分．
2. 通過應(yīng)用分類討論的思想來解決問題?例．（年重慶）某單位有三輛汽車參加某種事故保險(xiǎn)，單位年初向保險(xiǎn)公司繳納每輛元的保險(xiǎn)金，對(duì)在一年內(nèi)發(fā)生此種事故的每輛汽車，單位可獲元的賠償（假設(shè)每輛車最多只賠償一次），設(shè)這三輛車在一年內(nèi)發(fā)生此種事故的概率分別為，，，且各車是否發(fā)生事故相互獨(dú)立，求一年內(nèi)該單位在此保險(xiǎn)中：
（Ⅰ）獲賠的概率；
（Ⅱ）獲賠金額的分布列與期望．
解題思路：　設(shè)表示第輛車在一年內(nèi)發(fā)生此種事故，．由題意知，，獨(dú)立，且，，．
（Ⅰ）該單位一年內(nèi)獲賠的概率為
．
（Ⅱ）的所有可能值為，，，．
通過計(jì)算可得：的分布列為
求的期望有兩種解法：
解法一　由的分布列得
（元）．
解法二　設(shè)表示第輛車一年內(nèi)的獲賠金額，，
則有分布列
故．
同理，得，．
綜上有（元）．
命題立意：考查隨機(jī)變量的概率和分布列，這是高考題概率題中考查比較頻繁的題型．如2008年天津卷·理18，廣東卷·理18，全國(guó)卷Ⅱ·理18等．又如08全國(guó)卷Ⅰ·文18題：
已知5只動(dòng)物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗(yàn)血液來確定患病的動(dòng)物．血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性的即為患病動(dòng)物，呈陰性的即沒患病．下面是兩種化驗(yàn)方法：
方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止．
方案乙：先任取只，將它們的血液混在一起化驗(yàn)．若結(jié)果呈陽(yáng)性則表明患病動(dòng)物為這只中的只，然后再逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止；若結(jié)果呈陰性則在另外只中任取只化驗(yàn)．求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率．
解題思路：方案甲：檢驗(yàn) 次、次、次、次檢驗(yàn)出患病動(dòng)物分別為事件
則,.
方案乙：檢驗(yàn)次、次檢驗(yàn)出患病動(dòng)物分別為事件
則,
所求事件的概率為：．
易錯(cuò)警示：本題的難點(diǎn)在于準(zhǔn)確計(jì)算, 檢測(cè)次檢出患病動(dòng)物有兩種情況：一種是先抽取的三只動(dòng)物無疾病（第一次檢驗(yàn)），有疾病的在余下的兩只中，第二次檢測(cè)抽取一只后便知結(jié)果（如抽取的是患病的，則余下的是正常的；如抽取的是正常的，則余下的是患病的）．另一種情況是先抽取的三只動(dòng)物中有一個(gè)患病，另外兩個(gè)無疾病（第一次檢驗(yàn)），然后在該組中進(jìn)行第二次檢驗(yàn)，抽到的恰好是患病動(dòng)物．
3. 通過合理運(yùn)用及選擇公式來解決問題?例．（年江蘇）某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為，計(jì)算（結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后面第位）
次預(yù)報(bào)中恰有次準(zhǔn)確的概率；
次預(yù)報(bào)中至少有次準(zhǔn)確的概率；
次預(yù)報(bào)中恰有次準(zhǔn)確，且其中第次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率．
解題思路： 屬于獨(dú)立重復(fù)概率問題．;
應(yīng)利用對(duì)立事件的概率，以減少計(jì)算量．;
問題的內(nèi)涵是第三次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確，其余四次中僅有一次正確．．
命題立意：本題考查概率的基本概念、互斥事件有一個(gè)發(fā)生及相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算方法．關(guān)鍵是弄清題中恰有、至少等相關(guān)字詞的數(shù)學(xué)含義．類似“五局三勝制”問題，在近幾年高考中均有體現(xiàn)，如2008年山東卷·理18．又如2008湖北卷·理17：
袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上號(hào)的有個(gè)（=1,2,3,4）.現(xiàn)從袋中任取一球.表示所取球的標(biāo)號(hào)．
（Ⅰ）求的分布列、期望和方差；
（Ⅱ）若, ,,試求的值．
解題思路：（Ⅰ）的分布列為：
0
1
2
3
4
P
∴．
（Ⅱ）由，得a2×2.75＝11，即又所以
當(dāng)a=2時(shí)，由1＝2×1.5+b,得b=-2． 當(dāng)a=-2時(shí)，由1＝-2×1.5+b，得b=4.
