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2010高考數學易錯題解題方法大全（3）
一.選擇題
【范例1】集合若則（ ）
A．{2,3,4} B．{2 ,4} C．{2,3} D．{1，2,3,4}
答案：A
【錯解分析】此題主要考查對集合的交集的理解。
【解題指導】，.
【練習1】已知集合，，則集合的充要條件是（ ）
A．a≤－3 B．a≤1 C．a＞－3 D．a＞1

【范例2】函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【錯解分析】此題容易錯選為A，容易漏掉的情況。
【解題指導】求具體函數的定義域時要是式子每個部分都有意義.
【練習2】若函數的定義域為，且，
則函數的定義域是（ ）
A． B.
C. D.
【范例3】如果執行右面的程序框圖，那么輸出的（ ）
A．1275 B．2550
C．5050 D．2500
答案:B．
【錯解分析】此題容易錯選為C，應該認真分析流程圖中的信息。
【解題指導】
【練習3】下面是一個算法的程序框圖，當輸
入的值為8時，則其輸出的結果是（ ）
A． B． 1
C．2 D．4
【范例4】已知集合，集合，若命題“”是命題“”的充分不必要條件，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
答案: A
【錯解分析】此題容易錯選為B，請注意是充分不必要條件，而不是充要條件。
【解題指導】由題意，畫數軸易知.
【練習4】已知下列三組條件：
（1），；（2），（為實常數）；
（3）定義域為上的函數滿足，定義域為的函數是單調減函數．其中A是B的充分不必要條件的有 （ ）
A．（1） B．（1）（2） C．（1）（3） D．（1）（2）（3）
【范例5】已知為虛數單位，則復數對應的點位于 （ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
答案:C
【錯解分析】此題主要考查復數的四則運算，必須熟練掌握。
【解題指導】
【練習5】在復平面內，復數 對應的點與原點的距離是（ ）
A. B. C. D.
【范例6】設函數，若對于任意實數x恒成立，則實數b的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【錯解分析】此題容易錯選為B，錯誤原因是沒有注意是單調減函數。
【解題指導】由即可得
即恒成立，由，解得.
【練習6】已知,當時，有,則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
二.填空題
【范例7】已知數列的通項公式是,其前n項和是,則對任意的（其中*），的最大值是 .
答案：10
【錯解分析】此題容易錯選認為求最大項。
【解題指導】由得，即在數列中，前三項以及從第9項起后的各項均為負且，因此的最大值是.
【練習7】已知等差數列的前n項和是，且，且存在自然數使得，則當時，與的大小關系是 .
【范例8】函數的最小值是 .
答案：
【錯解分析】此題容易在化簡上出錯，對于三角變換的公式一定要熟練掌握，一定要化到三個一的形式：。
【解題指導】∵
，此函數的最小值為
【練習8】已知，，則等于 .
【范例9】已知圓上任一點，其坐標均使得不等式≥0恒成立，則實數的取值范圍是 .
答案：
【錯解分析】此題容易忘記數形結合思想的使用。
【解題指導】求出圓的斜率為-1的兩條切線，畫圖研究他們和=0的關系.
【練習9】為不共線的向量，設條件；條件對一切，不等式恒成立．則是的 條件．
【范例10】圓的過點的切線方程為 .
答案:
【錯解分析】此題容易忘記判斷點與圓的位置關系。
【解題指導】（一）易知點在圓上，故切線只有一條，且斜率為，
（二）借助結論：過圓上一點的切線為。
【練習10】過點P(4,2)作圓的兩條切線,切點分別為A、B,O為坐標原點，則的外接圓方程為 .
【范例11】在平面直角坐標系中，橢圓的焦距為，以為圓心，為半徑的圓做圓，若過點，所作圓的兩切線互相垂直，則該橢圓的離心率為
答案：
【錯解分析】此題容易錯在對圖中橢圓，及圓的性質提取不全。
【解題指導】過點作圓的兩切線互相垂直，如圖，這說明四邊形是一個正方形，即圓心到點的距離等于圓的半徑的倍，即，故.
【練習11】已知橢圓的中心在O,右焦點為F，右準線為L，若在L上存在點M，使線段OM的垂直平分線經過點F，則橢圓的離心率的取值范圍是 .
【范例12】如圖，正三角形P1P2P3，點A、B、C分別為邊P1P2，P2P3，P3P1的中點，沿AB、BC、CA折起，使P1、P2、P3三點重合后為點P，則折起后二面角P—AB—C的余弦值為 .
答案：
【錯解分析】此題容易出現的錯誤有多種，主要原因是沒有認真地畫出折疊后的三棱錐。
【解題指導】取AB的中點D,連接CD,PD,則∠PDC為二面角P—AB—C的平面角.
【練習12】正方形的夾角的余弦值是 .
三.解答題
【范例13】已知的展開式中前三項的系數成等差數列．
（1）求n的值；
（2）求展開式中系數最大的項．
【錯解分析】此題容易錯在：審題不清楚，誤用前三項的二項式系數成等差。
解：（1）由題設，得 ， 即，解得n＝8，n＝1（舍去）．
（2）設第r＋1的系數最大，則即 解得r＝2或r＝3．
所以系數最大的項為，．
說明：掌握二項式定理，展開式的通項及其常見的應用．
【練習13】函數（為實數且是常數）
（1）已知的展開式中的系數為，求的值；
（2）是否存在的值，使在定義域中取任意值時恒成立？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由。
【范例14】已知函數，設。
（1）求F（x）的單調區間；
（2）若以圖象上任意一點為切點的切線的斜率 恒成立，求實數的最小值。
（3）是否存在實數，使得函數的圖象與的圖象恰好有四個不同的交點？若存在，求出的取值范圍，若不存在，說名理由。
【錯解分析】（1）在F（x）的定義域內才能求單調區間。
（2）對恒成立問題的解決理解不清楚
解:(1)
由。

