資源簡介

初中數學競賽輔導資料(29)
概念的定義
甲內容提要和例題
概念是反映事物本質屬性的思維形態。概念是用詞(或符號)表現出來的。例如：水果，人，上午，方程，直線，三角形 ，平行，相等以及符號=≌，∥，⊥等等都是概念。
概念是概括事物的本質，事物的全體，事物的內在聯系。例如水果這一概念指的是桃，李，蘋果，…… 這一類食物的全體，它們共同的本質屬性是有豐富的營養，充足的水份，可食的植物果實，而區別于其他食物(如蔬菜)。
人們在生活，學習，工作中時時接觸概念，不斷地學習概念，加深對概念的正確認識，同時運用概念進行工作，學習和生活，
正確理解數學概念是掌握數學基礎知識的前提。
理解概念就是對名詞，符號的含義的正確認識，一般包含兩個方面：
明確概念所反映的事物的共同本質屬性，即概念的內涵；
明確概念所指的一切對象的范圍，即概念的外延。
例如“代數式”這一概念的內涵是：用運算符號連結數或表示數的字母的式子；概念的外延是一切具體的代數式――單項式，多項式，分式，有理式，根式，無理式。
又如“三角形”的概念內涵是三條線段首尾順次相接的封閉圖形；它的外延是不等邊三角形，等腰三角形，等邊三角形，直角三角形，鈍角三角形，銳角三角形等一切三角形。
就是說要正確理解名詞或符號所反映的“質”的特征和“量”的范圍。
一般情況是，對概念下定義，以明確概念的內涵；把概念分類，可明確概念的外延。
概念的定義就是用語句說明概念的含義，揭示概念的本質屬性。
數學概念的基本定義方式是種屬定義法。
在兩個從屬關系的概念中（如三角形與等腰三角形），外延寬的一個叫上位概念，也叫種概念，（如三角形），外延窄的一個叫下位概念，也叫屬概念（如等腰三角形）
種屬定義法可表示為：　被定義的概念＝種概念＋類征（或叫屬差）
例如：　　　　　　　　　方　程＝等　式＋含未知數
　　　又如：　　　　　　　　　無理數＝小　數＋無限不循環
或　　無理數＝無限小數＋不循環
　　　　　再如　　　等腰三角形＝三角形＋有兩條邊相等
基本概念（即原始概念）是不下定義的概念，因為種屬定義法，要用已定義過的上位概念來定義新概念，如果逐一追溯上去，必有最前面的概念是不下定義的概念。如點，線，集合等都是基本概念。
　　　　不定義的基本概念一般用描述法，揭示它的本質屬性。
例如：幾何中的“點”是這樣描述的：線與線相交于點。點只表示位置，沒有大小，不可再分。“直線”我們用“拉緊的線”和“紙張的折痕”來描述它的“直”，再用“直線是向兩方無限延伸的”以說明它的“無限長”的本質屬性。
有了點和直線的概念，才能順利地定義射線，線段，角，三角形等。
概念的定義也可用外延法。即列舉概念的全部外延，以揭示概念的內涵。
例如：單項式和多項式統稱整式；銳角三角形和鈍角三角形合稱斜三角形等都是外延定義法。
對同一個概念有時可用幾種不同的定義法。例如：“有理數”可定義為
有限小數和無限循環小數叫做有理數。②整數和分數統稱有理數。
前者是用上位概念“小數”加上類征“有限，無限循環”來定義下位概念的，這是種屬定義法；后者是用下位概念的“整數”、“分數”來定義上位概念的，它是外延法。
正確的概念定義，要遵守幾條規則。
①不能循環定義。例如周角的360分之1叫做1度的角（對），360度的角叫做周角（錯，這是循環定義）
定義概念的外延與被定義的概念的外延必須一致。例如若用“無限小數叫做無理數”來定義無理數就不對了，因為“無限小數”的外延比“無理數”的外延寬。
定義用語要簡單明確，不要含混不清。
一般不用否定語句或比喻方法定義。
定義可以反敘。一般地，定義既是判定又是性質。
例如：有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形。這里“等腰三角形“是被定義的概念，而“有兩邊相等的三角形”是用來定義的概念，這兩個概念的外延是相等的，所以兩者可易位，即定義可反敘。
所以由定義可得
等腰三角形的判定：如果三角形有兩條邊相等，那么它是等腰三角形。
等腰三角形的性質：如果一個三角形是等腰三角形，那么它有兩條邊相等。
數學概念要盡可能地用數學符號表示。
例如：等腰三角形，要結合圖形寫出兩邊相等，在△ABC中，AB＝AC
　直角三角形，要寫出哪個是直角，　在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠
又如　實數a的絕對值是非負數，記作　≥0，“≥”讀作大于或等于。
運用定義解題是最本質的解題方法
例如：絕對值的定義，可轉化為數學式子表示＝
含有絕對值符號的所有問題都可以根據其定義，化去絕對值符號后解答。
如：化簡：可等于
解方程：＝2x+1可化為　當x<-1時，　－（x+1）=2x+1；
當x≥－1時，　　　x+1=2x+1。
解不等式　＜2　　可解兩個不等式組：
　　　　　　　　
乙練習29
敘述下列各概念（名詞）的定義，并畫出圖形，用數學符號表示：
①算術平方根　　　　②開平方　　　　　③三角形的高　
④線段的中垂線　　　⑤點到直線的距離　⑥兩點的距離
敘述下列各概念（名詞）的定義，并指出定義中的“種”概念和
“類征”（屬差）
①銳角　　②直角三角形　③平行四邊形　 ④分式方程
敘述下列各概念（名詞）的定義，并舉列說明它的外延
整式　②有理方程　③梯形　④平行四邊形
試用外延法定義下列各概念
實數　②有理式　③非負數　
寫出下列各概念的定義，并結合圖形，把它說成判定和性質。
等邊三角形定義是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
A　　　如果△ABC中，AB＝BC＝AC，那么　＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　　如果△ABC是等邊三角形，那么　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
B　　　　C　
互為余角的定義是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
判定：如果＿＿＿＿＿＿＿＿那么　＿＿＿＿＿＿＿＿＿
性質：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
三角形中線的定義是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
判定：如果△ABC中，＿＿＿＿＿那么＿＿＿＿＿＿＿
性質：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　
運用定義解題：
當a取值為＿＿＿＿時，代數式是二次根式。
當x____時，代數式有意義
若最簡根式與3是同類二次根式，則x=__,y=__.
已知7xn-2my與－3x5y2m-1是同類項，那么　m=___,n=___
已知m是整數，且與是同類二次根式，求m的值。
已知是方程x－3y=5 的一個解，則a=____
已知2是方程5x2＋kx-6=0的一個解,求k 值及另一個解
已知銳角△ABC中，兩條高AD和BE相交于O，
求證：∠CAD＝∠CBE
⑨解方程　　⑩解不等式：＜3　　　　　　≥5
7.已知方程＝ax+2有一個負根而且沒有正根，那么a 的取值范圍是（　　）　　
（A）a>-1 　 (B) a=1 　 (C) a≥1　　（D）非以上答案
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
初中數學競賽輔導資料(30)
概念的分類
甲內容提要
概念的分類是揭示概念的外延的重要方法。當一個概念的外延有許多事物時，按照某一個標準把它分成幾個小類，能更明確這一概念所反映的一切對象的范圍，且能明確各類概念之間的區別與聯系。
概念分類必須用同一個本質屬性為標準，把一種概念分為最鄰近的類概念。例如三角形可按邊的大小分類，也可用角的大小分類；又如整數可按符號性質分為正、負、零，也可以按除以模m的余數分類。
分別表示如下：
整數整數　整數　整數
一種概念所分成的各類概念應既不違漏，又不重復。即每一個被分的對象必須落到一個類，并且只能落到一個類。所分的各類概念的外延總和應當與被分的概念的外延總和相等。
例如　正整數按下列分類是正確的
正整數　　正整數
如果只分為質數和合數，則外延總和比正整數的外延小；如果分為奇數和偶數則外延總和比正整數外延大，因此都不對。
又如等腰三角形的定義是：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。
所以三角形按邊的大小分類　
應是分成兩類：不等邊三角形和等腰三角形，　而不能是三類：（不等邊，等腰，等邊）如果這樣，三邊相等的三角形將落入兩類（等腰，等邊），所以概念的分類與概念的定義有直接聯系。
二分法是常用的分類法。即把一種概念分為具有和不具有某種屬性。
例如三角形平面內兩條直線位置
實數可分為：非負實數和負實數；四邊形可分為：平行四邊形和非平行四邊形等等。
從屬關系的概念（上下位概念）是指一個概念的外延包含著另一個概念的外延。種概念與它所分的各類概念之間的關系就是從屬關系。
例如：等邊三角形從屬于等腰三角形，而等腰三角形又從屬于三角形
又如：代數式包含有理式和無理式，有理式包含整式和分式，整式包含單項式和多項式。其關系可圖示如下：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6.并列關系的概念是兩個概念的外延互相排斥，互不相容。由同一種概念分成的各類概念之間的關系是并列關系的概念（同位概念）。
例如：偶數和奇數；有理式和無理式；直角三角形、鈍角三角形和銳角三角形，它們之間的關系都是并列關系的概念。可圖示如下:
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7.交叉關系的概念是指兩個概念的外延有一部分重疊。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一種概念用不同的標準分類，所得的各類概念之間的關系　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
可能就有交叉關系的概念。
例如：正數和整數是交叉關系的概念，既是正數又是整數的數叫做正整數；
　等腰三角形和直角三角形也是交叉關系的概念，外延重疊的部分，叫做等腰直角三角形。圖示如下:
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
乙例題30
例1.把一元一次不等式ax>b　(a,b是實數，x是未知數)的解的集合分類。
解：把實數a,b按正，負，零分類，得不等式解的集合如下：
　ax>b的解集　
例2.一個等腰三角形的周長是15cm,底邊與腰長的差為3cm，求這個三角形的各邊長。
解：設底邊長為xcm,則腰長是cm
當腰比底大時是　－x=3 ∴x=3　　　＝6　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　當腰比底小時是　x－=3 ∴x=7 　=4
答（略）
例3.化簡①　（－2　　　②
解：①∵要使有意義，必須且只需x+1≥0，即x≥－1
（－2　＝＋x+1－2＝＋x－1
當－1≤x<1時，原式＝－（x－1）+x－1＝0
當x≥1時，　原式＝x －1＋x－1＝2x－2
②化去分母根式時，要乘以，當x=y 時，不能進行。故
當x=y 時　＝＝
當x≠y時　　＝　　
例4.設a,b,c是三個互不相等的正整數
　求證：a3b－ab3,b3c－bc3,ca3－ca3三個數中，至少有一個能被10整除
