資源簡介

初中數學競賽輔導資料（17）
奇數　偶數
甲內容提要
奇數和偶數是在整數集合里定義的，能被2整除的整數是偶數，如2，0－2…，不能被2整除的整數是奇數，如－1，1，3。
如果n 是整數，那么2n是偶數，2n－1或2n+1是奇數。如果n是正整數，那么2n是正偶數，2n-1是正奇數。
奇數、偶數是整數的一種分類。可表示為：
　　　整數　　　　　　　或 整數集合
　這就是說，在整數集合中是偶數就不是奇數，不是偶數就是奇數，如果既不是偶數又不是奇數，那么它就不是整數。
奇數偶數的運算性質：
　奇數±奇數＝偶數，奇數±偶數＝奇數，偶數±偶數＝偶數
　奇數×奇數＝奇數　奇數×偶數＝偶數，偶數×偶數＝偶數
　奇數的正整數次冪是奇數，偶數的正整數次冪是偶數，
　兩個連續整數的和是奇數，積是偶數。
乙例題
求證：任意奇數的平方減去1是8的倍數
證明：設k為整數，那么2k－1是任意奇數，
（2k－1）2－1＝4k2－4k＋1－1＝4k(k－1)
∵k(k－1)是兩個連續整數的積，必是偶數　∴4k(k－1)是8的倍數
即任意奇數的平方減去1是8的倍數
已知：有n個整數它們的積等于n，和等于0　
求證：n是4的倍數
證明：設n個整數為x1,x2,x3,…xn 根據題意得
如果n為正奇數，由方程（1）可知x1,x2,x3,…xn都只能是奇數，而奇數個奇數的和必是奇數，這不適合方程（2）右邊的0，所以n一定是偶數；
當n為正偶數時，方程（1）左邊的x1,x2,x3,…xn中，至少有一個是偶數，而要滿足方程（2）右邊的0，左邊的奇數必湏是偶數個，偶數至少有2個。
所以n是4的倍數。
例3己知：a,b,c都是奇數
求證：方程ax2+bx+c=0沒有整數解
證明：設方程的有整數解x，若它是奇數，這時方程左邊的ax2，bx，c都是奇數，而右邊0是偶數，故不能成立；
若方程的整數解x是偶數，那么ax2,bx,都是偶數，c是奇數，所以左邊仍然是奇數，不可能等于0。
既然方程的解不可能是奇數，也不能是偶數，
∴方程ax2+bx+c=0沒有整數解 (以上的證明方法是反證法)
例4求方程x2－y2＝60的正整數解
　　解：(x+y)(x－y)=60，
60可分解為：1×60，2×30，3×20，4×15，5×12，6×10
左邊兩個因式(x+y)，(x－y)至少有一個是偶數
因此x, y必湏是同奇數或同偶數，且x>y>0,適合條件的只有兩組
　　　
解得　　　　
∴方程x2－y2＝60的正整數解是　　
丙練習17
選擇題
①設n是正整數，那么n2+n-1的值是（　　）
（A）偶數（B）奇數（C）可能是奇數也可能是偶數
②求方程85x－324y=101的整數解，下列哪一個解是錯誤的？（　?。?br/>　（A）（B）（C）（D）
填空：
①能被3，5，7都整除的最小正偶數是＿＿＿
②能被9和15整除的最小正奇數是＿＿最大的三位數是＿＿
③1＋2＋3＋…＋2001＋2002的和是奇數或偶數？答＿＿
④正整數1234…20012002是奇位數或偶位數？答＿＿
⑤能被11整除，那么n是正奇數或正偶數？答＿＿
任意三個整數中，必有兩個的和是偶數，這是為什么？
試說明方程2x+10y=77沒有整數解的理由
求證：兩個連續奇數的平方差能被8整除
試證明：任意兩個奇數的平方和的一半是奇數
求方程（2x－y－2）2＋（x+y+2）2=5的整數解
方程19x+78y=8637的解是( )
(A) (B) (C) (D)
9. 十進制中，六位數能被33整除，求a,b的值
初中數學競賽輔導資料（18）
式的整除
甲內容提要
定義：如果一個整式除以另一個整式所得的商式也是一個整式，并且余式是零，則稱這個整式被另一個整式整除。
根據被除式＝除式×商式＋余式，設f(x),p(x),q(x)都是含x 的整式，
那么　式的整除的意義可以表示為：
　若f(x)＝p(x)×q(x)，　則稱f(x)能被 p(x)和q(x)整除
　例如∵x2－3x－4＝（x－4）（x +1）,
∴x2－3x－4能被（x－4）和（x +1）整除。
顯然當　x=4或x=－1時x2－3x－4＝0，
一般地，若整式f(x)含有x –a的因式，則f(a)=0
反過來也成立，若f(a)=0,則x－a能整除f(x)。
在二次三項式中
若x2+px+q=(x+a)(x+b)＝x2+(a+b)x+ab　　　則p=a+b,q=ab
在恒等式中，左右兩邊同類項的系數相等。這可以推廣到任意多項式。
乙例題
例1己知　x2－5x+m能被x－2整除，求m 的值。 x－3
解法一：列豎式做除法　　（如右）　　　　　　　x－2　x2－5x+m
　　由　余式m－6＝0　得m=6 　　　　　　　　　　 x2－2x　　　　
解法二：∵ x2－5x+m 含有x－2 的因式 －3x+m
∴ 以x=2代入 x2－5x+m 得 －3x+6
22－5×2 ＋m=0 得m=6 m－6
解法三：設x2－5x+m 除以x－2 的商是x+a　(a為待定系數)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
那么　x2－5x+m＝(x+a)(x－2)＝　x2+(a-2)x－2a　
根據左右兩邊同類項的系數相等，得
　　　解得?。ū绢}解法叫待定系數法）
己知:x4－5x3+11x2+mx+n能被x2－2x+1整除
求：m、n 的值及商式　
　解：∵被除式＝除式×商式?。ㄕ龝r余式為0）
∴商式可設為x2+ax+b　
得x4－5x3+11x2+mx+n＝（x2－2x+1）（x2+ax+b）
＝x4+(a-2)x3+(b+1-2a)x2+(a-2b)x+b　
根據恒等式中，左右兩邊同類項的系數相等，得　
　　　　　　解得　　　
∴m=－11,　n=4,　商式是x2－3x+4　　
m取什么值時，x3+y3+z3+mxyz (xyz≠0)能被x+y+z整除?　　　
　解：當　x3+y3+z3+mxyz 能被x+y+z整除時，它含有x+y+z 因式
　令x+y+z＝0，得x=－（y+z），代入原式其值必為0
　即［－（y+z）］3+y3+z3－myz(y+z)=0　　
把左邊因式分解，得?。瓂z(y+z)(m+3)=0,
∵yz≠0, 　∴當y+z=0或m+3=0時等式成立　　
∴當x,y（或y,z或x,z）互為相反數時，m可取任何值　，
當m=－3時，x,y,z不論取什么值，原式都能被x+y+z整除。
例4　分解因式x3－x+6
分析：為獲得一次因式，可用x=±1，±2，±3，±6（常數項6的約數）代入原式求值，只有x=－2時值為0，可知有因式x＋2，（以下可仿例1）
　解：x3－x+6＝（x＋2）（x2－2x+3）
丙練習18
若x3+2x2+mx+10=x3+nx2－4x+10, 則m=___, n=___
x3－4x2+3x+32除以x+2的余式是＿＿＿，
x4－x2+1除以x2－x－2的余式是＿＿＿
己知x3+mx+4能被x+1整除，求m
己知x4+ax3+bx－16含有兩個因式x－1和x –2,求a和b的值
己知13x3+mx2+11x+n能被13x2－6x+5整除,求m、n及商式
己知ab≠0,m取什么值時，a3－6a2b+mab2-8b3有因式a－2b.
分解因式：①x3-7x+6, ②x3-3x2+4, ③x3-10x-3　
8.選擇題
①　x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz因式分解的結果是（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(A)(x+y)(y-z)(x-z) (B) (x+y)(y+z)(x-z)
(c) (x-y)(y-z)(x+z)　　(D) (x-y)(y+z)(x+z)
②n3+p能被n+q整除(n,p,q都是正整數)，對于下列各組的p,q值能使n的值為最大的是（　　）
p=100,q=10 (B) p=5000,q=20 (C) p=50,q=12, (D) p=300,q=15.
