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第四章 三角函數(shù)
一、角的概念的推廣及弧度制.
1、平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所的圖形。按逆時針方向旋轉所形成的角叫正角，按順時針方向旋轉所形成的角叫負角，一條射線沒有作任何旋轉時，稱它形成一個零角。射線的起始位置稱為始邊，終止位置稱為終邊。
2、弧度制：規(guī)定：把長度等于半徑的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，記此角為。這種度量角的制度叫弧度制。
（1）角度與弧度的換算：

rad 1=
（2）一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應表：
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
0
（3）扇形的弧長公式：，
扇形的面積公式：.
例：①已知扇形AOB的周長是6cm，它的圓心角是1弧度，求該扇形的面積。（答：2）
②已知扇形周長為，當扇形的中心角為多大時它有最大面積，最大面積是多少？
（答：=， ）
3、象限角的概念：
在直角坐標系中，使角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限的角。如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何象限。
4. 終邊相同的角的表示：
終邊與終邊相同(的終邊在終邊所在射線上)，
注意：相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等.
例：與角的終邊相同，且絕對值最小的角的度數(shù)是_______，合_________弧度。
（答：；）
（1）、軸線角（非象限角）：
終邊在軸非負半軸上的角可表示為：；
終邊在軸非正半軸上的角可表示為：；
終邊在軸上的角可表示為：；
終邊在軸上的角可表示為：；
終邊在坐標軸上的角可表示為：.
（2）、與終邊的其他位置關系
①終邊與終邊共線(的終邊在終邊所在直線上) .
②終邊與終邊互為反向延長線
③終邊與終邊關于軸對稱.
④終邊與終邊關于軸對稱.
⑤終邊與終邊關于原點對稱.（相互垂直呢？）
例：①的終邊與的終邊關于直線對稱，則＝_____。 （答：）
②設函數(shù)為偶函數(shù)，則=__________ （答：）
（3）、分角原理：與的終邊關系。
例：①若是第二象限角，則是第___________象限角 （答：一、三）
②若，，則=__________ （答：）
二、任意角的三角函數(shù)的定義：
1、設是任意一個角，P是的終邊上的任意一點（異于原點），它與原點的距離是，那么，，，，。
三角函數(shù)值只與角的大小有關，而與終邊上點P的位置無關。
例：已知角的終邊經(jīng)過點P(5，－12)，則的值為_________。（答：）；
2、各象限內(nèi)三角函數(shù)值的符號問題：
按象限記： 一正二正弦，三切四余弦；
按函數(shù)名稱記： 正弦上為正，余弦右為正，正切余切一三正，其余為負不為正。
例：①已知，，則在第_____象限。 （答：三）
②若，試判斷的符號_____ （答：負）
3.三角函數(shù)線的特征是：
正弦線MP“站在軸上(起點在軸上)”、余弦線OM“躺在軸上(起點是原點)”、正切線AT“站在點處(起點是)”.三角函數(shù)線的重要應用是比較三角函數(shù)值的大小和解三角不等式。例：①若，則的大小關系為_____
(答：)；
②函數(shù)的定義域___（答：）
4.特殊角的三角函數(shù)值：
30°
45°
60°
0°
90°
180°
270°
15°
75°
0
1
0
－1
1
0
－1
0
1
0
0
2-
2+
1
0
0
2+
2-
三. 同角三角函數(shù)的基本關系式：
（1）平方關系：
（2）倒數(shù)關系：sincsc=1, cossec=1, tancot=1,
（3）商數(shù)關系：
同角三角函數(shù)的基本關系式的主要應用是：已知一個角的三角函數(shù)值，求此角的其它三角函數(shù)值。
在運用平方關系解題時，要根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值，盡可能地壓縮角的范圍，以便進行定號；在具體求三角函數(shù)值時，一般不需用同角三角函數(shù)的基本關系式，而是先根據(jù)角的范圍確定三角函數(shù)值的符號，再用解直角三角形求出此三角函數(shù)值的絕對值。
例：①函數(shù)的值的符號為____ （答：大于0）；
②若，則使成立的的取值范圍是____
（答：）；
③已知，，則＝____ （答：）；
④已知，則＝__＝__（答：；）；⑤已知，則等于　 （答：B）
　（A）、　　（B）、　　（C）、　　　（D）、
⑥已知，則的值為______ （答：－1）。
四.三角函數(shù)誘導公式
（）的本質是：奇變偶不變（對而言，指取奇數(shù)或偶數(shù)），符號看象限（看原函數(shù)，同時可把看成是銳角）.
