資源簡介

備戰(zhàn)2010高考數(shù)學(xué)――壓軸題跟蹤演練系列三
1．（本小題滿分13分）
如圖，已知雙曲線C：的右準(zhǔn)線與一條漸近線交于點M，F(xiàn)是雙曲線C的右焦點，O為坐標(biāo)原點.
（I）求證：；
（II）若且雙曲線C的離心率，求雙曲線C的方程；
（III）在（II）的條件下，直線過點A（0，1）與雙曲線C右支交于不同的兩點P、Q且P在A、Q之間，滿足，試判斷的范圍，并用代數(shù)方法給出證明.
解：（I）右準(zhǔn)線，漸近線
，

……3分
（II）

雙曲線C的方程為： ……7分
（III）由題意可得 ……8分
證明：設(shè)，點
由得
與雙曲線C右支交于不同的兩點P、Q

……11分
，得



的取值范圍是（0，1） ……13分
2．（本小題滿分13分）
已知函數(shù)，
數(shù)列滿足
（I）求數(shù)列的通項公式；
（II）設(shè)x軸、直線與函數(shù)的圖象所圍成的封閉圖形的面積為，求；
（III）在集合，且中，是否存在正整數(shù)N，使得不等式對一切恒成立？若存在，則這樣的正整數(shù)N共有多少個？并求出滿足條件的最小的正整數(shù)N；若不存在，請說明理由.
（IV）請構(gòu)造一個與有關(guān)的數(shù)列，使得存在，并求出這個極限值.
解：（I）

……1分

……

將這n個式子相加，得


……3分
（II）為一直角梯形（時為直角三角形）的面積，該梯形的兩底邊的長分別為，高為1

……6分
（III）設(shè)滿足條件的正整數(shù)N存在，則

又
均滿足條件
它們構(gòu)成首項為2010，公差為2的等差數(shù)列.
設(shè)共有m個滿足條件的正整數(shù)N，則，解得
中滿足條件的正整數(shù)N存在，共有495個， ……9分
（IV）設(shè)，即
則
顯然，其極限存在，并且 ……10分
注：（c為非零常數(shù)），等都能使存在.
19. （本小題滿分14分）
設(shè)雙曲線的兩個焦點分別為，離心率為2.
（I）求此雙曲線的漸近線的方程；
（II）若A、B分別為上的點，且，求線段AB的中點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線；
（III）過點能否作出直線，使與雙曲線交于P、Q兩點，且.若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.
解：（I）

，漸近線方程為 4分
（II）設(shè)，AB的中點


則M的軌跡是中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為，短軸長為的橢圓.（9分）
（III）假設(shè)存在滿足條件的直線
設(shè)


由（i）（ii）得
∴k不存在，即不存在滿足條件的直線. 14分
3. （本小題滿分13分）
已知數(shù)列的前n項和為，且對任意自然數(shù)都成立，其中m為常數(shù)，且.
（I）求證數(shù)列是等比數(shù)列；
（II）設(shè)數(shù)列的公比，數(shù)列滿足：
，試問當(dāng)m為何值時，
成立？
解：（I）由已知
（2）
由得：，即對任意都成立

（II）當(dāng)時，




由題意知， 13分
4．（本小題滿分12分）
設(shè)橢圓的左焦點為，上頂點為，過點與垂直的直線分別交橢圓和軸正半軸于，兩點，且分向量所成的比為8∶5．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若過三點的圓恰好與直線：相切，求橢圓方程．
解：（1）設(shè)點其中．
由分所成的比為8∶5，得，　　　　　　　　　　　2分
∴．①，　　　　　　　　　　　　　4分
而，
∴．．②，　　　　　　　　　　　5分
由①②知．
∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分
（2）滿足條件的圓心為，
，　　　　　　　　　　　　　　8分
圓半徑．　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分
由圓與直線：相切得，，
又．∴橢圓方程為．　　　　　　　　12分
5．（本小題滿分14分）
（理）給定正整數(shù)和正數(shù)，對于滿足條件的所有無窮等差數(shù)列，試求的最大值，并求出取最大值時的首項和公差．
（文）給定正整數(shù)和正數(shù)，對于滿足條件的所有無窮等差數(shù)列，試求的最大值，并求出取最大值時的首項和公差．
（理）解：設(shè)公差為，則．　　3分
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分
．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7分
又．
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　11分
∴．　　　　　　　　　　　　13分
當(dāng)數(shù)列首項，公差時，，
∴的最大值為．　　　　　　　　　　　　　　　　14分
（文）解：設(shè)公差為，則．　　　3分
，　　　　　　　　　　　6分
又．
∴．
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．　　　　　　　　　　　　　　　　　11分
∴．　　　　　　　　　　　　　13分
當(dāng)數(shù)列首項，公差時，．
∴的最大值為．　　　　　　　　　　　　　　　　　14分
6．（本小題滿分12分）
垂直于x軸的直線交雙曲線于M、N不同兩點，A1、A2分別為雙曲線的左頂點和右頂點，設(shè)直線A1M與A2N交于點P（x0，y0）
（Ⅰ）證明：
（Ⅱ）過P作斜率為的直線l，原點到直線l的距離為d，求d的最小值.
解（Ⅰ）證明：
　　　　①
直線A2N的方程為 ②……4分
①×②，得
（Ⅱ）
……10分
當(dāng)……12分
7．（本小題滿分14分）
已知函數(shù)
（Ⅰ）若
（Ⅱ）若
（Ⅲ）若的大小關(guān)系（不必寫出比較過程）.
解：（Ⅰ）

（Ⅱ）設(shè)，
……6分
（Ⅲ）在題設(shè)條件下，當(dāng)k為偶數(shù)時
當(dāng)k為奇數(shù)時……14分
2010年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重點知識點90條
已知集合A、B，當(dāng)時，你是否注意到“極端”情況：或；求集合的子集時是否忘記？
對于含有n個元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數(shù)依次為
反演律：，。
“p且q”的否定是“非p或非q”；“p或q”的否定是“非p且非q”。
命題的否定只否定結(jié)論；否命題是條件和結(jié)論都否定。
函數(shù)的幾個重要性質(zhì)：
①如果函數(shù)對于一切，都有，那么函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱(是偶函數(shù)；
②若都有，那么函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；
③函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱；
④若奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則在區(qū)間上也是增函數(shù)；若偶函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則在區(qū)間上是減函數(shù)；
⑤函數(shù)的圖象是把的圖象沿x軸向左平移a個單位得到的；函數(shù)(的圖象是把的圖象沿x軸向右平移個單位得到的；
⑥函數(shù)+a的圖象是把助圖象沿y軸向上平移a個單位得到的；函數(shù)+a的圖象是把助圖象沿y軸向下平移個單位得到的。
求一個函數(shù)的解析式和一個函數(shù)的反函數(shù)時，你標(biāo)注了該函數(shù)的定義域了嗎？
函數(shù)與其反函數(shù)之間的一個有用的結(jié)論：原函數(shù)與反函數(shù)圖象的交點不全在y=x上（例如：）；只能理解為在x+a處的函數(shù)值。
原函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則一定存在反函數(shù)，且反函數(shù)也單調(diào)遞增；但一個函數(shù)存在反函數(shù)，此函數(shù)不一定單調(diào)．判斷一個函數(shù)的奇偶性時，你注意到函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱這個必要非充分條件了嗎？
10．一定要注意“>0(或<0)是該函數(shù)在給定區(qū)間上單調(diào)遞增（減）的必要條件。
你知道函數(shù)的單調(diào)區(qū)間嗎？（該函數(shù)在或上單調(diào)遞增；在或上單調(diào)遞減）這可是一個應(yīng)用廣泛的函數(shù)！
切記定義在R上的奇函數(shù)y=f(x)必定過原點。
抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性一定要緊扣函數(shù)性質(zhì)利用單調(diào)性、奇偶性的定義求解。同時，要領(lǐng)會借助函數(shù)單調(diào)性利用不等關(guān)系證明等式的重要方法：f(a)≥b且f(a)≤b(f(a)=b。
對數(shù)函數(shù)問題時，你注意到真數(shù)與底數(shù)的限制條件了嗎？（真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1）字母底數(shù)還需討論。
數(shù)的換底公式及它的變形，你掌握了嗎？（）
你還記得對數(shù)恒等式嗎？（）
“實系數(shù)一元二次方程有實數(shù)解”轉(zhuǎn)化為“”，你是否注意到必須；若原題中沒有指出是“二次”方程、函數(shù)或不等式，你是否考慮到二次項系數(shù)可能為零的情形？例如：對一切恒成立，求a的取值范圍，你討論了a＝2的情況了嗎？
等差數(shù)列中的重要性質(zhì)：；若，則；成等差。
等比數(shù)列中的重要性質(zhì)：；若，則；成等比。
你是否注意到在應(yīng)用等比數(shù)列求前n項和時，需要分類討論．（時，；時，）
等差數(shù)列的一個性質(zhì)：設(shè)是數(shù)列的前n項和，為等差數(shù)列的充要條件是
（a, b為常數(shù)），其公差是2a。
你知道怎樣的數(shù)列求和時要用“錯位相減”法嗎？（若，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求的前n項的和）
用求數(shù)列的通項公式時，an一般是分段形式對嗎？你注意到了嗎？
你還記得裂項求和嗎？（如）
疊加法：
疊乘法：
在解三角問題時，你注意到正切函數(shù)、余切函數(shù)的定義域了嗎？你注意到正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性了嗎？在△ABC中，sinA>sinB(A>B對嗎?
一般說來，周期函數(shù)加絕對值或平方，其周期減半．（如的周期都是，但及的周期為,）
函數(shù)是周期函數(shù)嗎？（都不是）
正弦曲線、余弦曲線、正切曲線的對稱軸、對稱中心你知道嗎？
在三角中，你知道1等于什么嗎？（
這些統(tǒng)稱為1的代換)，常數(shù)“1”的種種代換有著廣泛的應(yīng)用．
在三角的恒等變形中，要特別注意角的各種變換．（如 等）
你還記得三角化簡題的要求是什么嗎？項數(shù)最少、函數(shù)種類最少、分母不含三角函數(shù)、且能求出值的式子，一定要算出值來）
你還記得三角化簡的通性通法嗎？（從函數(shù)名、角、運算三方面進(jìn)行差異分析，常用的技巧有：切割化弦、降冪公式、用三角公式轉(zhuǎn)化出現(xiàn)特殊角. 異角化同角，異名化同名，高次化低次）
你還記得某些特殊角的三角函數(shù)值嗎？
（）
你還記得在弧度制下弧長公式和扇形面積公式嗎？()
輔助角公式：(其中角所在的象限由a, b 的符號確定，角的值由確定)在求最值、化簡時起著重要作用.
在用反三角函數(shù)表示直線的傾斜角、兩向量的夾角、兩條異面直線所成的角等時，你是否注意到它們各自的取值范圍及意義？
①異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的取值范圍依次是；
②直線的傾斜角、到的角、與的夾角的取值范圍依次是；
③向量的夾角的取值范圍是[0，π]
若，，則，的充要條件是什么？
如何求向量的模？在方向上的投影為什么？
若與的夾角θ，且θ為鈍角，則cosθ<0對嗎？（必須去掉反向的情況）
你還記得平移公式是什么？（這可是平移問題最基本的方法）；還可以用結(jié)論：把y=f(x)圖象向左移動|h|個單位，向上移動|k|個單位，則平移向量是=(-|h|，|k|)。
不等式的解集的規(guī)范書寫格式是什么？（一般要寫成集合的表達(dá)式）
分式不等式的一般解題思路是什么？（移項通分）
含有兩個絕對值的不等式如何去絕對值？(兩邊平方或分類討論)
利用重要不等式 以及變式等求函數(shù)的最值時，你是否注意到a，b（或a ，b非負(fù)），且“等號成立”時的條件？
在解含有參數(shù)的不等式時，怎樣進(jìn)行討論？（特別是指數(shù)和對數(shù)的底或）討論完之后，要寫出：綜上所述，原不等式的解是……．
解含參數(shù)的不等式的通法是“定義域為前提，函數(shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵．”
恒成立不等式問題通常解決的方法：借助相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解，其主要技巧有數(shù)形結(jié)合法，分離變量法，換元法。
教材中“直線和圓”與“圓錐曲線”兩章內(nèi)容體現(xiàn)出解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質(zhì)。（04上海高考試題）
直線方程的幾種形式：點斜式、斜截式、兩點式、截矩式、一般式．以及各種形式的局限性，（如點斜式不適用于斜率不存在的直線，所以設(shè)方程的點斜式或斜截式時，就應(yīng)該先考慮斜率不存在的情形）。
設(shè)直線方程時，一般可設(shè)直線的斜率為k，你是否注意到直線垂直于x軸時，斜率k不存在的情況？（例如：一條直線經(jīng)過點，且被圓截得的弦長為8，求此弦所在直線的方程。該題就要注意，不要漏掉x+3=0這一解.）
簡單線性規(guī)劃問題的可行域求作時，要注意不等式表示的區(qū)域是相應(yīng)直線的上方、下方，是否包括邊界上的點。利用特殊點進(jìn)行判斷）。
對不重合的兩條直線，，有
； ．
直線在坐標(biāo)軸上的截矩可正，可負(fù)，也可為0。
直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，直線方程可以理解為，但不要忘記當(dāng)a=0時，直線y=kx在兩條坐標(biāo)軸上的截距都是0，也是截距相等。
處理直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法：（1）點到直線的距離；（2）直線方程與圓的方程聯(lián)立，判別式法。一般來說，前者更簡捷。
處理圓與圓的位置關(guān)系，可用兩圓的圓心距與半徑之間的關(guān)系。
在圓中，注意利用半徑、半弦長、及弦心距組成的直角三角形。
定比分點的坐標(biāo)公式是什么？（起點，中點，分點以及值可要搞清）在利用定比分點解題時，你注意到了嗎？
曲線系方程你知道嗎？直線系方程？圓系方程？共焦點的橢圓系，共漸近線的雙曲線系？
兩圓相交所得公共弦方程是兩圓方程相減消去二次項所得。x0x+y0y=r2 表示過圓x2+y2=r2上一點（x0，y0）的切線，若點（x0，y0）在已知圓外，x0x+y0y=r2 表示什么？（切點弦）
橢圓方程中三參數(shù)a、b、c的滿足a2+b2=c2對嗎？雙曲線方程中三參數(shù)應(yīng)滿足什么關(guān)系？
橢圓中，注意焦點、中心、短軸端點所組成的直角三角形。
橢圓和雙曲線的焦半徑公式你記得嗎？
在解析幾何中，研究兩條直線的位置關(guān)系時，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中一般提到的兩條直線可以理解為它們不重合。
在利用圓錐曲線統(tǒng)一定義解題時，你是否注意到定義中的定比的分子分母的順序？
在用圓錐曲線與直線聯(lián)立求解時，消元后得到的方程中要注意：二次項的系數(shù)是否為零？判別式的限制．（求交點，弦長，中點，斜率，對稱，存在性問題都在下進(jìn)行）。
通徑是拋物線的所有焦點弦中最短的弦。
過拋物線y2=2px(p>0)焦點的弦交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)，則，，焦半徑公式|AB|=x1+x2+p。
若A(x1,y1), B(x2,y2)是二次曲線C：F(x,y)=0的弦的兩個端點，則F(x1,y1)=0 且F(x2,y2)=0。涉及弦的中點和斜率時，常用點差法作F(x1,y1)-F(x2,y2)=0求得弦AB的中點坐標(biāo)與弦AB的斜率的關(guān)系。
作出二面角的平面角主要方法是什么？（定義法、三垂線定理法、垂面法）
求點到面的距離的常規(guī)方法是什么？（直接法、體積變換法、向量法）
求兩點間的球面距離關(guān)鍵是求出球心角。
立體幾何中常用一些結(jié)論：棱長為的正四面體的高為，體積為V=。
面積射影定理，其中表示射影面積，表示原面積。
異面直線所成角利用“平移法”求解時，一定要注意平移后所得角是所求角或其補角。
平面圖形的翻折、立體圖形的展開等一類問題，要注意翻折、展開前后有關(guān)幾何元素的“不變量”與“不變性”。
棱體的頂點在底面的射影何時為底面的內(nèi)心、外心、垂心、重心？
解排列組合問題的規(guī)律是：元素分析法、位置分析法——相鄰問題捆綁法；不鄰問題插空法；多排問題單排法；定位問題優(yōu)先法；多元問題分類法；有序分配問題法；選取問題先排后排法；至多至少問題間接法。
二項式定理中，“系數(shù)最大的項”、“項的系數(shù)的最大值”、“項的二項式系數(shù)的最大值”是同一個概念嗎？
求二項展開式各項系數(shù)代數(shù)和的有關(guān)問題中的“賦值法”、“轉(zhuǎn)化法”，求特定項的“通項公式法”、“結(jié)構(gòu)分析法”你會用嗎？
注意二項式的一些特性（如；）。
公式P（A+B）=P（A）+P（B），P（AB）=P（A）P（B）的適用條件是什么？
簡單隨機抽樣和分層抽樣的共同點是每個個體被抽到的概率相等。
=0是函數(shù)y=f(x)在x=x0處有極值的必要不充分條件。
注意曲線上某點處的導(dǎo)數(shù)值就是切線的斜率。（導(dǎo)數(shù)的幾何意義）
解直答題（選擇題和填空題）的特殊方法是什么？(直接法，數(shù)形結(jié)合法，特殊化法，推理分析法，排除法，驗證法，估算法等等)
解答應(yīng)用型問題時，最基本要求是什么？（審題、找準(zhǔn)題目中的關(guān)鍵詞，設(shè)未知數(shù)、列出函數(shù)關(guān)系式、代入初始條件、注明單位、做答）
求軌跡方程的常用方法有：直接法、待定系數(shù)法、定義法、轉(zhuǎn)移法（相關(guān)點法）、參數(shù)法等。
由于高考采取電腦閱卷，所以一定要努力使字跡工整，卷面整潔，切記在規(guī)定區(qū)域答題。
保持良好的心態(tài)，是正常發(fā)揮、高考取勝的關(guān)鍵！
立體幾何題型與方法(理科)
1．平面
平面的基本性質(zhì)：掌握三個公理及推論，會說明共點、共線、共面問題。
（1）.證明點共線的問題，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點是某兩個平面的公共點（依據(jù)：由點在線上，線在面內(nèi) ，推出點在面內(nèi)）， 這樣可根據(jù)公理2證明這些點都在這兩個平面的公共直線上。
（2）.證明共點問題，一般是先證明兩條直線交于一點，再證明這點在第三條直線上，而這一點是兩個平面的公共點，這第三條直線是這兩個平面的交線。
