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高考排列組合考點(diǎn)解析
<<大綱>>要求:
掌握分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理及其簡(jiǎn)單應(yīng)用;
理解排列、組合的意義，掌握排列數(shù)、組合數(shù)的計(jì)算公式和組合數(shù)的性質(zhì)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用；
掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，并能用它們計(jì)算和論證一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。
下面介紹其考點(diǎn)及其求解思路和方法。
考點(diǎn)1 考查兩個(gè)原理直接應(yīng)用
（03年天津）某城市的中心廣場(chǎng)建造一個(gè)花圃，分為6個(gè)部分（如圖）。現(xiàn)要種植4種不同色的花，每部分種一種且相鄰部分不能種同樣色的花，不同的種植方法有
解析：求解排列組合問(wèn)題材時(shí)，一是觀察取出的元素是否有順序，從面確定是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題材；二是仔細(xì)審題，弄清怎樣去完成這一件事，從而確定是分類計(jì)數(shù)還是分步計(jì)數(shù)原理。
解：按區(qū)域種植，選擇相鄰區(qū)域較多的先種，可分六步完成：
第一步從4種花中任先1種給1號(hào)區(qū)域種花，有4種方法；
第二步從余下的3種花中任先一種給2號(hào)區(qū)域種，有3種方法；
第三步從余下的2種花中任先1種種給3號(hào)區(qū)域種有2種方法；
第四步給4號(hào)區(qū)域種花，由于4號(hào)區(qū)域與2號(hào)區(qū)域不相鄰，故這兩個(gè)區(qū)域可分為同色與不同色兩類：
若4號(hào)區(qū)域2號(hào)區(qū)域種同色花，則4號(hào)區(qū)域有1種種法，第五步給5號(hào)區(qū)域有2種種法；第六步給6號(hào)區(qū)域有1種種法；
若4號(hào)區(qū)域與2號(hào)區(qū)域種不同色花，則4號(hào)區(qū)域有1種種法，面5號(hào)區(qū)域的種法又可分為兩類：若5號(hào)區(qū)域與2號(hào)區(qū)域種同色花，則5號(hào)區(qū)域有1種種法，6號(hào)區(qū)域有2種種法；若5號(hào)區(qū)域與2號(hào)區(qū)域種不同色花，則5號(hào)區(qū)域有1種種法，6號(hào)區(qū)域有1種種法。
由分步計(jì)數(shù)原理得不同的種植方法共有=120（種）
考點(diǎn)2 考查特殊元素優(yōu)先考慮問(wèn)題
例2 （04天津）從1，2，3，5，7，中任取2個(gè)數(shù)字，從0，2，4，6，8中任取2個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重?fù)?dān)數(shù)字的四位數(shù)，其中通報(bào)被5整除的四位數(shù)共有 個(gè)。用數(shù)字作答）
解析：對(duì)于含有特殊元素的排列組合問(wèn)題，一般應(yīng)優(yōu)先安排特殊位置上的特殊元素，再安排其他位置上的其他元素。
解：合條件四位數(shù)的個(gè)位必須是0、5，但0不能排在首位，故0是其中的特殊元素，應(yīng)優(yōu)先安排，按照0排在首位，0排在十位、百位和不含0為標(biāo)準(zhǔn)分為三類：
0排在個(gè)位能被0整除的四位數(shù)有個(gè)
0排在十位、百位，但5必須排在個(gè)位有 =48個(gè)
不含0，但5必須排在個(gè)位有個(gè)
由分類計(jì)數(shù)原理得所求四位數(shù)共有300個(gè)。
考點(diǎn)3 考查相鄰排列計(jì)算問(wèn)題
例2（海春）有件不同的產(chǎn)品排成一排，若其中A、B兩件不同的產(chǎn)品排在一起的排法有48種，則
解析：對(duì)于含有某幾個(gè)元素相鄰的排列問(wèn)題可先將相鄰元素“捆綁”起來(lái)視為一個(gè)大元素，與其他元素一起進(jìn)行了全排列，然后瑞對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行全排列，這就是處理相鄰排列問(wèn)題的“捆綁”方法。
解： 將A、B兩件產(chǎn)品看作一個(gè)大元素，與其他產(chǎn)品排列有種排法；對(duì)于上述的每種排法，A、B兩件產(chǎn)品之間又有種排法，由分步計(jì)數(shù)原理得滿足條件的不同排法有 =48種，故
考點(diǎn)4 考查互不相鄰排列計(jì)算問(wèn)題
例4 （04遼）有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位，現(xiàn)安排2個(gè)就座，規(guī)定前排中間的3 個(gè)座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是（ ）