初中數學競賽輔導資料（19）
因式分解
甲內容提要 和例題
我們學過因式分解的四種基本方法：提公因式法，運用公式法，十字相乘法，分組分解法。下面再介紹兩種方法
添項拆項。是.為了分組后,能運用公式（包括配方）或提公因式
例1因式分解：①x4+x2+1　②a3+b3+c3－3abc
①分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式
解：x4+x2+1＝x4+2x2+1－x2=(x2+1)2－x2=(x2+1+x)(x2+1－x)
②分析：a3+b3要配成（a+b）3應添上兩項3a2b+3ab2
解：a3+b3+c3－3abc＝a3+3a2b+3ab2＋b3+c3－3abc－3a2b－3ab2
　　 ＝（a+b）3+c3－3ab(a+b+c)
=(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c2］－3 ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－ac－bc)
例2因式分解：①x3－11x+20　　②　a5+a+1
分析：把中項－11x拆成－16x+5x 分別與x5,20組成兩組，則有公因式可提。（注意這里16是完全平方數）
解：x3－11x+20＝x3－16x+5x+20＝x（x2－16）+5(x+4)
=x(x+4)(x－4)+5(x+4) =(x+4)(x2－4x+5)
分析：添上－a2 和a2兩項，分別與a5和a+1組成兩組，正好可以用立方差公式
解：a5+a+1＝a5－a2+a2+a+1=a2(a3－1)+ a2+a+1
=a2(a－1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3－a2+1)
運用因式定理和待定系數法
定理：⑴若x=a時，f(x)=0, ［即f(a)=0］，則多項式f(x)有一次因式x－a　
⑵若兩個多項式相等，則它們同類項的系數相等。
例3因式分解：①x3－5x2+9x－6?、?x3－13x2+3
①分析：以x=±1,±2,±3,±6（常數6的約數）分別代入原式，若值為0，則可找到一次因式，然后用除法或待定系數法，求另一個因式。
解：∵x=2時，x3－5x2+9x－6＝0，∴原式有一次因式x －2，
∴x3－5x2+9x－6＝（x －2）（x2－3x+3,）
②分析：用最高次項的系數2的約數±1，±2分別去除常數項3的約數
±1，±3得商±1，±2，±，±，再分別以這些商代入原式求值，
可知只有當x=時，原式值為0。故可知有因式2x-1
解：∵x=時，2x3－13x2+3＝0，∴原式有一次因式2x－1，　　　
設2x3－13x2+3＝（2x－1）（x2+ax－3），?。╝是待定系數）
比較右邊和左邊x2的系數得　2a－1＝－13，　a=－6
∴2x3－13x+3＝（2x－1）（x2－6x－3）。
例4因式分解2x2+3xy－9y2+14x－3y+20
解：∵2x2+3xy－9y2＝（2x－3y）(x+3y),　　用待定系數法，可設
2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y＋a）（x+3y＋b），a,b是待定的系數，
比較右邊和左邊的x和y兩項 的系數，得
　　解得
∴2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y+4）(x+3y+5)
又解：原式＝2x2+(3y+14)x－(9y2+3y－20)　這是關于x的二次三項式
　常數項可分解為－（3y－4）（3y+5）,用待定系數法，可設
2x2+(3y+14)x－(9y2+3y－20)＝［mx－（3y－4）］［nx+（3y+5）］
比較左、右兩邊的x2和x項的系數，得m=2, n=1
∴2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y+4）(x+3y+5)
丙練習19
分解因式：①x4+x2y2+y4 　?、趚4+4 　　 ③x4－23x2y2+y4
2. 分解因式： ①x3+4x2－9 　 ②x3－41x+30
③x3+5x2－18 　④x3－39x－70
3. 分解因式：①x3+3x2y+3xy2+2y3 　　　　　②x3－3x2+3x+7　
　　　　　?、踴3－9ax2+27a2x－26a3 　　?、躼3+6x2+11x+6　
　　　　　?、輆3+b3+3(a2+b2)+3(a+b)+2
4. 分解因式：①3x3－7x+10　 ②x3－11x2+31x－21
③x4－4x+3 ④2x3－5x2+1
5. 分解因式：①2x2－xy－3y2－6x+14y－8 ②（x2－3x－3）（x2+3x+4）－8
③（x+1）(x+2)(x+3)(x+4)－48　④（2x－7）(2x+5)(x2－9)－91
6．分解因式： ①x2y2+1－x2－y2+4xy 　②x2－y2+2x－4y－3
③x4+x2－2ax －a+1 ④（x+y）4+x4+y4
⑤（a+b+c）3－（a3+b3+c3）
己知：n是大于1的自然數　　求證：4n2+1是合數
8．己知：f(x)=x2+bx+c, g(x)=x4+6x2+25, p(x)=3x4+4x2+28x+5
　　　且知f(x)是g(x)的因式，也是p(x)的因式
求：當x=1時，f(x)的值
初中數學競賽輔導資料（20）
代數恒等式的證明
甲內容提要
證明代數恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法兩種相反的恒等變形，要特別注意運用乘法公式和等式的運算法則、性質。
具體證法一般有如下幾種
1．從左邊證到右邊或從右邊證到左邊，其原則是化繁為簡。變形的過程中要不斷注意結論的形式。
2．把左、右兩邊分別化簡，使它們都等于第三個代數式。
3．證明：左邊的代數式減去右邊代數式的值等于零。即由左邊－右邊＝0可得左邊＝右邊。
4，由己知等式出發，經過恒等變形達到求證的結論。還可以把己知的條件代入求證的一邊證它能達到另一邊，
乙例題
例1求證：3 n+2－2　n＋2＋2×5 n+2＋3 n－2 n＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）
證明：左邊＝2×5×5 n+1＋（3 n+2+3 n）＋（－2 n+2?。? n）
＝10×5 n+1＋3 n(32+1)－2 n-1(23＋2)
　　　　?。?0（5 n+1+3 n－2 n-1）=右邊
　又證：左邊＝2×5 n+2＋3 n（32＋1）－2 n(22+1)
＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n
右邊＝10×5 n+1+10×3 n－10×2 n-1
　　　　 ＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n
∴左邊＝右邊
例2 己知:a+b+c=0 　求證：a3+b3+c3=3abc
證明：∵a3+b3+c3－3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－ac－bc）(見19例1)
∵:a+b+c=0　
∴a3+b3+c3－3abc＝0　　即a3+b3+c3=3abc
又證：∵:a+b+c=0　　∴a=－（b+c）
兩邊立方 a3=－（b3+3b2c+3bc2+c3）
移項　 a3＋b3+c3＝－3bc(b+c)＝3abc
再證：由己知　a=－b－c 代入左邊,得
（－b－c）3+ b3+c3＝－（b3+3b2c+3bc2+c 3）+b3+c3
＝－3bc(b+c)=－3bc(－a)＝3abc

己知a+,a≠b≠c　求證：a2b2c2=1
證明：由己知a-b= ∴bc=
b-c= ∴ca= 同理ab=
∴ab　bc　ca＝＝1　　即a2b2c2=1
己知:ax2+bx+c是一個完全平方式（a,b,c是常數）求證：b2－4ac=0
證明：設:ax2+bx+c＝（mx+n）2 ， m,n是常數
那么:ax2+bx+c＝m2x2+2mnx+n2
根據恒等式的性質　得　∴: b2－4ac＝（2mn）2－4m2n2=0
丙練習20
求證： ①(a+b+c)2+(a+b-c)2－(a-b-c)2－(a-b-c)2＝8ab
②（x+y）4+x4+y4=2(x2+xy+y2)2 ③(x-2y)x3－(y-2x)y3=(x+y)(x-y)3