（3）.證共面問題一般先根據(jù)一部分條件確定一個平面，然后再證明其余的也在這個平面內(nèi)，或者用同一法證明兩平面重合
2. 空間直線.
（1）. 空間直線位置關(guān)系三種：相交、平行、異面. 相交直線：共面有且僅有一個公共點；平行直線：共面沒有公共點；異面直線：不同在任一平面內(nèi)，無公共點
[注]：①兩條異面直線在同一平面內(nèi)射影一定是相交的兩條直線.（×）（也可能兩條直線平行，也可能是點和直線等）
②直線在平面外，指的位置關(guān)系是平行或相交
③若直線a、b異面，a平行于平面，b與的關(guān)系是相交、平行、在平面內(nèi).
④兩條平行線在同一平面內(nèi)的射影圖形是一條直線或兩條平行線或兩點.
⑤在平面內(nèi)射影是直線的圖形一定是直線.（×）（射影不一定只有直線，也可以是其他圖形）
⑥在同一平面內(nèi)的射影長相等，則斜線長相等.（×）（并非是從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段）
⑦是夾在兩平行平面間的線段，若，則的位置關(guān)系為相交或平行或異面.
⑧異面直線判定定理：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線.（不在任何一個平面內(nèi)的兩條直線）
（2）. 平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.
等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等（如右圖）.
（直線與直線所成角）
（向量與向量所成角
推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等.
（3）. 兩異面直線的距離：公垂線段的長度.
空間兩條直線垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直.
[注]：是異面直線，則過外一點P，過點P且與都平行平面有一個或沒有，但與距離相等的點在同一平面內(nèi). （或在這個做出的平面內(nèi)不能叫與平行的平面）
3. 直線與平面平行、直線與平面垂直.
（1）. 空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內(nèi).
（2）. 直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.（“線線平行線面平行”）
[注]：①直線與平面內(nèi)一條直線平行，則∥. （×）（平面外一條直線）
②直線與平面內(nèi)一條直線相交，則與平面相交. （×）（平面外一條直線）
③若直線與平面平行，則內(nèi)必存在無數(shù)條直線與平行. （√）（不是任意一條直線，可利用平行的傳遞性證之）
④兩條平行線中一條平行于一個平面，那么另一條也平行于這個平面. （×）（可能在此平面內(nèi)）
⑤平行于同一個平面的兩直線平行.（×）（兩直線可能相交或者異面）
⑥直線與平面、所成角相等，則∥.（×）（、可能相交）
（3）. 直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行.（“線面平行線線平行”）
（4）. 直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過一點有且只有一條直線和一個平面垂直，過一點有且只有一個平面和一條直線垂直.
若⊥，⊥，得⊥（三垂線定理），
三垂線定理的逆定理亦成立.
直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個平面.（“線線垂直線面垂直”）
直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.
性質(zhì)：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行.
（5）.a.垂線段和斜線段長定理：從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中，①射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段較長；②相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段射影較長；③垂線段比任何一條斜線段短.
[注]：垂線在平面的射影為一個點. [一條直線在平面內(nèi)的射影是一條直線.（×）]
b.射影定理推論：如果一個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那么這點在平面內(nèi)的射影在這個角的平分線上。
4. 平面平行與平面垂直.
（1）. 空間兩個平面的位置關(guān)系：相交、平行.
（2）. 平面平行判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.（“線面平行面面平行”）
推論：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行；平行于同一平面的兩個平面平行.
[注]：一平面內(nèi)的任一直線平行于另一平面.
（3）. 兩個平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平面平行同時和第三個平面相交，那么它們交線平行.（“面面平行線線平行”）
（4）. 兩個平面垂直判定一：兩個平面所成的二面角是直二面角，則兩個平面垂直.
兩個平面垂直判定二：如果一條直線與一個平面垂直，那么經(jīng)過這條直線的平面垂直于這個平面.（“線面垂直面面垂直”）
注：如果兩個二面角的平面分別對應(yīng)互相垂直，則兩個二面角沒有什么關(guān)系.
（5）. 兩個平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個平面.
推論：如果兩個相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.
簡證：如圖，在平面內(nèi)過O作OA、OB分別垂直于，
因為則.所以結(jié)論成立
（6）. 兩異面直線任意兩點間的距離公式：（為銳角取減，為鈍角取加，綜上，都取減則必有）
（1）. a.最小角定理：（為最小角，如圖）
b.最小角定理的應(yīng)用（∠PBN為最小角）
簡記為：成角比交線夾角一半大，且又比交線夾角補角一半長，一定有4條.
成角比交線夾角一半大，又比交線夾角補角小，一定有2條.
成角比交線夾角一半大，又與交線夾角相等，一定有3條或者2條.
成角比交線夾角一半小，又與交線夾角一半小，一定有1條或者沒有.
5. 棱柱. 棱錐
（1）. 棱柱.
a.①直棱柱側(cè)面積：（為底面周長，是高）該公式是利用直棱柱的側(cè)面展開圖為矩形得出的.
②斜棱住側(cè)面積：（是斜棱柱直截面周長，是斜棱柱的側(cè)棱長）該公式是利用斜棱柱的側(cè)面展開圖為平行四邊形得出的.
b.{四棱柱}{平行六面體}{直平行六面體}{長方體}{正四棱柱}{正方體}.
{直四棱柱}{平行六面體}={直平行六面體}.
c.棱柱具有的性質(zhì)：
①棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等；直棱柱的各個側(cè)面都是矩形；正棱柱的各個側(cè)面都是全等的矩形.
②棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是對應(yīng)邊互相平行的全等多邊形.
③過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形.
注：①棱柱有一個側(cè)面和底面的一條邊垂直可推測是直棱柱. （×）
（直棱柱不能保證底面是矩形,可如圖）
②（直棱柱定義）棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直.
d.平行六面體：
定理一：平行六面體的對角線交于一點，并且在交點處互相平分.
[注]：四棱柱的對角線不一定相交于一點.
定理二：長方體的一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱長的平方和.
推論一：長方體一條對角線與同一個頂點的三條棱所成的角為，則 .
推論二：長方體一條對角線與同一個頂點的三各側(cè)面所成的角為，則.
[注]：①有兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四棱柱的兩個平行的平面可以為矩形）
②各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（應(yīng)是各側(cè)面都是正方形的直棱柱才行）
③對角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是長方體.（×）（只能推出對角線相等，推不出底面為矩形）
④棱柱成為直棱柱的一個必要不充分條件是棱柱有一條側(cè)棱與底面的兩條邊垂直. （兩條邊可能相交，可能不相交，若兩條邊相交，則應(yīng)是充要條件）
（2）. 棱錐：棱錐是一個面為多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形.
[注]：①一個三棱錐四個面可以都為直角三角形.
②一個棱柱可以分成等體積的三個三棱錐；所以.
a.①正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點在底面的射影為底面正多邊形的中心.
[注]：i. 正四棱錐的各個側(cè)面都是全等的等腰三角形.（不是等邊三角形）
ii. 正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正三角形，側(cè)棱與底棱不一定相等
iii. 正棱錐定義的推論：若一個棱錐的各個側(cè)面都是全等的等腰三角形（即側(cè)棱相等）；底面為正多邊形.
②正棱錐的側(cè)面積：（底面周長為，斜高為）
③棱錐的側(cè)面積與底面積的射影公式：（側(cè)面與底面成的二面角為）
附：以知⊥，，為二面角.
則①，②，③ ①②③得.
注：S為任意多邊形的面積（可分別求多個三角形面積和的方法）.
b.棱錐具有的性質(zhì)：①正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高）.
②正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個直角三角形.
c.特殊棱錐的頂點在底面的射影位置：
①棱錐的側(cè)棱長均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.
②棱錐的側(cè)棱與底面所成的角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.
③棱錐的各側(cè)面與底面所成角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.
④棱錐的頂點到底面各邊距離相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.
⑤三棱錐有兩組對棱垂直，則頂點在底面的射影為三角形垂心.
⑥三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則頂點在底面上的射影為三角形的垂心.
⑦每個四面體都有外接球，球心0是各條棱的中垂面的交點，此點到各頂點的距離等于球半徑；
⑧每個四面體都有內(nèi)切球，球心是四面體各個二面角的平分面的交點，到各面的距離等于半徑.
[注]：i. 各個側(cè)面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱錐是正四棱錐.（×）（各個側(cè)面的等腰三角形不知是否全等）
ii. 若一個三棱錐，兩條相對棱互相垂直，則第三組相對棱必然垂直.
簡證：AB⊥CD，AC⊥BD BC⊥AD. 令
得，已知
則.
iii. 空間四邊形OABC且四邊長相等，則順次連結(jié)各邊的中點的四邊形一定是矩形.
iv. 若是四邊長與對角線分別相等，則順次連結(jié)各邊的中點的四邊是一定是正方形.
簡證：取AC中點，則平面90°易知EFGH為平行四邊形EFGH為長方形.若對角線等，則
為正方形.
（3）. 球：
a.球的截面是一個圓面.
①球的表面積公式：.②球的體積公式：.
b.緯度、經(jīng)度：
①緯度：地球上一點的緯度是指經(jīng)過點的球半徑與赤道面所成的角的度數(shù).
②經(jīng)度：地球上兩點的經(jīng)度差，是指分別經(jīng)過這兩點的經(jīng)線與地軸所確定的二個半平面的二面角的度數(shù)，特別地，當(dāng)經(jīng)過點的經(jīng)線是本初子午線時，這個二面角的度數(shù)就是點的經(jīng)度.
附：①圓柱體積：（為半徑，為高）
②圓錐體積：（為半徑，為高）
③錐體體積：（為底面積，為高）
（1）. ①內(nèi)切球：當(dāng)四面體為正四面體時，設(shè)邊長為a，，，，得.
注：球內(nèi)切于四面體：。
②外接球：球外接于正四面體，可如圖建立關(guān)系式.
6. 空間向量.
（1）. a.共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合.
注：①若與共線，與共線，則與共線.（×） [當(dāng)時，不成立]
②向量共面即它們所在直線共面.（×） [可能異面]
③若∥，則存在小任一實數(shù)，使.（×）[與不成立]
④若為非零向量，則.（√）[這里用到之積仍為向量]
b.共線向量定理：對空間任意兩個向量， ∥的充要條件是存在實數(shù)（具有唯一性），使.
c.共面向量：若向量使之平行于平面或在內(nèi)，則與的關(guān)系是平行，記作∥.
d.①共面向量定理：如果兩個向量不共線，則向量與向量共面的充要條件是存在實數(shù)對x、y使.
②空間任一點O和不共線三點A、B、C，則是PABC四點共面的充要條件.
（簡證：P、A、B、C四點共面）
注：①②是證明四點共面的常用方法.
（2）. 空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使.
推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P, 都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z使 (這里隱含x+y+z≠1).
注：設(shè)四面體ABCD的三條棱，其
中Q是△BCD的重心，則向量用即證.
對空間任一點O和不共線的三點A、B、C，滿足，
則四點P、A、B、C是共面
（3）.a.空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的x軸是橫軸（對應(yīng)為橫坐標(biāo)），y軸是縱軸（對應(yīng)為縱坐標(biāo)），z軸是豎軸（對應(yīng)為豎坐標(biāo)）.
①令=(a1,a2,a3),，則
，， ，
∥ 。
。
(向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：)
空間兩個向量的夾角公式
（a＝，b＝）。
②空間兩點的距離公式：.
b.法向量：若向量所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果那么向量叫做平面的法向量.
c.向量的常用方法：
①利用法向量求點到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中，則點B到平面的距離為.
②.異面直線間的距離 (是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點，為間的距離).
③.直線與平面所成角(為平面的法向量).
④.利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)分別是二面角中平面的法向量，則所成的角就是所求二面角的平面角或其補角大小（方向相同，則為補角，反方，則為其夾角）.
二面角的平面角或（，為平面，的法向量）.
d.證直線和平面平行定理：已知直線平面，，且C、D、E三點不共線，則a∥的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對使.（常設(shè)求解若存在即證畢，若不存在，則直線AB與平面相交）.
７．知識網(wǎng)絡(luò)
經(jīng)典例題剖析
考點一 空間向量及其運算
1. 已知三點不共線，對平面外任一點，滿足條件，
試判斷：點與是否一定共面？
解析：要判斷點與是否一定共面，即是要判斷是否存在有序?qū)崝?shù)對使或?qū)臻g任一點，有。
答案：由題意：，
∴，
∴，即，
所以，點與共面．
點評：在用共面向量定理及其推論的充要條件進(jìn)行向量共面判斷的時候，首先要選擇恰當(dāng)?shù)某湟獥l件形式，然后對照形式將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化運算．
2. 如圖，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，點，分別在對角線，上，且，．求證：平面．
解析：要證明平面，只要證明向量可以用平面內(nèi)的兩個不共線的向量和線性表示．
答案:證明：如圖，因為在上，且，所以．同理，又，所以
．又與不共線，根據(jù)共面向量定理，可知，，共面．由于不在平面內(nèi)，所以平面．
點評：空間任意的兩向量都是共面的．與空間的任兩條直線不一定共面要區(qū)別開.
考點二 證明空間線面平行與垂直
3. 如圖, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，點D是AB的中點， （I）求證：AC⊥BC1； （II）求證：AC 1//平面CDB1；
解析：（1）證明線線垂直方法有兩類：一是通過三垂線定理或逆定理證明，二是通過線面垂直來證明線線垂直；（2）證明線面平行也有兩類：一是通過線線平行得到線面平行，二是通過面面平行得到線面平行.
答案:解法一：（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三邊長AC=3，BC=4AB=5，
∴ AC⊥BC，且BC1在平面ABC內(nèi)的射影為BC，∴ AC⊥BC1；
（II）設(shè)CB1與C1B的交點為E，連結(jié)DE，∵ D是AB的中點，E是BC1的中點，
∴ DE//AC1，∵ DE平面CDB1，AC1平面CDB1，
∴ AC1//平面CDB1；
解法二：∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三邊長AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C1C兩兩垂直，如圖，以C為坐標(biāo)原點，直線CA、CB、C1C分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（，2,0）
（1）∵＝（－3,0，0），＝（0，－4,0），∴?＝0，∴AC⊥BC1.
（2）設(shè)CB1與C1B的交戰(zhàn)為E，則E（0,2，2）.∵＝（－，0,2），＝（－3,0，4），∴，∴DE∥AC1.
點評：2．平行問題的轉(zhuǎn)化：
面面平行線面平行線線平行；
主要依據(jù)是有關(guān)的定義及判定定理和性質(zhì)定理．?
4. （2007武漢3月）如圖所示，四棱錐P—ABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M為PC的中點。
(1)求證：BM∥平面PAD；
(2)在側(cè)面PAD內(nèi)找一點N，使MN平面PBD；
(3)求直線PC與平面PBD所成角的正弦。
解析：本小題考查直線與平面平行，直線與平面垂直，
二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和推理論證能力.
答案：（1）是的中點，取PD的中點，則
，又
四邊形為平行四邊形
∥，
∥ （4分）
（2）以為原點，以、、 所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，
在平面內(nèi)設(shè)，，， 由
由
是的中點，此時 （8分）
（3）設(shè)直線與平面所成的角為
，，設(shè)為

