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求數列通項公式的十種方法
一、公式法
例1 已知數列滿足，，求數列的通項公式。
解：兩邊除以，得，則，故數列是以為首項，以為公差的等差數列，由等差數列的通項公式，得，所以數列的通項公式為。
二、累加法
例2 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：由得則
所以數列的通項公式為。
例3 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：由得則
所以
已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：兩邊除以，得，
則，故
因此，
則
三、累乘法
例5 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：因為，所以，則，故
所以數列的通項公式為
評注：本題解題的關鍵是把遞推關系轉化為，進而求出，即得數列的通項公式。
例6 （2004年全國I第15題，原題是填空題）已知數列滿足，求的通項公式。
解：因為 ①
所以 ②
用②式－①式得
則
故
所以 ③
由，，則，又知，則，代入③得。
所以，的通項公式為
評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，進而求出，從而可得當的表達式，最后再求出數列的通項公式。
四、待定系數法
例7 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：設 ④
將代入④式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得代入④式得 ⑤
由及⑤式得，則，則數列是以為首項，以2為公比的等比數列，則，故。
評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最后再求出數列的通項公式。
例8 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：設 ⑥
將代入⑥式，得
整理得。
令，則，代入⑥式得
⑦
由及⑦式，
得，則，
故數列是以為首項，以3為公比的等比數列，因此，則。
評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最后再求數列的通項公式。
例9 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：設 ⑧
將代入⑧式，得
，則
等式兩邊消去，得，
解方程組，則，代入⑧式，得
⑨
由及⑨式，得
則，故數列為以為首項，以2為公比的等比數列，因此，則。
評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最后再求出數列的通項公式。
五、對數變換法
例10 已知數列滿足，，求數列的通項公式。
解：因為，所以。在式兩邊取常用對數得 ⑩設
將⑩式代入式，得，兩邊消去并整理，得，則
，故
代入式，得
由及式，
得，則，
所以數列是以為首項，以5為公比的等比數列，則，因此
則。
評注：本題解題的關鍵是通過對數變換把遞推關系式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最后再求出數列的通項公式。
六、迭代法
例11 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：因為，所以
又，所以數列的通項公式為。
評注：本題還可綜合利用累乘法和對數變換法求數列的通項公式。即先將等式兩邊取常用對數得，即，再由累乘法可推知，從而。
七、數學歸納法
例12 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：由及，得
由此可猜測，往下用數學歸納法證明這個結論。
（1）當時，，所以等式成立。
（2）假設當時等式成立，即，則當時，
由此可知，當時等式也成立。
根據（1），（2）可知，等式對任何都成立。
評注：本題解題的關鍵是通過首項和遞推關系式先求出數列的前n項，進而猜出數列的通項公式，最后再用數學歸納法加以證明。
八、換元法
例13 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：令，則
故，代入得
即
因為，故
則，即，
可化為，
所以是以為首項，以為公比的等比數列，因此，則，即，得。
評注：本題解題的關鍵是通過將的換元為，使得所給遞推關系式轉化形式，從而可知數列為等比數列，進而求出數列的通項公式，最后再求出數列的通項公式。
九、不動點法
例14 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：令，得，則是函數的兩個不動點。因為
。所以數列是以為首項，以為公比的等比數列，故，則。
評注：本題解題的關鍵是先求出函數的不動點，即方程的兩個根，進而可推出，從而可知數列為等比數列，再求出數列的通項公式，最后求出數列的通項公式。
例15 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：令，得，則是函數的不動點。
因為，所以
，
所以數列是以為首項，以為公差的等差數列，則，故。
十、特征根法
例16 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：的相應特征方程為，解之求特征根是，所以。
由初始值，得方程組
求得
從而。
評注：本題解題的關鍵是先求出特征方程的根。再由初始值確定出，從而可得數列的通項公式。

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