　　　　　　　　　　　　　　（1986年全國初中數學聯賽題）
分析：∵10＝2×5，只要證明三個數中，至少有一個含2和5質因數即可，
含2，可把a,b,c分為奇數和偶數兩類；含5，則要按除以5的余數分類。
解：∵　a3b－ab3=ab(a+b)(a-b) , b3c－bc3=bc(b+c)(b-c),
ca3－ca3=ca(c+a)(c-a)　
不論a,b,c三個數中有1個是偶數，或3個都是奇數（奇±奇＝偶），三個代數式所表示的數都是偶數，即含有質因數2；
∵a,b,c除以5的余數只有0，1，2，3，4五種。
若有1個余數是0，則三個代數式所表示的數中必有1個含質數5；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　若有2個余數相同，則它們的差的個位數字是0，也含有質因數5；
若既沒有同余數又沒有余數0，那么在4個余數1，2，3，4中任取3個，必有2個的和是5，即a+b,b+c,c+a中有1個含質因數5。
　綜上所述　a3b－ab3,b3c－bc3,ca3－ca3三個數中，至少有一個能被10整除。
丙練習30
把下列概念分類（一種或幾種）
實數　②有理式　③小于平角的角　④平面內點與直線位置
把一元一次方程ax=b　(a,b是實數)的解分類。
用二分法把下列概念分類（任舉一例）
整數　②方程　③角　④直角三角形　⑤四邊形　
指出下列概念分類的錯誤
平面內兩直線的位置關系 有理數
　一元方程　
解方程和不等式
①＝4　　　　　　②＞1－2x
6.　化簡：①　　②　
7.　已知等腰三角形的一個外角等于150，求各內角的度數。
已知方程　無解，求a的值。
（1987年泉州市初二數學雙基賽題）
9.　第一組5人，第二組m人，從第一組調幾人到第二組，使第二組人數等于第一組人數的2倍？ （1987年泉州市初二數學雙基賽題）
10.　x取什么值時，x2 –3x的值是正數？
有n個整數其積為n,其和是0。即　求證：n是4的倍數
對任意兩個整數a和b.，試證明：a+b,a-b,ab三個數中至少有1個能
被3整除　
關于x的方程＝ax+2有根且只有負根，則a的取值范圍是＿＿__　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（1988年泉州市初二數學雙基賽題）
14　試證每個大于6的自然數n都可以表示為兩個大于1且互質的自然數的　和　提示：按奇數和偶數分類（1995年全國初中數學聯賽題）
初中數學競賽輔導資料（31）
勾股定理
甲內容提要
勾股定理及逆定理：△ABC中　∠C＝Rt∠a2＋b2=c2
勾股定理及逆定理的應用
作已知線段a的，， ……倍
計算圖形的長度，面積，并用計算方法解幾何題
證明線段的平方關系等。
勾股數的定義：如果三個正整數a,b,c滿足等式a2＋b2=c2，那么這三個正整數a,b,c叫做一組勾股數.
勾股數的推算公式
羅士琳法則（羅士琳是我國清代的數學家1789――1853）
任取兩個正整數m和n(m>n),那么m2-n2，2mn,　m2+n2是一組勾股數。
如果k是大于1的奇數，那么k, ,是一組勾股數。
如果k是大于2的偶數，那么k, ,是一組勾股數。
如果a,b,c是勾股數，那么na,　nb,　nc　(n是正整數)也是勾股數。
熟悉勾股數可提高計算速度，順利地判定直角三角形。簡單的勾股數有：3，4，5；　5，12，13；　7，24，25；　8，15，17；　9，40，41。
乙例題
例1.已知線段a　　 a 　　　　a　　　2a　　 3a a　　　　　　　　　　　　　　　　　　
求作線段a　　　　　　　　　　　　 a　　　　　　　 　
分析一：a＝＝ 2a 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴a是以2a和a為兩條直角邊的直角三角形的斜邊。
分析二：a＝
∴a是以3a為斜邊，以2a為直角邊的直角三角形的另一條直角邊。
作圖（略）
例2.四邊形ABCD中∠DAB＝60，∠B＝∠D＝Rt∠，BC＝1，CD＝2
求對角線AC的長　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解：延長BC和AD相交于E，則∠E＝30　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴CE＝2CD＝4，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
在Rt△ABE中　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
設AB為x,則AE＝2x　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
根據勾股定理x2+52=(2x)2, x2=　　　　　　　　　　　　　
在Rt△ABC中，AC＝＝＝
例3.已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝2∠A
求證：AB2－BC2＝AB×BC　　　　　　　　　　　　　　　　　　
證明：作∠B的平分線交AC于D，　　　　　　　　　　　　
　則∠A＝∠ABD，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∠BDC＝2∠A＝∠C
∴AD＝BD＝BC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
作BM⊥AC于M，則CM＝DM　　　　　　　　　　　　　　　　　
AB2－BC2＝（BM2＋AM2）－（BM2＋CM2）　　　　　　　　　　　　
　　　　＝AM2－CM2＝（AM＋CM）（AM－CM）　　　　　　　　　
　　　　＝AC×AD＝AB×BC
例4.如圖已知△ABC中，AD⊥BC，AB＋CD＝AC＋BD
　求證：AB＝AC　　　　　　　　　　　　　　　　　
　證明：設AB，AC，BD，CD分別為b,c,m,n　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
則c+n=b+m, c-b=m-n　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵AD⊥BC，根據勾股定理，得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
AD2＝c2-m2=b2-n2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴c2-b2=m2-n2, (c+b)(c-b)=(m+n)(m-n)
(c+b)(c-b) =(m+n)((c-b)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(c+b)(c-b) －(m+n)(c-b)＝0
(c-b)｛(c+b)－(m+n)｝＝0
∵c+b>m+n, ∴c-b=0 即c=b
∴AB＝AC
例5.已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＞BC
求證：AC＞BD
證明：作DE∥AC，DF∥BC，交BA或延長線于點E、F
ACDE和BCDF都是平行四邊形
∴DE＝AC，DF＝BC，AE＝CD＝BF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
作DH⊥AB于H，根據勾股定理　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
AH＝，FH＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵AD＞BC，AD＞DF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴AH＞FH，EH＞BH　　　　　　　　　　　　　
DE＝，BD＝
∴DE＞BD
即AC＞BD
例6.已知：正方形ABCD的邊長為1，正方形EFGH內接于ABCD，AE＝a，AF＝b,且SEFGH＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　求：的值　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2001年希望杯數學邀請賽，初二）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解：根據勾股定理　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　a2+b2=EF2＝SEFGH＝ ;①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵4S△AEF＝SABCD－SEFGH　　∴　2ab=　　　②
－②得　（a-b）2=　　　　∴＝
丙練習31
以下列數字為一邊，寫出一組勾股數：
7，＿＿，＿＿　　②8，＿＿，＿＿　　③9，＿＿，＿＿
④10，＿＿，＿＿　　⑤11，＿＿，＿＿　　⑥12，＿＿，＿＿
根據勾股數的規律直接寫出下列各式的值：
252－242＝＿＿，　　　②52＋122＝＿＿，
③＝＿＿＿，④＝＿＿＿
△ABC中，AB＝25，BC＝20，CA＝15，CM和CH分別是中線和高。那么S△ABC＝＿＿，CH＝＿＿，MH＝＿＿＿
4.　梯形兩底長分別是3和7，兩對角線長分別是6和8，則S梯形＝＿＿＿
5.已知：△ABC中，AD是高，BE⊥AB，BE＝CD，CF⊥AC，CF＝BD
求證：AE＝AF
6.已知：M是△ABC內的一點，MD⊥BC，ME⊥AC，MF⊥AB，
且BD＝BF，CD＝CE　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求證：AE＝AF　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7.在△ABC中，∠C是鈍角，a2-b2=bc 　求證∠A＝2∠B
8.求證每一組勾股數中至少有一個數是偶數。（用反證法）
9.已知直角三角形三邊長均為整數，且周長和面積的數值相等，求各邊長
10等腰直角三角形ABC斜邊上一點P，求證：AP2＋BP2＝2CP2
11.已知△ABC中，∠A＝Rt∠，M是BC的中點，E，F分別在AB，AC
ME⊥MF
求證：EF2＝BE2＋CF2
12.Rt△ABC中，∠ABC＝90，∠C＝60，BC＝2，D是AC的中點，從D作DE⊥AC與CB的延長線交于點E，以AB、BE為鄰邊作矩形ABEF，連結DF，則DF的長是＿＿＿＿。（2002年希望杯數學邀請賽，初二試題）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　
13.△ABC中，AB＝AC＝2，BC邊上有100個不同的點p1，p2，p3，…p100,
記mi=APi2+BPi×PiC (I=1,2……，100)，則m1+m2+…＋m100=____
(1990年全國初中數學聯賽題)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
初中數學競賽輔導資料（32）
中位線
甲內容提要
三角形中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。
梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。
中位線性質定理的結論，兼有位置和大小關系，可以用它判定平行，計算線段的長度，確定線段的和、差、倍關系。
運用中位線性質的關鍵是從出現的線段中點，找到三角形或梯形，包括作出輔助線。
中位線性質定理，常與它的逆定理結合起來用。它的逆定理就是平行線截比例線段定理及推論，
①一組平行線在一直線上截得相等線段，在其他直線上截得的線段也相等
②經過三角形一邊中點而平行于另一邊的直線，必平分第三邊
③經過梯形一腰中點而平行于兩底的直線，必平分另一腰
有關線段中點的其他定理還有：
①直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半
②等腰三角形底邊中線和底上的高，頂角平分線互相重合
③對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
④線段中垂線上的點到線段兩端的距離相等
因此如何發揮中點作用必須全面考慮。
乙例題
已知：△ABC中，分別以AB、AC為斜邊作等腰直角三角形ABM和CAN，P是BC的中點。求證：PM＝PN　
（1991年泉州市初二數學雙基賽題）
證明：作ME⊥AB，NF⊥AC，垂足E，F　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵△ABM、△CAN是等腰直角三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴AE＝EB＝ME，AF＝FC＝NF，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
根據三角形中位線性質　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
PE＝AC＝NF，PF＝AB＝ME　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
PE∥AC，PF∥AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴∠PEB＝∠BAC＝∠PFC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
即∠PEM＝∠PFN　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴△PEM≌△PFN　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴PM＝PN
例2.已知△ABC中，AB＝10，AC＝7，AD是角平分線，CM⊥AD于M，且N是BC的中點。求MN的長。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
分析：N是BC的中點，若M是另一邊中點，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
則可運用中位線的性質求MN的長，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
根據軸稱性質作出△AMC的全等三角形即可。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
輔助線是：延長CM交AB于E（證明略）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例3.求證梯形對角線的中點連線平行于兩底，且等于兩底差的一半。
已知：梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分別是AC、BD的中點
求證：MN∥AB∥CD，MN＝（AB－CD）
　　
分析一：∵M是AC中點，構造一個三角形，使N為另一邊中點，以便運用中位線的性質。
∴連結CN并延長交AB于E（如圖1）證△BNE≌△DNC可得N是CE的中點。（證明略）
分析二：圖2與圖1思路一樣。
分析三：直接選擇△ABC，取BC中點P連結MP和NP，證明M，N，P三點在同一直線上，方法也是運用中位線的性質。
如圖已知：△ABC中，AD是角平分線，BE＝CF，M、N分別是BC和EF的中點　　　　　　　　　　　　　　　　
求證：MN∥AD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
證明一：連結EC，取EC的中點P，連結PM、PN
MP∥AB，MP＝AB，NP∥AC，NP＝AC
∵BE＝CF，∴MP＝NP
∴∠3=∠4=
∠MPN＋∠BAC＝180（兩邊分平行的兩個角相等或互補）
∴∠1=∠2=， ∠2=∠3
∴NP∥AC ∴MN∥AD　　　　　　
證明二：連結并延長EM到G，使MG＝ME連結CG，FG　　　
則MN∥FG，△MCG≌△MBE
∴CG＝BE＝CF　∠B＝∠BCG　　　　　　　　　　　　　　　
∴AB∥CG，∠BAC＋∠FCG＝180
∠CAD＝（180－∠FCG）
∠CFG＝（180－∠FCG）=∠CAD
　∴　MN∥AD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
已知：△ABC中，AB＝AC，AD是高，CE是角平分線，EF⊥BC于F，GE⊥CE交CB的延長線于G　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求證：FD＝CG　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　證明要點是：延長GE交AC于H，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　可證E是GH的中點　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
過點E作EM∥GC交HC于M，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
則M是HC的中點，EM∥GC，EM＝GC　　　　　　　　　　　　　　　　　　
由矩形EFDO可得FD＝EO＝EM＝GC　　
丙練習32　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.已知E、F、G、H是四邊形ABCD各邊的中點　　　　　　　　　　　　　　
　則①四邊形EFGH是＿＿＿＿＿形　　　　　　　　　　　　　　　
②當AC＝BD時，四邊形EFGH是＿＿＿形　　　　　　　　　　　　　　　　　　
③當AC⊥BD時，四邊形EFGH是＿＿形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
④當AC和BD＿＿＿＿＿＿＿＿時，四邊形EFGH是正方形形。
2.求證：梯形兩底中點連線小于兩邊和的一半。
3.已知AD是銳角三角形ABC的高，E，F，G分別是邊BC，CA，AB的中點，證明順次連結E，F，G，H　所成的四邊形是等腰梯形。
已知：經過△ABC頂點A任作一直線a,過B，C兩點作直線a的垂線段　　　BB，和CC，，設M是BC的中點，
求證：MB，＝MC，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5.如圖已知△ABC中，AD＝BE，DM∥EN∥BC
求證BC＝DM＋EN
6.如圖已知：從平行四邊形ABCD的各頂點向形外任一直線a作垂線段AE，BF，CG，DH。
求證AE＋CG＝BF＋DH　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7.如圖已知D是AB的中點，F是DE的中點，
求證BC＝2CE
8.平行四邊形ABCD中，M，N分別是BC、CD的中點，求證AC平分MN
9.已知△ABC中，D是邊BC上的任一點，M，N，P，Q分別是BC，AD，AC，MN的中點，求證直線PQ平分BD。
10.等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，點O是AC和BD的交點，∠AOB＝60，P，Q，R分別是AO，BC，DO的中點，求證△PQR是等邊三角形。　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
11.已知：△ABC中，AD是高，AE是中線，且AD，AE三等分∠BAC，求證：△ABC是Rt△。
12.已知：在銳角三角形ABC中，高AD和中線BE相交于O，
∠BOD＝60，求證AD＝BE　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
13.如圖　已知：四邊形ABCD中，AD＝BC，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
點E、F分別是AB、CD的中點，MN⊥EF　　　　　　　　　
求證：∠DMN＝∠CNM　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
初中數學競賽輔導資料（33）
同一法
甲內容提要
1.　“同一法”是一種間接的證明方法。它是根據符合“同一法則”的兩個互逆命題必等效的原理，當一個命題不易證明時，釆取證明它的逆命題。
2.　同一法則的定義是：如果一個命題的題設和結論都是唯一的事項時，那么它和它的逆命題同時有效。這稱為同一法則。
　互逆兩個命題一般是不等價的。例如
原命題：福建是中國的一個省　（真命題）
逆命題：中國的一個省是福建　（假命題）
　但當一命題的題設和結論都是唯一的事項時，則它們是等效的。例如
原命題：中國的首都是北京　（真命題）
逆命題：北京是中國的首都　（真命題）
因為世界上只有一個中國，而且中國只有一個首都，所以互逆的兩個命題是等效的。又如
原命題：等腰三角形頂角平分線是底邊上的高。（真命題）
逆命題：等腰三角形底邊上的高是頂角平分線。（真命題）
　因為在等腰三角形這一前提下，頂角平分線和底邊上的高都是唯一的，所以互逆的兩個命題是等效的。
3.　釆用同一法證明的步驟：如果一個命題直接證明有困難，而它與逆命題符合同一法則，則可釆用同一法，證明它的逆命題，其步驟是：
作出符合命題結論的圖形（即假設命題的結論成立）
證明這一圖形與命題題設相同（即證明它符合原題設）
乙例題　
求證三角形的三條中線相交于一點
已知：△ABC中，AD，BE，CF都是中線
求證：AD，BE，CF相交于同一點
分析：在證明AD和BE相交于點G之后，本應再證明CF經過點G，這要證明三點共線，直接證明不易，我們釆用同一法：連結并延長CG交AB于F，，證明CF，就是第三條中線（即證明AF，＝F，B）
證明：∵∠DAB＋∠EBA＜180　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴AD和BE相交，設交點為G　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
連結并延長CG交AB于F，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
連結DE交CF，于M　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵DE∥AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴＝＝， 即＝