故直線與平面所成角的正弦為 （12分）
解法二：
（1）是的中點，取PD的中點，則
，又
四邊形為平行四邊形
∥，
∥ （4分）
（2）由（1）知為平行四邊形
，又
同理，
為矩形 ∥，，又

作故
交于，在矩形內(nèi)，，
， 為的中點
當(dāng)點為的中點時， （8分）
（3）由（2）知為點到平面的距離，為直線與平面所成的角，設(shè)為，
直線與平面所成的角的正弦值為
點評：（1）證明線面平行只需證明直線與平面內(nèi)一條直線平行即可；（2）求斜線與平面所成的角只需在斜線上找一點作已知平面的垂線，斜線和射影所成的角，即為所求角；（3）證明線面垂直只需證此直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直變可.這些從證法中都能十分明顯地體現(xiàn)出來
考點三 求空間圖形中的角與距離
根據(jù)定義找出或作出所求的角與距離，然后通過解三角形等方法求值，注意“作、證、算”的有機統(tǒng)一.解題時注意各種角的范圍：異面直線所成角的范圍是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和補形法；直線與平面所成角的范圍是0°≤θ≤90°，其解法是作垂線、找射影；二面角0°≤θ≤180°，其方法是：①定義法；②三垂線定理及其逆定理；③垂面法 另外也可借助空間向量求這三種角的大小.
5. （四川省成都市2007屆高中畢業(yè)班第三次診斷性檢測）如圖，四棱錐中，側(cè)面是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面是的菱形，為的中點.
(Ⅰ)求與底面所成角的大小；
(Ⅱ)求證：平面；
(Ⅲ)求二面角的余弦值.
解析：求線面角關(guān)鍵是作垂線，找射影，求異面直線所成的角采用平
移法 求二面角的大小也可應(yīng)用面積射影法，比較好的方法是向量法
答案：(I)取DC的中點O，由ΔPDC是正三角形，有PO⊥DC．
又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O．
連結(jié)OA，則OA是PA在底面上的射影．∴∠PAO就是PA與底面所成角．
∵∠ADC=60°，由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形，從而求得OA=OP=．
∴∠PAO=45°．∴PA與底面ABCD可成角的大小為45°． ……6分
(II)由底面ABCD為菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC．
建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則, ．
由M為PB中點，∴．
∴．
∴，
．
∴PA⊥DM，PA⊥DC． ∴PA⊥平面DMC． ……4分
(III)．令平面BMC的法向量，
則，從而x+z=0； ……①, ，從而． ……②
由①、②，取x=?1，則． ∴可取．
由(II)知平面CDM的法向量可取，
∴． ∴所求二面角的余弦值為－． ……6分
法二：（Ⅰ）方法同上
（Ⅱ）取的中點，連接，由（Ⅰ）知，在菱形中，由于，
則，又，則，即，
又在中，中位線，，則，
則四邊形為，所以，在中，，
則，故而，
則
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，則為二面角的平面角，
在中，易得，，
故，所求二面角的余弦值為
點評：本題主要考查異面直線所成的角、線面角及二面角的一般求法，綜合性較強 用平移法求異面直線所成的角，利用三垂線定理求作二面角的平面角，是常用的方法.
6. （2007河北省唐山市三模）如圖，在長方體中，點在線段上.
（Ⅰ）求異面直線與所成的角；
（Ⅱ）若二面角的大小為，求點到平面的距離.
解析：本題涉及立體幾何線面關(guān)系的有關(guān)知識, 本題實質(zhì)上求角度和距離,在求此類問題中，要將這些量歸結(jié)到三角形中,最好是直角三角形,這樣有利于問題的解決，此外用向量也是一種比較好的方法.
答案：解法一：（Ⅰ）連結(jié)。由已知，是正方形，有。
∵平面，∴是在平面內(nèi)的射影。
根據(jù)三垂線定理，得，則異面直線與所成的角為。
作，垂足為，連結(jié)，則
所以為二面角的平面角，.
于是
易得，所以，又，所以。
設(shè)點到平面的距離為.
∵即，
∴，即，∴.
故點到平面的距離為。
解法二：分別以為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系.
（Ⅰ）由，得
設(shè)，又，則。
∵∴
則異面直線與所成的角為。
（Ⅱ）為面的法向量，設(shè)為面的法向量，則
∴. ①
由，得，則，即
∴ ②
由①、②，可取
又，所以點到平面的距離
。
點評：立體幾何的內(nèi)容就是空間的判斷、推理、證明、角度和距離、面積與體積的計算，這是立體幾何的重點內(nèi)容,本題實質(zhì)上求角度和距離,在求此類問題中,盡量要將這些量歸結(jié)于三角形中,最好是直角三角形,這樣計算起來,比較簡單,此外用向量也是一種比較好的方法,不過建系一定要恰當(dāng),這樣坐標(biāo)才比較容易寫出來.
考點四 探索性問題
7. （2007年4月濟南市）如圖所示：邊長為2的正方形ABFC和高為2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE=，ED//AF且∠DAF=90°。
（1）求BD和面BEF所成的角的余弦；
（2）線段EF上是否存在點P使過P、A、C三點的平面和直線DB垂直，若存在，求EP與PF的比值；若不存在，說明理由。
解析：1.先假設(shè)存在，再去推理，下結(jié)論： 2.運用推理證明計算得出結(jié)論，或先利用條件特例得出結(jié)論，然后再根據(jù)條件給出證明或計算。
答案：（1）因為AC、AD、AB兩兩垂直，建立如圖坐標(biāo)系，
則B（2，0，0），D（0，0，2），
E（1，1，2），F(xiàn)（2，2，0），
則
設(shè)平面BEF的法向量
，則可取，
∴向量所成角的余弦為
。
即BD和面BEF所成的角的余弦。
（2）假設(shè)線段EF上存在點P使過P、A、C三點的平面和直線DB垂直，不妨設(shè)EP與PF的比值為m，則P點坐標(biāo)為
則向量，向量
所以。
點評：本題考查了線線關(guān)系，線面關(guān)系及其相關(guān)計算，本題采用探索式、開放式設(shè)問方式，對學(xué)生靈活運用知識解題提出了較高要求。
8. (2007安徽·文) 如圖，在三棱錐中，，，是的中點，且，．
（I）求證：平面平面；
（II）試確定角的值，使得直線與平面所成的角為．
解析：本例可利用綜合法證明求解，也可用向量法求解.
答案:解法1：（Ⅰ），是等腰三角形，又是的中點，
，又底面．．于是平面．
又平面，平面平面．
（Ⅱ） 過點在平面內(nèi)作于，則由（Ⅰ）知平面．
連接，于是就是直線與平面所成的角．
依題意，所以
在中，；
在中，，
．
，．
故當(dāng)時，直線與平面所成的角為．
解法2：（Ⅰ）以所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，
于是，，，．
從而，即．
同理，
即．又，平面．
又平面．
平面平面．
（Ⅱ）設(shè)平面的一個法向量為，
則由．
得
可取，又，
于是，
即，．
故交時，直線與平面所成的角為．
解法3：（Ⅰ）以點為原點，以所在的直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，
于是，，．
從而，即．
同理，即．
又， 平面．
又平面， 平面平面．
（Ⅱ）設(shè)平面的一個法向量為，
則由，得
可取，又，
于是，
即． 故角時，
即直線與平面所成角為．
點評：證明兩平面垂直一般用面面垂直的判定定理,求線面角一是找線在平面上的射影在直角三角形中求解,但運用更多的是建空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求解
考點五 折疊、展開問題
9．（2006年遼寧高考）已知正方形 、分別是、的中點,將沿折起,如圖所示,記二面角的大小為
(I) 證明平面;
(II)若為正三角形,試判斷點在平面內(nèi)的射影是否在直線上,證明你的結(jié)論,并求角的余弦值
分析:充分發(fā)揮空間想像能力，重點抓住不變的位置和數(shù)量關(guān)系，借助模型圖形得出結(jié)論，并給出證明.
解: (I)證明:EF分別為正方形ABCD得邊AB、CD的中點,
EB//FD,且EB=FD,
四邊形EBFD為平行四邊形
BF//ED.
,平面
(II)如右圖,點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上,過點A作AG垂直于平面BCDE,垂足為G,連結(jié)GC,GD
ACD為正三角形,AC=AD.
CG=GD.
G在CD的垂直平分線上, 點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上,
過G作GH垂直于ED于H,連結(jié)AH,則,所以為二面角A-DE-C的平面角 即.
設(shè)原正方體的邊長為2a,連結(jié)AF,在折后圖的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,即AEF為直角三角形, .
在RtADE中, .
,
點評：在平面圖形翻折成空間圖形的這類折疊問題中，一般來說，位于同一平面內(nèi)的幾何元素相對位置和數(shù)量關(guān)系不變：位于兩個不同平面內(nèi)的元素，位置和數(shù)量關(guān)系要發(fā)生變化，翻折問題常用的添輔助線的方法是作棱的垂線。關(guān)鍵要抓不變的量.
考點六 球體與多面體的組合問題
10．設(shè)棱錐M-ABCD的底面是正方形，且MA＝MD，MA⊥AB，如果ΔAMD的面積為1，試求能夠放入這個棱錐的最大球的半徑.
分析：關(guān)鍵是找出球心所在的三角形，求出內(nèi)切圓半徑.
解： ∵AB⊥AD，AB⊥MA，
∴AB⊥平面MAD，
由此，面MAD⊥面AC.
記E是AD的中點，從而ME⊥AD.
∴ME⊥平面AC，ME⊥EF.
設(shè)球O是與平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球.
不妨設(shè)O∈平面MEF，于是O是ΔMEF的內(nèi)心.
設(shè)球O的半徑為r，則r＝
設(shè)AD＝EF＝a,∵SΔAMD＝1.
∴ME＝.MF＝,
r＝≤＝-1。
當(dāng)且僅當(dāng)a＝，即a＝時，等號成立.
∴當(dāng)AD＝ME＝時，滿足條件的球最大半徑為-1.
點評：涉及球與棱柱、棱錐的切接問題時一般過球心及多面體中的特殊點或線作截面，把空間問題化歸為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系。注意多邊形內(nèi)切圓半徑與面積和周長間的關(guān)系；多面體內(nèi)切球半徑與體積和表面積間的關(guān)系。
方法總結(jié) 高考預(yù)測
（一）方法總結(jié)
1．位置關(guān)系：
（1）．兩條異面直線相互垂直
證明方法：證明兩條異面直線所成角為90o；證明兩條異面直線的方向量相互垂直。
（2）．直線和平面相互平行
證明方法：證明直線和這個平面內(nèi)的一條直線相互平行；證明這條直線的方向向量和這個平面內(nèi)的一個向量相互平行；證明這條直線的方向向量和這個平面的法向量相互垂直。
（3）．直線和平面垂直
證明方法：證明直線和平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，證明直線的方向量與這個平面內(nèi)不共線的兩個向量都垂直；證明直線的方向量與這個平面的法向量相互平行。
（4）．平面和平面相互垂直
證明方法：證明這兩個平面所成二面角的平面角為90o；證明一個平面內(nèi)的一條直線垂直于另外一個平面；證明兩個平面的法向量相互垂直。
2．求距離：
求距離的重點在點到平面的距離，直線到平面的距離和兩個平面的距離可以轉(zhuǎn)化成點到平面的距離，一個點到平面的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個點到這個平面的距離。
（1）．兩條異面直線的距離
求法：利用公式（其中A、B分別為兩條異面直線上的一點，為這兩條異面直線的法向量）
（2）．點到平面的距離
求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。等體積法。向量法，利用公式（其中A為已知點，B為這個平面內(nèi)的任意一點，這個平面的法向量）
3．求角
（1）．兩條異面直線所成的角
求法：先通過其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角，然后通過解三角形去求得；通過兩條異面直線的方向量所成的角來求得，但是注意到異面直線所成角得范圍是，向量所成的角范圍是，如果求出的是鈍角，要注意轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的銳角。
（2）．直線和平面所成的角
求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。向量法，先求直線的方向量于平面的法向量所成的角α，那么所要求的角為或。
（3）．平面與平面所成的角
求法：“一找二證三求”，找出這個二面角的平面角，然后再來證明我們找出來的這個角是我們要求的二面角的平面角，最后就通過解三角形來求。通過射影面積來求（在其中一個平面內(nèi)找出一個三角形，然后找這個三角形在另外一個平面的射影，那么這個三角形的射影面積與原三角形面積之比即為cosα，注意到我們要求的角為α或π－α）；向量法，先求兩個平面的法向量所成的角為α，那么這兩個平面所成的二面角的平面角為α或π－α。
我們現(xiàn)在來解決立體幾何的有關(guān)問題的時候，注意到向量知識的應(yīng)用，如果可以比較容易建立坐標(biāo)系，找出各點的坐標(biāo)，那么剩下的問題基本上就可以解決了，如果建立坐標(biāo)系不好做的話，有時求距離、角的時候也可以用向量，運用向量不是很方便的時候，就用傳統(tǒng)的方法了！
4．解題注意點
（1）．我們現(xiàn)在提倡用向量來解決立體幾何的有關(guān)問題，但是當(dāng)運用向量不是很方便的時候，傳統(tǒng)的解法我們也要能夠運用自如。
（2）．我們?nèi)绻峭ㄟ^解三角形去求角、距離的時候，做到“一找二證三求”，解題的過程中一定要出現(xiàn)這樣一句話，“∠α是我們所要求的角”、“線段AB的長度就是我們所要求的距離”等等。讓人看起來一目了然。
（3）．用向量來求兩條異面直線所成角時，若求出cosα＝x，則這兩條異面直線所成的角為α＝arccos|x|
（4）．在求直線與平面所成的角的時候，法向量與直線方向量所成的角或者法向量與直線的方向量所成角的補交與我們所要求的角互余，所以要或，若求出的角為銳角，就用，若求出的鈍角，就用。
（5）．求二面角時，若用第、種方法，先要去判斷這個二面角的平面角是鈍角還是銳角，然后再根據(jù)我們所作出的判斷去取舍。
（二）2008年高考預(yù)測
從近幾年各地高考試題分析，立體幾何題型一般是一個解答題，1至3個填空或選擇題．解答題一般與棱柱和棱錐相關(guān)，主要考查線線關(guān)系、線面關(guān)系和面面關(guān)系，其重點是考查空間想象能力和推理運算能力，其解題方法一般都有二種以上，并且一般都能用空間向量來求解．?高考試題中，立體幾何側(cè)重考查學(xué)生的空間概念、邏輯思維能力、空間想象能力及運算能力?.?近幾年凡涉及空間向量應(yīng)用于立體幾何的高考試題，都著重考查應(yīng)用空間向量求異面直線所成的角、二面角，證明線線平行、線面平行和證明異面直線垂直和線面垂直等基本問題。???????
高考對立體幾何的考查側(cè)重以下幾個方面：1．從命題形式來看，涉及立體幾何內(nèi)容的命題形式最為多變?.?除保留傳統(tǒng)的“四選一”的選擇題型外，還嘗試開發(fā)了“多選填空”、“完型填空”、“構(gòu)造填空”等題型，并且這種命題形式正在不斷完善和翻新；解答題則設(shè)計成幾個小問題，此類考題往往以多面體為依托，第一小問考查線線、線面、面面的位置關(guān)系，后面幾問考查空間角、空間距離、面積、體積等度量關(guān)系，其解題思路也都是“作——證——求”，強調(diào)作圖、證明和計算相結(jié)合。?２．從內(nèi)容上來看，主要是：①考查直線和平面的各種位置關(guān)系的判定和性質(zhì)，這類試題一般難度不大，多為選擇題和填空題；②計算角的問題，試題中常見的是異面直線所成的角，直線與平面所成的角，平面與平面所成的二面角，這類試題有一定的難度和需要一定的解題技巧，通常要把它們轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角；③求距離，試題中常見的是點與點之間的距離，點到直線的距離，點到平面的距離，直線與直線的距離，直線到平面的距離，要特別注意解決此類問題的轉(zhuǎn)化方法；④簡單的幾何體的側(cè)面積和表面積問題，解此類問題除特殊幾何體的現(xiàn)成的公式外，還可將側(cè)面展開，轉(zhuǎn)化為求平面圖形的面積問題；⑤體積問題，要注意解題技巧，如等積變換、割補思想的應(yīng)用。?３．從方法上來看，著重考查公理化方法，如解答題注重理論推導(dǎo)和計算相集合；考查轉(zhuǎn)化的思想方法，如經(jīng)常要把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來解決；考查模型化方法和整體考慮問題、處理問題的方法，如有時把形體納入不同的幾何背景之中，從而宏觀上把握形體，巧妙地把問題解決；考查割補法、等積變換法，以及變化運動的思想方法，極限方法等。??４．從能力上來看，著重考查空間想象能力，即空間形體的觀察分析和抽象的能力，要求是“四會”：①會畫圖——根據(jù)題設(shè)條件畫出適合題意的圖形或畫出自己想作的輔助線(面)，作出的圖形要直觀、虛實分明；②會識圖——根據(jù)題目給出的圖形，想象出立體的形狀和有關(guān)線面的位置關(guān)系；③會析圖——對圖形進(jìn)行必要的分解、組合；④會用圖——對圖形或其某部分進(jìn)行平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、展開或?qū)嵭懈钛a術(shù)；考查邏輯思維能力、運算能力和探索能力。
強化訓(xùn)練
選擇題
1．定點P不在△ABC所在平面內(nèi)，過P作平面α，使△ABC的三個頂點到α的距離相等，這樣的平面共有 （　）
（Ａ）１個 （Ｂ）２個 （Ｃ）３個 （Ｄ）４個
2．P為矩形ABCD所在平面外一點，且PA⊥平面ABCD，P到B，C，D三點的距離分別是，，，則P到A點的距離是 （　）
（Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ） （Ｄ）４　
3．直角三角形ABC的斜邊AB在平面α內(nèi)，直角頂點C在平面α外，C在平面α內(nèi)的射影為C1，且C1AB，則△C1AB為 　（ ）
（Ａ）銳角三角形 （Ｂ）直角三角形 （Ｃ）鈍角三角形 （Ｄ）以上都不對
4．已知四點，無三點共線，則可以確定( )
A.1個平面 B.4個平面 C.1個或4個平面 D.無法確定
5． 已知球的兩個平行截面的面積分別為5π和8π，它們位于球心的同一側(cè)且相距是1，那么這個球的半徑是( )
A.4 B.3 C.2 D.5
6．球面上有3個點，其中任意兩點的球面距離都等于大圓周長的，經(jīng)過3個點的小圓的周長為4π，那么這個球的半徑為( )
A.4 B.2 C.2 D.
7．棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1被以A為球心，AB為半徑的球相截，則被截形體的表面積為（ ）
A．π B．π C．π D．π
8．某刺猬有2006根刺，當(dāng)它蜷縮成球時滾到平面上，任意相鄰的三根刺都可支撐住身體，且任意四根刺的刺尖不共面，問該刺猬蜷縮成球時，共有（ ）種不同的支撐身體的方式。
A．2006 B．4008 C．4012 D．2008
9．命題①空間直線a，b，c，若a∥b，b∥c則a∥c ②非零向量，若∥，∥則∥
③平面α、β、γ若α⊥β，β⊥γ，則α∥γ ④空間直線a、b、c若有a⊥b，b⊥c，則a∥c
⑤直線a、b與平面β，若a⊥β，c⊥β，則a∥c 其中所有真命題的序號是（ ）
A．①②③ B．①③⑤ C．①②⑤ D．②③⑤
10．在正三棱錐中，相鄰兩側(cè)面所成二面角的取值范圍是（ ）
A、 B、 C、（0，） D、
11．一正四棱錐的高為2，側(cè)棱與底面所成的角為45°，則這一正四棱錐的斜高等于（ ）
A．2 B．2 C．4 D．2
12．以正方體的任意三個頂點為頂點作三角形，從中隨機地取出兩個三角形，則這兩個三角形不共面的概率為 （ ）
A． B． C． D．
1—12解答
1．【答案】D解析： 過P作一個與AB，AC都平行的平面，則它符合要求；設(shè)邊AB，BC，CA的中點分別為E，F(xiàn)，G，則平面PEF符合要求；同理平面PFG，平面PGE符合要求
2．【答案】A解析：設(shè)AB＝a，BC＝b，PA＝h，則a2+h2=5, b2+h2=13, a2+b2+h2=17,∴h=1．
3．【答案】C解析：∵C1A2+C1B24．【答案】C.解析： 因為無三點共線，所以任意三個點都可以確定平面α，若第四個點也在α內(nèi)，四個點確定一個平面，當(dāng)?shù)谒膫€點在α外，由公理3知可確定4個平面.故選C.
5．【答案】B解析： 如圖，設(shè)球的半徑是r，則πBD2＝5π，πAC2＝8π，
∴BD2＝5，AC2＝8.又AB＝1，設(shè)OA＝x.
∴x2+8＝r2,(x+1)2+5＝r2.
解之，得r＝3
故選B.
6．【答案】B解析： 設(shè)球半徑為R，小圓半徑為r，則2πr＝4π,∴r＝2.如圖，設(shè)三點A、B、C，O為球心，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝，又∵OA＝OB
∴ΔAOB是等邊三角形
同理，ΔBOC、ΔCOA都是等邊三角形，得ΔABC為等邊三角形.
邊長等于球半徑R，r為ΔABC的外接圓半徑.
r＝AB＝R
R＝r＝2
∴應(yīng)選B.
7．【答案】A．解析：S=π·12×3+×4π·12=π。
8．【答案】B．解析：當(dāng)有n根刺時有an種支撐法，n = 4，5， 6，… ，則an+1=an+3－1=an+2或an+1=an+4－2=an+2，∴{an}n = 4，5，6，…， 為等差數(shù)列，∵a4 = 4∴an=2n－4，A2006＝4008 。
9．【答案】C．解析：由傳遞性知①②正確；由線面垂直性質(zhì)知⑤正確；由空間直角坐標(biāo)系中三坐標(biāo)平面關(guān)系否定③；三坐標(biāo)軸關(guān)系否定④。
10．【答案】A．解析：法一：考察正三棱錐P–ABC，O為底面中心，不妨將底面正△ABC固定，頂點P運動，相鄰兩側(cè)面所成二面角為∠AHC.
當(dāng)PO→0時，面PAB→△OAB，面PBC→△OBC，∠AHC→π
當(dāng)PO→+∞時，∠AHC→∠ABC=. 故<∠AHC <π，選A.
法二：不妨設(shè)AB=2，PC= x，則x > OC =.
等腰△PBC中，S△PBC =x·CH =·2·CH =
等腰△AHC中，sin
由x>得<1，∴＜∠AHC＜π.
11．【答案】B．解析：由已知得底面對角線的一半為2，所以底面邊長的一半等于2，由勾股定得斜高為.
12．【答案】A解析：此問題可以分解成五個小問題：
（１）由正方體的八個頂點可以組成個三角形；
（２）正方體八個頂點中四點共面有12個平面；
（３）在上述12個平面中每個四邊形中共面的三角形有個；
（４）從56個三角形中任取兩個三角形共面的概率；
（５）從56個三角形中任取兩個三角形不共面的概率，利用對立事件的概率的公式，得故選A．
填空題
13．在三棱錐P—ABC中，底面是邊長為2 cm的正三角形，PA＝PB＝3 cm，轉(zhuǎn)動點P時，三棱錐的最大體積為 ．
14．P為所在平面外一點，PA、PB、PC與平面ABC所的角均相等，又PA與BC垂直，那么的形狀可以是 。①正三角形②等腰三角形③非等腰三角形④等腰直角三角形
15．將邊長為3的正四面體以各頂點為頂點各截去(使截面平行于底面)邊長為1的小正四面體，所得幾何體的表面積為_____________ .
16．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為
1，點M在A上，且AM=AB，點P在平面ABCD
上，且動點P到直線A1D1的距離的平方與P到點M
的距離的平方差為1，在平面直角坐標(biāo)系xAy中，動
點P的軌跡方程是 .
13—16解答
13.。cm3.解析:點P到面ABC距離最大時體積最大，此時面PAB⊥面ABC，
高PD=2cm．V=.
14．由題意可知的外心在BC邊的高線上，故一定有AB=AC選（1）（2）（4）。
15．.解析：原四個頂點截去后剩下截面為邊長為1的正三角形，而原四面體的四個側(cè)面變?yōu)檫呴L為1的正六邊形，其表積為 .
16．。解析：過P點作PQ⊥AD于Q，再過Q作QH⊥A1D1于H，連PH，利用三垂線定理可證PH⊥A1D1. 設(shè)P（x，y），∵|PH|2 - |PH|2 = 1，∴x2 +1- [(x)2+y2] =1，化簡得.
解答題
17. 已知，從平面外一點引向量
，
（1）求證：四點共面；
（2）平面平面．
解：（1）∵四邊形是平行四邊形，∴，
∵，
∴共面；
（2）∵，又∵，
∴
所以，平面平面．
18. 如圖，是正四棱錐,是正方體，其中．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的大小；
（Ⅲ）求到平面的距離．
解：(Ⅰ) 連結(jié)AC , 交BD于點O , 連結(jié)PO , 則PO⊥面ABCD , 又∵ , ∴, ∵, ∴ ．
（Ⅱ） ∵AO⊥BD , AO⊥PO , ∴AO⊥面PBD , 過點O作OM⊥PD于點M，連結(jié)AM , 則AM⊥PD , ∴∠AMO 就是二面角A-PD-O的平面角,
又∵, ∴AO=,PO=
, ∴ ,
即二面角的大小為 ．
(Ⅲ)用體積法求解：解得，
即到平面PAD的距離為
19. 在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA垂直于底面，E、F分別是AB、PC的中點．
（1）求證：平面PAD；
（2）當(dāng)平面PCD與平面ABCD成多大二面角時，
直線平面PCD？
證：（1）取CD中點G，連結(jié)EG、FG
∵E、F分別是AB、PC的中點，∴EG//AD，F(xiàn)G//PD，
∴平面EFG//平面PAD，
∴ EF//平面PAD．
（2）當(dāng)平面PCD與平面ABCD成45(角時，直線EF(平面PCD.
證明：∵G為CD中點，則EG(CD，∵PA(底面ABCD∴AD是PD在平面ABCD內(nèi)的射影。 ∵CD(平面ABCD，且CD(AD，故CD(PD ．又∵FG∥PD∴FG(CD，故(EGF為平面PCD 與平面ABCD所成二面角的平面角，即(EGF=45(，從而得(ADP=45(， AD=AP.由Rt(PAE(Rt(CBE，得PE=CE.又F是PC的中點，∴EF(PC.
由CD(EG，CD(FG，得CD(平面EFG，∴CD(EF，即EF(CD，
故EF(平面PCD．
20. 已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC = AD = CD = DE = 2a，AB = a，F(xiàn)為CD的中點.
（Ⅰ）求證：AF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求異面直線AC，BE所成角余弦值；
（Ⅲ）求面ACD和面BCE所成二面角的大小.
解：（Ⅰ）∵DE⊥平面ACD，AF平面ACD
∴DE⊥AF。
又∵AC=AD=C，F(xiàn)為CD中點
∴AF⊥CD，
∴AF⊥面CDE
∴AF⊥平面CDE 。
（Ⅱ）∵
取DE中點M，連結(jié)AM、CM，則四邊形AMEB為平行四邊形
AM//BE，則∠CAM為AC與BE所成的角。在△ACM中，AC=2a
由余弦定理得：
∴異面直線AC、AE所成的角的余弦值為。
（Ⅲ）延長DA。EB交于點G，連結(jié)CG。
因為AB//DE，AB=DE，所以A為GD中點。又因為F為CD中點，所以CG//AF。
因為AF⊥平面CDE，所以CG⊥平面CDE。
故∠DCE為面ACD和面BCE所成二面角的平面角易求∠DCE=45°。
21. 如圖，四邊形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA//PB，PB=AB=2MA，
（Ⅰ）證明：AC//平面PMD；
（Ⅱ）求直線BD與平面PCD所成的角的大小；
（Ⅲ）求平面PMD與平面ABCD所成的二面角（銳角）的大小。
（Ⅰ）證明：如圖1，取PD的中點E，連EO，EM。
∵EO//PB，EO=PB，MA//PB，MA=PB，
∴EO//MA，且EO=MA
∴四邊形MAOE是平行四邊形，
∴ME//AC 。
又∵AC平面PMD，ME平面PMD，
∴AC//平面PMD 。
（Ⅱ）如圖1，PB⊥平面ABCD，
CD平面ABCD， ∴CD⊥PB。
又∵CD⊥BC， ∴CD⊥平面PBC。
∵CD平面PCD， ∴平面PBC⊥平面PCD。
過B作BF⊥PC于F，則BF⊥平面PDC，連DF，
則DF為BD在平面PCD上的射影。
∴∠BDF是直線BD與平面PDC所成的角。
不妨設(shè)AB=2，則在Rt△BFD中，， ∴∠BDF=
∴直線BD與平面PCD所成的角是
（Ⅲ）解：如圖3，分別延長PM，BA，設(shè)PM∩BA=G，連DG，
則平面PMD∩平面=ABCD=DG
過A作AN⊥DG于N，連MN。
∵PB⊥平面ABCD， ∴MN⊥DG
∴∠MNA是平面PMD與平面ABCD所成
的二面角的平面角（銳角）
在Rt△MAN中，，
∴∠MNA=arctan
∴平面PMD與平面ABCD所成的二面角（銳角）
大小是arctan
22. 已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰為的中點，又知。
（I）求證：平面；
（II）求到平面的距離；
（III）求二面角的大小。
解：（I）因為平面，
所以平面平面，
又，所以平面，
得，又
所以平面；
（II）因為，所以四邊形為
菱形，
故，又為中點，知。
取中點，則平面，從而面面，
過作于，則面，
在中，，故，
即到平面的距離為。
（III）過作于，連，則，
從而為二面角的平面角，
在中，，所以，
在中，，
故二面角的大小為。
解法2：（I）如圖，取的中點，則，因為，
所以，又平面，
以為軸建立空間坐標(biāo)系，
則，，，
，，
，，
，由，知，
又，從而平面；
（II）由，得。
設(shè)平面的法向量為，，，所以
，設(shè)，則
所以點到平面的距離。
（III）再設(shè)平面的法向量為，，，
所以
，設(shè)，則，
故，根據(jù)法向量的方向，
可知二面角的大小為。
創(chuàng)新試題
１．如圖，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中點，AA1=AB=1.
（I）求證：A1C//平面AB1D；
（II）求二面角B—AB1—D的大小；
（III）求點c到平面AB1D的距離.
解法一（I）證明：
連接A1B，設(shè)A1B∩AB1 = E，連接DE.
∵ABC—A1B1C1是正三棱柱，且AA1 = AB，
∴四邊形A1ABB1是正方形，
∴E是A1B的中點，
又D是BC的中點，
∴DE∥A1C.
∵DE平面AB1D，A1C平面AB1D，
∴A1C∥平面AB1D.
（II）解：在面ABC內(nèi)作DF⊥AB于點F，在面A1ABB1內(nèi)作FG⊥AB1于點G，連接DG.
∵平面A1ABB1⊥平面ABC， ∴DF⊥平面A1ABB1，
∴FG是DG在平面A1ABB1上的射影， ∵FG⊥AB1， ∴DG⊥AB1
∴∠FGD是二面角B—AB1—D的平面角
設(shè)A1A = AB = 1，在正△ABC中，DF=
在△ABE中，，
在Rt△DFG中，，
所以，二面角B—AB1—D的大小為
（III）解：∵平面B1BCC1⊥平面ABC，且AD⊥BC，
∴AD⊥平面B1BCC1，又AD平面AB1D，∴平面B1BCC1⊥平面AB1D.
在平面B1BCC1內(nèi)作CH⊥B1D交B1D的延長線于點H，
則CH的長度就是點C到平面AB1D的距離.
由△CDH∽△B1DB，得
即點C到平面AB1D的距離是
解法二：
建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz，如圖，
（I）證明：
連接A1B，設(shè)A1B∩AB1 = E，連接DE.
設(shè)A1A = AB = 1，
則