④3 n+2+5 n+2―3 n―5 n=24(5 n+3 n-1) ⑤a5n+a n+1=(a3 n－a2 n+1)(a2 n+a n+1)
2.己知：a2+b2=2ab 求證：a=b
3.己知：a+b+c=0
求證：①a3+a2c+b2c+b3=abc ②a4+b4+c4=2a2b2+2b2c2+2c2a2
4.己知：a2=a+1 　　求證：a5=5a+3
5.己知：x＋y－z=0 　　　求證： x3+8y3=z3－6xyz
6.己知：a2+b2+c2=ab+ac+bc 求證：a=b=c
7.己知：a∶b=b∶c　　　　　 求證：（a+b+c）2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c)
8.己知：abc≠0，ab+bc=2ac 　 求證：
9．己知：　 求證：x+y+z=0
10.求證：（2x－3）（2x+1）(x2－1)＋1是一個完全平方式
11己知：ax3+bx2+cx+d能被x2+p整除 求證：ad=bc
初中數學競賽輔導資料（21）
比較大小
甲內容提要
比較兩個代數式的值的大小，一般要按字母的取值范圍進行討論，常用求差法。根據不等式的性質：
當a－b＞0時，a＞b；　當a－b＝0時，a=b；　當a－b＜0時a＜b。
通常在寫成差的形式之后，用因式分解化為積的形式，然后由負因數的個數決定其符號。
需要討論的可借助數軸，按零點分區。
實數（有理數和無理數的統稱）的平方是非負數，在決定符號時常用到它。即若a是實數，則a2≥0，由此而推出一系列絕對不等式（字母不論取什么值，永遠成立的不等式）。諸如
(a－b)2≥0，　　　a2+1＞0，　　　　a2+a+1=(a+)2+＞0
－a2≤0，　　?。╝2+a+2）＜0　　當a≠b時，－（a－b）2＜0
乙例題
試比較a3與a的大小 　
解：a3－a=a(a+1)(a－1)　　　　 　　　　　　　　
a3－a=0,即a3=a　　　
以－1，0，1三個零點把全體
實數分為4個區間，由負因數的個數決定其符號：
當a＜－1時，a+1＜0,a＜0,a－1＜0（3個負因數）∴a3－a＜0　　即a3＜a
當－1＜a＜0時　a＜0,a－1＜0（2個負因數）　∴a3－a＞0　　即a3＞a
當0＜a＜1時，　a－1＜0（1個負因數）　　∴a3－a＜0　　即a3＜a
當a＞1時，沒有負因數， 　 ∴a3－a＞0　　即a3＞a
綜上所述當a=0,－1，1時， a3=a
當a＜－1或0＜a＜1時，a3＜a
當－1＜a＜0或a＞1時，a3＞a。　（試總結符號規律）
什么數比它的倒數大？
解：設這個數為x，則當并且只當x －＞0時，x 比它的倒數大，
　x －＝ 　　 －1　　　0　　　1
以三個零點－1，0，1把實數分為4個區間，由例1可知
當x＞1或－1＜x＜0時，x比它的倒數大。
例3　己知步行的速度是騎車速度的一半，自行車速度是汽車速度的一半，甲、乙兩人同時從A去B，甲乘汽車到中點，后一半用歩行，乙全程騎自行車，問誰先到達？
解：設從A到B有x千米，步行速度每小時y 千米，那么甲、乙走完全程所用時間分別是t甲＝，　　t乙＝
t甲－t乙＝　　∵x＞0，y＞0　∴t甲－t乙＞0
答：乙先到達B地
例4己知a≠b≠c，求證：a2+b2+c2＞ab+bc+ca
證明：a2+b2+c2－ab+bc+ca＝×2（a2+b2+c2－ab+bc+ca）
＝（2a2+2b2+2c2－2ab+2bc+2ca）
＝［（a-b）2+(b-c)2+(c-a)2］
∵a≠b≠c，（a-b）2＞0，(b-c)2＞0，(c-a)2＞0
∴a2+b2+c2＞ab+bc+ca
又證：∵a≠b，∴（a-b）2＞0　 a2+b2＞2ab(1)
　　　　同理b2+c2＞2bc(2) c2+a2>2ca(3)
(1)+(2)+( 3)得2a2+2b2+2c2＞2ab+2bc+2ca　即a2+b2+c2＞ab+bc+ca
例5　比較 3（1＋a2+a4）與(1+a+a2)2的大小
解：3（1＋a2+a4）－(1+a+a2)2＝3［（1＋a+a2）2-2a-2a2-2a3］－(1+a+a2)2
　　　　　　　　?。?(1+a+a2)2－6a(1＋a+a2)
=2(1＋a+a2)( 1＋a+a2-3a)=2(1＋a+a2)(1-a)2
∵1＋a+a2＝（＞0，　(1-a)2≥0
∴當a=1時，3（1＋a2+a4）＝(1+a+a2)2
當a≠1時，3（1＋a2+a4）＞(1+a+a2)2
解方程　　　　
解：以－0.5,和2兩個零點分為3個區間
當x<-0.5時，－(2x+1)－(x-2)=4, 解得x=－1
　當－0.5≤x<2時，（2x+1）－（x-2）=4, 解得x=1
當x≥2時，（2x+1）+(x－2)＝4　解得x=, ∴在x≥2范圍無解
綜上所述原方程有兩個解x=－1, x=1
丙練習21
己知a>0,b<0,且a+b<0. 試把a,b,0及其相反數記在數軸上。
并用“＜”號把它們連接。
比較下列各組中的兩個數值的大?。?br/>①a4與a2 ②與
什么數的平方與立方相等？什么數的平方比立方大？
甲乙兩人同時從A去B，甲一半路程用時速a千米，另一半路程用時速b千米；乙占總時間的一半用時速a千米,另一半時間用時速b千米,問兩人誰先到達？
己知　a>b>c>d>0且a∶b=c∶d， 試比較a+c與b+d的大小
己知aay+bx
己知a求證：①ax+by+cz>az+bx+cy ②ax+by+cz>az+bx+cy
(提示：可應用第6題的結論)
己知a①　?、赼b<1 ③ ④a－2b<0
9.若a,b,c都是大于－1的負數，（即－1＜a,b,c<0下列不等式哪些不能成立？試各舉一個反例。
　①a+b－c>0 ②(abc)2>1 ③a2-b2-c2<0 ④abc>-1
10.水池裝有編號為①②③④⑤的5條水-管，其中有的是進水管，有的是出水管，同時開放其中的兩條水管，注滿水池所用的時間列表如下
　
開放的水管號
①②
②③
③④
④⑤
⑤①
時間（小時）
2
15
6
3
10
問單獨開放哪條水管能最快注満水池？答：＿＿＿
?。?989年全國初中數學聯賽題）
初中數學競賽輔導資料（22）
分式
甲內容提要
除式含有字母的代數式叫做分式。分式的值是由分子、分母中的字母的取值確定的。
(1)分式中，當B≠0時有意義；當A、B同號時值為正，異號時值為負，反過來也成立。分子、分母都化為積的形式時，分式的符號由它們中的負因數的個數來確定。
(2)若A、B及都是整數，那么A是B的倍數，B是A的約數。
(3)一切有理數可用來表示，其中A是整數，B是正整數，且A、B互質。
分式的運算及恒等變形有一些特殊題型，要用特殊方法解答方便。
乙例題
例1．x取什么值時，分式的值是零？是正數？是負數？
解： ＝
以零點－2，－1，0，3把全體實數分為五個區間，標在數軸上（如上圖）
當x=－1,x=3時分子是0，分母不等于0，這時分式的值是零；
當x<－2, －13時，分式的值是正數（∵負因數的個數是偶數）
當－2例2．m取什么值時，分式的值是正整數？
解：＝＝2＋
當例3．計算＋－－
＞－2且m－1是9的約數時，分式的值是正整數
即m－1＝1，3，9，－9　　解得m=2,4,10,－8。　　答：（略）
解：用帶余除法得，原式＝1＋＋1＋－1－－1－
＝＋
＝＋＝
4．已知（a+b）∶(b+c)∶(c+a)=3∶4∶5　　求①a∶b∶c ②
解：設a+b=3k,則b+c=4k,c+a=5k,全部相加
得2（a+b+c）=12k, 即a+b+c=6k, 分別減上列各式
得a=2k, b=k, c=3k
∴①a∶b∶c =2∶1∶3 ②＝＝
例5．一個兩位數除以它的兩個數位上的數字和，要使商為最小值，求這個兩位數；如果要使商為最大值呢？ 解：設這個兩位數為10x+y，那么0＜x≤9,　　0≤y≤9
?。?＋當x取最小值1，y取最大值9時，分式的值最??；當x取最大值9，y取最小值0時，分式的值最大。答：商為最小值時的兩位數是19，商為最大值時的兩位數是90。
丙練習22
a=___時，分式的值是0
已知則分式＝＿＿＿＿
若x和分式都是整數，那么x=_______________
直接寫出結果:
x=(x+)-______ ②(x2++2)÷（x+=____
（x2-）÷（x+）=__＿＿?、埽?＋（1－＝＿＿＿＿
5．化簡繁分式，并指出字母x 取什么值時它沒有意義。
6．x取什么值時分式的值是零？是正數？是負數？
7．計算：①＋?、?br/>　③