＝＝， 即＝
∴＝， ∴AF，＝BF，，AF，是BC邊上的中線，
∵BC邊上的中線只有一條， ∴AF，和AD是同一條中線
∴AD，BE，CF相交于一點G。
例2.已知：△ABC中，D在BC上，AB2－AC2＝BD2－DC2
求證：AD是△ABC的高
分析：從題設AB2－AC2＝BD2－DC2證明結論不易，因為BC邊上的高是唯一的，所以擬用同一法，先作出AE⊥BC，證明在題設的條件下AE就是AD。
證明：作AE⊥BC交BC于E　　　　　　　　　　　　 A　　　　　　　　　　　　　
根據勾股定理　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
AB2－AC2＝（AE2＋BE2）－（AE2＋EC2） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　＝BE2－EC2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵AB2－AC2＝BD2－DC2　　　　　　　　B　　　　　　E　D　　C　　　　　　　　　　　　　　　　
∴BD2－DC2 ＝BE2－EC2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（BD＋DC）（BD－DC）＝（BE＋EC）（BE－EC）　
∴BD－DC＝BE－EC　 ①
BD＋DC＝BE＋EC　　②
①＋②：2BD＝2BE
即點D和點E重合，即AD　是△ABC的高　
例3如圖已知：四邊形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝15　　　　　　　　　　　　
　　　　∠CBD＝45，∠CDB＝30　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
求證：△ABC是等邊三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
證明：在BC或延長線上取點E，使BE＝AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
連結AE，DE，則△ABE是等邊三角形
AE＝AB＝AD，∠EAD＝150－60＝90，∴∠ADE＝45
∵∠ADC＝45，且DE，DC在DA的同一側，
∴DE和DC重合，它們與BC邊的交點E，C也重合
∴△ABC是等邊三角形
例4.求證：＝1
分析：直接證法，一般是把左邊寫成再化簡為1，但沒有成功。擬用同一法，可認為要證明的
原命題是：有兩個數，，它們積是－1，則它們的和是1
那么逆命題是：若u+v=1,且uv=－1，則u=,v=　
證明：設　u+v=1,且uv=－1，根據韋達定理的逆定理（初三教材）
得u,v是方程x2－x－1＝0　的兩個根　
　　　　x=,即u,v分別等于，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
而u3=（）3＝2＋，　v3=（）3＝2－
　∴u=,v=
即＝1
例5.已知：ACD是圓的割線，點B在圓上，且AB2＝AC×AD
　求證：AB是圓的切線　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　證明：過點B作圓的切線，交DC于A1，　　　　　　　　　　　　　　
則∠CBA1＝∠D　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
由已知AB2＝AC×AD，則＝，∠A＝∠A　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴△ACB∽△ABD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴∠CBA＝∠D，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∠CBA1＝∠CBA
∴BA和BA1重合，它們與DC的交點是同一個點
即AB是圓的切線。
例6.以△ABC的三個頂點為圓心，作三個圓兩兩外切，切點分別是D，E，F，那么過D，E，F的圓是△ABC的內切圓。
　分析：用同一法證明，作出△ABC的內切圓，再證明三個切點和
D，E，F重合
證明：作△ABC的內切圓和AB，BC，CA分別切于D，，E，，F，
根據　切線長定理，得
AD，＝AF，＝，BE，＝BD，＝，CF，＝CE，＝
設⊙A,⊙B，⊙C半徑長分別為x,y,z
,解得，x=,y=,z=
∴AD，＝AD，BE，＝BE，CF，＝CF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
即D，與D，　E，與E ， F，與F重合。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴△ABC的內切圓和各邊切于D，E，F　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
即過D，E，F的圓是△ABC的內切圓。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
丙練習33　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
用同一法證明：
三角形的中位線平行于第三邊
梯形中位線平行于兩底
已知E是正方形ABCD內的一點，∠EAB＝∠EBA＝15　
求證△ECD是等邊三角形
已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36，在AC上取點D，使AD＝BC
求證BD是∠ABC的平分線
如果梯形的一條腰等于兩底和，那么夾這條腰的兩個角的平分線的交點，必是另一腰中點
△ABC中，∠ C＝Rt∠，AC＝BC，點D在AC上，且CD＝AB－BC
求證BD平分∠ABC
正方形ABCD中，M，N分別是CD，BC的中點，DE⊥AM于E，求證點N在DE的延長線上
已知：四邊形ABCD中，E，F和GH分別三等分AB和CD，
M和N分別是BC，AD中點，　　　N　　　　D　　　　　　　
求證：　　　　　　　　　　　　　A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
MN平分EH和FG　 　　　E　　　　　　　　H　　　　　　　　　　　　　　　　
MN被EH，FG三等分　　　　F　　　　　　　　　G　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　B　　　　　M　　　　C　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8.已知：矩形ABCD中，AB＝2BC，點E在CD上，且∠CBE＝15　
求證：AE＝AB
9.已知：AD是四邊形ABCD外接圓O的直徑，∠ABC＝120∠ACB＝45　
　　　　點P在CB的延長線上，且PB＝2BC
　求證：PA是⊙O的切線　
10.已知：H是△ABC的垂心（三條高的交點），過H，B，C三點作⊙O，延長△ABC的中線AM交⊙O于D
　求證：AM＝MD　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　A　　　OO　　　D　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　C　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　P　　　B　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
初中數學競賽輔導資料（34）
反證法
甲內容提要
反證法是一種間接的證明方法。它的根據是原命題和逆否命題是等價命題，當一個命題不易直接證明時，釆取證明它的逆否命題。
一個命題和它的逆否命題是等價命題，可表示為：A→B
例如　　原命題：對頂角相等 　 (真命題)
逆否命題：不相等的角不可能是對頂角　(真命題)
又如　　原命題：同位角相等，兩直線平行　 (真命題)
　　逆否命題：兩直線不平行，它們的同位角必不相等　(真命題)
用反證法證明命題，一般有三個步驟：
反設　假設命題的結論不成立（即假設命題結論的反面成立）
歸謬　推出矛盾（和已知或學過的定義、定理、公理相矛盾）
結論　從而得出命題結論正確
例如：　求證兩直線平行。用反證法證明時
假設這兩直線不平行；
從這個假設出發，經過推理論證，得出矛盾；
③從而肯定，非平行不可。
乙例題
例1兩直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩直線平行
　已知：如圖∠1＝∠2　　　　　　　A　　　　　　1　　　B　　　　　　
求證：AB∥CD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
證明：設AB與CD不平行　　　　　C　　　　2　　　　　D　　　　　　　
　那么它們必相交，設交點為M　　　　　　　　　　　　　D　　　　　　
這時，∠1是△GHM的外角　　　　A　　　　　1　　M　　　B　　　　　　　　　　
∴∠1＞∠2　　　　　　　　　　　　　　　G　　　　　　
這與已知條件相矛盾　　　　　　　　　　　2　　　　　　　　　　　
∴AB與CD不平行的假設不能成立　　H　　　　　　　　　　
∴AB∥CD　　　　　　　　　　　　C
例2.求證兩條直線相交只有一個交點
證明：假設兩條直線相交有兩個交點，那么這兩條直線都經過相同的兩個點，這與“經過兩點有且只有一條直線”的直線公理相矛盾，所以假設不能成立，因此兩條直線相交只有一個交點。
　（從以上兩例看出，證明中的三個步驟，最關鍵的是第二步——推出矛盾。但有的題目，第一步“反設”也要認真對待）。
例3.已知：m2是3的倍數，求證：m 也是3的倍數
證明：設m 不是3的倍數，那么有兩種情況：
m=3k+1或m= 3k+2 (k是整數)
當　m=3k+1時，　m2＝（3k+1）2＝9k2+6k+1=3(3k2+2k)+1　　
當　m=3k+2時，　m2＝（3k+2）2＝9k2＋12k+4=3(3k2+4k+1)+1
即不論哪一種，都推出m2不是3的倍數，這和已知條件相矛盾，所以假設不能成立。
∴　m2是3的倍數時，m 也是3的倍數
例4.求證：不是有理數
證明：假設是有理數，那么　＝　（a,b是互質的整數），
∵=,∴（）2＝2， a2=2b2, ∴a2是偶數，
∵a2是偶數， ∴a也是偶數，
設a=2k（k是整數）,　a2=4k2,
∵由a2=2b2, 得 b2=a2=2k2, b2是偶數， ∴b也是偶數
那么a、b都是偶數，這和“a,b是互質數”的條件相矛盾，故假設不能成立
∴不是有理數
例5.若n是正整數，則分數是既約分數（即最簡分數，分子與分母沒有公約數）
證明：設不是既約分數，那么它的分子、分母有公約數，設公約數為k（k≠1）, 且k,a,b都是正整數，即
∴＝，　3bk-2ak=1 , 　(3b-2a)k=1
∵整數的和、差、積仍是整數，且只有乘數和被乘數都是±1時，積才能等于1　　　∴3b-2a=±1,　　　k=±1
∴分子、分母有公約數的假設不能成立
因此分數是既約分數
丙練習34