，

（II）解：， ，
設(shè)是平面AB1D的法向量，則，
故；
同理，可求得平面AB1B的法向量是
設(shè)二面角B—AB1—D的大小為θ，，
∴二面角B—AB1—D的大小為
（III）解由（II）得平面AB1D的法向量為，
取其單位法向量
∴點C到平面AB1D的距離
２. 如圖，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱長都為a，P為A1B上的點。
（1）試確定的值，使得PC⊥AB；
（2）若，求二面角P—AB—C的大小；　　　　　
（3）在（2）條件下，求C1到平面PAC的距離。　　
2.解析答案：
復(fù)習(xí)建議
解法一：（1）當(dāng)時，PC⊥AB
取AB的中點D′，連結(jié)CD′、PD′
∵△ABC為正三角形， ∴CD′⊥AB。
當(dāng)P為A1B的中點時，PD′//A1A， ∵A1A⊥底面ABC， ∴PD′⊥底面ABC，
∴PC⊥AB
（2）當(dāng)時，過P作PD⊥AB于D，
如圖所示，則PD⊥底在ABC
過D作DE⊥AC于E，連結(jié)PE，則PE⊥AC
∴∠DEP為二面角P—AC—B的平面角。
又∵PD//A1A， ∴， ∴
∴
又∵
∴ ∴∠PED=60°
即二面角P—AC—B的大小為60°
（3）設(shè)C1到面PAC的距離為d，則
∵PD//A1A ∴PD//平面A1C ∴DE即為P點到平面A1C的距離。
又PE=
∴
∴
解得
即C1到平面PAC的距離為
解法二：以A為原點，AB為x軸，過A點與AB垂直的直線為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz，如圖所示，則B（a，0，0），A1（0，0，a），C，
設(shè)
（1）由
即， ∴P為A1B的中點。
即 時，PC⊥AB。
（2）當(dāng)
即
設(shè)平面PAC的一個法向量n=
則 即
取
又平面ABC的一個法向量為n0=（0，0，1）
∴
∴二面角P—AC—B的大小為180°－120°=60°
（3）設(shè)C1到平面PAC的距離為d，
則
即C1到平面PAC的距離為 ．
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高中數(shù)學(xué)公式大全！一、《集合與函數(shù)》 內(nèi)容子交并補集，還有冪指對函數(shù)。性質(zhì)奇偶與增減，觀察圖象最明顯。 復(fù)合函數(shù)式出現(xiàn)，性質(zhì)乘法法則辨，若要詳細(xì)證明它，還須將那定義抓。 指數(shù)與對數(shù)函數(shù)，兩者互為反函數(shù)。底數(shù)非1的正數(shù)，1兩邊增減變故。 函數(shù)定義域好求。分母不能等于0，偶次方根須非負(fù)，零和負(fù)數(shù)無對數(shù)； 正切函數(shù)角不直，余切函數(shù)角不平；其余函數(shù)實數(shù)集，多種情況求交集。 兩個互為反函數(shù)，單調(diào)性質(zhì)都相同；圖象互為軸對稱，Y＝X是對稱軸； 求解非常有規(guī)律，反解換元定義域；反函數(shù)的定義域，原來函數(shù)的值域。 冪函數(shù)性質(zhì)易記，指數(shù)化既約分?jǐn)?shù)；函數(shù)性質(zhì)看指數(shù)，奇母奇子奇函數(shù)， 奇母偶子偶函數(shù)，偶母非奇偶函數(shù)；圖象第一象限內(nèi)，函數(shù)增減看正負(fù)。 二、《三角函數(shù)》 三角函數(shù)是函數(shù)，象限符號坐標(biāo)注。函數(shù)圖象單位圓，周期奇偶增減現(xiàn)。 同角關(guān)系很重要，化簡證明都需要。正六邊形頂點處，從上到下弦切割； 中心記上數(shù)字1，連結(jié)頂點三角形；向下三角平方和，倒數(shù)關(guān)系是對角， 頂點任意一函數(shù)，等于后面兩根除。誘導(dǎo)公式就是好，負(fù)化正后大化小， 變成稅角好查表，化簡證明少不了。二的一半整數(shù)倍，奇數(shù)化余偶不變， 將其后者視銳角，符號原來函數(shù)判。兩角和的余弦值，化為單角好求值， 余弦積減正弦積，換角變形眾公式。和差化積須同名，互余角度變名稱。 計算證明角先行，注意結(jié)構(gòu)函數(shù)名，保持基本量不變，繁難向著簡易變。 逆反原則作指導(dǎo)，升冪降次和差積。條件等式的證明，方程思想指路明。 萬能公式不一般，化為有理式居先。公式順用和逆用，變形運用加巧用； 1加余弦想余弦，1 減余弦想正弦，冪升一次角減半，升冪降次它為范； 三角函數(shù)反函數(shù)，實質(zhì)就是求角度，先求三角函數(shù)值，再判角取值范圍； 利用直角三角形，形象直觀好換名，簡單三角的方程，化為最簡求解集； 三、《不等式》 解不等式的途徑，利用函數(shù)的性質(zhì)。對指無理不等式，化為有理不等式。 高次向著低次代，步步轉(zhuǎn)化要等價。數(shù)形之間互轉(zhuǎn)化，幫助解答作用大。 證不等式的方法，實數(shù)性質(zhì)威力大。求差與0比大小，作商和1爭高下。 直接困難分析好，思路清晰綜合法。非負(fù)常用基本式，正面難則反證法。 還有重要不等式，以及數(shù)學(xué)歸納法。圖形函數(shù)來幫助，畫圖建模構(gòu)造法。 四、《數(shù)列》 等差等比兩數(shù)列，通項公式N項和。兩個有限求極限，四則運算順序換。 數(shù)列問題多變幻，方程化歸整體算。數(shù)列求和比較難，錯位相消巧轉(zhuǎn)換， 取長補短高斯法，裂項求和公式算。歸納思想非常好，編個程序好思考： 一算二看三聯(lián)想，猜測證明不可少。還有數(shù)學(xué)歸納法，證明步驟程序化： 首先驗證再假定，從 K向著K加1，推論過程須詳盡，歸納原理來肯定。 五、《復(fù)數(shù)》 虛數(shù)單位i一出，數(shù)集擴大到復(fù)數(shù)。一個復(fù)數(shù)一對數(shù)，橫縱坐標(biāo)實虛部。 對應(yīng)復(fù)平面上點，原點與它連成箭。箭桿與X軸正向，所成便是輻角度。 箭桿的長即是模，常將數(shù)形來結(jié)合。代數(shù)幾何三角式，相互轉(zhuǎn)化試一試。 代數(shù)運算的實質(zhì)，有i多項式運算。i的正整數(shù)次慕，四個數(shù)值周期現(xiàn)。 一些重要的結(jié)論，熟記巧用得結(jié)果。虛實互化本領(lǐng)大，復(fù)數(shù)相等來轉(zhuǎn)化。 利用方程思想解，注意整體代換術(shù)。幾何運算圖上看，加法平行四邊形， 減法三角法則判；乘法除法的運算，逆向順向做旋轉(zhuǎn)，伸縮全年模長短。 三角形式的運算，須將輻角和模辨。利用棣莫弗公式，乘方開方極方便。 輻角運算很奇特，和差是由積商得。四條性質(zhì)離不得，相等和模與共軛， 兩個不會為實數(shù)，比較大小要不得。復(fù)數(shù)實數(shù)很密切，須注意本質(zhì)區(qū)別。 六、《排列、組合、二項式定理》 加法乘法兩原理，貫穿始終的法則。與序無關(guān)是組合，要求有序是排列。 兩個公式兩性質(zhì)，兩種思想和方法。歸納出排列組合，應(yīng)用問題須轉(zhuǎn)化。 排列組合在一起，先選后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考慮。 不重不漏多思考，捆綁插空是技巧。排列組合恒等式，定義證明建模試。 關(guān)于二項式定理，中國楊輝三角形。兩條性質(zhì)兩公式，函數(shù)賦值變換式。 七、《立體幾何》 點線面三位一體，柱錐臺球為代表。距離都從點出發(fā)，角度皆為線線成。 垂直平行是重點，證明須弄清概念。線線線面和面面、三對之間循環(huán)現(xiàn)。 方程思想整體求，化歸意識動割補。計算之前須證明，畫好移出的圖形。 立體幾何輔助線，常用垂線和平面。射影概念很重要，對于解題最關(guān)鍵。 異面直線二面角，體積射影公式活。公理性質(zhì)三垂線，解決問題一大片。 八、《平面解析幾何》 有向線段直線圓，橢圓雙曲拋物線，參數(shù)方程極坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合稱典范。 笛卡爾的觀點對，點和有序?qū)崝?shù)對，兩者—一來對應(yīng)，開創(chuàng)幾何新途徑。 兩種思想相輝映，化歸思想打前陣；都說待定系數(shù)法，實為方程組思想。 三種類型集大成，畫出曲線求方程，給了方程作曲線，曲線位置關(guān)系判。 四件工具是法寶，坐標(biāo)思想?yún)?shù)好；平面幾何不能丟，旋轉(zhuǎn)變換復(fù)數(shù)求。 解析幾何是幾何，得意忘形學(xué)不活。圖形直觀數(shù)入微，數(shù)學(xué)本是數(shù)形學(xué)。 數(shù)學(xué)高考基礎(chǔ)知識、常見結(jié)論詳解 一、集合與簡易邏輯： 一、理解集合中的有關(guān)概念 （1）集合中元素的特征： 確定性 ， 互異性 ， 無序性 。 集合元素的互異性：如： ， ，求 ； （2）集合與元素的關(guān)系用符號 ， 表示。 （3）常用數(shù)集的符號表示：自然數(shù)集 ；正整數(shù)集 、 ；整數(shù)集 ；有理數(shù)集 、實數(shù)集 。 （4）集合的表示法： 列舉法 ， 描述法 ， 韋恩圖 。 注意：區(qū)分集合中元素的形式：如： ； ； ； ； ； ； （5）空集是指不含任何元素的集合。（ 、 和 的區(qū)別；0與三者間的關(guān)系） 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 注意：條件為 ，在討論的時候不要遺忘了 的情況。 如： ，如果 ，求 的取值。 二、集合間的關(guān)系及其運算 （1）符號“ ”是表示元素與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn) 點與直線（面）的關(guān)系 ； 符號“ ”是表示集合與集合之間關(guān)系的，立體幾何中的體現(xiàn) 面與直線(面)的關(guān)系 。 （2） ； ； （3）對于任意集合 ，則： ① ； ； ； ② ； ； ； ； ③ ； ； （4）①若 為偶數(shù)，則 ；若 為奇數(shù)，則 ； ②若 被3除余0，則 ；若 被3除余1，則 ；若 被3除余2，則 ； 三、集合中元素的個數(shù)的計算： （1）若集合 中有 個元素，則集合 的所有不同的子集個數(shù)為_________，所有真子集的個數(shù)是__________，所有非空真子集的個數(shù)是 。 （2） 中元素的個數(shù)的計算公式為： ； （3）韋恩圖的運用： 四、 滿足條件 ， 滿足條件 ， 若 ；則 是 的充分非必要條件 ； 若 ；則 是 的必要非充分條件 ； 若 ；則 是 的充要條件 ； 若 ；則 是 的既非充分又非必要條件 ； 五、原命題與逆否命題，否命題與逆命題具有相同的 ； 注意：“若 ，則 ”在解題中的運用， 如：“ ”是“ ”的 條件。 六、反證法：當(dāng)證明“若 ，則 ”感到困難時，改證它的等價命題“若 則 ”成立， 步驟：1、假設(shè)結(jié)論反面成立；2、從這個假設(shè)出發(fā)，推理論證，得出矛盾；3、由矛盾判斷假設(shè)不成立，從而肯定結(jié)論正確。 矛盾的來源：1、與原命題的條件矛盾；2、導(dǎo)出與假設(shè)相矛盾的命題；3、導(dǎo)出一個恒假命題。 適用與待證命題的結(jié)論涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼時。 正面詞語 等于 大于 小于 是 都是 至多有一個 否定 正面詞語 至少有一個 任意的 所有的 至多有n個 任意兩個 否定 二、函數(shù) 一、映射與函數(shù)： （1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函數(shù)的概念： 如：若 ， ；問： 到 的映射有 個， 到 的映射有 個； 到 的函數(shù)有 個，若 ，則 到 的一一映射有 個。 函數(shù) 的圖象與直線 交點的個數(shù)為 個。 二、函數(shù)的三要素： ， ， 。 相同函數(shù)的判斷方法：① ；② (兩點必須同時具備) （1）函數(shù)解析式的求法： ①定義法（拼湊）：②換元法：③待定系數(shù)法：④賦值法： （2）函數(shù)定義域的求法： ① ，則 ； ② 則 ； ③ ，則 ； ④如： ，則 ； ⑤含參問題的定義域要分類討論； 如：已知函數(shù) 的定義域是 ，求 的定義域。 ⑥對于實際問題，在求出函數(shù)解析式后；必須求出其定義域，此時的定義域要根據(jù)實際意義來確定。如：已知扇形的周長為20，半徑為 ，扇形面積為 ，則 ；定義域為 。 （3）函數(shù)值域的求法： ①配方法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來求值；常轉(zhuǎn)化為型如： 的形式； ②逆求法（反求法）：通過反解，用 來表示 ，再由 的取值范圍，通過解不等式，得出 的取值范圍；常用來解，型如： ； ④換元法：通過變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，化歸思想； ⑤三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運用三角函數(shù)有界性來求值域； ⑥基本不等式法：轉(zhuǎn)化成型如： ，利用平均值不等式公式來求值域； ⑦單調(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域。 ⑧數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來求值域。 求下列函數(shù)的值域：① （2種方法）； ② （2種方法）；③ （2種方法）； 三、函數(shù)的性質(zhì)： 函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性 單調(diào)性：定義：注意定義是相對與某個具體的區(qū)間而言。 判定方法有：定義法（作差比較和作商比較） 導(dǎo)數(shù)法（適用于多項式函數(shù)） 復(fù)合函數(shù)法和圖像法。 應(yīng)用：比較大小，證明不等式，解不等式。 奇偶性：定義：注意區(qū)間是否關(guān)于原點對稱，比較f(x) 與f(-x)的關(guān)系。f(x) －f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)為偶函數(shù)； f(x)+f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)為奇函數(shù)。 判別方法：定義法， 圖像法 ，復(fù)合函數(shù)法 應(yīng)用：把函數(shù)值進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解。 周期性：定義：若函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)的任意x滿足：f(x+T)=f(x),則T為函數(shù)f(x)的周期。 其他：若函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)的任意x滿足：f(x+a)=f(x－a),則2a為函數(shù)f(x)的周期. 應(yīng)用：求函數(shù)值和某個區(qū)間上的函數(shù)解析式。 四、圖形變換：函數(shù)圖像變換：（重點）要求掌握常見基本函數(shù)的圖像，掌握函數(shù)圖像變換的一般規(guī)律。 常見圖像變化規(guī)律：（注意平移變化能夠用向量的語言解釋，和按向量平移聯(lián)系起來思考） 平移變換 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b 注意：（ⅰ）有系數(shù)，要先提取系數(shù)。如：把函數(shù)y＝f(2x)經(jīng)過 平移得到函數(shù)y＝f(2x＋4)的圖象。 （ⅱ）會結(jié)合向量的平移，理解按照向量 （m，n）平移的意義。 對稱變換 y=f(x)→y=f(－x),關(guān)于y軸對稱 y=f(x)→y=－f(x) ,關(guān)于x軸對稱 y=f(x)→y=f|x|,把x軸上方的圖象保留，x軸下方的圖象關(guān)于x軸對稱 y=f(x)→y=|f(x)|把y軸右邊的圖象保留，然后將y軸右邊部分關(guān)于y軸對稱。（注意：它是一個偶函數(shù)） 伸縮變換：y=f(x)→y=f(ωx), y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具體參照三角函數(shù)的圖象變換。 一個重要結(jié)論：若f(a－x)＝f(a+x)，則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱； 如： 的圖象如圖，作出下列函數(shù)圖象： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ； （5） ；（6） ； （7） ；（8） ； （9） 。 五、反函數(shù)： （1）定義： （2）函數(shù)存在反函數(shù)的條件： ； （3）互為反函數(shù)的定義域與值域的關(guān)系： ； （4）求反函數(shù)的步驟：①將 看成關(guān)于 的方程，解出 ，若有兩解，要注意解的選擇；②將 互換，得 ；③寫出反函數(shù)的定義域（即 的值域）。 （5）互為反函數(shù)的圖象間的關(guān)系： ； （6）原函數(shù)與反函數(shù)具有相同的單調(diào)性； （7）原函數(shù)為奇函數(shù)，則其反函數(shù)仍為奇函數(shù)；原函數(shù)為偶函數(shù)，它一定不存在反函數(shù)。 如：求下列函數(shù)的反函數(shù)： ； ； 七、常用的初等函數(shù)： （1）一元一次函數(shù)： ，當(dāng) 時，是增函數(shù)；當(dāng) 時，是減函數(shù)； （2）一元二次函數(shù)： 一般式： ；對稱軸方程是 ；頂點為 ； 兩點式： ；對稱軸方程是 ；與 軸的交點為 ； 頂點式： ；對稱軸方程是 ；頂點為 ； ①一元二次函數(shù)的單調(diào)性： 當(dāng) 時： 為增函數(shù)； 為減函數(shù)；當(dāng) 時： 為增函數(shù)； 為減函數(shù)； ②二次函數(shù)求最值問題：首先要采用配方法，化為 的形式， Ⅰ、若頂點的橫坐標(biāo)在給定的區(qū)間上，則 時：在頂點處取得最小值，最大值在距離對稱軸較遠(yuǎn)的端點處取得； 時：在頂點處取得最大值，最小值在距離對稱軸較遠(yuǎn)的端點處取得； Ⅱ、若頂點的橫坐標(biāo)不在給定的區(qū)間上，則 時：最小值在距離對稱軸較近的端點處取得，最大值在距離對稱軸較遠(yuǎn)的端點處取得； 時：最大值在距離對稱軸較近的端點處取得，最小值在距離對稱軸較遠(yuǎn)的端點處取得； 有三個類型題型： (1)頂點固定，區(qū)間也固定。如： (2)頂點含參數(shù)(即頂點變動)，區(qū)間固定，這時要討論頂點橫坐標(biāo)何時在區(qū)間之內(nèi)，何時在區(qū)間之外。 (3)頂點固定，區(qū)間變動，這時要討論區(qū)間中的參數(shù)． ③二次方程實數(shù)根的分布問題： 設(shè)實系數(shù)一元二次方程 的兩根為 ；則： 根的情況 等價命題 在區(qū)間 上有兩根 在區(qū)間 上有兩根 在區(qū)間 或 上有一根 充要條件 注意：若在閉區(qū)間 討論方程 有實數(shù)解的情況，可先利用在開區(qū)間 上實根分布的情況，得出結(jié)果，在令 和 檢查端點的情況。 （3）反比例函數(shù)： （4）指數(shù)函數(shù)： 指數(shù)運算法則： ； ； 。 指數(shù)函數(shù)：y= (a>o,a≠1)，圖象恒過點（0，1），單調(diào)性與a的值有關(guān)，在解題中，往往要對a分a>1和0o,a≠1) 圖象恒過點（1，0），單調(diào)性與a的值有關(guān)，在解題中，往往要對a分a>1和00，則 。即不等式兩邊同號時，不等式兩邊取倒數(shù)，不等號方向要改變。 ②如果對不等式兩邊同時乘以一個代數(shù)式，要注意它的正負(fù)號，如果正負(fù)號未定，要注意分類討論。 ③圖象法：利用有關(guān)函數(shù)的圖象（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)的圖象），直接比較大小。 ④中介值法：先把要比較的代數(shù)式與“0”比，與“1”比，然后再比較它們的大小 二、均值不等式：兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。 若 ，則 （當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號） 基本變形：① ； ； ②若 ，則 ， 基本應(yīng)用：①放縮，變形； ②求函數(shù)最值：注意：①一正二定三取等；②積定和小，和定積大。 當(dāng) （常數(shù)），當(dāng)且僅當(dāng) 時， ； 當(dāng) （常數(shù)），當(dāng)且僅當(dāng) 時， ； 常用的方法為：拆、湊、平方； 如：①函數(shù) 的最小值 。 ②若正數(shù) 滿足 ，則 的最小值 。 