∴或即為所求．
命題立意：本題主要考查概率、隨機(jī)變量的分布列、期望和方差的概念及公式以及基本的運(yùn)算能力．
易錯(cuò)警示：將公式和誤記為和，導(dǎo)致計(jì)算出錯(cuò)．
4. 利用圖表信息及相關(guān)概念和公式解題?例．（2007年北京）某中學(xué)號(hào)召學(xué)生在今年春節(jié)期間至少參加一次社會(huì)公益活動(dòng)（以下簡(jiǎn)稱活動(dòng)）．該校合唱團(tuán)共有名
學(xué)生，他們參加活動(dòng)的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示．
（I）求合唱團(tuán)學(xué)生參加活動(dòng)的人均次數(shù)；
（II）從合唱團(tuán)中任意選兩名學(xué)生，求他們參加活動(dòng)次數(shù)恰好相等的概率；
（III）從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生，用表示這兩人參加活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．
解題思路：　由圖可知，參加活動(dòng)次、次和次的學(xué)生人數(shù)分別為、和．
（I）該合唱團(tuán)學(xué)生參加活動(dòng)的人均次數(shù)為；
（II）從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生，他們參加活動(dòng)次數(shù)恰好相等的概率為；
（III）從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生，記“這兩人中一人參加次活動(dòng)，另一人參加次活動(dòng)”為事件，“這兩人中一人參加次活動(dòng)，另一人參加次活動(dòng)”為事件，“這兩人中一人參次活動(dòng)，另一人參加次活動(dòng)”為事件．易知
；
；
的分布列：
0
1
2
的數(shù)學(xué)期望：．
命題立意：　本題主要考查排列組合知識(shí)和分布列以及期望，突破口在于視圖，讀懂圖（表）中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)信息．求數(shù)學(xué)期望的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確計(jì)算分布列．如2008年遼寧卷·理18，海南（寧夏）卷·理19等，題目條件以表格的形式呈現(xiàn)，將頻率、概率、期望、方差等問題融為一體進(jìn)行考查，要求高，立意新，值得高度重視．
通過對(duì)近年高考概率試題的研究，給我們對(duì)今年高考復(fù)習(xí)的幾點(diǎn)啟示：?? 1、在復(fù)習(xí)中，要知道近年來幾乎每年均有一個(gè)概率解答題和一個(gè)小題，考查力度逐步增加和范圍逐步擴(kuò)大，重點(diǎn)考查仍將在概率與統(tǒng)計(jì)的基本思想、基本方法和基本運(yùn)用處命題，理科考題幾乎都涉及考查離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差（少數(shù)題目涉及正態(tài)曲線的性質(zhì)），所以在復(fù)習(xí)中應(yīng)引起足夠的重視． ??? 2、在復(fù)習(xí)中，應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生善于從普通語(yǔ)言中捕捉信息、將普通語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言的能力，抓住關(guān)鍵字詞句，如由“至少”“恰有”“至多”一類詞語(yǔ)的含義找出事件A包含的基本事件數(shù)，使學(xué)生能以數(shù)學(xué)語(yǔ)言為工具進(jìn)行數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)交流．如
　袋中有個(gè)紅球和個(gè)白球，現(xiàn)每次從袋中取出個(gè)球，并將第次取出的球和另外與它同色的個(gè)球一同放回袋中．
（Ⅰ）求第二次取出白球的概率；
（Ⅱ）求第三次取球后袋中有個(gè)白球的概率.
易錯(cuò)警示：學(xué)生解題的最大障礙在于不理解“并將第次取出的球和另外與它同色的個(gè)球一同放回袋中”的意義，無法用正確的數(shù)學(xué)式子表達(dá)．其實(shí)，如果第一次取出個(gè)紅球后（袋中剩個(gè)紅球和個(gè)白球），那么就需放回個(gè)紅球，此時(shí)袋中有個(gè)紅球和個(gè)白球．第二次取出個(gè)紅球后（袋中剩個(gè)紅球和個(gè)白球），那么就需放回個(gè)紅球，此時(shí)袋中有個(gè)紅球和個(gè)白球．第三次取出個(gè)白球后（袋中剩個(gè)紅球和個(gè)白球），那么就需放回個(gè)白球，此時(shí)袋中有個(gè)紅球和個(gè)白球．明白了這個(gè)道理，問題就迎刃而解了．答：，.??? 3、在復(fù)習(xí)中，應(yīng)要求學(xué)生重視數(shù)學(xué)在生產(chǎn)、生活及科學(xué)中的應(yīng)用，并加強(qiáng)對(duì)學(xué)生進(jìn)行偶然性與必然性的對(duì)立統(tǒng)一觀點(diǎn)的教育．? 4、解決概率應(yīng)用題，務(wù)必要注意敘述規(guī)范，計(jì)算準(zhǔn)確．
　　　　

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