(A) 234 (B) 346 (C)350 (D) 363
解析：對(duì)于前排中某個(gè)元素互不不相鄰的排列問(wèn)題，可先將其它元素排成一排，然后將不相鄰的元素插入這些排好的元素之間及兩端的空隙中，這就是解決互不相鄰問(wèn)題最為奏效的插空法。
解：先將前排中間的5號(hào)、6號(hào)、7號(hào)座位和待安排2人的取出，再將剩下的18座位排成一列，然后妝待安排2人的座位插入這18座位之間及兩端的空隙中，使這2人的座位互不相鄰，有種方法；
但在前排的4號(hào)與8號(hào)座位、前排的11號(hào)與后排的1號(hào)座位之間可以同時(shí)插入待安排2人的座位滿足條件，有種方法。
由分類計(jì)數(shù)原理得到不同排法的種數(shù)有
（種），選（B）。
考點(diǎn)5 考查排列組合混合計(jì)算問(wèn)題
例5 （04陜）將4名教師分配到3種中學(xué)任教，每所中學(xué)到少1名教師，則不同的分配方案共有（ ）種
（A）12 （B） 24 （C）36 （D）48
解析：對(duì)于排列組合混合問(wèn)題，可運(yùn)用先分組（堆）后排列的策略求解，無(wú)次序分組問(wèn)題常有“均勻分組、部分均勻分組、非均勻分組”等三種類型。計(jì)數(shù)時(shí)常有下面結(jié)論：對(duì)于其中的“均勻分組”和“部分均勻分組”問(wèn)題，只需按“非均勻分組”列式后，再除以均勻組數(shù)的全排列數(shù)。
解：可分兩步完成：第一步將4名教師部分均勻分為三組（1、1、2）有種方法；第二步將這三組教師分配到3所中學(xué)任教有種方法。由分步計(jì)數(shù)原理得不同的分配方案共有=36種。應(yīng)選（B）。
考點(diǎn)6 考查定序排列計(jì)算問(wèn)題
例6 （96全國(guó)）由數(shù)字0、1、2、3、4、5、組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（ ）個(gè)
（A） 210 （Ｂ）300 （C）464 （D）600
解析：對(duì)于部分元素定序排列問(wèn)題，可先把定序元素與其它元素一同進(jìn)行全排列，然后根據(jù)定序排列在整體排列中出現(xiàn)的概率，即用定序排列數(shù)去均分總排列數(shù)獲解。
解：若不考慮附加條件，組成的六位數(shù)有個(gè)。在這些六位數(shù)中，只有個(gè)位數(shù)字小于和個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字這兩種情況，而這兩種情況在整體排列中出現(xiàn)的概率均為，故所求六位數(shù)為=300個(gè)，應(yīng)選（B）。
考點(diǎn)7 考查等價(jià)轉(zhuǎn)化計(jì)算問(wèn)題
例7 （04湖南）從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，其中直角三角形的個(gè)數(shù)為（　　　　）個(gè)
（Ａ）56 （B）52 （C）48 （D）40
解析：幾何圖形問(wèn)題是高考的常考點(diǎn)。求解時(shí)，一要熟悉幾何圖形性質(zhì)及點(diǎn)、線、面位置關(guān)系；二要按同一標(biāo)準(zhǔn)分類，避免重復(fù)、遺漏；三若直接求解困難或頭緒繁多時(shí)，可從其反而去考慮，將其轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題去解決。
解：從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)頂點(diǎn)可構(gòu)成個(gè)三角形，其中非直角三角形的有兩類：①上底面的每個(gè)頂點(diǎn)所在的側(cè)面對(duì)角線與下底面相應(yīng)的對(duì)角線構(gòu)成1個(gè)正三角形，上底面的4個(gè)頂點(diǎn)共4個(gè)非直角三角形；②下底面的4個(gè)頂點(diǎn)所在的側(cè)面對(duì)角線與上底面相應(yīng)的結(jié)角線共構(gòu)成4個(gè)非直角三角形。故所求直角三角形共有個(gè)，選（C）。
例8 （97全國(guó)）四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有（ ）種
（A） 150　　　（Ｂ）147 （C）144 （D）141
解：從10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)噗有=210種取法，應(yīng)剔除下面三類共面點(diǎn)：
從四面體的每個(gè)面上的6個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)必共面有=60種取法；
四面體的每條棱上3個(gè)點(diǎn)與對(duì)棱中點(diǎn)共面有6種取法；
6個(gè)中點(diǎn)連線有3對(duì)平行線段共面，故從這6個(gè)點(diǎn)中取4個(gè)共面中取4個(gè)共面點(diǎn)有3種取法。
故符合條件取法共210-60-6-3=141種。選（D）.