8．解方程：
　　
⑶（其中
9．已知xy∶yz∶zx=3∶2∶1, 求①x∶y∶z　?、凇　　?br/>10．已知a≠b≠c且　　　求證：ax+by+cz=0
11.已知：　　求：（x+y）∶z的值
12．由三個非零且相異的數字組成的三位數，除以這三個數字和，其商的最小值是多少？
13．在保證分母不等于0的前提下，分式中的x不論取什么值分式的值都不變，問a和b之間的關糸應滿足什么條件？
14.　已知　求證：（a2+b2+c2）(m2+n2+p2)=(am+bn+cp)2
初中數學競賽輔導資料(23)
遞推公式
甲內容提要
先看一例：a1=b,a2=,a3=……　an+1=這里a1,a2,a3……an,an+1是對應于正整數1，2，3……n,n+1 的有序的一列數（右下標的數字表示第幾項），這一列數只要給出某一項數值，就可以推出其他各項數值。
例如: 若　a1=10, 則a2==,a3=10,a4=,a5=10……　　
2. 為了計算的方便，通常把遞推公式寫成以a1和n表示an的形式，這可用經驗歸納法。 例如：把遞推公式an+1=an+5改為用a1 和n來表示
∵a2=a1+5,　∴a3=a2+5=(a1+5)+5=a1+2×5， a4=a3+5=(a1+2×5)+5=a1+3×5
……　　　　∴an=a1+(n-1)5
如果 已知a1=10, 求a20,顯然代入這一公式方便。A20=10+19×5=105
3.有一類問題它與正整數的順序有關，可尋找遞推公式求解，這叫遞推法。
乙例題
例1.已知：a1=2, an=an-1+2(n-1) (n≥2)　　 求：a100的值
解：a100=a99+2×99
=a98+2×98+2×99
=……
=a1+2×1+2×2+2×3+……+2×98+2×99
=2+2×=9902
又解：a2=a1+2×1
a3=a2+2 ×2=(a1+2×1)+2×2
a4=a3+2×3=(a1+2×1+2×2)+2×3
……
a100=a1+2×1+2×2+2×3+……+2×99
=2+2(1+2+3+……+99)=9902
例2.已知：x1=97, 對于自然數n>1, xn=　 求：x1x2x3·……·x8的值
解：由遞推公式xn=可知 x1x2=x1=2 x3x4=x3=4
x5x6=x5=6 x7x8=x7=8　　∴x1x2x3·……·x8=2×4×6 ×8=384
例3.已知：100個自然數a1,a2,a3……a100滿足等式
(n-2)an－（n－1）an-1+1=0 (2≤n≤100)并且a100=199
求：a1＋a2＋a3＋……＋a100
分析：已知等式是一個遞推公式，用后項表示前項：an-1=
可由a100求a99,a98……
解：a99===197
a98===195
用同樣方法求得a97=193, a96=191,……a1=1
∴a1＋a2＋a3＋……＋a100＝1＋3＋5＋……＋195＋197＋199
　　　　　　　　　　?。剑?04
丙練習23
已知　a1=1, a2=1, 且an+2=an+1+an
那么　a3=___,a4=____,a5=_____,a6=_____,a7=_____
若a1=2m, an=　則a2=__,a3=__,a4=__,a5=__,a1989×a1990=___
3. n為正整數，有遞推公式an+1=an－3，試用a1,n表示第n項an
4. 已知　a1=10, an+1=2an 求a10
5. 已知　f(2)=1, f(n+1)=f(n)+n, 求 f(10)
設x+y=a1, x2+y2=a2, ……　xn+yn=an, xy=6, 則a2=a12－2b,
有遞推公式an+1=a1an－ban-1, 試按本公式求出：用a,b表示a3, a4, a5, a6
根據下列數據的特點，寫出遞推公式：
a1=1, a2=4, a3=7, a4=10……an=＿＿＿＿,an+1＿＿＿＿＿＿＿＿　　
a1=1, a2=3, a3=6, a4=10……an=＿＿＿＿＿＿,an+1＿＿＿＿＿＿＿＿＿
n名象棋選手進行單循環比賽（每人對其他各人各賽一場）試用遞推公式表示比賽的場數。
平面內n條的直線兩兩相交，最多有幾個交點？試用遞推公式表示。
初中數學競賽輔導資料（24）
　　　連續正整數的性質
甲內容提要
一.兩個連續正整數
1.兩個連續正整數一 定是互質的，其商是既約分數。
2.兩個連續正整數的積是偶數，且個位數只能是0，2，6。
3.兩個連續正整數的和是奇數，差是1。
4.大于1的奇數都能寫成兩個連續正整數的和。例如3＝1＋2，79＝39＋40，　111＝55＋56。
二.計算連續正整數的個數
　例如：不同的五位數有幾個？這是計算連續正整數從10000到99999的個數，它是　99999－10000＋1＝90000（個）
1. n位數的個數一般可表示為　9×10n-1(n為正整數，100＝1)
例如一位正整數從1到9共9個（9×100），
二位數從10到99共90個　（9×101）
三位數從100到999共900個（9×102）……
2.連續正整數從n 到m的個 數是　m－n+1
　把它推廣到連續奇數、連續偶數、除以模m有同余數的連續數的個數的計算，舉例如下：
3.　從13到49的連續奇數的個數是＋1＝19
從13到49的連續偶數的個數是＋1＝18
從13到49能被3整除的正整數的個數是＋1＝12
從13到49的正整數中除以3余1的個數是＋1＝13
你能從中找到計算規律嗎？
三.計算連續正整數的和
1＋2＋3＋……＋n＝（1＋n）　（n是正整數）
　連續正整數從a到b的和　記作(a+b)
把它推廣到計算連續奇數、連續偶數、除以模m有同余數的和，舉例如下：
11＋13＋15＋…＋55＝（11＋55）×＝759?。ā邚?1到55有奇數＋1＝23個）
11＋14＋17＋…＋53＝（11＋53）×＝480?。ā邚?1到53正整數中除以3余2的數的個數共＋1＝15）
四. 計算由連續正整數連寫的整數，各數位上的數字和
123456789各數位上的數字和是（0＋9）＋（1＋8）＋…＋（4＋5）
＝9×5＝45
1234…99100計算各數位上的數字和可分組為：（0，99），（1，98），
（2，97）…（48，51），（49，50）共有50個18，加上100中的1
∴各數位上的數字和是18×50＋1＝901
五. 連續正整數的積
從1開始的n個正整數的積1×2×3×…×n記作n！，讀作n的階乘
n個連續正整數的積能被n！整除，
如11×12×13能被1×2×3整除；97×98×99×100能被4！整除；
a（a+1）(a+2)…(a+n)能被（n+1）！整除。
n！含某因質數的個數。舉例如下：
1×2×3×…×10的積中含質因數2的個數共8個
其中2，4，6，8，10都含質因數2　　暫各計1個，共5個
其中4＝22　　　　含兩個質因數2　　增加了1個
其中8＝23　　　　含三個質因數2　　再增加2個
1×2×3×…×130的積中含質因數5的個數的計算法
5，10，15，…125，130　均含質因數5　暫各計1個，共26個
其中25，50，75，100均含52有兩個5　各加1個，　　共4個
其中125＝53　　　　　　含三個5　　　　　　　　　　　再增加2個
∴積中含質因數5的個數是32
乙例題
例1. 寫出和等于100的連續正整數
解：∵100＝2×50＝4×25＝5×20＝10×10
　其中2個50和10個10都不能寫成連續正整數
而4個25：12＋13，11＋14，10＋15，9＋16
　得第一組連續正整數9，10，11，12，13，14，15，16。
5個20可由20，19＋21，18＋22
得第二組連續正整數18，19，20，21，22。
例2. 一本書共1990頁用0到9十個數碼給每一頁編號共要多少個數碼？
解：頁數編碼中，一位數1到9共9個
　兩位數10－99，共90個，用數碼90×2＝180個
三位數100－999，共900個，用數碼900×3＝2700個
四位數1000－1990，共991個，用數碼991×4＝3964個
∴共用數碼9＋180＋2700＋3964＝6853
用連續正整數1到100這100個數順次連接成的正整數：
　1234……99100。問：
①它是一個幾位數？
②它的各位上的數字和是多少？
如果從這個數中劃去100個數字，使剩下的數盡可能地大，那么剩下的數的前十位數是多少？
解： ①這個數的位數=9×1+90×2+3=192
②各位上的數字和=18×50+1=901(見上頁第四點)
③劃去100個數，從最高位開始并留下所有的9：