（2）
當
…………………………………………4分
（3）若的圖象與
的圖象恰有四個不同交點，
即有四個不同的根，亦即
有四個不同的根。
令，
則。
當變化時的變化情況如下表：
(-1,0)
(0,1)
(1,)
的符號
+
-
+
-
的單調性
↗
↘
↗
↘
由表格知：。
畫出草圖和驗證可知，當時，
【練習14】已知．
⑴ 求函數在上的最小值；
⑵ 對一切，恒成立，求實數a的取值范圍；
⑶ 證明對一切，都有成立．
【范例15】某工廠在試驗階段大量生產一種零件。這種零件有、兩項技術指標需要檢測，設各項技術指標達標與否互不影響。若有且僅有一項技術指標達標的概率為，至少一項技術指標達標的概率為．按質量檢驗規定：兩項技術指標都達標的零件為合格品.
（1）求一個零件經過檢測為合格品的概率是多少？
（2）任意依次抽出5個零件進行檢測，求其中至多3個零件是合格品的概率是多少？
【錯解分析】遇到“至多”，“至少”問題我們通常求其對立事件的概率。
解：（1）設、兩項技術指標達標的概率分別為、
由題意得：
解得：或，∴.
即，一個零件經過檢測為合格品的概率為.
（2）任意抽出5個零件進行檢查，其中至多3個零件是合格品的概率為

【練習15】某工廠為了保障安全生產，每月初組織工人參加一次技能測試. 甲、乙兩名工人通過每次測試的概率分別是. 假設兩人參加測試是否通過相互之間沒有影響.
（1）求甲工人連續3個月參加技能測試至少1次未通過的概率；
（2）求甲、乙兩人各連續3個月參加技能測試，甲工人恰好通過2次且乙工人恰好通過1次的概率；
（3）工廠規定：工人連續2次沒通過測試，則被撤銷上崗資格. 求乙工人恰好參加4次測試后被撤銷上崗資格的概率.
練習題參考答案：
1．C 2．D 3．C 4．B 5．B 6．C 7． 8． 9．充要
10. 11. 12.
13. 解：（1）
（2）依題意，得，而要，只要
對于，
時滿足題意。
14．解：⑴ ，
當，，單調遞減，當，，單調遞增．
① ，t無解；
② ，即時，；
③ ，即時，在上單調遞增，；
所以．
⑵ ，則，
設，則，
當，，單調遞增，，，單調遞減，
所以，
因為對一切，恒成立，所以；
⑶ 問題等價于證明，
由⑴可知的最小值是，當且僅當時取到，
設，則，
易得，當且僅當時取到，
從而對一切，都有成立．
15．解：（1）記“甲工人連續3個月參加技能測試，至少有1次未通過”為事件A1，

（2）記“連續3個月參加技能測試，甲工人恰好通過2次”為事件A2，“連續3個月參加技能測試，乙工人恰好通過1次”為事件B1，則


兩人各連續3月參加技能測試，甲工人恰好2次通過且乙工人恰好1次通過的概率為
（3）記“乙恰好測試4次后，被撤銷上網資格”為事件A3，

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