1.寫出下列各命題結論的反面：
命題的結論　　
結論的反面
①直線a ∥b
②線段m=n
③a2是偶數
④∠A是銳角
⑤點A在⊙O上
⑥∠A，∠B，∠C至少有1個
大于或等于60
⑦正整數m是5的倍數
⑧方程沒有有理數根　
⑨至少有一個方程兩根不相等
2.　已知：平面內三個點A，B，C滿足AB＋BC＝AC，
求證：A，B，C三點在同一直線上
3.求證：等腰三角形的底角是銳角
求證：一個圓的圓心只有一個　
求證：三角形至少有一個內角大于或等于60度　　
如果a2奇數，那么a也是奇數　 （仿例3）
求證：沒有一個有理數的平方等于3 (仿例4)
已知a,b,c都是正整數，且a2+b2=c2( 即a,b,c 是勾股數)
求證①a,b,c至少有一個偶數
a,b,c中至少有一個能被3整除
9.求證二元一次方程8x+15y=50沒有正整數解
10.求證 方程x2+y2=1991 沒有整數解
11.把1600粒花生分給100只猴子，至少有4只猴子分得的花生一樣多
12.已知：四邊形ABCD中，AB+BD≤AC+CD 求證：AB13.已知：拋物線y=x2－(m－3)x－m
求證：m不論取什么值，拋物線與x軸的兩個交點，不可能都落在正半軸上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （福建省1988年中招考試題）
14.若a,b,c都是奇數，則方程ax2+bx+c=0沒有有理數根
15平面內7個點，它們之間的距離都不相等，求證不存在6個點到第7個點的距離都小于這6個點彼此之間的距離
16.已知：a,b,c為實數，a=b+c+1求證：兩個方程：x2+x+b=0,x2+ax+c=0中至少有一個方程有兩個不相等的實數根（1990年泉州市初二數學雙基賽題）
初中數學競賽輔導資料（35）
兩種對稱
甲內容提要
軸對稱和中心對稱定義　把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠和另一個圖形重合，那么這兩個圖形關于這條直線對稱。這條直線叫做對稱軸
把一個圖形繞著某一點旋轉180，如果它能夠和另一個圖形重合，那么這兩個圖形關于這點對稱，這點叫做對稱中心
軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義：如果一個圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形中叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸
一個圖形繞著某一點旋轉180，如果旋轉后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心。
性質：①成軸對稱或中心對稱的兩個圖形是全等形　
　　　　　②對稱軸是對稱點連線的中垂線；對稱中心是對稱點連線的中點
　　　　　③兩個圖形關于某條直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上
常見的軸對稱圖形有：線段，角，等腰三角形，等腰梯形，矩形，菱形，正多邊形，圓等；
中心對稱圖形有：線段，平行四邊形，邊數為偶數的正多邊形，圓等
乙例題
求證：若等腰梯形的兩條對角線互相垂直，則它的中位線與高相等
　證明：∵等腰梯形是軸對稱圖形，底邊的中垂線MN是它的對稱軸，對應線段AC和BD的交點O，在對稱軸MN上
∵AC⊥BD　　　　　　　　　　　　　　　　 D　　N　　C　　　　　　　　　　　　
∴△AOB和△COD都是等腰直角三角形，　　　　　　　　　　　　　　　　　　
OM和ON是它們的斜邊中線　　　　　　　　　　　　 O　　　　　　　　　
∴OM＝AB，ON＝CD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴MN＝（AB＋CD）　　　　　　　　　 A　　　　M　　　　B　　　　
∴梯形中位線與高相等　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
已知矩形ABCD的邊AB＝6，BC＝8，將矩形折疊，使點C和點A重合，求折痕EF的長
解：∵折痕EF是對稱點連線AC的中垂線
連結AE，AE＝CE，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
設AE＝x,則BE＝8－x　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
在R△ABE中，x2=(8-x)2+62　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解得x=，即AE＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
在Rt△AOE中，OE＝＝
EF＝2OE＝7.5
已知：△ABC中，AB＝AC,過點A的直線MN∥BC，點P是MN上的任意點　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
求證：PB＋PC≥2AB　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　
證明：　當點P在MN上與點A重合時，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
PB＋PC＝AB＋AC，即PB＋PC＝2AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　當P不與A重合時　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
作點C關于直線MN的對稱點C，　　　　　　　　　　　　　　　　
則PC，＝PC，AC，＝AC＝AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∠PAC，＝∠PAC＝∠ACB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴∠PAC，＋∠PAC＋∠BAC＝180　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴B，A，C，三點在同一直線上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵PB＋PC，＞BC，，即PB＋PC＞2AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴PB＋PC≥2AB
已知：平行四邊形ABCD外一點P0，點P0關于點A的對稱點P1，
P1關于點B的對稱點P2，P2關于點C的對稱點P3，P3關于點D的對稱點P4
求證：P4與P0重合
證明：（用同一法）順次連結P0，P1，P2，P3，P4，根據中心對稱圖形性質，點A，B，C，D分別為P0P1，P1P2，P2P3，P3P4的中點
AB∥P0P2∥CD
連結P0P3，取P0P3的中點D，，
連結D，C，則D，C∥P0P2　
∴CD，和CD　重合，
∴P4和P0重合　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
正方形ABCD的邊長為a 求內接正三角形AEF的邊長
解：∵正方形ABCD和等邊三角形AEF都是軸對稱圖形，直線AC是它的　　　　　　　　　　　　
公共對稱軸， 可知△ABE≌△ADF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴BE＝DF，CE＝CF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
設等邊三角形AEF邊長為x ，根據勾股定理得
CE2＋CF2＝x2,CE=,BE=a－　　 　　　　　
在Rt△ABE中，x2=( a－)2+a2　　　　
　x2+2ax－4a2=0　　　　　　　　　　　　　　　　　　
由根公式舍去負根，得x=() a　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
答：等邊△AEF的邊長是()a
丙練習35
下列圖形屬軸對稱而不是中心對稱圖形的有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿屬中心對稱而不是軸對稱圖形的有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿既是軸對稱又是中心對稱的圖形有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿①線段　②角　③等腰三角形　④等腰梯形　⑤矩形　⑥菱形　
⑦平行四邊形　⑧正三角形　　⑨正方形　　⑩圓
坐標平面內，點A的坐標是（x＋a，y－b）那么
①點A關于橫軸的對稱點B的坐標是（　　　　）
②點A關于縱軸的對稱點C的坐標是（　　　　）
③點A關于原點的對稱點D的坐標是（　　　　）
坐標平面內，點M（a,－b）與點N（－a,b）是關于＿＿＿的對稱點
　　點P（m－3,n）與點Q（3－m,n）是關于＿＿＿的對稱點
已知：直線m的同一側有兩個點A和B　　　　　　　　
求作：在m上一點P，使PA＋PB為最小　　　　
5. 已知：等邊△ABC　　　　　　　　　　　　　　　　　　
求作：點P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形　　　　　　　　　　　　　　
（本題有10個解，至少作出4個點P）
6.求證：等腰梯形兩腰的延長線的交點，對角線的交點，
兩底中點，這四點在同一直線上　（用軸對稱性質）
7.已知：△ABC中，BC＞AC，從點A作∠C平分線的垂線段AD，點E是AB的中點
求證：DE＝（BC－AC）　　（1991年德化縣初中數學競賽題）　
8.已知：△ABC中，AB＝AC，BD是角平分線，BC＝AB＋AD
求：∠C的度數　（90年泉州市雙基賽題）
9.已知：正方形ABCD中，AB＝12，P在BC上，且BP＝5，把正方形折疊使點A和點P重合，
求：折痕EF的長
10　.平行四邊形ABCD的周長是18cm,∠A和∠B的平分線相交于M，點O是對稱中心，OM＝1cm，求各邊長
△ABC中，∠B＝2∠C，AD是角平分線，E是BC的中點，EF⊥AD和AB的延長線交于點F　求證BD＝2BF
（創建軸對稱圖形，過點C作CG∥BC交AB延長線于G）　
正方形ABCD的邊長為a,形內一點P，P到AB兩端及邊BC的距離都相等，求這個距離。
求證一組對角相等且這組對角頂點所連結的對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊形　（1988年全國初中聯賽題）
提示：用反證法，作△ABD關于點O（對角線交點）的對稱三角形
14矩形ABCD中，邊AB＝，對角線AC=2，在矩形內⊙O1和BC、AC分別切于點E，F，⊙O2與AD，AC分別切于M，N
求：∠ACB與∠O2AN的度數
如果折疊 矩形后(折痕為AC)，點O2落在AB邊上的點K處：
⑴在圖上畫出點K確切位置，并說明理由；
⑵設⊙O1，⊙O2的半徑都等于R，試求折疊矩形后，兩圓外離時的圓心距與R的取值范圍。 (1996年泉州市中考題)
15.已知：AD是△ABC的外角平分線，點這P在射線AD上
求證：PB+PC≥AB+AC