三、絕對值不等式： 注意：上述等號“＝”成立的條件； 四、常用的基本不等式： （1）設(shè) ，則 （當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號） （2） （當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號）； （當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號） （3） ； ； 五、證明不等式常用方法： （1）比較法：作差比較： 作差比較的步驟： ⑴作差：對要比較大小的兩個數(shù)（或式）作差。 ⑵變形：對差進(jìn)行因式分解或配方成幾個數(shù)（或式）的完全平方和。 ⑶判斷差的符號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號。 注意：若兩個正數(shù)作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小。 （2）綜合法：由因?qū)Ч?（3）分析法：執(zhí)果索因。基本步驟：要證……只需證……，只需證…… （4）反證法：正難則反。 （5）放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的。 放縮法的方法有： ⑴添加或舍去一些項，如： ； ⑵將分子或分母放大（或縮小） ⑶利用基本不等式，如： ； ⑷利用常用結(jié)論： Ⅰ、 ； Ⅱ、 ； （程度大） Ⅲ、 ； （程度小） （6）換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。如： 已知 ，可設(shè) ； 已知 ，可設(shè) ( )； 已知 ，可設(shè) ； 已知 ，可設(shè) ； （7）構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式； 六、不等式的解法： （1）一元一次不等式： Ⅰ、 ：⑴若 ，則 ；⑵若 ，則 ； Ⅱ、 ：⑴若 ，則 ；⑵若 ，則 ； （2）一元二次不等式： 一元二次不等式二次項系數(shù)小于零的，同解變形為二次項系數(shù)大于零；注：要對 進(jìn)行討論： （5）絕對值不等式：若 ，則 ； ； 注意：(1).幾何意義： ： ； ： ； (2)解有關(guān)絕對值的問題，考慮去絕對值，去絕對值的方法有： ⑴對絕對值內(nèi)的部分按大于、等于、小于零進(jìn)行討論去絕對值；①若 則 ；②若 則 ；③若 則 ； (3).通過兩邊平方去絕對值；需要注意的是不等號兩邊為非負(fù)值。 (4).含有多個絕對值符號的不等式可用“按零點分區(qū)間討論”的方法來解。 （6）分式不等式的解法：通解變形為整式不等式； ⑴ ；⑵ ； ⑶ ；⑷ ； （7）不等式組的解法：分別求出不等式組中，每個不等式的解集，然后求其交集，即是這個不等式組的解集，在求交集中，通常把每個不等式的解集畫在同一條數(shù)軸上，取它們的公共部分。 （8）解含有參數(shù)的不等式： 解含參數(shù)的不等式時，首先應(yīng)注意考察是否需要進(jìn)行分類討論.如果遇到下述情況則一般需要討論： ①不等式兩端乘除一個含參數(shù)的式子時，則需討論這個式子的正、負(fù)、零性. ②在求解過程中，需要使用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時，則需對它們的底數(shù)進(jìn)行討論. ③在解含有字母的一元二次不等式時，需要考慮相應(yīng)的二次函數(shù)的開口方向，對應(yīng)的一元二次方程根的狀況（有時要分析△），比較兩個根的大小,設(shè)根為 （或更多）但含參數(shù)，要分 、 、 討論。 五、數(shù)列 本章是高考命題的主體內(nèi)容之一，應(yīng)切實進(jìn)行全面、深入地復(fù)習(xí)，并在此基礎(chǔ)上，突出解決下述幾個問題：（1）等差、等比數(shù)列的證明須用定義證明，值得注意的是，若給出一個數(shù)列的前 項和 ，則其通項為 若 滿足 則通項公式可寫成 .（2）數(shù)列計算是本章的中心內(nèi)容，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、前 項和公式及其性質(zhì)熟練地進(jìn)行計算，是高考命題重點考查的內(nèi)容.（3）解答有關(guān)數(shù)列問題時，經(jīng)常要運用各種數(shù)學(xué)思想.善于使用各種數(shù)學(xué)思想解答數(shù)列題，是我們復(fù)習(xí)應(yīng)達(dá)到的目標(biāo). ①函數(shù)思想：等差等比數(shù)列的通項公式求和公式都可以看作是 的函數(shù)，所以等差等比數(shù)列的某些問題可以化為函數(shù)問題求解. ②分類討論思想：用等比數(shù)列求和公式應(yīng)分為 及 ；已知 求 時，也要進(jìn)行分類； ③整體思想：在解數(shù)列問題時，應(yīng)注意擺脫呆板使用公式求解的思維定勢，運用整 體思想求解. （4）在解答有關(guān)的數(shù)列應(yīng)用題時，要認(rèn)真地進(jìn)行分析，將實際問題抽象化，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用有關(guān)數(shù)列知識和方法來解決.解答此類應(yīng)用題是數(shù)學(xué)能力的綜合運用，決不是簡單地模仿和套用所能完成的.特別注意與年份有關(guān)的等比數(shù)列的第幾項不要弄錯. 一、基本概念： 1、 數(shù)列的定義及表示方法： 2、 數(shù)列的項與項數(shù)： 3、 有窮數(shù)列與無窮數(shù)列： 4、 遞增（減）、擺動、循環(huán)數(shù)列： 5、 數(shù)列{an}的通項公式an： 6、 數(shù)列的前n項和公式Sn: 7、 等差數(shù)列、公差d、等差數(shù)列的結(jié)構(gòu)： 8、 等比數(shù)列、公比q、等比數(shù)列的結(jié)構(gòu)： 二、基本公式： 9、一般數(shù)列的通項an與前n項和Sn的關(guān)系：an= 10、等差數(shù)列的通項公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1為首項、ak為已知的第k項) 當(dāng)d≠0時，an是關(guān)于n的一次式；當(dāng)d=0時，an是一個常數(shù)。 11、等差數(shù)列的前n項和公式：Sn= Sn= Sn= 當(dāng)d≠0時，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項為0；當(dāng)d=0時（a1≠0），Sn=na1是關(guān)于n的正比例式。 12、等比數(shù)列的通項公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k (其中a1為首項、ak為已知的第k項，an≠0) 13、等比數(shù)列的前n項和公式：當(dāng)q=1時，Sn=n a1 (是關(guān)于n的正比例式)； 當(dāng)q≠1時，Sn= Sn= 三、有關(guān)等差、等比數(shù)列的結(jié)論 14、等差數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等差數(shù)列。 15、等差數(shù)列{an}中，若m+n=p+q，則 16、等比數(shù)列{an}中，若m+n=p+q，則 17、等比數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等比數(shù)列。 18、兩個等差數(shù)列{an}與{bn}的和差的數(shù)列{an+bn}、{an-bn}仍為等差數(shù)列。 19、兩個等比數(shù)列{an}與{bn}的積、商、倒數(shù)組成的數(shù)列 {an bn}、 、 仍為等比數(shù)列。 20、等差數(shù)列{an}的任意等距離的項構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列。 21、等比數(shù)列{an}的任意等距離的項構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。 22、三個數(shù)成等差的設(shè)法：a-d,a,a+d；四個數(shù)成等差的設(shè)法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d 23、三個數(shù)成等比的設(shè)法：a/q,a,aq； 四個數(shù)成等比的錯誤設(shè)法：a/q3,a/q,aq,aq3 (為什么？) 24、{an}為等差數(shù)列，則 (c>0)是等比數(shù)列。 25、{bn}（bn>0）是等比數(shù)列，則{logcbn} (c>0且c 1) 是等差數(shù)列。 26. 在等差數(shù)列 中： （1）若項數(shù)為 ，則 （2）若數(shù)為 則， ， 27. 在等比數(shù)列 中： （1） 若項數(shù)為 ，則 （2）若數(shù)為 則， 四、數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。關(guān)鍵是找數(shù)列的通項結(jié)構(gòu)。 28、分組法求數(shù)列的和：如an=2n+3n 29、錯位相減法求和：如an=(2n-1)2n 30、裂項法求和：如an=1/n(n+1) 31、倒序相加法求和：如an= 32、求數(shù)列{an}的最大、最小項的方法： ① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3 ② (an>0) 如an= ③ an=f(n) 研究函數(shù)f(n)的增減性 如an= 33、在等差數(shù)列 中,有關(guān)Sn 的最值問題——常用鄰項變號法求解： (1)當(dāng) >0,d<0時，滿足 的項數(shù)m使得 取最大值. (2)當(dāng) <0,d>0時，滿足 的項數(shù)m使得 取最小值。 在解含絕對值的數(shù)列最值問題時,注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。 六、平面向量 1．基本概念： 向量的定義、向量的模、零向量、單位向量、相反向量、共線向量、相等向量。 2． 加法與減法的代數(shù)運算： (1) ． (2)若a=（ ）,b=（ ）則a b=（ ）． 向量加法與減法的幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則。 以向量 = 、 = 為鄰邊作平行四邊形ABCD，則兩條對角線的向量 = + , = － , = － 且有｜ ｜－｜ ｜≤｜ ｜≤｜ ｜+｜ ｜． 向量加法有如下規(guī)律： ＋ = ＋ (交換律); +( +c)=( + )+c （結(jié)合律）; +0= ＋(－ )=0. 3．實數(shù)與向量的積：實數(shù) 與向量 的積是一個向量。 (1)｜ ｜=｜ ｜·｜ ｜; (2) 當(dāng) ＞0時， 與 的方向相同；當(dāng) ＜0時， 與 的方向相反；當(dāng) =0時， =0． (3)若 =（ ），則 · =（ ）． 兩個向量共線的充要條件： (1) 向量b與非零向量 共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù) ，使得b= ． (2) 若 =（ ）,b=（ ）則 ‖b ． 平面向量基本定理： 若e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量 ，有且只有一對實數(shù) ， ，使得 = e1+ e2． 4．P分有向線段 所成的比： 設(shè)P1、P2是直線 上兩個點，點P是 上不同于P1、P2的任意一點，則存在一個實數(shù) 使 = ， 叫做點P分有向線段 所成的比。 當(dāng)點P在線段 上時， ＞0；當(dāng)點P在線段 或 的延長線上時， ＜0； 分點坐標(biāo)公式：若 = ； 的坐標(biāo)分別為（ ）,（ ）,（ ）；則 （ ≠－1）， 中點坐標(biāo)公式： ． 5． 向量的數(shù)量積： （1）．向量的夾角： 已知兩個非零向量 與b，作 = , =b,則∠AOB= （ ）叫做向量 與b的夾角。 （2）．兩個向量的數(shù)量積： 已知兩個非零向量 與b，它們的夾角為 ，則 ·b=｜ ｜·｜b｜cos ． 其中｜b｜cos 稱為向量b在 方向上的投影． （3）．向量的數(shù)量積的性質(zhì)： 若 =（ ）,b=（ ）則e· = ·e=｜ ｜cos (e為單位向量); ⊥b ·b=0 （ ，b為非零向量）;｜ ｜= ; cos = = ． (4) ．向量的數(shù)量積的運算律： ·b=b· ;( )·b= ( ·b)= ·( b);( ＋b)·c= ·c+b·c． 6.主要思想與方法： 本章主要樹立數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的觀點，以數(shù)代形，以形觀數(shù)，用代數(shù)的運算處理幾何問題，特別是處理向量的相關(guān)位置關(guān)系，正確運用共線向量和平面向量的基本定理，計算向量的模、兩點的距離、向量的夾角，判斷兩向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往會與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解幾等結(jié)合起來進(jìn)行綜合考查，是知識的交匯點。 七、立體幾何 1.平面的基本性質(zhì)：掌握三個公理及推論，會說明共點、共線、共面問題。 能夠用斜二測法作圖。 2.空間兩條直線的位置關(guān)系：平行、相交、異面的概念； 會求異面直線所成的角和異面直線間的距離；證明兩條直線是異面直線一般用反證法。 3.直線與平面 ①位置關(guān)系：平行、直線在平面內(nèi)、直線與平面相交。 ②直線與平面平行的判斷方法及性質(zhì),判定定理是證明平行問題的依據(jù)。 ③直線與平面垂直的證明方法有哪些？ ④直線與平面所成的角：關(guān)鍵是找它在平面內(nèi)的射影，范圍是{00.900} ⑤三垂線定理及其逆定理：每年高考試題都要考查這個定理. 三垂線定理及其逆定理主要用于證明垂直關(guān)系與空間圖形的度量.如：證明異面直線垂直，確定二面角的平面角，確定點到直線的垂線. 4.平面與平面 (1)位置關(guān)系：平行、相交，（垂直是相交的一種特殊情況） (2)掌握平面與平面平行的證明方法和性質(zhì)。 (3)掌握平面與平面垂直的證明方法和性質(zhì)定理。尤其是已知兩平面垂直，一般是依據(jù)性質(zhì)定理，可以證明線面垂直。 (4)兩平面間的距離問題→點到面的距離問題→ (5)二面角。二面角的平面交的作法及求法： ①定義法，一般要利用圖形的對稱性；一般在計算時要解斜三角形； ②垂線、斜線、射影法，一般要求平面的垂線好找，一般在計算時要解一個直角三角形。 ③射影面積法，一般是二面交的兩個面只有一個公共點，兩個面的交線不容易找到時用此法? 具體的公式 http://www.ggjy.net/xspd/xsbk/200408/815.html 高中數(shù)學(xué)公式大全 http://www.xyjy.cn/Article/UploadFiles/200510/20051013100307519.doc 高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論 高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論 高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論 1. 元素與集合的關(guān)系 , . 2.德摩根公式 . 3.包含關(guān)系 4.容斥原理 . 5．集合 的子集個數(shù)共有 個；真子集有 –1個；非空子集有 –1個；非空的真子集有 –2個. 6.二次函數(shù)的解析式的三種形式 (1)一般式 ; (2)頂點式 ; (3)零點式 . 7.解連不等式 常有以下轉(zhuǎn)化形式 . 8.方程 在 上有且只有一個實根,與 不等價,前者是后者的一個必要而不是充分條件.特別地, 方程 有且只有一個實根在 內(nèi),等價于 ,或 且 ,或 且 . 9.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值 二次函數(shù) 在閉區(qū)間 上的最值只能在 處及區(qū)間的兩端點處取得，具體如下： (1)當(dāng)a>0時，若 ，則 ； ， ， . (2)當(dāng)a<0時，若 ，則 ，若 ，則 ， . 10.一元二次方程的實根分布 依據(jù)：若 ，則方程 在區(qū)間 內(nèi)至少有一個實根 . 設(shè) ，則 （1）方程 在區(qū)間 內(nèi)有根的充要條件為 或 ； （2）方程 在區(qū)間 內(nèi)有根的充要條件為 或 或 或 ； （3）方程 在區(qū)間 內(nèi)有根的充要條件為 或 .
高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點梳理
.函數(shù)的單調(diào)性
(1)設(shè)那么
上是增函數(shù)；
上是減函數(shù).
(2)設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù).
注：如果函數(shù)和都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)也是減函數(shù);如果函數(shù)和在其對應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù)是增函數(shù).
奇偶函數(shù)的圖象特征
奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù)．
注：若函數(shù)是偶函數(shù)，則；若函數(shù)是偶函數(shù)，則.
注：對于函數(shù)(),恒成立,則函數(shù)的對稱軸是函數(shù);兩個函數(shù)與 的圖象關(guān)于直線對稱.
注：若,則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱;若,則函數(shù)為周期為的周期函數(shù).
多項式函數(shù)的奇偶性
多項式函數(shù)是奇函數(shù)的偶次項(即奇數(shù)項)的系數(shù)全為零.
多項式函數(shù)是偶函數(shù)的奇次項(即偶數(shù)項)的系數(shù)全為零.
23.函數(shù)的圖象的對稱性
(1)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
.
(2)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
.
兩個函數(shù)圖象的對稱性
(1)函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線(即軸)對稱.
(2)函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.
(3)函數(shù)和的圖象關(guān)于直線y=x對稱.
25.若將函數(shù)的圖象右移、上移個單位，得到函數(shù)的圖象；若將曲線的圖象右移、上移個單位，得到曲線的圖象.
互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的關(guān)系
.
27.若函數(shù)存在反函數(shù),則其反函數(shù)為,并不是,而函數(shù)是的反函數(shù).
幾個常見的函數(shù)方程
(1)正比例函數(shù),.
(2)指數(shù)函數(shù),.
(3)對數(shù)函數(shù),.
(4)冪函數(shù),.
(5)余弦函數(shù),正弦函數(shù)，，
.
幾個函數(shù)方程的周期(約定a>0)
（1），則的周期T=a；
（2），
或，
或,
或,則的周期T=2a；
(3)，則的周期T=3a；
(4)且，則的周期T=4a；
(5)
,則的周期T=5a；
(6)，則的周期T=6a.
分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
(1)（，且）.
(2)（，且）.
根式的性質(zhì)
（1）.
（2）當(dāng)為奇數(shù)時，；
當(dāng)為偶數(shù)時，.
有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)
(1).
(2).
(3).
注：若a＞0，p是一個無理數(shù)，則ap表示一個確定的實數(shù)．上述有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)冪都適用.
33.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式
.
34.對數(shù)的換底公式
(,且,,且, ).
推論 (,且,,且,, ).
對數(shù)的四則運算法則
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則
(1);
(2);
(3).
注：設(shè)函數(shù),記.若的定義域為,則，且;若的值域為,則，且.對于的情形,需要單獨檢驗.
對數(shù)換底不等式及其推論
若,,,,則函數(shù)
當(dāng)時,在和上為增函數(shù).
(2)當(dāng)時,在和上為減函數(shù).
推論:設(shè)，，，且，則
（1）.
（2）.