誘導公式的應用是求任意角的三角函數(shù)值，
其一般步驟：（1）負化正，（2）大化小（寫成2k+,）；
（3）化到銳角為終了
例：①的值為________ （答：）；
②已知，則_______，若為第二象限角，則________。 （答：；）
③求 （答：1）
五、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：

,
例：①下列各式中，值為的是（ ）。 （答：C）；
(A)、 　(B)、　(C)、　　(D)、　
②命題P：,命題Q：,則P是Q的（ ）條件。 （答：C）　
（A）、充要　 （B）、充分不必要 （C）、必要不充分 （D）、既不充分也不必要；
③已知，那么的值為____ （答：）；
④的值是______ （答：4）；
⑤已知，求的值（用a表示）甲求得的結果是，乙求得的結果是，對甲、乙求得的結果的正確性你的判斷是______ （答：甲、乙都對）
除此以外還有輔助角公式、半角公式、萬能公式、和差化積、積化和差公式。
六. 三角函數(shù)的化簡、計算、證明
三角函數(shù)的化簡、計算、證明的恒等變形的基本思路是：一角二名三結構。
即首先觀察角與角之間的關系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心！第二看函數(shù)名稱之間的關系，通常“切化弦”；
第三觀察代數(shù)式的結構特點（使式子盡量保持對稱、協(xié)調）。 基本的技巧有:
（1）巧變角（統(tǒng)一角）
已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換. 如:
， 等），
例：①已知，，那么的值是_____ （答：）；
②已知，且，，求的值（答：）；
③已知為銳角，，，則與的函數(shù)關系為______ （答：）
(2)弦切互化(同一名)，
例：①求值 （答：1）；
②已知，求的值 （答：）
(3)公式變形使用 （。
例：①A、B為銳角，且，則＝____（答：）；②設中，，，則此三角
形是_______三角形 （答：等邊）
(4)三角函數(shù)次數(shù)的降升
降冪公式： ，
升冪公式： ， )。
例：①若，化簡為_____ （答：）；
②函數(shù)的單調遞增區(qū)間為___________（答：）
(5)式子結構的轉化 (對角、函數(shù)名、式子結構化同)。
例：①化簡 （答：）；
②求證：；
③化簡： （答：）
(6)常值變換主要指“1”的變形
等，
例：已知，求 （答：）.
(7)正余弦“三兄妹—”的內(nèi)存聯(lián)系――“知一求二”，
例：①若 ，則 __ （答：），
特別提醒：這里；
②若，求的值。 （答：）；
③，試用表示的值（答：）。
七、輔助角公式中輔助角的確定：
(其中角所在的象限由a, b的符號確定，角的值由確定)在求最值、化簡時起著重要作用。
例：①若方程有實數(shù)解，則的取值范圍是___________.（答：[－2,2]）；②當函數(shù)取得最大值時，的值是_____ (答：)；
③如果是奇函數(shù)，則= （答：－2）；
④求值：________ (答：32)
八、求角的方法：
先確定角的范圍，再求出關于此角的某一個三角函數(shù)（要注意選擇，其標準有二：一是此三角函數(shù)在角的范圍內(nèi)具有單調性；二是根據(jù)條件易求出此三角函數(shù)值）。
例：①若，且、是方程的兩根，則求的值_____（答：）；
②中，，則＝_______（答：）；
③若且，，求的值 （答：）.