16.已知：坐標平面內，點A關于橫軸的對稱點為B，點A關于原點的對稱點為C 求證： 點B和點C是關于縱軸的對稱點
17.已知：AD是等腰直角三角形ABC斜邊上的高，BM，BN三等分∠ABC并和AD順次交于M，N，連結并延長CN交AB于E，
　求證：EM∥BN
初中數學競賽輔導資料（36）
三點共線
甲內容提要
要證明A，B，C三點在同一直線上，　　　　　 A。　B。　　C。　　　　　　　　　　　
常用方法有：①連結AB，BC證明∠ABC是平角
　　　　②連結AB，AC證明AB，AC重合
　　　　③連結AB，BC，AC證明　AB＋BC＝AC
　　　　④連結并延長AB證明延長線經過點C　
證明三點共線常用的定理有：
過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行
經過一點有且只有一條直線和已知直線垂直
三角形中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半
梯形中位線平行于兩底并且等于兩底和的一半
兩圓相切，切點在連心線上
軸對稱圖形中，若對應線段（或延長線）相交，則交點在對稱軸上
乙例題
例1.已知：梯形ABCD中，AB∥CD，點P是形內的任一點，PM⊥AB，
PN⊥CD
求證：M，N，P三點在同一直線上
證明：過點P作EF∥AB，
∵AB∥CD，∴EF∥CD
∠1＋∠2＝180，∠3＋∠4＝180　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵PM⊥AB，PN⊥CD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴∠1＝90，∠3＝90　　　∴∠1＋∠3＝180　　　　　　　　　　　　　
∴　M，N，P三點在同一直線上
例2.求證：平行四邊形一組對邊的中點和兩條對角線的交點，三點在同一直線上　
已知：平行四邊形ABCD中，M，N分別是AD和BC的中點，O是AC和BD的交點
求證：M，O，N三點在同一直線上
證明一：連結MO，NO
∵MO，NO分別是△DAB和△CAB的中位線
∴MO∥AB，NO∥AB
根據過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行
∴　M，O，N三點在同一直線上
證明二：連結MO并延長交BC于N，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵MO是△DAB的中位線　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴MO∥AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
在△CAB中　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵AO＝OC，ON，∥AB　　　　　　　　　　　　　　　　
∴BN，＝N，C，即N，是BC的中點　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵N也是BC的中點，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴點N，和點N重合　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴　M，O，N三點在同一直線上　　
例3.已知：梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＋∠B＝90，M，N分別是AB和CD的中點，BC，AD的延長線相交于P
求證：M，N，P三點在同一直線上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
證明：∵∠A＋∠B＝90，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∠APB＝Rt∠　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
連結PM，PN　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
根據直角三角形斜邊中線性質　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
PM＝MA＝MB，PN＝DN＝DC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴∠MPB＝∠B，∠NPC＝∠B　　　　　　　　　　　
∴PM和PN重合　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　∴M，N，P三點在同一直線上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例4.在平面直角坐標系中，點A關于橫軸的對稱點為B，關于縱軸的對稱點是C，求證B和C是關于原點O的對稱點　　 Y　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解：連結OA，OB，OC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵A，B關于X軸對稱，　　　　　　　　C　　　　　　　A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴OA＝OB，∠AOX＝∠BOX　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
同理OC＝OA，∠AOY＝∠COY　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴∠COY＋∠BOX＝90　　　　　　　　　　　O　　　　　　　　X　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴B，O，C　三點在同一直線上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵OB＝OC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴　B和C是關于原點O的對稱點　　　　　　　　　　　B　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例5.已知：⊙O1和⊙O2相交于A，B兩點，過點B的直線EF分別交⊙O1和⊙O2于E，F。
求證：AE，AF和⊙O1和⊙O2的直徑成比例
證明：作⊙O1和⊙O2的直徑AM，AN，連結AB，BM，BN
∵AM，AN分別是⊙O1和⊙O2的直徑　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴∠ABM＝Rt∠，∠ABN＝Rt∠　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴M，B，N在同一直線上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴∠M＝∠E，∠N＝∠F　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴△AMN∽△AEF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
丙練習36　
已知：梯形ABCD中，AB∥CD，M，N，P分別是AD，BC，AC的中點　　求證：M，N，P三點在同一直線上
已知：△ABC中，BE，CF是中線，延長BE到G，使EG＝BE，延長CF到H，使FH＝CF，
求證：G，A，H三點共線　　　　　　　　　　　　　　　　
已知：正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點，DE⊥AN于E，
求證：點M在DE的延長線上（同33第5）
求證：梯形兩腰中點和兩條對角線的中點，四點在同一直線上
已知：梯形ABCD中，AB∥CD，∠A和∠D的平分線相交于O，
求證：點O在梯形的中位線上
已知：△ABC中，∠ABM，∠ACN分別是∠B，∠C的鄰補角，從點A作∠B，∠C，∠ABM，∠CAN四個角平分線的垂線段AD，AE，AF，AG，垂足是D，E，F，G
求證：D，E，F，G四點在同一直線上
已知：點P在等邊△ABC外，PA=PB+PC，以PA為一邊作等邊△APQ使點Q和點C在PA的同一側
求證：PQ必過點C
已知：△ABC中，AB=AC，直線AP∥BC，點D和點C是關于直線AP的對稱點
求證：點D和點B是關于點A的對稱點

初中數學競賽輔導資料(37)
不等關系
甲內容提要
不等式三個基本性質：
不等式兩邊都加上(或減去)同一個數或同一個整式，不等號的方向不變。
不等式兩邊都乘(或除以)同一個正數，不等號的方向不變。
不等式兩邊都乘(或除以)同一個負數，不等號的方向改變。
一元一次不等式組的解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的一元一次不等式組的解集。
設a>b,不等式組
的解集是x>a 的解集是x的解集是 b幾何中證明線段或角的不等關系常用以下定理
三角形任意邊兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊。
三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角和。
在一個三角形中，大邊對大角，大角對大邊。
直角三角形中，斜邊大于任一直角邊。
有兩組邊對應相等的兩個三角形中
如果這兩邊的夾角大，那么第三邊也大；
如果第三邊大，那么它所對的角也大。
⑤任意多邊形的每一邊都小于其他各邊的和
乙例題
例1. 已知：x≤2，求下列代數式的取值范圍：①7－3x,　　②
解：①∵x≤2，　
∴兩邊乘以－3，得　－3x≥－6
　兩邊加上7，　得　7－3x≥7－6
∴7－3x≥1
②設＝y, x+1=xy, (y－1)x=1　　x=≤2，
在兩邊乘以y－1時，根據不等式基本性質2和3，得不等式組：
　　或
　　　　　或
∴y≥1.5　或y<1
即≥1.5或＜1
例2.設實數a,b滿足不等式＜，試決定a,b的符號。(1995年全國初中數學聯賽題)
解：∵不等式兩邊都是非負數，∴兩邊平方不等號方向不變
兩邊平方得，a2－2(a+b)+(a+b)2化簡，得（a+b）>a， 可知　a≠0，a+b≠0
兩邊除以得，a+b>
顯然不等式要成立，只有， 故a<0
由此得a+b>－， 顯然只有a+b>0,
又∵a<0,　　 故b>0
∴a,b的符號是：a<0, b>0
例3.已知：O是△ABC內的一點
求證：＜＜1
分析：本題實質是要證明2（OA＋OA＋OC）＞AB＋BC＋CA①
且OA＋OB＋OC＜AB＋BC＋CA②　　　　　　　　　　　　　　　　　
證明：①∵OA＋OB＞AB　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　OB＋OC＞BC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　OC＋OA＞CA　　　　　　　