高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論
1. 元素與集合的關(guān)系
,.
2.德摩根公式
.
3.包含關(guān)系
4.容斥原理
.
5．集合的子集個數(shù)共有 個；真子集有–1個；非空子集有 –1個；非空的真子集有–2個.
6.二次函數(shù)的解析式的三種形式
(1)一般式;
(2)頂點式;
(3)零點式.
7.解連不等式常有以下轉(zhuǎn)化形式
.
8.方程在上有且只有一個實根,與不等價,前者是后者的一個必要而不是充分條件.特別地, 方程有且只有一個實根在內(nèi),等價于,或且,或且.
9.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值
二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值只能在處及區(qū)間的兩端點處取得，具體如下：
(1)當(dāng)a>0時，若，則；
，，.
(2)當(dāng)a<0時，若，則，若，則，.
10.一元二次方程的實根分布
依據(jù)：若，則方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個實根 .
設(shè)，則
（1）方程在區(qū)間內(nèi)有根的充要條件為或；（2）方程在區(qū)間內(nèi)有根的充要條件為或或或；
（3）方程在區(qū)間內(nèi)有根的充要條件為或 .
11.定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)
(1)在給定區(qū)間的子區(qū)間（形如，，不同）上含參數(shù)的二次不等式(為參數(shù))恒成立的充要條件是.
(2)在給定區(qū)間的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式(為參數(shù))恒成立的充要條件是.
(3)恒成立的充要條件是或.
12.真值表
ｐ
ｑ
非ｐ
ｐ或ｑ
ｐ且ｑ
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
13.常見結(jié)論的否定形式
原結(jié)論
反設(shè)詞
原結(jié)論
反設(shè)詞
是
不是
至少有一個
一個也沒有
都是
不都是
至多有一個
至少有兩個
大于
不大于
至少有個
至多有（）個
小于
不小于
至多有個
至少有（）個
對所有，
成立
存在某，
不成立
或
且
對任何，
不成立
存在某，
成立
且
或
14.四種命題的相互關(guān)系
原命題　　　　　　　互逆　　　　　　　逆命題
若ｐ則ｑ　　　　　　　　　　　　　　　若ｑ則ｐ
　　　　　　　互　　　　　　　互
　　互　　　　　　　　為　　　為　　　　　　　　互
　　否　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　否
　　　　　　　　　　　逆　　　逆　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　否　　　　　　 否
否命題　　　　　　　　　　　　　　　逆否命題　　　
若非ｐ則非ｑ　　　　互逆　　　　　　若非ｑ則非ｐ
15.充要條件
（1）充分條件：若，則是充分條件.
（2）必要條件：若，則是必要條件.
（3）充要條件：若，且，則是充要條件.
注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.
16.函數(shù)的單調(diào)性
(1)設(shè)那么
上是增函數(shù)；
上是減函數(shù).
(2)設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù).
17.如果函數(shù)和都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)也是減函數(shù); 如果函數(shù)和在其對應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù)是增函數(shù).
18．奇偶函數(shù)的圖象特征
奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù)．
19.若函數(shù)是偶函數(shù)，則；若函數(shù)是偶函數(shù)，則.
20.對于函數(shù)(),恒成立,則函數(shù)的對稱軸是函數(shù);兩個函數(shù)與 的圖象關(guān)于直線對稱.
21.若,則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱; 若,則函數(shù)為周期為的周期函數(shù).
22．多項式函數(shù)的奇偶性
多項式函數(shù)是奇函數(shù)的偶次項(即奇數(shù)項)的系數(shù)全為零.
多項式函數(shù)是偶函數(shù)的奇次項(即偶數(shù)項)的系數(shù)全為零.
23.函數(shù)的圖象的對稱性
(1)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
.
(2)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
.
24.兩個函數(shù)圖象的對稱性
(1)函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線(即軸)對稱.
(2)函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.
(3)函數(shù)和的圖象關(guān)于直線y=x對稱.
25.若將函數(shù)的圖象右移、上移個單位，得到函數(shù)的圖象；若將曲線的圖象右移、上移個單位，得到曲線的圖象.
26．互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的關(guān)系
.
27.若函數(shù)存在反函數(shù),則其反函數(shù)為,并不是,而函數(shù)是的反函數(shù).
28.幾個常見的函數(shù)方程
(1)正比例函數(shù),.
(2)指數(shù)函數(shù),.
(3)對數(shù)函數(shù),.
(4)冪函數(shù),.
(5)余弦函數(shù),正弦函數(shù)，，
.
29.幾個函數(shù)方程的周期(約定a>0)
（1），則的周期T=a；
（2），
或，
或,
或,則的周期T=2a；
(3)，則的周期T=3a；
(4)且，則的周期T=4a；
(5)
,則的周期T=5a；
(6)，則的周期T=6a.
30.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
(1)（，且）.
(2)（，且）.
31．根式的性質(zhì)
（1）.
（2）當(dāng)為奇數(shù)時，；
當(dāng)為偶數(shù)時，.
32．有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)
(1) .
(2) .
(3).
注： 若a＞0，p是一個無理數(shù)，則ap表示一個確定的實數(shù)．上述有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)冪都適用.
33.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式
.
34.對數(shù)的換底公式
(,且,,且, ).
推論 (,且,,且,, ).
35．對數(shù)的四則運算法則
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則
(1);
(2) ;
(3).
36.設(shè)函數(shù),記.若的定義域為,則，且;若的值域為,則，且.對于的情形,需要單獨檢驗.
37. 對數(shù)換底不等式及其推廣
若,,,,則函數(shù)
(1)當(dāng)時,在和上為增函數(shù).
， (2)當(dāng)時,在和上為減函數(shù).
推論:設(shè)，，，且，則
（1）.
（2）.
38. 平均增長率的問題
如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為，則對于時間的總產(chǎn)值，有.
39.數(shù)列的同項公式與前n項的和的關(guān)系
( 數(shù)列的前n項的和為).
40.等差數(shù)列的通項公式
；
其前n項和公式為
.
41.等比數(shù)列的通項公式
；
其前n項的和公式為
或.
42.等比差數(shù)列:的通項公式為
；
其前n項和公式為
.
43.分期付款(按揭貸款)
每次還款元(貸款元,次還清,每期利率為).
44．常見三角不等式
（1）若，則.
(2) 若，則.
(3) .
45.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式
，=，.
46.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式（奇變偶不變，符號看象限）

47.和角與差角公式
;
;
.
(平方正弦公式);
.
=(輔助角所在象限由點的象限決定, ).
48.二倍角公式
.
.
.
49. 三倍角公式
.
..
50.三角函數(shù)的周期公式
函數(shù)，x∈R及函數(shù)，x∈R(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期；函數(shù)，(A,ω,為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期.
51.正弦定理?
.
52.余弦定理
;
;
.
53.面積定理
（1）（分別表示a、b、c邊上的高）.
（2）.
(3).
54.三角形內(nèi)角和定理
在△ABC中，有
.
55. 簡單的三角方程的通解
.
.
.
特別地,有
.
.
.
56.最簡單的三角不等式及其解集
.
.
.
.
.
.
57.實數(shù)與向量的積的運算律
設(shè)λ、μ為實數(shù)，那么
(1) 結(jié)合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
58.向量的數(shù)量積的運算律：
(1) a·b= b·a （交換律）;
(2)（a）·b= （a·b）=a·b= a·（b）;
(3)（a+b）·c= a ·c +b·c.
59.平面向量基本定理?
如果e1、e 2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．
不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．
60．向量平行的坐標(biāo)表示??
設(shè)a=,b=，且b0，則ab(b0).
53. a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)
a·b=|a||b|cosθ．
61. a·b的幾何意義
數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．
62.平面向量的坐標(biāo)運算
(1)設(shè)a=,b=，則a+b=.
(2)設(shè)a=,b=，則a-b=.
(3)設(shè)A，B,則.
(4)設(shè)a=，則a=.
(5)設(shè)a=,b=，則a·b=.
63.兩向量的夾角公式
(a=,b=).
64.平面兩點間的距離公式
=
(A，B).
65.向量的平行與垂直
設(shè)a=,b=，且b0，則
A||bb=λa .
ab(a0)a·b=0.
66.線段的定比分公式 ?
設(shè)，，是線段的分點,是實數(shù)，且，則
（）.
67.三角形的重心坐標(biāo)公式
△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為、、,則△ABC的重心的坐標(biāo)是.
68.點的平移公式
.
注:圖形F上的任意一點P(x，y)在平移后圖形上的對應(yīng)點為，且的坐標(biāo)為.
69.“按向量平移”的幾個結(jié)論
（1）點按向量a=平移后得到點.
(2) 函數(shù)的圖象按向量a=平移后得到圖象,則的函數(shù)解析式為.
(3) 圖象按向量a=平移后得到圖象,若的解析式,則的函數(shù)解析式為.
(4)曲線:按向量a=平移后得到圖象,則的方程為.
(5) 向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然為m=.
70. 三角形五“心”向量形式的充要條件
設(shè)為所在平面上一點，角所對邊長分別為，則
（1）為的外心.
（2）為的重心.
（3）為的垂心.
（4）為的內(nèi)心.
（5）為的的旁心.
71.常用不等式：
（1）(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取“=”號)．
（2）(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取“=”號)．
（3）
（4）柯西不等式
（5）.
72.極值定理
已知都是正數(shù)，則有
（1）若積是定值，則當(dāng)時和有最小值；
（2）若和是定值，則當(dāng)時積有最大值.
推廣 已知，則有
（1）若積是定值,則當(dāng)最大時,最大；
當(dāng)最小時,最小.
（2）若和是定值,則當(dāng)最大時, 最小；
當(dāng)最小時, 最大.
73.一元二次不等式，如果與同號，則其解集在兩根之外；如果與異號，則其解集在兩根之間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.
；
.
74.含有絕對值的不等式
當(dāng)a> 0時，有
.
或.
75.無理不等式
（1） .
（2）.
（3）.
76.指數(shù)不等式與對數(shù)不等式
(1)當(dāng)時,
;
.
(2)當(dāng)時,
;
77.斜率公式
（、）.
78.直線的五種方程
（1）點斜式 (直線過點，且斜率為)．
（2）斜截式 (b為直線在y軸上的截距).
（3）兩點式 ()(、 ()).
(4)截距式 (分別為直線的橫、縱截距，)
（5）一般式 (其中A、B不同時為0).
79.兩條直線的平行和垂直
(1)若，
①;
②.
(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不為零,
①；
②；
80.夾角公式
(1).
(，,)
(2).
(,,).
直線時，直線l1與l2的夾角是.
81. 到的角公式
(1).
(，,)
(2).
(,,).
直線時，直線l1到l2的角是.
82．四種常用直線系方程
(1)定點直線系方程：經(jīng)過定點的直線系方程為(除直線),其中是待定的系數(shù); 經(jīng)過定點的直線系方程為,其中是待定的系數(shù)．
(2)共點直線系方程：經(jīng)過兩直線,的交點的直線系方程為(除)，其中λ是待定的系數(shù)．
(3)平行直線系方程：直線中當(dāng)斜率k一定而b變動時，表示平行直線系方程．與直線平行的直線系方程是()，λ是參變量．
(4)垂直直線系方程：與直線 (A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是,λ是參變量．
83.點到直線的距離
(點,直線：).
84. 或所表示的平面區(qū)域
設(shè)直線，則或所表示的平面區(qū)域是：
若，當(dāng)與同號時，表示直線的上方的區(qū)域；當(dāng)與異號時，表示直線的下方的區(qū)域.簡言之,同號在上,異號在下.
若，當(dāng)與同號時，表示直線的右方的區(qū)域；當(dāng)與異號時，表示直線的左方的區(qū)域. 簡言之,同號在右,異號在左.
85. 或所表示的平面區(qū)域
設(shè)曲線（），則
或所表示的平面區(qū)域是：
所表示的平面區(qū)域上下兩部分；
所表示的平面區(qū)域上下兩部分.
86. 圓的四種方程
（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 .
（2）圓的一般方程 (＞0).
（3）圓的參數(shù)方程 .
（4）圓的直徑式方程 (圓的直徑的端點是、).
87. 圓系方程
(1)過點,的圓系方程是
,其中是直線的方程,λ是待定的系數(shù)．
(2)過直線:與圓:的交點的圓系方程是,λ是待定的系數(shù)．
(3) 過圓:與圓:的交點的圓系方程是,λ是待定的系數(shù)．
88.點與圓的位置關(guān)系
點與圓的位置關(guān)系有三種
若，則
點在圓外;點在圓上;點在圓內(nèi).
89.直線與圓的位置關(guān)系
直線與圓的位置關(guān)系有三種:
;
;
.
其中.
90.兩圓位置關(guān)系的判定方法
設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，
;
;
;
;
.
91.圓的切線方程
(1)已知圓．
①若已知切點在圓上，則切線只有一條，其方程是
.
當(dāng)圓外時, 表示過兩個切點的切點弦方程．
②過圓外一點的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求k，這時必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線．
③斜率為k的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求b，必有兩條切線．
(2)已知圓．
①過圓上的點的切線方程為;
②斜率為的圓的切線方程為.
92.橢圓的參數(shù)方程是.
93.橢圓焦半徑公式
，.
94．橢圓的的內(nèi)外部
（1）點在橢圓的內(nèi)部.
（2）點在橢圓的外部.
95. 橢圓的切線方程
(1)橢圓上一點處的切線方程是.
（2）過橢圓外一點所引兩條切線的切點弦方程是
.
（3）橢圓與直線相切的條件是.
96.雙曲線的焦半徑公式
，.
97.雙曲線的內(nèi)外部
(1)點在雙曲線的內(nèi)部.
(2)點在雙曲線的外部.
98.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系
(1）若雙曲線方程為漸近線方程：.
(2)若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為.
(3)若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為（，焦點在x軸上，，焦點在y軸上）.
99. 雙曲線的切線方程
(1)雙曲線上一點處的切線方程是.
（2）過雙曲線外一點所引兩條切線的切點弦方程是
.
（3）雙曲線與直線相切的條件是.
100. 拋物線的焦半徑公式
拋物線焦半徑.
過焦點弦長.
101.拋物線上的動點可設(shè)為P或 P，其中 .
102.二次函數(shù)的圖象是拋物線：（1）頂點坐標(biāo)為；（2）焦點的坐標(biāo)為；（3）準(zhǔn)線方程是.
103.拋物線的內(nèi)外部
(1)點在拋物線的內(nèi)部.
點在拋物線的外部.
(2)點在拋物線的內(nèi)部.
點在拋物線的外部.
(3)點在拋物線的內(nèi)部.
點在拋物線的外部.
(4) 點在拋物線的內(nèi)部.
點在拋物線的外部.
104. 拋物線的切線方程
(1)拋物線上一點處的切線方程是.
（2）過拋物線外一點所引兩條切線的切點弦方程是.
（3）拋物線與直線相切的條件是.
105.兩個常見的曲線系方程
(1)過曲線,的交點的曲線系方程是
(為參數(shù)).
(2)共焦點的有心圓錐曲線系方程,其中.當(dāng)時,表示橢圓; 當(dāng)時,表示雙曲線.
106.直線與圓錐曲線相交的弦長公式 或
（弦端點A，由方程 消去y得到，,為直線的傾斜角，為直線的斜率）.
107.圓錐曲線的兩類對稱問題
（1）曲線關(guān)于點成中心對稱的曲線是.
（2）曲線關(guān)于直線成軸對稱的曲線是
.
108.“四線”一方程
對于一般的二次曲線，用代，用代，用代，用代，用代即得方程
，曲線的切線，切點弦，中點弦，弦中點方程均是此方程得到.
109．證明直線與直線的平行的思考途徑
（1）轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點；
（2）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；
（3）轉(zhuǎn)化為線面平行；
（4）轉(zhuǎn)化為線面垂直；
（5）轉(zhuǎn)化為面面平行.
110．證明直線與平面的平行的思考途徑
（1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點；
（2）轉(zhuǎn)化為線線平行；
（3）轉(zhuǎn)化為面面平行.
111．證明平面與平面平行的思考途徑
（1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點；
（2）轉(zhuǎn)化為線面平行；
（3）轉(zhuǎn)化為線面垂直.
112．證明直線與直線的垂直的思考途徑
（1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；
（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；
（3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；
（4）轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.
113．證明直線與平面垂直的思考途徑
（1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；
（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；
（3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；
（4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個平行平面；
（5）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個垂直平面的交線垂直.
114．證明平面與平面的垂直的思考途徑
（1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；
（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直.
115.空間向量的加法與數(shù)乘向量運算的運算律
(1)加法交換律：a＋b=b＋a．
(2)加法結(jié)合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．
(3)數(shù)乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．
116.平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣
始點相同且不在同一個平面內(nèi)的三個向量之和，等于以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的對角線所表示的向量.
117.共線向量定理
對空間任意兩個向量a、b(b≠0 )，a∥b存在實數(shù)λ使a=λb．
三點共線.
、共線且不共線且不共線.
118.共面向量定理
向量p與兩個不共線的向量a、b共面的存在實數(shù)對,使．
推論 空間一點P位于平面MAB內(nèi)的存在有序?qū)崝?shù)對,使，
或?qū)臻g任一定點O，有序?qū)崝?shù)對，使.
119.對空間任一點和不共線的三點A、B、C，滿足（），則當(dāng)時，對于空間任一點，總有P、A、B、C四點共面；當(dāng)時，若平面ABC，則P、A、B、C四點共面；若平面ABC，則P、A、B、C四點不共面．
四點共面與、共面
（平面ABC）.
120.空間向量基本定理
如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．
推論 設(shè)O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)x，y，z，使.
121.射影公式
已知向量=a和軸，e是上與同方向的單位向量.作A點在上的射影，作B點在上的射影，則
〈a，e〉=a·e
122.向量的直角坐標(biāo)運算
設(shè)a＝，b＝則
(1)a＋b＝；
(2)a－b＝；
(3)λa＝ (λ∈R)；
(4)a·b＝；
123.設(shè)A，B，則
= .
124．空間的線線平行或垂直
設(shè)，，則
；
.
125.夾角公式
設(shè)a＝，b＝，則
cos〈a，b〉=.
推論 ，此即三維柯西不等式.
126. 四面體的對棱所成的角
四面體中, 與所成的角為,則
.
127．異面直線所成角
=
（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量）
128.直線與平面所成角
(為平面的法向量).
129.若所在平面若與過若的平面成的角,另兩邊,與平面成的角分別是、,為的兩個內(nèi)角，則
.
特別地,當(dāng)時,有
.
130.若所在平面若與過若的平面成的角,另兩邊,與平面成的角分別是、,為的兩個內(nèi)角，則
.
特別地,當(dāng)時,有
.
131.二面角的平面角
或（，為平面，的法向量）.
132.三余弦定理
設(shè)AC是α內(nèi)的任一條直線，且BC⊥AC，垂足為C，又設(shè)AO與AB所成的角為，AB與AC所成的角為，AO與AC所成的角為．則.
133. 三射線定理
若夾在平面角為的二面角間的線段與二面角的兩個半平面所成的角是,,與二面角的棱所成的角是θ，則有 ;
(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立).
134.空間兩點間的距離公式
若A，B，則
=.
135.點到直線距離
(點在直線上，直線的方向向量a=，向量b=).
136.異面直線間的距離
(是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點，為間的距離).
137.點到平面的距離
（為平面的法向量，是經(jīng)過面的一條斜線，）.
138.異面直線上兩點距離公式
.
.
（）.
(兩條異面直線a、b所成的角為θ，其公垂線段的長度為h.在直線a、b上分別取兩點E、F，,,).
139.三個向量和的平方公式