包括1――8，10――18，19中的1，20――28，29中的2，……，50到56這里共有8＋19＋19＋19＋19＋14＝98個，再劃去57，58中的兩個5，
剩下的數的前十位是9999978596。
算術平方根的整數部分等于11的連續正整數共有幾個？
解：∵＝11，＝12
∴算術平方根的整數部分等于11的正整數x是112≤x<122
;∴符合條件的連續正整數是121，122，123，…，143。共23個。
例5. 已知兩個連續正整數的積等于由同一個數碼組成的三位數的2倍， 求這兩個連續正整數。
解：設連續正整數為x,x+1,相同數碼的三位數為100a+10a+a
根據題意，得x(x+1)=2(100a+10a+a) 即x(x+1)=222a （1）
　　　　　　　把222分解質因數得　x(x+1)=2×3×37a（2）
∵連續正整數的積的個位數只能是0，2，6　且0＜a≤9
　由（1）可知a可能是1，3，5，6，8　分別代入（2）只有6適合
x(x+1)=36×37　　
答所求的連續正整數是36和37
丙練習24
除以3余2的兩位數共有___個，三位數有____個，n位數有____個。
從50到1000的正整數中有奇數___個，3的倍數___個。
由連續正整數連寫的正整數123…9991000是_____位數，它的各位上的數字和是_____。
把由1開始的正整數 依次寫下去，直寫到第198位為止，
那么這個數的末三位數是______，這個數的各位上的數字和是_____
這個數除以9的余數是_____(1989年全國初中數學聯賽題)
已知a=, b=
那么①ab=______________
②ab的各位上的數字和是___________(可用經驗歸納法)
計算連續正整數的平方和的個位數：
12+22+32+……+92和的個位數是_______
12+22+32+……+192和的個位數是______
12+22+32+……+292和的個位數是______
12+22+32+……+392和的個位數是______
12+22+32+……+1234567892和的個位數是＿＿＿＿＿＿
（1990全國初中數學聯賽題)
寫出所有和能等于120的連續正整數(仿例1)它們共有三組：
____________，_________________，_____________________。
連續正整數的積1×2×3×4×…×100
這積中含質因數5的個數有____，積的末尾的零連續____個。
恰有35個連續正整數的算術平方根的整數部分相同這個相同的整數 是多少？　　　 (1990年全國初中數學聯賽題)
.設a,b,c是三個連續正整數且a2=14884,c2=15376,那么b2是( )
(A)15116 (B)15129 (C)15144 (D)15376
計算：① 2+4+6+…+100=
②1+4+7+10+…+100=
+10+15+…+100=
有11個正整數都是小于20，那么其中必有兩個是互質數，這是為什么？
如果有(n+1)個正整數，它們都小于2n，那么必有兩個是互質數，試說明理由。
一串數1，4，7，10，…，697，700的規律是第一個數是1，以后的每一個數等于它前面的一個數加，直到700為止。將這些數相乘，試求所得的積的尾部的零的個數。(1988年全國初中數學聯賽題)
提 示：先求積中含質因數5的個數
初中數學競賽輔導資料(25)
十進制的記數法
甲內容提要
十進制的記數法就是用0，1，2…9十個數碼記數的方法，位率是逢十進一。底數為10的各整數次冪，恰好是十進制數的各個位數：
100=1(個位數—第1位)， 101=10(十位上的數---第2位)，
102=100(百位上的數---第3位)，…10n(第n+1位上的數)
例如54307記作5×104+4×103+3×102+0×101+7×100
十進制的n位數(n為正整數)， 記作：
10n-1a1+10n-2a2+10n-3+…+102an-2+10an-1+an
其中最高位a1≠0，即0各位上的數字相同的正整數記法：
例如∵999=1000－1＝103－1，9999＝104－1，∴＝10n-1
＝，＝，＝
4 解答有關十進制數的問題，常遇到所列方程，少于未知數的個數，這時需要根據各位上的數字都是表示0到9的整數，這一性質進行討論。
乙例題
一個六位數的最高位是1，若把1移作個位數，其余各數的大小和順序都不變，則所得的新六位數恰好是原數的3倍，求原六位數。
解：設原六位數1右邊的五位數為x,那么原六位數可記作1×105＋x ，新六位數為10x＋1，　　　
　根據題意，得　10x＋1＝3（1×105＋x）　　7x=299999 x=42857
∴原六位數是142857
設n為正整數，計算×＋1
解：原數＝（10　n –1）×（10　n –1）+1×10n+10n－1
　　　?。?02n－2×10n+1+10n+10n－1
　　　?。?02n
試證明12，1122，111222，……，這些數都是兩個相鄰的正整數的積
證明：12＝3×4，　1122＝33×34，111222＝333×334
注意到333×334＝333×（333＋1）＝×（＋1）
由經驗歸納法，得
＝×10n+
＝（＋）
＝（
上述結論證明了各數都是兩個相鄰的正整數的積
試證明：任何一個四位正整數，如果四個數字和是9的倍數，那么這個四位數必能被9整除。并把它推廣到n位正整數，也有同樣的結論。
證明：設一個四位數為103a+102b+10c+d, 根據題意得
　a+b+c+d=9k (k為正整數)，∴d=9k－a －b－c,代入原四位數，得
103a+102b+10c＋9k－a －b－c＝（103－1）a+(102-1)b+9c+9k
=9(111a+11b+c+k)
∵111a+11b+c+k是整數，
∴四位數103a+102b+10c+d,能9被整除
推廣到n位正整數：　n位正整數記作10n－1a1+10n-2a2+…+10an-1+an（1）
∵a1+a2+…+an-1+an=9k(k是正整數)
∴an=9k－a1－a2－…－an-1　　　代入（1）得
原數＝10n－1a1+10n-2a2+…+10an-1+9k－a1－a2－…－an-1　
＝（10n-1－1）a1+（10n-2－1）a2+…+9an-1+9k
∵10n-1－1，10n-2－1，…10－1分別表示，，…9
∴原數＝9（a1＋a2＋…＋an+k）
∴這個n位正整數必能被9整除
已知：有一個三位數除以11，其商是這個三位數的三個數字和。
求：這個三位數。
解：設這個三位數為102a+10b+c 其中0＜a≤9, 0≤b,c≤9
＝9a＋b＋且－8 ≤a-b+c≤18
∵它能被11整除，∴a-b+c只能是11或0。
當a-b+c＝11時，商是9a+b+1,
根據題意得9a+b+1＝a+b+c，c=8a+1 a只能是1，c=9,
b=a+c-11=-1不合題意
當a-b+c＝0時，商是9a+b
, 9a+b= a+b+c且a-b+c＝11
解得　　　　答這個數是198
一個正整數十位上的數字比個位數大2，將這個數的各位數字的順序顛倒過來，再加上原數，其和是8877，求這個正整數。
解：∵順序顛倒過來后,兩個數的和是8877, ∴可知它們都是四位數
設原四位數的千位、百位、十位上的數字分別為a,b,c則個位數是c-2,
根據兩個數的和是8877試用列豎式討論答案
a b c (c-2) 從個位看 (c-2)+a=7或17
+) (c-2) c b a 從千位看a+(c-2)=8 (沒進入萬位)
8 8 7 7 可知 (c-2)+a=7 即c+a=9 (1) 從十位上看b+c=7或17
從百位上看c+b=8 (進入千位)
可知 c+b=17 (2)
(2)+(1)得 b-a=8
∵0 ∴a=1, b=9, c=8， c-2=6 答這個正整數是1986
丙練習25
設a是個兩位數，b是三位數。當a接在b的左邊時，這個五位數應記作_____，當a接在b 的右邊時，這個五位數應記作_____。
有大小兩個兩位數。大數的2倍與小 數的3倍的和是72。在大數的右邊寫上一個0再接著寫小 數，得到第一個五位數；在小 數的右邊寫上大數再接著寫個0，得到第二個五位數。已知第一個五位數除以第二個五位數得商2，余數590。求這兩個兩位數。
計算：1987×19861986－1986 ×19871987
一個22位數，個位數字是7，當用7去乘這個22位數時，其積也是22位數，并且恰好是將這個數的個位數字7移到最高位，其余各數的大小和順序都不變。求原22位數。