　∴2（OA＋OB＋OC）＞AB＋BC＋CA　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
②延長BO交AC于D，
∵AB＋AD＞OB＋OD，　OD＋DC＞OC
∴AB＋AC＞OB＋OC，同理AB＋BC＞OA＋OC，BC＋CA＞OA＋OB
即2（AB＋BC＋CA）＞2（OA＋OB＋OC）
　∴＜＜1
例4.求證直角三角形兩條直角邊的和，小于斜邊與斜邊上的高的和
已知：△ABC中，∠ACB＝Rt∠，CD⊥AB于D
求證：CA＋CB＜AB＋CD
證明：設CD＝h,　a,b,c是∠A，∠B，∠C的對邊
根據勾股定理，a2+b2=c2,　　∴a2+b2＜c2＋h2 ①
根據三角形面積公式ab=ch ∴2ab＝2ch ②
　①＋②：　（a+b）2<(c+h)2
∵a+b>0, c+h>0
∴a+b又證明：（用求差法）假設同上
　由ab=ch,得 h=
(a+b)－(c+h)=a+b －c－ ＝ ＝
∵c>0, a－c<0, c－b>0 (直角三角形中斜邊大于任一直角邊)
∴ (a+b)－(c+h)＜0
∴ (a+b)＜(c+h)
再證明：學完四點共圓后，可證CA－CD＜AB－CB
在AB上截取BE＝BC，在AC上取CF＝CD，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
兩等腰△BCE和△CDF
頂角∠B=∠DCF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴底角∠2＝∠1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴四邊形CDEF是圓內接四邊形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∠EFA＝∠CDE＝Rt∠　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴AF∴CA＋CB＜AB＋CD　
例5.已知：△ABC中，D，E分別在BC，AC上，∠B＝∠1＝∠2
　如果△ABC，△ADC，△EBD的周長依次為m,n,p
求證：　（1989年全國初中數學聯賽題）
證明：設BC＝a，AC＝b，AB＝c　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵∠1＝∠2　，　∴DE∥AC，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　∴△ABC∽△EBD∽△DAC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴，即DC＝　　　　　　　　　　　　　　
BD＝BC－DC＝a－=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴　，　　
∴－＋≤
例6.已知：△ABC中，AB＝AC，D是三角形內的一點，∠ADB＞∠ADC
求證：∠DBC＞∠DCB
分析：為使已知條件∠ADB＞∠ADC集中在一起，把△ABD繞著點A旋轉，使AB和AC重合，即作△ABD的全等三角形ACE
證明：作∠CAE＝∠ABD，使AE＝AD，連結CE，DE
那么△ACE≌△ABD，　　　　　　　　　　　　A　　　　
∴CE＝BD，∠ACE＝∠ADB＞∠ADC　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵∠ADE＝∠AED，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴∠DEC＞∠EDC，　　　　　　　　　　　　　D　　　E　　　　　
∴DC＞CE，即DC＞BD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴∠DBC＞∠DCB　　　　　　　　　　　B　　　　　　C　　
丙練習37
已知a≥，那么　9－6a　的值是＿＿＿＿
已知b= , 當a≥3時，b的取值范圍是＿＿＿＿＿＿＿＿
已知a<0,　且 ＞ 則x的取值范圍是＿＿＿＿
（1991泉州市初中數學雙基賽題）
4.四邊形ABCD中，AB=2，BC=4，CD=7，則AD的適合范圍是＿＿＿＿
5.等邊△ABC的邊長為1，點P是三角形內一點
求證1.5＜PA＋PB＋PC＜2　　（1989年泉州市初二數學雙基賽題）
6.已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD>BC， 求證 ∠A<∠B
7.已知△ABC中，三條角平分線AD，BE，CF相交于一點O，
作OH⊥BC于H，
求證 ∠COH>∠CAO
8.已知：AD，BE，CF三條高相交于一點H，
求證：
9.已知：△ABC中，∠A>90，AB求證：BD10四邊形ABCD中，AB=CD，∠C>∠B，則∠A>∠D
11.在△ABC中，
若AD是中線，則∠DAC>DAB
若AD是角平分線，則AB+CD>AC+BD
12.已知：△ABC 中AB=AC，點這點P是三角形內的一點，∠PBC>∠PCB
求證：①∠PAB<∠PAC ②∠APB>∠APC
13.已知：△ABC中M是BC的中點，D，E分別在AB，AC上，
∠DME=Rt∠
求證 ：BD+CE≥DE
14.△ABC中，AC≥2AB，則∠B>2∠C
15.已知：正有理數a1是.的一個近似值，設a2=1+
求證 ：介于a1和a2之間
提示：設> a1　　證a2　　證
初中數學競賽輔導資料（38）
平行和垂直
甲內容提要
一.證明兩直線互相平行常用的定理
利用角　同位角相等或內錯角相等或同旁內角互補，兩直線平行。
利用第三線　都平行或都垂直于第三線的兩直線平行。　　　　　　　　　
利用比例式　△ABC中，如果　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　那么DE∥BC　　　　　　　　　
其他　三角形中位線平行于第三邊　　　　　　　　　　　
　　　　　梯形中位線平行于兩底
　　　　　平行四邊形對邊平行
二.證明兩直線互相垂直常用的定理
1.　按垂直定義　即證明兩直線相交所成的四個角中，有一個是直角。
直角是180的一半，常見的180有：平角，鄰補角，平行線的同旁內角，三角形內角和。
在三角形中證明直角
如果一個角等于其他兩個角的和，那么這個角是直角。
若一邊平方等于其他兩邊的平方和，則這邊所對的角是直角。
若一邊中線等于這邊的一半，則這邊所對的角是直角。
等腰三角形頂角平分線（或底邊中線）是底邊上的高。
和直角三角形全等或相似的三角形也是直角三角形。
菱形對角線互相垂直
乙例題
例1.從三角形的一個頂點向其他的兩個角的平分線引垂線，兩個垂足的連線平行于這個角的對邊。
　已知：△ABC中，BD，CE是角平分線，AM⊥BD，AN⊥CE
　求證：MN∥BC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　證明：分別延長AM，AN交BC于F，G　　　　　　　　　　　
　則∠AMB＝∠BMF＝Rt∠　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵∠1＝∠2，BM＝BM　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴△AMB≌△FMB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴AM＝MF　　　同理可證AN＝NG　　　　　　　　　　　　　　
∴MN是△AFG的中位線，　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴MN∥FG，即MN∥BC
例2.已知：AD是Rt△ABC斜邊上的高，角平分線BE交AD于F，
EG⊥BC交BC于G　　　　　　　　　　　　　A　　　　　　　　　　
　求證：FG∥AC，AG⊥BE　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
證明的要點：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　E　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵BE是角平分線，　　　　　　　　　　　　　　　　　　F　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴點E到∠ABC的兩邊距離相等，
即EA＝EG　　　　　　　　　　　B　　　　　　　　　　D　　G　C　　　
∵∠AFE，∠AEF分別是∠EBC，∠ABE的余角，　∴∠AFE＝∠AEF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　得AF＝AE＝EG，且EG∥AF，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　故AFGE是菱形
例3.已知：如圖AD是等腰直角△ABC斜邊上高
BM，BN三等分∠ABC，CM延長線交AB于E
求證：EN∥BM　　　　　　　　　　　　　　　　　　
證明要點：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
根椐軸對稱圖形的性質　　　　　　　　　　
CM，CN也三等分∠ACB　　　　　　　　　　　
點N是△ACE的內心，　　　　　　　
∴EN是∠AEC的平分線　　　　　　　　　　　
∴∠1＝∠ABM＝30　　　　　　
例4.已知：A，B，C三點在同一直線上，△ABD和△BCE都是等邊三角形，
　　　　AE交BD于M，CD交BE于N
求證：MN∥AC
證明：在等邊△ABD和△BCE中
AB＝BD，BC＝CE，∠ABD＝∠BCE＝60　　　　
∴BM∥CE　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴，，　∴　　　∴MN∥AC　
例5.已知：正方形ABCD中，P是AC上的任意點，過點P作PE⊥AB
　作PF⊥BC
求證：PD⊥EF　　　　　　　　　　　　
分析：要證明PD⊥EF，可證∠PMF＝90　　　　　　　　　　　　　　　　　
先證∠1＋∠2＝90　∵∠2＋∠3＝90　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
而∠1＝∠4　　只要證∠3＝∠4　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
可用邊角邊證△BEF≌△GPD　（證明略）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例6.已知：⊙O和⊙Q相交于A，B，⊙Q經過點O，C是⊙O優弧AB上的一點，CB延長線交⊙Q于D，　　　　
求證：DO⊥AC
證明：連結AB，作⊙O直徑AE，DO延長線交
AC于F　　∵∠C＝∠E，∠D＝∠EAB　
∴∠CFD＝∠ABE＝Rt∠，　∴DO⊥AC
丙練習38
四邊形ABCD中，∠A＝∠B，AD＝BC，則AB∥CD
正方形ABCD中，E在邊BC上，F在邊AB的延長線上，且AE＝BF
則AE⊥CF
已知：平行四邊形ABCD的AB＝2BC，E，F分別在BC和CB的延長線上且CE＝BF＝BC　求證：AE⊥DF
分別以△ABC的邊AB和BC為一邊，向形外作兩個正方形ABEF和BCGH，求證　AH＝CE，AH⊥CE