九、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象及性質：
（1）定義域： 都是R。
（2）值域： 都是，
對，當時，取最大值1；當時，取最小值－1；
對，當時，取最大值1；當時，取最小值－1。
（3）周期性：
（4）奇偶性：為偶函數(shù) ；為奇函數(shù)
（5）對稱性：關于；關于對稱
（6）單調性：單增,在單減；
在上單減，在上單增。
十、形如的函數(shù)性質：
研究函數(shù)性質的方法：
類比的性質，只需將中的看成中的。
（1）定義域： 即解三角不等式
例：的定義域為__________(答：)
（2）值域： 四大基本題型
題型一: 型。 有三類都要化歸為這種類型，分別是
（A）y=asinx+b型 （B）y=asinx+bcosx型，引入輔助角，化為y=sin（x+）
（C）y=asinx+bsinxcosx+mcosx+n型
例：①若函數(shù)的最大值為,最小值為,則__,＿
（答：或）；
②函數(shù)（）的值域是____ （答：[－1, 2]）；
③若,則的最大值和最小值分別是______（答：7；－5）；
④函數(shù)的最小值是_____，此時＝__________ （答：2；）；
題型二：以為內(nèi)層函數(shù)的復合函數(shù)型 常見兩類題型：
（A）y=asinx+bsinx+c型，可令t=sinx,-1≤t≤1,化歸為閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值問題。
（B）y=型，反解出sinx,用（有界性）解；或用分離常數(shù)法去解決。
特別提醒：在解含有正余弦函數(shù)的問題時，注意挖掘正余弦函數(shù)的有界性。
例：①求函數(shù)f(x)=cosx+sinx在區(qū)間上的最小值 （答：）
②求函數(shù)f(x)=cos2x+sinx在區(qū)間的值域 （答：）
③若，求的最值 （答：1，）。
④函數(shù)f(x)=的最大值是，最小值是。（答:）
題型三：y=型，可化歸為sin (x+)=g(y)，再利用sin(x+)的有界性去處理；或用萬能公式換元后用判別式去處理。
例：求函數(shù)f()=的最大值與最小值 （答: ）

題型四：含有sinx±cosx , sinxcosx的類型， 常用的方法是令sinx±cosx=t,,將sinxcosx轉化為t的函數(shù)關系式，從而化為二次函數(shù)的最值問題。
例：求y=的最值。 （答: ）
（3）周期性：
和的最小正周期都是
注意絕對值或平方對三角函數(shù)周期性的影響
比如：的周期都是, 但的周期為，而，的周期不變；
例：①若，則＝___ （答：0）；
② 函數(shù)的最小正周期為____ （答：）；
③設函數(shù)，若對任意都有成立，則的最小值為____ （答：2）
④函數(shù)的最小正周期為____ （答：）；
⑤函數(shù)的最小正周期為____ （答：）；
（4）奇偶性與對稱性：
類比圖像的對稱性。正(余)弦型函數(shù)的對稱軸為過最高點或最低點且垂直于軸的直線，對稱中心為圖象與軸的交點。
即：對稱軸使；
對稱中心的橫坐標使，縱坐標為中的
例：①函數(shù)的奇偶性是______ （答：偶函數(shù)）；
②已知函數(shù)為常數(shù)）,且,則____（答：－5）；
③函數(shù)的圖象的對稱中心和對稱軸分別是__________、____________ （答：、）；
④已知為偶函數(shù)，求的值。（答：）
（5）單調性：
將中的代換成，再求出的單調性，反解。
但要特別注意A和的符號對單調性的影響。
例：①求的單調增區(qū)間 （答：）；
②求的單調遞增區(qū)間 （答：[6k(-,6k(+) (k(Z)）；
特別提醒：別忘了！
（6）三角函數(shù)性質的綜合運用：
①設函數(shù)的圖象關于直線對稱，它的周期是，則（ ） （答：C）；
A、 B、在區(qū)間上是減函數(shù)
C、　 D、的最大值是A
②對于函數(shù)給出下列結論：
(A)圖象關于原點成中心對稱； (B)圖象關于直線成軸對稱
(C)圖象可由函數(shù)的圖像向左平移個單位得到；
(D)圖像向左平移個單位，即得到函數(shù)的圖像。