試證明：11－2，　1111－22，?。?，各數都能寫成某個正整數的平方。（即證明各數都是完全平方數）
一個兩位數的兩個數字對調后，所得新兩位數與原兩位數的比是4∶7。求符合條件的所有兩位數。
已知一個六位數乘以6，仍是六位數，且有×6＝
求原六位數
已知四位數除以9得四位數，求原四位數。
一個五位正奇數x，將x中的所有2都　換成5，并把所有5都換成2，其余各數不變，得一個新五位正奇數，記作y ，若x,y I滿足等式：
y=2(x+1),那么x=________(1987年全國初中數學聯賽題)
已知存在正整數n能使數被1987整除，
求證：p=能被1987整除
（1987年全國初中數學聯賽題）
一個三位數被11整除，其商是這個三位數的三個數字的平方和。求符合條件的所有三位數。（1988年全國初中數學聯賽題）
一個三位數，它的十位上數字比百位上數字小2，而個位數比百位上數字的算術平方根大7。求這個三位數。
求證：是一個合數。
初中數學競賽輔導資料（26）
選擇題解法（一）
甲內容提要
選擇題有多種類，這里只研究有唯一答案的選擇題解法。
對“有唯一答案”的選擇題解答，一般從兩方面思考：直接選擇正確的答案或逐一淘汰錯誤的選擇項。
判斷的根據有：運用概念辨析，借助圖形判別，直接推理演算，列舉反例否定，代入特殊值驗證等等。
必須注意：
先易后難，尋找突破口。
否定選擇項，只要有一個反例。
對涉及數值（包括比較大?。┑倪x擇題，可考慮用符合條件的特殊值代入判斷，包括利用連續數，奇偶數，平方數，個位數等特征。
概念辨析要注意類同概念的差異，特殊點的取舍，凡分區討論字母的取值，要做到既不違漏又不重復。
能借助圖形判別的，應按比例畫出草圖。
乙例題
一.淘汰法
例1.　n是正整數，下列哪個數一定不是正整數的平方？（　　）
（A）3n2－3n+3 (B)4n2+4n+4 (c)5n2－5n－5 (D)7n2－7n+7
分析：（A）3n2－3n+3＝3[n(n－1)+1] 只要n(n－1)+1＝3，即連續數n(n－1)＝2
　這是可能的，n=2時（A）的值是　32
　　用同樣方法可求得（C）,(D)的值可以是52，72
　　　　故選　（B）
　當然也可直接推出（B）一定不是正整數的平方，∵在4[n(n+1)+1]中，連續整數的積n(n+1)≠3?。ㄟB續正整數的積的個位數只能是0，2，6）
例2.　a,b,c 都是大于－1的負數，那么下列不等式能成立的是?。ā　。?br/>(A)(abc)2>1 (B)abc>－1 (C)a2－b2－c2<0 (D)a+b－c>0
分析：一般要“肯定成立”比“否定成立”更難，我們來取特殊值否定：
∵－1＜a,b,c<0,若取a=b=c=－－，則（A）左邊＝（－）2＝＜1
（D）左邊＝（－）＋（－）－（－）＝－＜0
對（C）可取a=－,b=c=－，則左邊＝－－＞0
故選?。˙）　　
以上兩題都是選用特殊值否定法
例3.　已知abcd>0, c>a , bcd<0, 以下結論能成立的是（　?。?br/>（A）a>0, b>0, c>0, d>0 (B)a<0, b<0 ,c>0 ,d<0, (C)a>0, b<0, c>0 ,d<0 (D)a<0, b>0, c<0, d>0 (E)a>0, b<0, c<0 ,d<0
解：由abcd>0,可知a,b,c,d中負因數的個數是偶數個，故可淘汰(B)和(E)，
再由bcd<0,可知a<0,又可淘汰(A),(C),(E)
故選 (D) 條件c>a 是多余的，本題是用概念辨析來否定選擇項
例4. 已知c>1, a=－, b=－,則a,b的大小關系是( )
(A)a>b, 　(B)a≥b, 　(C)a=b, 　 (D)a解：由c>1,可取c=2，得a=－≈0.32 b=－1≈0.41，
可淘汰(A)，(B)，(C)
為判斷有沒有特殊值能使a=b ,可用倒推法，設a=b
即－＝－，　移項得＋＝2
兩邊平方，得2c+2=4c ， ＝c
兩邊再平方,得c2－1=c2,這是不可能的，故可淘汰（E）
　　　正確的答案是（D）　　
本題是用特值來否定錯誤的選擇項，并結合推理演算
二.直接法
例5.已知 x=1+, y=1+(x≠0,y≠0)，則　y=( )
(A)x－1, 　(B)x+1 (C)1－x 　(D)x, 　(E)－x
解：從x=1+，　設x=y（把y與x對換）　則得y=1+
故選?。―）　　　
　這是用概念辨析法直接選擇。
例6.已知aax+by+cz 　　(B)ax+bz+cy 　　(C)ay+bx+cz
ay+bz+cx 　(E)az+bx+cy
解：按已知選a,b,c,x,y,z的值　　0＜1＜2，　?。?＜0＜1分別計算
（A）＝2，　（B）＝1，?。–）＝1，?。―）＝－1，　（E）＝－1
故選?。ˋ）　
　這是利用特殊值直接判斷。
例7.　去年產量比前年產量增長p ％，則前年產量比去年產量下降的比率是（　?。?br/>p％, (B),　(C)(100－p)％，（D）％，（E）％
解：設前年的產量為1，則去年產量是1＋p％，　那么前年比去年下降
的比率是100％＝％＝％
∴選?。―）　本題是直接計算。
（要注意增加、減少的數值差與增長、下降比率的倍數差的區別）
例8.三個連續正整數a,b,c, 已知a2=14884, c2=15376, 那么　b2=( )
（A）15116，?。˙）15129，　（C）15144，?。―）15325
解：由已知a　可以斷定b的個位數是3，而32＝9，
故選?。˙）　
本題是根據連續數，個位數，平方數的性質直接計算判斷的
例9. a,b是實數且滿足ab<0,a+b<0,a－b<0, 那么a,b及其相反數的大小和順序是（　?。?br/>a<－b(D)a解：多個數大小的比較，借助數軸方便，先標上a,b，再標上它們的相反數，由ab<0知道a,b異號，由a－b<0,知a小于b，即a負b正，由a+b<0可知負數a的絕對值大（即距原點更遠）得下圖
a －b 0 b －a
故選?。ˋ）
本題是借助圖形判別的。
丙練習26
選擇題：每題只有一個正確的答案，把選擇的編號填入表中
題　　號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
正確答案
的編號
1.已知a<0,－1（A）a>ab>ab2 (B)ab2>ab>a (C)ab>a>ab2 (D)ab>ab2>a (E)a>ab2>ab
2.　若－＜a<0,而A＝1＋a2, B=1－a2, C= D=
那么A,B,C,D的大小關系是　　(　　)
D3. 滿足等式1983＝1982x=1981y的一組正整數是?。ā　。?br/>(A) x=12785, y=12768 　(B)x=12784, y=12770
x=11888,y=11893 　(D) x=1947, y=1945
4. 　x≠0，y≠0且x= 那么（x－）(y+)等于　?。ā　。?br/>（A）2x2 (B) 2y2 (C)x2－y2 (D)y2－x2 (E)非以上答案
5.　n為正整數，x為任何實數，下列等式能成立的是（　?。?br/>x=1,　　　?。˙）＝
（C）＝x2－x+1　(D)=－?。‥）沒一個成立
6. 把代數式a根號外因式a移到根號內時，原式應等于（　　）
（A）（B）（C）－　（D）－?。‥）以上都不對
7.若a>b>c>0,M= , N=,P=
那么　下列五個代數式的值，最小的是　（ ）
MN, (B)MP, (C) NP, (D) M2, (E)P2
8.若x<0, 那么 等于 ( )
(A) 1, (B) 1－2x , (C) 2x－1, (D)2x+1, (E) –2x－1
9. 一個正整數的算術平方根為A，那么下一個正整數的算術平方根是( )
(A)， (B)A2+1 , (C)+1, (D) , (E)A+1
(1979年美國中學數學競賽試題)
10. 已知a 是3－的小數部分，那么 a等于 ( 　 )
(A)0.73， (B)0.27，(C) 2－， (D)－1 (E)非以上答案
11. 若∠1＞∠2，且∠1和∠2是鄰 補角，那么 ∠2的余角等于 ( )
(A)∠1， (B)(∠1+∠2)， (C)(∠1－∠2)，(D_)以上都不對
12. 從點A向北偏東45度方向走a米到達點B，再向B的南偏西30度方向走b米到達點C，那么 ∠ABC的度數是 (　　)
15　（B）75?。–）150?。―）非以上度數
13.　三條直線a,b,c 的位置關系，下列判斷錯誤的是?。ā　。?br/>?。ˋ）若a∥b, b∥c則a∥c　　（B）若a∥b，b⊥c 則a⊥c