考點(diǎn)8 考查二項(xiàng)展開(kāi)式指定項(xiàng)求法
例9 (04湖北) 已知的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和是128,則展開(kāi)式中的系數(shù)是 .
解析:求二項(xiàng)展開(kāi)式的指定項(xiàng)或其系數(shù),常運(yùn)用其通項(xiàng)公式,將其轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題去求解.
解:取得
令 得 .
故展開(kāi)式中的系數(shù)為.
考點(diǎn)9 考查二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)和求法
(04天津)若 ,則
.
解析：直接展開(kāi)由各項(xiàng)系數(shù)求解將誤入歧途。二項(xiàng)式定理既是公式，又可視為方程式或恒等式，故可用多項(xiàng)式恒等理論和賦值法去求解。
解：取得 ；
故原式=
考點(diǎn)10 考查三項(xiàng)展開(kāi)式指定項(xiàng)求法
例11 （92全）在的展開(kāi)式中x的系數(shù)為（ ）
（A）160 （B）240 （C）360 D800
解析：求三頂展開(kāi)式指定頂時(shí)，常通過(guò)恒等變形，將其轉(zhuǎn)化為熟悉的兩項(xiàng)式，然后分兩步運(yùn)用二項(xiàng)式定理展開(kāi)求解。
解：=
展開(kāi)式中x項(xiàng)的系數(shù)只能是在中，再次展開(kāi)可得x項(xiàng)為故x項(xiàng)的系數(shù)為240，應(yīng)選B。
此題亦可將其恒等變形為 ，再把它們分別展開(kāi)，運(yùn)用多頂式乘法集項(xiàng)法求解。
考點(diǎn)11 考查二項(xiàng)式定理與近似估值問(wèn)題
例12 （04湖南）農(nóng)民收入由工資性收入和其它收入兩部分構(gòu)成。03年某地區(qū)農(nóng)民人均收入為3150元（其中工資源共享性收入為1800元，其它收入為1350元），預(yù)計(jì)該地區(qū)自04年起的5年內(nèi)，農(nóng)民的工資源共享性收入將以每年的年增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，其它性收入每年增加160元。根據(jù)以上數(shù)據(jù)，08年該地區(qū)人均收入介于（ ）
（A）4200元~4400元 （B）4400元~4460元
（C）4460元~4800元 （D）4800元~5000元
解析：在處理與二項(xiàng)式高次冪有關(guān)的近似估值問(wèn)題時(shí)，可運(yùn)用二項(xiàng)式定理將其展開(kāi)，經(jīng)簡(jiǎn)略計(jì)算去解決估值問(wèn)題。
解：08年農(nóng)民工次性人均收入為
又08年農(nóng)民其它人均收入為1350+160=2150
故08年農(nóng)民人均總收入約為2405+2150=4555（元）。故選B
考點(diǎn)12 考查二項(xiàng)式定理應(yīng)用
例13 （91三南）已知函數(shù)證明：對(duì)于任意不小于3的自然數(shù)n，
解析：若直接運(yùn)用二項(xiàng)式定理或數(shù)學(xué)歸納法去證明困難都大，故應(yīng)另辟解題蹊徑，將其轉(zhuǎn)化為熟悉命題：再證明就容易了。
證明：
， 展開(kāi)至少有4項(xiàng)，故原命題獲證。
歷年高考排列組合和二項(xiàng)式定理的試題以客觀題的形式出現(xiàn)，多為課本例題、習(xí)題遷移的改編題，難度不大，重點(diǎn)考查運(yùn)用排列組合知識(shí)、二項(xiàng)式定理去解決問(wèn)題的能力和邏輯劃分、化歸轉(zhuǎn)化等思想方法。為此，只要我們熟悉兩個(gè)原理，把握住二項(xiàng)式定理及其系數(shù)性質(zhì)，會(huì)把實(shí)際問(wèn)題化歸為數(shù)學(xué)模型問(wèn)題或方程問(wèn)題去解決，就可順利獲解。

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