其中正確結論是______ （答：BD）；
③已知函數(shù)圖象與直線的交點中，距離最近兩點間的距離為，那么此函數(shù)的周期是_______ （答：）

十一、形如的函數(shù)圖像：
（1）幾個物理量：
A―振幅；―頻率（周期的倒數(shù)）；―相位；―初相；
（2）函數(shù)表達式的確定：
A由最值確定；由周期確定；由圖象上的特殊點確定。
例：的圖象如圖所示，則＝_____
（答：）；
（3）函數(shù)圖象的畫法：
①“五點法”――設，令＝0，求出相應的值，計算得出五點的坐標，描點后得出圖象；
②圖象變換法：這是作函數(shù)簡圖常用方法。
函數(shù)的圖象與圖象間的關系：（圖象變換）
①函數(shù)的圖象縱坐標不變，橫坐標向左（>0）或向右（<0）平移個單位得的圖象；
②函數(shù)圖象的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼模玫胶瘮?shù)的圖象；
③函數(shù)圖象的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到函數(shù)的圖象；
④函數(shù)圖象的橫坐標不變，縱坐標向上（）或向下（），得到的圖象。
特別注意：若由得到的圖象，則向左或向右平移應平移個單位，（不是個單位）。
例：①函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的變換才能得到的圖象？
（答：向上平移1個單位得的圖象，再向左平移個單位得的圖象，橫坐標擴大到原來的2倍得的圖象，最后將縱坐標縮小到原來的即得的圖象）；
② 要得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象向___平移____個單位（答：左；）；
③將函數(shù)圖像，按向量平移后得到的函數(shù)圖像關于原點對稱，這樣的向量是否唯一？若唯一，求出；若不唯一，求出模最小的向量
（答：存在但不唯一，模最小的向量）；
④若函數(shù)的圖象與直線有且僅有四個不同的交點，則的取值范圍是 ： （答： ）
十二、正切函數(shù)的圖象和性質：
（1）定義域：。
遇到有關正切函數(shù)問題時，你注意到正切函數(shù)的定義域了嗎？
（2）值域是R，在上面定義域上無最大值也無最小值；
（3）周期性：是周期函數(shù)且周期是，它與直線的兩個相鄰交點之間的距離是一個周期。
（4）奇偶性與對稱性：是奇函數(shù)，對稱中心是，
特別提醒：正(余)切型函數(shù)的對稱中心有兩類：一類是圖象與軸的交點，另一類是漸近線與軸的交點，但無對稱軸，這是與正弦、余弦函數(shù)的不同之處。
（5）單調性：正切函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)。但要注意在整個定義域上不具有單調性。如下圖：
十三. 三角形中的有關公式：
(1)內(nèi)角和定理：
三角形三角和為，這是三角形中三角函數(shù)問題的特殊性，解題可不能忘記！任意兩角和與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半角總互余.
銳角三角形三內(nèi)角都是銳角三內(nèi)角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.
(2)正弦定理：(R為三角形外接圓的半徑).
注意：①正弦定理的一些變式：；
；；
②已知三角形兩邊一對角，求解三角形時，若運用正弦定理，則務必注意可能有兩解.
(3)余弦定理：等，常選用余弦定理鑒定三角形的形狀.
(4)面積公式：（其中為三角形內(nèi)切圓半徑）.
例：①中，若，判斷的形狀
（答：直角三角形）。
②在中,,＝______ （答：）；
③在中，，面積為，則外接圓的直徑是 （答：）；

13.反三角函數(shù)：
（1）反三角函數(shù)的定義
（以反正弦函數(shù)為例）：表示一個角，這個角的正弦值為,且這個角在內(nèi)。
(2)反正弦、反余弦、反正切的取值范圍分別是.

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