(C) 若a⊥b，b⊥c 則a⊥c　?。―）若a⊥b，b⊥c 則a∥c　
14.對所有實數a,b,c，x,y,z，若x①xy+yz+zx15.　已知　T＝－＋－＋
那么　T的值的范圍是?。ā　。?br/>T＜1，?。˙）T＝1，　（C）T＞2?。―）1＜T＜2
(1974年美國中學數學競賽年試題)
16.a,b是不相等的正數，三個代數式的值，最大的是（　　?。?br/>?。ˋ）①，?。˙）②，　（C）③，?。―）不能確定
①（＋）2?、冢╝+）(b+), ③(+)2
初中數學競賽輔導資料（27）
　　　　　　　識圖
甲內容提要
1.幾何學是研究物體形狀、大小、位置的學科。
2.幾何圖形就是點，線，面，體的集合。點是組成幾何圖形的基本元素?！镀矫鎺缀螌W》只研究在同一平面內的圖形的形狀、大小和相互位置。
3.幾何里的點、線、面、體實際上是不能脫離物體而單獨存在的。因此單獨研究點、線、面、體，要靠正確的想像
點：只表示位置，沒有大小，不可再分。
線：只有長短，沒有粗細。線是由無數多點組成的，即“點動成線”。
面：只有長、寬，沒有厚薄。面是由無數多線組成的，“線動成面”。
4.因為任何復雜的圖形，都是由若干基本圖形組合而成的，所以識別圖形的組合關系是學好幾何的重要基礎。
　識別圖形包括靜止狀態的數一數，量一量，比一比，算一算；運動狀態中的位置、數量的變化，圖形的旋轉，摺疊，割補，并合，比較等。還要注意一般圖形和特殊圖形的差別。
乙例題
例1.數一數甲圖中有幾個角（小于平角）？乙圖中有幾個等腰三角形？丙圖中有幾全等三角形？丁圖中有幾對等邊三角形？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

解：甲圖中有10個角：∠AOB, ∠AOC,∠BOC,∠BOD,∠COD,　∠COE,∠DOE,∠DOA,∠EOA,∠EOB.如果OA和OC成一直線，則少一個∠AOC，余類推。
乙圖中有5個等腰三角形：△ABC，△ABD，△BDC，△BDE，△DEC
丙圖中有全等三角形4對：(設AC和DB相交于O)
△AOB≌△COD，△AOD≌△BOC，△ABC≌△CDA，△BCD≌△DAB。
丁圖中共有等邊三角形48個：
邊長1個單位：頂點在上▲的個數有　1＋2＋3＋4＋5＝15
頂點在下▼的個數有　1＋2＋3＋4＝10
邊長2個單位：頂點在上▲的個數有　1＋2＋3＋4＝10
頂點在下▼的個數有　1＋2＝3
邊長3個單位：頂點在上▲的個數有　1＋2＋3＝6
邊長4個單位：頂點在上▲的個數有　1＋2＝3
邊長5個單位：頂點在上▲的個數有　1
以上要注意數一數的規律
例2.設平面內有6個點A1，A2，A3，A4，A5，A6，其中任意3個點都不在同一直線上，如果每兩點都連成一條線，那么共有線段幾條？如果要使圖形不出現有4個點的兩兩連線，那么最多可連成幾條線段？試畫出圖形。
（1989年全國初中數學聯賽題）
解：從點A1與其他5點連線有5條，從點A2與其他4點（A1除外）連線有4條，從A3與其他3點連線有3條（A1，A2除外）……以此類推，6個點兩兩連線共有線段1＋2＋3＋4＋5＝15（條），或用每點都與其他5點連線共5×6再除以2（因重復計算）。
　要使圖形不出現有4個點的兩兩連線，那么每點只能與其他4個點連線，共有（6×4）÷2＝12（條）如下圖：其中有3對點不連線：A1A4，A2A5，A3A6　　　　　　　　　　　　　　　A5　　　　　　　　A4
　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　A6　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A3　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A1　　　　　　　　A2　　　　　
例3.如圖水平線與鉛垂線相交于O，某甲沿水平線，某乙鉛垂線同時勻速前進，當甲在O點時，乙離點O為500米，2分鐘后，甲、乙離點O相等；又過8分鐘，甲、乙再次離點O相等。求甲和乙的速度比。
解：如圖設甲0，乙0為開始位置，甲1，乙1為前進2分鐘后位置，甲2，乙2
　　乙2　　　　　　　為再前進8分鐘的位置。再設甲，乙的速度分別為每分鐘x,y
　　　　　　　　米，根據題意得　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　甲　O　　　甲1　　　　　　　　　　　　甲2　　　　　　　　解得12x=8y 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　乙1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴x∶y=2∶3　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　乙0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答甲和乙的速度比是2比3。
　
　例4.在三角形內（不在邊上）有3個點，連同原三角形三個頂點，共6個點，以這6個點為頂點，作出所有不重迭的三角形共有幾個？
（1989年全國初中數學聯賽題）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解：如圖△ABC中一個點D，與A，B，C各點連結可得3個不重迭的三角形；再增加1個點E，這時可連結不重迭的三角形共5個，再增加1個點F，又可增加2個不重迭的三角形，共有7個。
一般規律是每增加1個點，可增加不重迭的三角形2個
　　　A　　　　　　　　　A　　　　　　　　　　　　A　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　F　　　　　　　　　　　
　　　D　　　　　　　　　E　　　　　　　　　　　　　E　　　　　　　　　　　
B　　　　　　C　　　　　　　　D　　　　　　　　　　　D　　　　　
　　　　　　　　　B　　　　　　　　C　B　　　　　　　　　　　C　
丙練習27
數一數：甲圖中有直角三角形＿＿個，乙圖中有等腰直角三角＿＿個，丙圖中有全等三角形＿＿對。
　　A　　D　　　　　　　　　D　　　　　C　　　　A
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　E　　　D　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　C　　E　　　　　B　　　A　　　　　B　　　　　　　　　　　　　
甲　　　　　　　　　　　　乙　　　　　　B　丙　C
平面上有5個點A，B，C，D，E，其中A，B，C三點在同一直線上，那么以這5個點為端點的線段共有＿＿＿條，記作_____＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
以O為端點畫6條射線OA，OB，OC，OD，OE,OF,那么可組成的角（小于平角）最多是＿＿個，最少是＿＿＿個，試分別畫出草圖。
在三角形內有n個點（n為整數）與原三角形3個頂點共n＋3個點，以這些點為頂點可連成不重迭的三角形最多有＿＿＿＿個。
5.　下圖中三角形＿＿＿個其中等腰三角形＿＿個，直角三角形＿＿＿個，
　　　　　　　　　　全等的等腰三角形＿＿組，每組＿＿個，　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　全等的直角三角形＿＿＿組，每組＿＿個?！　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?br/>　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　如圖長方形ABCD中，E，F，G分別在邊
BC，CD，DA上，以A為一個頂點，其他兩點
在B，C，D，E，F，G中任選，總共可組成的
三角形的個數是＿＿（1987年泉州市初二數學雙基賽題）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　
　
　7.　平面上有6個點A，B，C，D，E，F其中任意3個點都不在同一直線上，如果不使圖形出現有3個點兩兩連線，那么最多可連接線段幾條？試畫出草圖.