140. 長度為的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為，夾角分別為,則有
.
（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）.
141. 面積射影定理
.
(平面多邊形及其射影的面積分別是、，它們所在平面所成銳二面角的為).
142. 斜棱柱的直截面
已知斜棱柱的側(cè)棱長是,側(cè)面積和體積分別是和,它的直截面的周長和面積分別是和,則
①.
②.
143．作截面的依據(jù)
三個平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點或互相平行.
144．棱錐的平行截面的性質(zhì)
如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比（對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊對應(yīng)成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對應(yīng)邊的比的平方）；相應(yīng)小棱錐與小棱錐的側(cè)面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比．
145.歐拉定理(歐拉公式)
(簡單多面體的頂點數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F).
（1）=各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地,若每個面的邊數(shù)為的多邊形，則面數(shù)F與棱數(shù)E的關(guān)系：；
（2）若每個頂點引出的棱數(shù)為，則頂點數(shù)V與棱數(shù)E的關(guān)系：.
146.球的半徑是R，則
其體積,
其表面積．
147.球的組合體
(1)球與長方體的組合體:
長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.
(2)球與正方體的組合體:
正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長, 正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長, 正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.
(3) 球與正四面體的組合體:
棱長為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為,外接球的半徑為.
148．柱體、錐體的體積
（是柱體的底面積、是柱體的高）.
（是錐體的底面積、是錐體的高）.
149.分類計數(shù)原理（加法原理）
.
150.分步計數(shù)原理（乘法原理）
.
151.排列數(shù)公式
==.(，∈N*，且)．
注:規(guī)定.
152.排列恒等式
(1）;
（2）;
（3）;
（4）;
（5）.
(6) .
153.組合數(shù)公式
===(∈N*，，且).
154.組合數(shù)的兩個性質(zhì)
(1)= ;
(2) +=.
注:規(guī)定.
155.組合恒等式
（1）;
（2）;
（3）;
（4）=;
（5）.
(6).
(7).
(8).
(9).
(10).
156.排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系
.
157．單條件排列
以下各條的大前提是從個元素中取個元素的排列.
（1）“在位”與“不在位”
①某（特）元必在某位有種；②某（特）元不在某位有（補集思想）（著眼位置）（著眼元素）種.
（2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰）
①定位緊貼：個元在固定位的排列有種.
②浮動緊貼：個元素的全排列把k個元排在一起的排法有種.注：此類問題常用捆綁法；
③插空：兩組元素分別有k、h個（），把它們合在一起來作全排列，k個的一組互不能挨近的所有排列數(shù)有種.
（3）兩組元素各相同的插空
個大球個小球排成一列，小球必分開，問有多少種排法？
當(dāng)時，無解；當(dāng)時，有種排法.
（4）兩組相同元素的排列：兩組元素有m個和n個，各組元素分別相同的排列數(shù)為.
158．分配問題
（1）(平均分組有歸屬問題)將相異的、個物件等分給個人，各得件，其分配方法數(shù)共有.
（2）(平均分組無歸屬問題)將相異的·個物體等分為無記號或無順序的堆，其分配方法數(shù)共有
.
（3）(非平均分組有歸屬問題)將相異的個物體分給個人，物件必須被分完，分別得到，，…，件，且，，…，這個數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)共有.
（4）(非完全平均分組有歸屬問題)將相異的個物體分給個人，物件必須被分完，分別得到，，…，件，且，，…，這個數(shù)中分別有a、b、c、…個相等，則其分配方法數(shù)有 .
（5）(非平均分組無歸屬問題)將相異的個物體分為任意的，，…，件無記號的堆，且，，…，這個數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)有.
（6）(非完全平均分組無歸屬問題)將相異的個物體分為任意的，，…，件無記號的堆，且，，…，這個數(shù)中分別有a、b、c、…個相等，則其分配方法數(shù)有.
（7）(限定分組有歸屬問題)將相異的（）個物體分給甲、乙、丙，……等個人，物體必須被分完，如果指定甲得件，乙得件，丙得件，…時，則無論，，…，等個數(shù)是否全相異或不全相異其分配方法數(shù)恒有
.
159．“錯位問題”及其推廣
貝努利裝錯箋問題:信封信與個信封全部錯位的組合數(shù)為
.
推廣: 個元素與個位置,其中至少有個元素錯位的不同組合總數(shù)為
.
160．不定方程的解的個數(shù)
(1)方程（）的正整數(shù)解有個.
(2) 方程（）的非負(fù)整數(shù)解有 個.
(3) 方程（）滿足條件(,)的非負(fù)整數(shù)解有個.
(4) 方程（）滿足條件(,)的正整數(shù)解有個.
161.二項式定理 ;
二項展開式的通項公式
.
162.等可能性事件的概率
.
163.互斥事件A，B分別發(fā)生的概率的和
P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
164.個互斥事件分別發(fā)生的概率的和
P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
165.獨立事件A，B同時發(fā)生的概率
P(A·B)= P(A)·P(B).
166.n個獨立事件同時發(fā)生的概率
P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)．
167.n次獨立重復(fù)試驗中某事件恰好發(fā)生k次的概率
168.離散型隨機變量的分布列的兩個性質(zhì)
（1）;
（2）.
169.數(shù)學(xué)期望
170.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)
（1）.
（2）若～,則.
(3) 若服從幾何分布,且，則.
171.方差
172.標(biāo)準(zhǔn)差
=.
173.方差的性質(zhì)
(1)；
(2）若～，則.
(3) 若服從幾何分布,且，則.
174.方差與期望的關(guān)系
.
175.正態(tài)分布密度函數(shù)
，式中的實數(shù)μ，（>0）是參數(shù)，分別表示個體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.
176.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)
.
177.對于，取值小于x的概率
.
.
178.回歸直線方程
，其中.
179.相關(guān)系數(shù)
.
|r|≤1，且|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；|r|越接近于0，相關(guān)程度越小.
180.特殊數(shù)列的極限
（1）.
（2）.
（3）（無窮等比數(shù)列 ()的和）.
181. 函數(shù)的極限定理
.
182.函數(shù)的夾逼性定理
如果函數(shù)f(x)，g(x)，h(x)在點x0的附近滿足：
（1）;
（2）（常數(shù)）,
則.
本定理對于單側(cè)極限和的情況仍然成立.
183.幾個常用極限
（1），（）；
（2），.
184.兩個重要的極限
（1）；
（2）(e=2.718281845…).
185.函數(shù)極限的四則運算法則
若，，則
(1)；
(2);
(3).
186.數(shù)列極限的四則運算法則
若，則
(1)；
(2)；
(3)
(4)( c是常數(shù)).
187.在處的導(dǎo)數(shù)（或變化率或微商）
.
188.瞬時速度
.
189.瞬時加速度
.
190.在的導(dǎo)數(shù)
.
191. 函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)是曲線在處的切線的斜率，相應(yīng)的切線方程是.
192.幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
(1) （C為常數(shù)）.
(2) .
(3) .
(4) .
(5) ；.
(6) ; .
193.導(dǎo)數(shù)的運算法則
（1）.
（2）.
（3）.
194.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
設(shè)函數(shù)在點處有導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在點處的對應(yīng)點U處有導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點處有導(dǎo)數(shù)，且，或?qū)懽?
195.常用的近似計算公式（當(dāng)充小時）
(1);；
(2)； ；
(3)；
(4)；
(5)（為弧度）；
(6)（為弧度）；
(7)（為弧度）
196.判別是極大（小）值的方法
當(dāng)函數(shù)在點處連續(xù)時，
（1）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，則是極大值；
（2）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，則是極小值.
197.復(fù)數(shù)的相等
.（）
198.復(fù)數(shù)的模（或絕對值）
==.
199.復(fù)數(shù)的四則運算法則
(1);
(2);
(3);
(4).
200.復(fù)數(shù)的乘法的運算律
對于任何，有
交換律:.
結(jié)合律:.
分配律: .
201.復(fù)平面上的兩點間的距離公式
（，）.
202.向量的垂直
非零復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別是，，則
的實部為零為純虛數(shù)
(λ為非零實數(shù)).
203.實系數(shù)一元二次方程的解
實系數(shù)一元二次方程，
①若,則;
②若,則;
③若，它在實數(shù)集內(nèi)沒有實數(shù)根；在復(fù)數(shù)集內(nèi)有且僅有兩個共軛復(fù)數(shù)根.
高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)
1. 對于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性”。

中元素各表示什么？

注重借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問題。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。



3. 注意下列性質(zhì)：


（3）德摩根定律：

4. 你會用補集思想解決問題嗎？（排除法、間接法）

的取值范圍。





6. 命題的四種形式及其相互關(guān)系是什么？
（互為逆否關(guān)系的命題是等價命題。）
原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。
7. 對映射的概念了解嗎？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中與之對應(yīng)元素的唯一性，哪幾種對應(yīng)能構(gòu)成映射？
（一對一，多對一，允許B中有元素?zé)o原象。）
8. 函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個函數(shù)是否相同？
（定義域、對應(yīng)法則、值域）
9. 求函數(shù)的定義域有哪些常見類型？


10. 如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？

義域是_____________。

11. 求一個函數(shù)的解析式或一個函數(shù)的反函數(shù)時，注明函數(shù)的定義域了嗎？





12. 反函數(shù)存在的條件是什么？
（一一對應(yīng)函數(shù)）
求反函數(shù)的步驟掌握了嗎？
（①反解x；②互換x、y；③注明定義域）


13. 反函數(shù)的性質(zhì)有哪些？
①互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱；
②保存了原來函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性；


14. 如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？
（取值、作差、判正負(fù)）
如何判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性？







∴……）
15. 如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？


值是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3



∴a的最大值為3）
16. 函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？
（f(x)定義域關(guān)于原點對稱）


注意如下結(jié)論：
（1）在公共定義域內(nèi)：兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。








17. 你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？

函數(shù)，T是一個周期。）





如：
18. 你掌握常用的圖象變換了嗎？








注意如下“翻折”變換：



19. 你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？


的雙曲線。




應(yīng)用：①“三個二次”（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）的關(guān)系——二次方程
②求閉區(qū)間［m，n］上的最值。
③求區(qū)間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。
④一元二次方程根的分布問題。




由圖象記性質(zhì)！ （注意底數(shù)的限定！）

利用它的單調(diào)性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別是什么？
20. 你在基本運算上常出現(xiàn)錯誤嗎？






21. 如何解抽象函數(shù)問題？
（賦值法、結(jié)構(gòu)變換法）







22. 掌握求函數(shù)值域的常用方法了嗎？
（二次函數(shù)法（配方法），反函數(shù)法，換元法，均值定理法，判別式法，利用函數(shù)單調(diào)性法，導(dǎo)數(shù)法等。）
如求下列函數(shù)的最值：





23. 你記得弧度的定義嗎？能寫出圓心角為α，半徑為R的弧長公式和扇形面積公式嗎？

24. 熟記三角函數(shù)的定義，單位圓中三角函數(shù)線的定義






25. 你能迅速畫出正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象嗎？并由圖象寫出單調(diào)區(qū)間、對稱點、對稱軸嗎？
















（x，y）作圖象。




27. 在三角函數(shù)中求一個角時要注意兩個方面——先求出某一個三角函數(shù)值，再判定角的范圍。


28. 在解含有正、余弦函數(shù)的問題時，你注意（到）運用函數(shù)的有界性了嗎？


29. 熟練掌握三角函數(shù)圖象變換了嗎？
（平移變換、伸縮變換）
平移公式：



圖象？

30. 熟練掌握同角三角函數(shù)關(guān)系和誘導(dǎo)公式了嗎？


“奇”、“偶”指k取奇、偶數(shù)。


A. 正值或負(fù)值 B. 負(fù)值 C. 非負(fù)值 D. 正值

31. 熟練掌握兩角和、差、倍、降冪公式及其逆向應(yīng)用了嗎？
理解公式之間的聯(lián)系：





應(yīng)用以上公式對三角函數(shù)式化簡。（化簡要求：項數(shù)最少、函數(shù)種類最少，分母中不含三角函數(shù)，能求值，盡可能求值。）
具體方法：

（2）名的變換：化弦或化切
（3）次數(shù)的變換：升、降冪公式
（4）形的變換：統(tǒng)一函數(shù)形式，注意運用代數(shù)運算。




32. 正、余弦定理的各種表達(dá)形式你還記得嗎？如何實現(xiàn)邊、角轉(zhuǎn)化，而解斜三角形？

（應(yīng)用：已知兩邊一夾角求第三邊；已知三邊求角。）















33. 用反三角函數(shù)表示角時要注意角的范圍。



34. 不等式的性質(zhì)有哪些？









答案：C
35. 利用均值不等式：

值？（一正、二定、三相等）
注意如下結(jié)論：











36. 不等式證明的基本方法都掌握了嗎？
（比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等）
并注意簡單放縮法的應(yīng)用。




（移項通分，分子分母因式分解，x的系數(shù)變?yōu)?，穿軸法解得結(jié)果。）
38. 用“穿軸法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，從最大根的右上方開始

39. 解含有參數(shù)的不等式要注意對字母參數(shù)的討論

40. 對含有兩個絕對值的不等式如何去解？
（找零點，分段討論，去掉絕對值符號，最后取各段的并集。）





證明：



（按不等號方向放縮）
42. 不等式恒成立問題，常用的處理方式是什么？（可轉(zhuǎn)化為最值問題，或“△”問題）







43. 等差數(shù)列的定義與性質(zhì)










0的二次函數(shù)）

項，即：







44. 等比數(shù)列的定義與性質(zhì)








46. 你熟悉求數(shù)列通項公式的常用方法嗎？
例如：（1）求差（商）法

解：




［練習(xí)］




（2）疊乘法

解：

（3）等差型遞推公式




［練習(xí)］


（4）等比型遞推公式







［練習(xí)］


（5）倒數(shù)法






47. 你熟悉求數(shù)列前n項和的常用方法嗎？
例如：（1）裂項法：把數(shù)列各項拆成兩項或多項之和，使之出現(xiàn)成對互為相反數(shù)的項。

解：


［練習(xí)］


（2）錯位相減法：






（3）倒序相加法：把數(shù)列的各項順序倒寫，再與原來順序的數(shù)列相加。


［練習(xí)］




48. 你知道儲蓄、貸款問題嗎？
△零存整取儲蓄（單利）本利和計算模型：
若每期存入本金p元，每期利率為r，n期后，本利和為：

△若按復(fù)利，如貸款問題——按揭貸款的每期還款計算模型（按揭貸款——分期等額歸還本息的借款種類）
若貸款（向銀行借款）p元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年）后為第一次還款日，如此下去，第n次還清。如果每期利率為r（按復(fù)利），那么每期應(yīng)還x元，滿足



p——貸款數(shù)，r——利率，n——還款期數(shù)
49. 解排列、組合問題的依據(jù)是：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合。




（2）排列：從n個不同元素中，任取m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一


（3）組合：從n個不同元素中任取m（m≤n）個元素并組成一組，叫做從n個不




50. 解排列與組合問題的規(guī)律是：
相鄰問題捆綁法；相間隔問題插空法；定位問題優(yōu)先法；多元問題分類法；至多至少問題間接法；相同元素分組可采用隔板法，數(shù)量不大時可以逐一排出結(jié)果。
如：學(xué)號為1，2，3，4的四名學(xué)生的考試成績
則這四位同學(xué)考試成績的所有可能情況是（ ）
A. 24 B. 15 C. 12 D. 10
解析：可分成兩類：



（2）中間兩個分?jǐn)?shù)相等

相同兩數(shù)分別取90，91，92，對應(yīng)的排列可以數(shù)出來，分別有3，4，3種，∴有10種。
∴共有5＋10＝15（種）情況
51. 二項式定理


性質(zhì)：



（3）最值：n為偶數(shù)時，n＋1為奇數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)最大且為第

表示）








52. 你對隨機事件之間的關(guān)系熟悉嗎？



的和（并）。

（5）互斥事件（互不相容事件）：“A與B不能同時發(fā)生”叫做A、B互斥。

（6）對立事件（互逆事件）：


（7）獨立事件：A發(fā)生與否對B發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件。

53. 對某一事件概率的求法：
分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列組合的方法，即




（5）如果在一次試驗中A發(fā)生的概率是p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中A恰好發(fā)生
如：設(shè)10件產(chǎn)品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。
（1）從中任取2件都是次品；

（2）從中任取5件恰有2件次品；

（3）從中有放回地任取3件至少有2件次品；
解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝103
而至少有2件次品為“恰有2次品”和“三件都是次品”


（4）從中依次取5件恰有2件次品。
解析：∵一件一件抽取（有順序）


分清（1）、（2）是組合問題，（3）是可重復(fù)排列問題，（4）是無重復(fù)排列問題。
54. 抽樣方法主要有：簡單隨機抽樣（抽簽法、隨機數(shù)表法）常常用于總體個數(shù)較少時，它的特征是從總體中逐個抽取；系統(tǒng)抽樣，常用于總體個數(shù)較多時，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一個；分層抽樣，主要特征是分層按比例抽樣，主要用于總體中有明顯差異，它們的共同特征是每個個體被抽到的概率相等，體現(xiàn)了抽樣的客觀性和平等性。
55. 對總體分布的估計——用樣本的頻率作為總體的概率，用樣本的期望（平均值）和方差去估計總體的期望和方差。
要熟悉樣本頻率直方圖的作法：

（2）決定組距和組數(shù)；
（3）決定分點；
（4）列頻率分布表；
（5）畫頻率直方圖。



如：從10名女生與5名男生中選6名學(xué)生參加比賽，如果按性別分層隨機抽樣，則組成此參賽隊的概率為____________。

56. 你對向量的有關(guān)概念清楚嗎？
（1）向量——既有大小又有方向的量。




在此規(guī)定下向量可以在平面（或空間）平行移動而不改變。
（6）并線向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。
規(guī)定零向量與任意向量平行。

（7）向量的加、減法如圖：


（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）

的一組基底。
（9）向量的坐標(biāo)表示

表示。






57. 平面向量的數(shù)量積


數(shù)量積的幾何意義：

（2）數(shù)量積的運算法則











［練習(xí)］

答案：

答案：2

答案：
58. 線段的定比分點




※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、內(nèi)心及其性質(zhì)嗎？
59. 立體幾何中平行、垂直關(guān)系證明的思路清楚嗎？
平行垂直的證明主要利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化：

線面平行的判定：

線面平行的性質(zhì)：

三垂線定理（及逆定理）：


線面垂直：

面面垂直：




60. 三類角的定義及求法
（1）異面直線所成的角θ，0°＜θ≤90°
（2）直線與平面所成的角θ，0°≤θ≤90°


（三垂線定理法：A∈α作或證AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，連AO，則AO⊥棱l，∴∠AOB為所求。）
三類角的求法：
①找出或作出有關(guān)的角。
②證明其符合定義，并指出所求作的角。
③計算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。
［練習(xí)］
（1）如圖，OA為α的斜線OB為其在α內(nèi)射影，OC為α內(nèi)過O點任一直線。


（2）如圖，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中對角線BD1＝8，BD1與側(cè)面B1BCC1所成的為30°。
①求BD1和底面ABCD所成的角；
②求異面直線BD1和AD所成的角；
③求二面角C1—BD1—B1的大小。

（3）如圖ABCD為菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB與面PCD所成的銳二面角的大小。
（∵AB∥DC，P為面PAB與面PCD的公共點，作PF∥AB，則PF為面PCD與面PAB的交線……）
61. 空間有幾種距離？如何求距離？
點與點，點與線，點與面，線與線，線與面，面與面間距離。
將空間距離轉(zhuǎn)化為兩點的距離，構(gòu)造三角形，解三角形求線段的長（如：三垂線定理法，或者用等積轉(zhuǎn)化法）。
如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱長為a，則：
（1）點C到面AB1C1的距離為___________；
（2）點B到面ACB1的距離為____________；
（3）直線A1D1到面AB1C1的距離為____________；
（4）面AB1C與面A1DC1的距離為____________；
（5）點B到直線A1C1的距離為_____________。
62. 你是否準(zhǔn)確理解正棱柱、正棱錐的定義并掌握它們的性質(zhì)？
正棱柱——底面為正多邊形的直棱柱
正棱錐——底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面的中心。
正棱錐的計算集中在四個直角三角形中：

它們各包含哪些元素？


63. 球有哪些性質(zhì)？

（2）球面上兩點的距離是經(jīng)過這兩點的大圓的劣弧長。為此，要找球心角！
（3）如圖，θ為緯度角，它是線面成角；α為經(jīng)度角，它是面面成角。

（5）球內(nèi)接長方體的對角線是球的直徑。正四面體的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑r之比為R：r＝3：1。

積為（ ）

答案：A
64. 熟記下列公式了嗎？


（2）直線方程：







65. 如何判斷兩直線平行、垂直？




66. 怎樣判斷直線l與圓C的位置關(guān)系？
圓心到直線的距離與圓的半徑比較。
直線與圓相交時，注意利用圓的“垂徑定理”。
67. 怎樣判斷直線與圓錐曲線的位置？

68. 分清圓錐曲線的定義











70. 在圓錐曲線與直線聯(lián)立求解時，消元后得到的方程，要注意其二次項系數(shù)是否為零？△≥0的限制。（求交點，弦長，中點，斜率，對稱存在性問題都在△≥0下進(jìn)行。）


71. 會用定義求圓錐曲線的焦半徑嗎？
如：




通徑是拋物線的所有焦點弦中最短者；以焦點弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。
72. 有關(guān)中點弦問題可考慮用“代點法”。

答案：
73. 如何求解“對稱”問題？
（1）證明曲線C：F（x，y）＝0關(guān)于點M（a，b）成中心對稱，設(shè)A（x，y）為曲線C上任意一點，設(shè)A'（x'，y'）為A關(guān)于點M的對稱點。





75. 求軌跡方程的常用方法有哪些？注意討論范圍。
（直接法、定義法、轉(zhuǎn)移法、參數(shù)法）
76. 對線性規(guī)劃問題：作出可行域，作出以目標(biāo)函數(shù)為截距的直線，在可行域內(nèi)平移直線，求出目標(biāo)函數(shù)的最值
高中數(shù)學(xué)知識易錯點梳理
一、集合、簡易邏輯、函數(shù)
研究集合必須注意集合元素的特征即三性(確定,互異,無序); 已知集合A={x,xy,lgxy},集合
B={0,｜x｜,y},且A=B,則x+y=
研究集合,首先必須弄清代表元素,才能理解集合的意義。已知集合M={y｜y=x2 ,x∈R},N={y｜y=x2+1,x∈R},求M∩N；與集合M={（x,y）｜y=x2 ,x∈R},N={(x,y)｜y=x2+1,x∈R}求M∩N的區(qū)別。
集合 A、B，時，你是否注意到“極端”情況：或；求集合的子集時是否忘記. 例如：對一切恒成立，求a的取植范圍，你討論了a＝2的情況了嗎？
對于含有n個元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數(shù)依次為 如滿足條件的集合M共有多少個
解集合問題的基本工具是韋恩圖; 某文藝小組共有10名成員,每人至少會唱歌和跳舞中的一項,其中7人會唱歌跳舞5人會,現(xiàn)從中選出會唱歌和會跳舞的各一人，表演一個唱歌和一個跳舞節(jié)目,問有多少種不同的選法？
兩集合之間的關(guān)系。
(CUA)∩( CU B) = CU(A∪B) (CUA)∪( CUB) = CU(A∩B)；；
8、可以判斷真假的語句叫做命題.
邏輯連接詞有“或”、“且”和“非”.
p、q形式的復(fù)合命題的真值表:
p
q
P且q
P或q
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
假
真
假
假
假
假
命題的四種形式及其相互關(guān)系
　　　　　　　　　　　　　　　　　　互　　　　　逆
互　　　互
　　　　　　　　　　　　互　　　　　　　　　為　　　　　　　　互
　　　　　　　　　　　　否　　　　　　　逆　　　逆　　　　　　否
　　　　　　　　　　　　　　　　　　否　　　　　　　否　　
　　　　 否　　　　　　　　　　　　　　　　否
　　　　　　　　　　　　　　　否　　互　　　　　逆
　原命題與逆否命題同真同假；逆命題與否命題同真同假.
10、你對映射的概念了解了嗎？映射f：A→B中，A中元素的任意性和B中與它對應(yīng)元素的唯一性，哪幾種對應(yīng)能夠成映射？
11、函數(shù)的幾個重要性質(zhì)：
①如果函數(shù)對于一切，都有或f（2a-x）=f（x），那么函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.
②函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；
函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；
函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱.
③若奇函數(shù)在區(qū)間上是遞增函數(shù)，則在區(qū)間上也是遞增函數(shù)．
④若偶函數(shù)在區(qū)間上是遞增函數(shù)，則在區(qū)間上是遞減函數(shù)．
⑤函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿x軸向左平移a個單位得到的；函數(shù)(的圖象是把函數(shù)的圖象沿x軸向右平移個單位得到的；
函數(shù)+a的圖象是把函數(shù)助圖象沿y軸向上平移a個單位得到的;函數(shù)+a的圖象是把函數(shù)助圖象沿y軸向下平移個單位得到的.