8.　　　　　　　　　如圖OC⊥AB于O，OD⊥OE于O，寫出圖中　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　相等的角：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　互余的角：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　互補的角：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
9.D　　　　　G　　　C　　如圖長方形ABCD中，AB＝5，BC＝4，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　AE＝BF＝1，CG＝DH＝2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　H　　　　　　　　　F　　那么四邊形EFGH的面積是＿＿（平方單位）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　A E　　　　　　B　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
10.如圖A，B，C，D四點在同一直線上，到A，B，C，D各點距離之和為最小值的點在什么位置？有幾個符合條件的點？距離之和的最小值可用哪些線段的長度來表示？（1987年全國初中數學聯賽題）
　　　　　　
　　A　　　B　　　　　C　　　　　　D　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
11.正方形的邊長為a ，以四條邊長為直徑，向形內作4個半圓，求這四個半圓相交所成的菊花形面積。
12.下列四圖，都是由全等正方形組成的圖形，其中哪一個能圍成正方體？答：（　?。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?br/>　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（A） (B) 　(C) 　　　　(D)
13. 甲，乙兩人沿著圓周同時勻速前進，開始他們位于一條直徑的兩端，相向而行，第一次相遇時，乙走了100米，第二次相遇時，甲還差60米走完一圈。求這個圓的周長。
提示：可設 圓周長為x 米，并引入參數V甲，V乙 列方程組解之
14.正方形ABCD邊長為a，在點A處有個質點P， 在點B處有個質點 Q，
　　兩個質點同時依反時針方向，沿正方形的邊線作勻速的運動，過4秒鐘，P在C處追上Q。那么　 B P A
再過?。撸呙腌?，　P在＿處第二次追上Q　 P
出發6秒鐘時，P，Q這間相距＿＿a　　　　　 Q 　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　C　　　　　D　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
15.有長3cm，寬2cm的長方形紙片1991張，將它們按照下圖所示的方法，擺在平面上，那么這1991張紙片覆蓋的面積是（　?。?br/>（1991年泉州市初二數學雙基賽題）
3982?。˙）3986　（C）3990　（D）3999
　
　　
16.一條線段（與圓相交）可把一個圓分成兩部分，問四條線段最多可把圓分成＿＿＿＿部分。（1991年泉州市初二數學雙基賽題）　
17.把一個矩形分成6個正方形（如圖），其中最小的一個面積是1（單位平方）那么這個矩形的面積是＿＿＿（單位平方）
　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　11
　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

初中數學競賽輔導資料(28)
三角形的邊角性質
甲內容提要
三角形邊角性質主要的有：
邊與邊的關系是：任意兩邊和大于第三邊，任意兩邊差小于第三邊，反過來要使三條線段能組成一個三角形，必須任意兩條線段的和都大于第三條線段，即最長邊必須小于其他兩邊和。用式子表示如下：
a,b,c是△ABC的邊長
推廣到任意多邊形：任意一邊都小于其他各邊的和
角與角的關系是：三角形三個內角和等于180；任意一個外角等于和它不相鄰的兩個內角和。
推廣到任意多邊形：四邊形內角和=2×180， 五邊形內角和=3×180
六邊形內角和=4×180 n邊形內角和=(n－2) 180
邊與角的關系
在一個三角形中，等邊對等角，等角對等邊；
大邊對大角，大角對大邊。
在直角三角形中，
△ABC中∠C=Rt∠(勾股定理及逆定理)
△ABC中a：b：c=1：：2
△ABC中 a：b：c=1：1：
乙例題
例1.要使三條線段3a－1,4a+1,12－a能組成一個三角形求a的取值范圍。
　(1988年泉州市初二數學雙基賽題)
解：根據三角形任意兩邊和大于第三邊，得不等式組
解得 ∴1.5答當1.5例2.如圖
A B C D
AB=x，AC=y, AD=z 若以AB和CD分別繞著點B和點C旋轉，使點A和D重合組成三角形，下列不等式哪些必須滿足？
x<,　?、趛解由已知AB=x, BC=y－x, CD=z－x要使AB，BC，CD組成三角形，必須滿足下列不等式組：
即∴
答y例3.已知△ABC的三邊都是正整數，a=5,　b≤a≤c,符合條件的三角形共有幾個？試寫出它們的邊長。
解：由已知a=5，1≤b≤5，∵c∴符合條件的三角形共有15個，(按b,a,c排列)
它們的邊長是：155；255，256；355，356，357；455，456，457，458；
555，556，557，558，559。
例4. 　　　　 如圖求角A，B，C，D，E，F的度數和
解：四邊形EFMN 的內角和=360度
∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D
∠1＋∠2＋∠E＋∠F＝ 360度
　　　　　　　∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360度


例5.△ABC中，∠A≤∠B≤∠C，2∠C=5∠A，求∠B的取值范圍
(1989年泉州市初二數學雙基賽題)
解：根據題意，得
得∠C=(180－∠B)，∠A＝(180－∠B)
∴(180－∠B)≤∠B≤(180－∠B)　　∴　40≤∠B≤75
例6.在凸四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠A：∠B：∠C＝1：1：2
　求各內角的度數　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解：作∠BCD的平分線交AD于E，　　　　　　
△BCE≌△DCE（SAS）　∴∠D＝∠CBE　　　　　　　　　　　　　　　
△BCE≌△BAE（SSS）　∴∠CBE＝∠ABE＝∠D　　　
設∠D＝X度，則2X＋2X＋4X＋X＝360
∴X＝40（度）　答∠DAB＝∠ABC＝80，∠B∠D＝160，∠D＝40　
丙練習28
△ABC中，a=5,b=7,則第三邊c和第三邊上的高hc的取值范圍是＿＿
a,b,c是△ABC的三邊長，化簡得＿＿
已知△ABC的兩邊長a和b（a是＿＿＿＿＿＿＿＿＿
三邊長是連續正整數，周長不超過100的三角形共有＿＿＿個，按邊長的數字寫出這些三角形＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（按由小到大的順序排列，可用省略號）（1987年全國初中數學聯賽題）
各邊都是整數且周長小于13，符合條件的
不等邊三角形有___個，它們的邊長是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿
等腰三角形有______個，它們的邊長是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
6.如果等腰三角形的周長為S，那么腰長X的適合范圍是＿＿＿＿＿＿＿＿
7.四邊形ABCD中，AB＝2，BC＝4，CD＝7，邊AD的適合范圍是＿＿＿
8.三角形不同頂點的三個外角中至少有___＿＿個鈍角
（1986年泉州市初二數學雙基賽題）
9.△ABC中，a>b>c,那么∠C的度數是范圍＿＿＿＿＿＿＿＿
（　　　　　　　　　　1987年泉州市初二數學　雙基賽題）　
10.△ABC中，∠C、∠B的平分線相交于O，∠BOC＝120，則∠A＝＿＿
11.△ABC中，AB＝AC，∠A＝40，點D，E，F分別在BC，AC，AB上，CE＝BD，BF＝DC，則∠EDF＝＿＿（1986年泉州市初二數學雙基賽題）
12.如圖∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝＿＿＿＿＿度
（1986年泉州市初二數學雙基賽題）
13.如圖∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠H＝＿＿度
14.如圖△ADE中，∠ADE＝140且AB＝BC＝CD＝DE，則∠A＝＿＿


15.如圖∠A＋∠B＋∠C＋∠AED＝＿度（1988年泉州市初二數學雙基賽題）
（這里∠AED是指射線EA繞端點E按逆時針方向旋轉到ED所成的角）
16.△ABC的AB＝AC＝CD，AD＝BD，則∠BAC＝＿＿＿度
（1988年泉州市初二數學雙基賽題）
17.△ABC中，∠A＝Rt∠，∠B＝60∠B的平分線交AC于D，點D到邊BC的距離為2cm,則邊AC的長是＿＿cm
(1988年泉州市初二數學雙基賽題)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　C　　　　　B　　　　　　　A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　E　　　　B　　　　　　　　　　C　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　D　　　　　　　　　　　　　　　
　D　　　　　　　A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
18.△ABC中，AB＝AC，M是AC的中點，則的值是（　　）
大于（B）大于（C）大于（D）大于
19不等邊三角形的三邊長均為整數，其周長是28，且最大邊與次大邊的差比次大　邊與最小邊的差大1，則這樣的三角形共有＿＿個，它們的邊長是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。　?。?989年泉州市初二數學雙基賽題）
20.菱形ABCD中，點E，F分別在邊BC，CD上，且△AEF為等邊三角形，求∠C的度數。　

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