12、求一個函數(shù)的解析式和一個函數(shù)的反函數(shù)時，你標(biāo)注了該函數(shù)的定義域了嗎？
13、求函數(shù)的定義域的常見類型記住了嗎？函數(shù)y=的定義域是 ；
復(fù)合函數(shù)的定義域弄清了嗎？函數(shù)的定義域是[0,1],求的定義域. 函數(shù)的定義域是[], 求函數(shù)的定義域
14、含參的二次函數(shù)的值域、最值要記得討論。若函數(shù)y=asin2x+2cosx-a-2(a∈R)的最小值為m, 求m的表達(dá)
15、函數(shù)與其反函數(shù)之間的一個有用的結(jié)論：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為A,值域為C,則
①若a∈A,則a=f-1 [f(a)]; 若b∈C,則b=f[f-1 (b)]; ②若p∈C,求f-1 (p)就是令p=f(x),求x.(x∈A) 即互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱,
16、互為反函數(shù)的兩個函數(shù)具有相同的單調(diào)性;原函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則一定存在反函數(shù)，且反函數(shù)也單調(diào)遞增；但一個函數(shù)存在反函數(shù)，此函數(shù)不一定單調(diào)．
17、 判斷一個函數(shù)的奇偶性時，你注意到函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱這個必要非充分條件了嗎？ 在公共定義域內(nèi):兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù);兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù);一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的乘積是奇函數(shù);
18、根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性時，規(guī)范格式是什么？(取值, 作差, 判正負(fù).)可別忘了導(dǎo)數(shù)也是判定函數(shù)單調(diào)性的一種重要方法。
你知道函數(shù)的單調(diào)區(qū)間嗎？（該函數(shù)在和上單調(diào)遞增；在和上單調(diào)遞減）這可是一個應(yīng)用廣泛的函數(shù)！
解對數(shù)函數(shù)問題時，你注意到真數(shù)與底數(shù)的限制條件了嗎？（真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1）字母底數(shù)還需討論呀.
對數(shù)的換底公式及它的變形，你掌握了嗎？（）
你還記得對數(shù)恒等式嗎？（）
“實系數(shù)一元二次方程有實數(shù)解”轉(zhuǎn)化為“”，你是否注意到必須；當(dāng)a=0時，“方程有解”不能轉(zhuǎn)化為．若原題中沒有指出是“二次”方程、函數(shù)或不等式，你是否考慮到二次項系數(shù)可能為零的情形？
二、三角、不等式
三角公式記住了嗎？兩角和與差的公式________________； 二倍角公式:_________________ 萬能公式 ______________正切半角公式____________________；解題時本著“三看”的基本原則來進(jìn)行:“看角,看函數(shù),看特征”,基本的技巧有:巧變角,公式變形使用,化切割為弦,用倍角公式將高次降次,
在解三角問題時，你注意到正切函數(shù)、余切函數(shù)的定義域了嗎？正切函數(shù)在整個定義域內(nèi)是否為單調(diào)函數(shù)？你注意到正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性了嗎？
在三角中，你知道1等于什么嗎？（
這些統(tǒng)稱為1的代換) 常數(shù) “1”的種種代換有著廣泛的應(yīng)用．（還有同角關(guān)系公式：商的關(guān)系，倒數(shù)關(guān)系，平方關(guān)系；誘導(dǎo)公試：奇變偶不變，符號看象限）
在三角的恒等變形中，要特別注意角的各種變換．（如 等）
你還記得三角化簡題的要求是什么嗎？項數(shù)最少、函數(shù)種類最少、分母不含三角函數(shù)、且能求出值的式子，一定要算出值來）
你還記得三角化簡的通性通法嗎？（切割化弦、降冪公式、用三角公式轉(zhuǎn)化出現(xiàn)特殊角. 異角化同角，異名化同名，高次化低次）；你還記得降冪公式嗎？cos2x=(1+cos2x)/2;sin2x=(1-cos2x)/2
你還記得某些特殊角的三角函數(shù)值嗎？
（）
你還記得在弧度制下弧長公式和扇形面積公式嗎？()
輔助角公式：(其中角所在的象限由a, b 的符號確定，角的值由確定)在求最值、化簡時起著重要作用.
三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）圖象的草圖能迅速畫出嗎？能寫出他們的單調(diào)區(qū)、對稱軸，取最值時的x值的集合嗎？（別忘了kZ）
三角函數(shù)性質(zhì)要記牢。函數(shù)y=k的圖象及性質(zhì)：
振幅|A|，周期T=, 若x=x0為此函數(shù)的對稱軸，則x0是使y取到最值的點，反之亦然，使y取到最值的x的集合為——————————， 當(dāng)時函數(shù)的增區(qū)間為————— ，減區(qū)間為—————；當(dāng)時要利用誘導(dǎo)公式將變?yōu)榇笥诹愫笤儆蒙厦娴慕Y(jié)論。
五點作圖法：令依次為 求出x與y，依點作圖
三角函數(shù)圖像變換還記得嗎？
平移公式 （1）如果點 P（x，y）按向量 平移至P′（x′，y′），則
（2） 曲線f（x，y）=0沿向量平移后的方程為f（x-h，y-k）=0
有關(guān)斜三角形的幾個結(jié)論：(1) 正弦定理: (2) 余弦定理: (3)面積公式
在用反三角函數(shù)表示直線的傾斜角、兩條異面直線所成的角等時，你是否注意到它們各自的取值范圍及意義？
①異面直線所成的角、直線與平面所成的角、向量的夾角的取值范圍依次是.
②直線的傾斜角、到的角、與的夾角的取值范圍依次是．
③反正弦、反余弦、反正切函數(shù)的取值范圍分別是．
同向不等式能相減，相除嗎？
不等式的解集的規(guī)范書寫格式是什么？（一般要寫成集合的表達(dá)式）
分式不等式的一般解題思路是什么？（移項通分，分子分母分解因式，x的系數(shù)變?yōu)檎担娲┡蓟兀?br/>解指對不等式應(yīng)該注意什么問題？（指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性, 對數(shù)的真數(shù)大于零.）
含有兩個絕對值的不等式如何去絕對值？(一般是根據(jù)定義分類討論)
利用重要不等式 以及變式等求函數(shù)的最值時，你是否注意到a，b（或a ，b非負(fù)），且“等號成立”時的條件，積ab或和a＋b其中之一應(yīng)是定值？(一正二定三相等)
(當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號）； a、b、cR，（當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號）；
在解含有參數(shù)的不等式時，怎樣進(jìn)行討論？（特別是指數(shù)和對數(shù)的底或）討論完之后，要寫出：綜上所述，原不等式的解集是……．
解含參數(shù)的不等式的通法是“定義域為前提，函數(shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵．”
對于不等式恒成立問題，常用的處理方式？（轉(zhuǎn)化為最值問題）
三、數(shù)列
等差數(shù)列中的重要性質(zhì)：（1）若，則；（2）；
（3）若三數(shù)成等差數(shù)列，則可設(shè)為a-d、a、a+d；若為四數(shù)則可設(shè)為a-、a-、a+、a+；
（4）在等差數(shù)列中,求Sn 的最大(小)值,其思路是找出某一項,使這項及它前面的項皆取正(負(fù))值或0,而它后面各項皆取負(fù)(正)值,則從第一項起到該項的各項的和為最大(小).即:當(dāng)a1 >0,d<0,解不等式組 an ≥0 an+1 ≤0 可得Sn 達(dá)最大值時的n的值;當(dāng)a1 <0,d>0,解不等式組 an ≤0 an+1 ≥0 可得Sn 達(dá)最小值時的n的值;（5）．若an ,bn 是等差數(shù)列,Sn ,Tn 分別為an ,bn 的前n項和,則。.（6）.若{}是等差數(shù)列，則{}是等比數(shù)列，若{}是等比數(shù)列且，則{}是等差數(shù)列.
等比數(shù)列中的重要性質(zhì)：（1）若，則；（2），，成等比數(shù)列
你是否注意到在應(yīng)用等比數(shù)列求前n項和時，需要分類討論．（時，；時，）
等比數(shù)列的一個求和公式：設(shè)等比數(shù)列的前n項和為，公比為,　則
．
等差數(shù)列的一個性質(zhì)：設(shè)是數(shù)列的前n項和，為等差數(shù)列的充要條件是
（a, b為常數(shù)）其公差是2a.
你知道怎樣的數(shù)列求和時要用“錯位相減”法嗎？（若，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求的前n項的和）
用求數(shù)列的通項公式時，你注意到了嗎？
你還記得裂項求和嗎？（如 .）
四、排列組合、二項式定理
解排列組合問題的依據(jù)是：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合．
解排列組合問題的規(guī)律是：相鄰問題捆綁法；不鄰問題插空法；多排問題單排法；定位問題優(yōu)先法；多元問題分類法；有序分配問題法；選取問題先排后排法；至多至少問題間接法，還記得什么時候用隔板法？
排列數(shù)公式是： 組合數(shù)公式是： 排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系是：
組合數(shù)性質(zhì)：= += =
二項式定理：
二項展開式的通項公式：
五、立體幾何
有關(guān)平行垂直的證明主要利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化：線//線線//面面//面，線⊥線線⊥面面⊥面，垂直常用向量來證。
作出二面角的平面角主要方法是什么？（定義法、三垂線法）三垂線法：一定平面，二作垂線，三作斜線，射影可見.
二面角的求法主要有：解直角三角形、余弦定理、射影面積法、法向量
求點到面的距離的常規(guī)方法是什么？（直接法、等體積變換法、法向量法）
你記住三垂線定理及其逆定理了嗎？
有關(guān)球面上兩點的球面距離的求法主要是找球心角，常常與經(jīng)度及緯度聯(lián)系在一起，你還記得經(jīng)度及緯度的含義嗎？(經(jīng)度是面面角；緯度是線面角)
你還記得簡單多面體的歐拉公式嗎？(V+F-E=2，其中V為頂點數(shù)，E是棱數(shù)，F(xiàn)為面數(shù))，棱的兩種算法，你還記得嗎？(①多面體每面為n邊形，則E=；②多面體每個頂點出發(fā)有m條棱，則E=)
六、解析幾何
設(shè)直線方程時，一般可設(shè)直線的斜率為k，你是否注意到直線垂直于x軸時，斜率k不存在的情況？（例如：一條直線經(jīng)過點，且被圓截得的弦長為8，求此弦所在直線的方程。該題就要注意，不要漏掉x+3=0這一解.）
定比分點的坐標(biāo)公式是什么？（起點，中點，分點以及值可要搞清）
線段的定比分點坐標(biāo)公式
設(shè)P（x，y） ，P1（x1，y1） ，P2（x2，y2） ，且 ，則

中點坐標(biāo)公式

若，則△ABC的重心G的坐標(biāo)是。
在利用定比分點解題時，你注意到了嗎？
在解析幾何中，研究兩條直線的位置關(guān)系時，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中一般提到的兩條直線可以理解為它們不重合.
直線方程的幾種形式：點斜式、斜截式、兩點式、截矩式、一般式．以及各種形式的局限性.（如點斜式不適用于斜率不存在的直線）
對不重合的兩條直線，，有
； ．
直線在坐標(biāo)軸上的截矩可正，可負(fù)，也可為0.
直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，直線方程可以理解為，但不要忘記當(dāng) a=0時，直線y=kx在兩條坐標(biāo)軸上的截距都是0，也是截距相等．
兩直線和的距離公式d=——————————
直線的方向向量還記得嗎？直線的方向向量與直線的斜率有何關(guān)系？當(dāng)直線L的方向向量為=（x0，y0）時，直線斜率k=———————；當(dāng)直線斜率為k時，直線的方向向量=—————
到角公式及夾角公式———————，何時用？
處理直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法：（1）點到直線的距離；（2）直線方程與圓的方程聯(lián)立，判別式.　一般來說，前者更簡捷．
處理圓與圓的位置關(guān)系，可用兩圓的圓心距與半徑之間的關(guān)系.
在圓中，注意利用半徑、半弦長、及弦心距組成的直角三角形并且要更多聯(lián)想到圓的幾何性質(zhì).
在利用圓錐曲線統(tǒng)一定義解題時，你是否注意到定義中的定比的分子分母的順序？兩個定義常常結(jié)伴而用，有時對我們解題有很大的幫助，有關(guān)過焦點弦問題用第二定義可能更為方便。（焦半徑公式：橢圓：|PF1|=———— ；|PF2|=———— ；雙曲線：|PF1|=———— ；|PF2|=———— （其中F1為左焦點F2為右焦點 ）；拋物線：|PF|=|x0|+）
在用圓錐曲線與直線聯(lián)立求解時，消元后得到的方程中要注意：二次項的系數(shù)是否為零？判別式的限制．（求交點，弦長，中點，斜率，對稱，存在性問題都在下進(jìn)行）.
橢圓中，a，b，c的關(guān)系為————；離心率e=————；準(zhǔn)線方程為————；焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線距離為———— 雙曲線中，a，b，c的關(guān)系為————；離心率e=————；準(zhǔn)線方程為————；焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線距離為————
通徑是拋物線的所有焦點弦中最短的弦.
你知道嗎？解析幾何中解題關(guān)鍵就是把題目中的幾何條件代數(shù)化，特別是一些很不起眼的條件，有時起著關(guān)鍵的作用：如：點在曲線上、相交、共線、以某線段為直徑的圓經(jīng)過某點、夾角、垂直、平行、中點、角平分線、中點弦問題等。圓和橢圓參數(shù)方程不要忘，有時在解決問題時很方便。數(shù)形結(jié)合是解決解幾問題的重要思想方法，要記得畫圖分析喲！
你注意到了嗎？求軌跡與求軌跡方程有區(qū)別的。求軌跡方程可別忘了尋求范圍呀!
在解決有關(guān)線性規(guī)劃應(yīng)用問題時，有以下幾個步驟：先找約束條件，作出可行域，明確目標(biāo)函數(shù)，其中關(guān)鍵就是要搞清目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，找可行域時要注意把直線方程中的y的系數(shù)變?yōu)檎怠Ｈ纾呵?<5a-2b<4,-3<3a+b<3求a+b的取值范圍，但也可以不用線性規(guī)劃。
七、向量
兩向量平行或共線的條件，它們兩種形式表示，你還記得嗎？注意是向量平行的充分不必要條件。(定義及坐標(biāo)表示)
向量可以解決有關(guān)夾角、距離、平行和垂直等問題，要記住以下公式：||2=·，cosθ=
利用向量平行或垂直來解決解析幾何中的平行和垂直問題可以不用討論斜率不存在的情況，要注意是向量夾角為鈍角的必要而非充分條件。
向量的運算要和實數(shù)運算有區(qū)別：如兩邊不能約去一個向量，向量的乘法不滿足結(jié)合律，即，切記兩向量不能相除。
你還記得向量基本定理的幾何意義嗎？它的實質(zhì)就是平面內(nèi)的任何向量都可以用平面內(nèi)任意不共線的兩個向量線性表示，它的系數(shù)的含義與求法你清楚嗎？
一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，這是題目中的天然條件，要注意運用，對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以 一個向量，但不能兩邊同除以一個向量。
向量的直角坐標(biāo)運算
設(shè),則
設(shè)A=, B=,
則- =

八、導(dǎo)數(shù)
導(dǎo)數(shù)的幾何意義即曲線在該點處的切線的斜率，學(xué)會定義的多種變形。
幾個重要函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：①,（C為常數(shù)）②
導(dǎo)數(shù)的四運算法則
利用導(dǎo)數(shù)可以證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性，注意當(dāng)f ’(x)≥0或f ’(x)≤0，帶上等號。
(x0)=0是函數(shù)f(x)在x0處取得極值的非充分非必要條件，f(x)在x0處取得極值的充分要條件是什么？
利用導(dǎo)數(shù)求最值的步驟：（1）求導(dǎo)數(shù)（2）求方程=0的根
（3）計算極值及端點函數(shù)值的大小
（4）根據(jù)上述值的大小,確定最大值與最小值.
求函數(shù)極值的方法：先找定義域，再求導(dǎo)，找出定義域的分界點，根據(jù)單調(diào)性求出極值。告訴函數(shù)的極值這一條件，相當(dāng)于給出了兩個條件：①函數(shù)在此點導(dǎo)數(shù)值為零，②函數(shù)在此點的值為定值。
九、概率統(tǒng)計
有關(guān)某一事件概率的求法：把所求的事件轉(zhuǎn)化為等可能事件的概率(常常采用排列組合的知識)，轉(zhuǎn)化為若干個互斥事件中有一個發(fā)生的概率，利用對立事件的概率，轉(zhuǎn)化為相互獨立事件同時發(fā)生的概率，看作某一事件在n次實驗中恰有k次發(fā)生的概率，但要注意公式的使用條件。
1）若事件A、B為互斥事件,則
P（A+B）=P（A）+P（B）
（2）若事件A、B為相互獨立事件,則
P（A·B）=P（A）·P（B）
（3）若事件A、B為對立事件,則
P（A）+P（B）=1
一般地,
（4）如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是p,那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個事恰好發(fā)生K次的概率

抽樣方法主要有：簡單隨機抽樣(抽簽法、隨機樣數(shù)表法)常常用于總體個數(shù)較少時，它的主要特征是從總體中逐個抽取；系統(tǒng)抽樣，常常用于總體個數(shù)較多時，它的主要特征就是均衡成若干部分，每一部分只取一個；分層抽樣，主要特征分層按比例抽樣，主要使用于總體中有明顯差異。它們的共同特征是每個個體被抽到的概率相等。
用總體估計樣本的方法就是把樣本的頻率作為總體的概率。
十、解題方法和技巧
總體應(yīng)試策略：先易后難，一般先作選擇題，再作填空題，最后作大題，選擇題力保速度和準(zhǔn)確度為后面大題節(jié)約出時間，但準(zhǔn)確度是前提，對于填空題，看上去沒有思路或計算太復(fù)雜可以放棄，對于大題，盡可能不留空白，把題目中的條件轉(zhuǎn)化代數(shù)都有可能得分，在考試中學(xué)會放棄，擺脫一個題目無休止的糾纏，給自己營造一個良好的心理環(huán)境，這是考試成功的重要保證。
解答選擇題的特殊方法是什么？(順推法，估算法，特例法，特征分析法，直觀選擇法，逆推驗證法、數(shù)形結(jié)合法等等)
解答填空題時應(yīng)注意什么？（特殊化，圖解，等價變形）
解答應(yīng)用型問題時，最基本要求是什么？（審題、找準(zhǔn)題目中的關(guān)鍵詞，設(shè)未知數(shù)、列出函數(shù)關(guān)系式、代入初始條件、注明單位、答）
解答開放型問題時，需要思維廣闊全面，知識縱橫聯(lián)系．
解答信息型問題時，透徹理解問題中的新信息，這是準(zhǔn)確解題的前提．
解答多參型問題時，關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)匾鰠⒆兞?　想方設(shè)法擺脫參變量的困繞．這當(dāng)中，參變量的分離、集中、消去、代換以及反客為主等策略，似乎是解答這類問題的通性通法．
學(xué)會跳步得分技巧，第一問不會，第二問也可以作，用到第一問就直接用第一問的結(jié)論即可，要學(xué)會用“由已知得”“由題意得”“由平面幾何知識得”等語言來連接，一旦你想來了，可在后面寫上“補證”即可。

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