已知：D，E，F是△ABC邊BC，CA，AB的中點，H，G在形外，且　　HE⊥AC，HE＝AC，GD⊥BC，GD＝BC
求證：△FDG≌△HEF　　FG⊥FH　　　　　　　　　　
已知：在平行四邊形ABCD中，
∠A和∠B的平分線交于E，
∠C和∠D的平分線相交于F
求證：EF∥BC　
三角形三條高（或它們的延長線）必相交于一點　
這點叫做三角形的垂心，如圖△ABC中，兩條高AD和BE交于H，那么　　　　　　　　　　　　　　　
H是△ABC的垂心　　D是△＿＿＿＿＿的垂心　　　　　　　　　　　　　　
E是△＿＿＿的垂心　C是△＿＿＿＿＿＿的垂心
（1989年泉州市初二數學雙基賽題）
已知：O為等腰直角三角形ABC底邊BC的中點，在BC的延長線上任取一點P，過P作AB的垂線PD，D為垂足，過P作AC的垂線PE，E為垂足。
試問：不論P點在BC延長線上的哪一個位置，∠DOE都等于幾度？并證明你的結論（1988年泉州市初二數學雙基賽題）
　
初中數學競賽輔導資料（39）
線段、角的相等關系　
甲內容提要
證明線段、角的相等，在直線形中，最常用的方法是找全等三角形或等腰三角形，若沒有現成的，則要引輔助線，構造全等三角形或等腰三角形。
構造全等三角形，要充分利用已知條件中的對應相等關系，添引輔助線要有利于增加對應相等的元素，要注意總結輔助線的規律，觀察兩個三角形全等時的一般位置特點（如翻轉、旋轉、平移等）
證明兩條線段相等常用的定理
在同一個三角形中，證明等角對等邊。
在兩個三角形中，證明全等。
在平行線圖形中①應用平行四邊形的性質
②用平行線等分線段定理
4.運用比例式證明相等：若　則x=y；若則x=y
5.應用等量代換、等式性質
二.證明兩個角相等常用的定理
1. 在同一個三角形中，證明等邊對等角。
2.　在兩個三角形中，證明全等或相似。
3.在平行線圖形中
用平行四邊形的對角相等
行線的同位角相等，內錯角相等
邊分別互相平行（或垂直）的兩個銳角（或兩個鈍角）相等
角（或等角）的余角（或補角）相等
用等量代換、等式性質
乙例題
例1.證明等腰梯形的判定定理“同一底上兩個角相等的梯形是等腰梯形”
已知：梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝∠B
求證：AD＝BC
下面提供三種基本證法：
把BC、AD集中到同一個三角形，證它等腰三角形。
輔助線是：過點D作DE∥BC，我們稱它為“平移”
∵BCDE是平行四邊形，可證△DAE為等腰三角形
以BC、AD為對應邊，構造兩個全等三角形，為增加對應相等的元素，輔助線為：作兩條高CM和DN，根據夾在平行線間的平行線段相等，可用角角邊證全等。
由∠A＝∠B，可造等腰三角形，運用比例式性質證明，輔助線是：分別延長AD和BC交于P。　　　　　　　　　　　　　　P
D　　　C　　　　 D　　　　C　　　　　　　　 D　　　　C　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　 A　　E　　B　　 A　N　　　M　B　　　 A　　　　　　　　　　B　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例2.已知：在梯形ABCD中，AB∥CD，AC和BD相交于O,AD、BC的延長線相交于P
求證：PO平分AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
證明：設PO延長線交AB于E，交CD于F
∵AB∥CD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　∴ ＝＝①　＝＝②　　　　　　
①×②得　
∴AE2＝BE2　　　　　∵AE＞0，BE＞0
∴AE＝BE，即PO平分AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例3.已知：△ABC中，AC＝3AB，AF是∠A的平分線，　　　　　　　　　　　　　　　　　
過點C作CD⊥AF，D是垂足　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
求證：AD被BC平分　　　　　　　　　　　　　　　　A　　　　　　
證明：以AD為軸作△ADC的對稱三角形ADE　　　B　　　　　　　　　　　　　　　　
那么DE＝DC，AE＝AC＝3AB，BE＝2AB　　　　G　　　F
取BE的中點G，連結DG　　　　　　　　　　　E　　　　　　　C　　　　　　　　　　　　
則DG∥BC，∵AB＝BG　　　　　　　　　　　　　　　D　　　　　
∴AF＝FD，即AD被BC平分
例4.已知：在△ABC中，分別以AB、AC為斜邊作等腰直角三角形ABM，和CAN，P是邊BC的中點
　　求證：PM＝PN　　（1991年泉州市初二數學雙基賽題）
證明：取AB中點Q，AC中點R
連結PQ，PR，MQ，NR
PQ∥AC，PQ＝AC＝NR
PR∥AB，PR＝MQ
∠PQM＝∠PRN（兩邊分別垂直）
∴△PQM≌△NRP，　PM＝PN
例5.已知：四邊形ABCD中AD＝BC，E，F分別是AB、CD的中點，
延長AD，BC和EF的延長線分別交于G，H
求證：∠AGE＝∠BHE　
證明：連結AC，取AC的中點P，連結PE，PF
∵PE是△ABC的中位線，
∴PE∥BC，PE＝BC，
同理PF∥AD，PF＝AD
∴∠PEF＝∠BHE，∠PFE＝∠AGE
∵AD＝BC，∴PE＝PF，∠PEF＝∠PFE
∴　∠AGE＝∠BHE
例6.已知：△ABC中，∠A＝Rt∠，點O是正方形BCDE對角線的交點
求證：AO是∠A的平分線
證明：過點O作OF⊥OA交AC的延長線于F
∵∠ABC，∠FCO都是∠ACO的補角
∴　∠ABC＝∠FCO
∵∠AOB，∠FOC都是∠AOC的余角　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴　∠AOB＝∠FOC
又∵OB＝OC
∴△ABO≌△FCO
∴AO＝FO，　∠F＝∠OAF＝45　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴　AO是∠A的平分線
（△FCO是△ABC繞點旋轉90后的位置）
又證：　∵∠BAC＋∠BOC＝180　
∴A，B，O，C四點共圓，
過ABOC四點作輔助圓，在這個圓中
∵弦OB＝弦OC　
∴弧OB＝弧OC
∴圓周角BAO＝∠OAC
即　　AO是∠A的平分線　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
丙練習39
在等邊△ABC的邊AB，BC，CA上分別截取AD＝BE＝CF，連結AE，BF，CD它們兩兩相交于P，Q，R，則△PQR也是等邊三角形
已知：如圖AB＝AC，AD＝AE
求證：AF平分∠BAC
如圖P，Q，R是等邊三角形ABC三邊的中點，M是BC上的任意點，以PM為一邊作等邊三角形PMN，則RN＝QM
如圖△ABD，△BCE都是等邊三角形，ADEF是平行四邊形，則△CAF也是等邊三角形
②　　　　　　　　　③　　　　　　　　　　　　　④
四邊形ABCD中，AC＝BD，E，F分別是AD，BC的中點，求證：EF和AC，BD相交所成的兩個銳角相等
銳角三角形ABC中，以AB，AC為邊作兩個正方形ABDE，ACFG，高AH的延長線交EG于M，求證：①ME＝MG，②AM＝BC
△ABC的∠C＝Rt∠，∠A＝30，以AB，AC為邊向形外作等邊三角形ABD，ACE，求證　DE被AB平分
等腰直角三角形ABC中，∠A＝Rt∠，BE是中線，AD⊥BE交BC于D，交BE于F，求證：∠AEB＝∠DEC
等腰直角三角形ABC中，∠A＝Rt∠，AD∥BC，且BD＝BC，設BD和AC相交于E，求證CD＝CE
△ABC中，AD是高，若AB＋DC＝AC＋BD，則AB＝AC
D，E分別在等邊三角形ABC的邊BA，BC的延長線上，AD＝BE求證DC＝DE
正方形ABCD中，E，F分別在BC，CD上且∠EAF＝45，AH是
AEF的高，求證　AH＝AB
梯形ABCD中，AB∥CD，MN∥AB交AD于M，交BC于N交AC于E，交BD于F則ME＝NF
正方形ABCD中，E，F是AB延長線上的兩個點，BE＝BC，BF＝BD，DF交BC于G，交CE于H求證：CH＝CB，HG＝HF
初中數學競賽輔導資料（40）
線段、角的和差倍分
甲內容提要
證明線段、角的和，差，倍，分，常用兩種方法：一是轉化為證明線段或角的相等關系；一是用代數恒等式的證明方法。
轉化為證明相等的一般方法
㈠通過作圖轉化
要證明一線段（角）等于兩線段（角）的和（用截長補短法）
⑴分解法――把大量分成兩部分，證它們分別等于兩個小量
⑵合成法――作出兩個小量的和，證它與大量相等
要證明一線段（角）等于另一線段（角）的2倍
⑴折半法――作出大量的一半，證它與小量相等
⑵加倍法――作出小量的2倍，證它與大量相等
㈡應用有關定理轉化
三角形中位線等于第三邊的一半，梯形中位線等于兩底和的一半
直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半
直角三角形中，含30度的角所對的直角邊等于斜邊的一半
三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角和
等腰三角形頂角的外角等于底角的2倍
三角形的重心（各中線的交點）分中線為2∶1
有關比例線段定理
用代數恒等式的證明
由左證到右或由右證到左
左右兩邊分別化簡為同一個第三式
證明左邊減去右邊的差為零
由已知的等式出發，通過恒等變形，到達求證的結論
乙例題
例1.已知：△ABC中，∠B＝2∠C，AD是高
求證：DC＝AB＋BD
分析一：用分解法，把DC分成兩部分，分別證與AB，BD相等。
可以高AD為軸作△ADB的對稱三角形△ADE，再證EC＝AE。
∵∠AEB＝∠B＝2∠C且∠AEB＝∠C＋∠EAC，∴∠EAC＝∠C
輔助線是在DC上取DE＝DB，連結AE。
分析二：用合成法，把AB，BD合成一線段，證它與DC相等。
仍然以高AD為軸，作出DC的對稱線段DF。
為便于證明，輔助線用延長DB到F，使BF＝AB，連結AF，則可得
∠ABD＝2∠F＝2∠C。
例2.已知：△ABC中，兩條高AD和BE相交于H，兩條邊BC和AC的中垂線相交于O，垂足是M，N
求證：AH＝2MO，　BH＝2NO
證明一：（加倍法――作出OM，ON的2倍）
連結并延長CO到G使OG＝CO連結AG，BG
則BG∥OM，BG＝2MO，AG∥ON，AG＝2NO
∴四邊形AGBH是平行四邊形，
∴AH＝BG＝2MO，BH＝AG＝2NO
證明二：（折半法――作出AH，BH的一半）
分別取AH，BH的中點F，G連結FG，MN
則FG＝MN＝AB，FG∥MN∥AB
又∵OM∥AD，
∴∠OMN＝∠HGF（兩邊分別平行的兩銳角相等）
同理∠ONM＝∠HFG∴△OMN≌△HFG……
例3.　 已知：在正方形ABCD中，點E在AB上且CE＝AD＋AE，F是AB的中點
求證：∠DCE＝2∠BCF
分析：本題顯然應著重考慮如何發揮CE＝AD＋AE條件的作用，如果只想用加倍法或折半法，則脫離題設的條件，難以見效。
我們可將AE（它的等量DG）加在正方形邊CD的延長線上（如左圖）也可以把正方形的邊CD（它的等量AG）加在AE的延長線上（如右圖）后一種想法更容易些。
輔助線如圖，證明（略）自己完成
　　　　　　　　　　　　　　　　
例4.已知：△ABC中，∠B和∠C的平分線相交于I，
求證：∠BIC＝90＋∠A
證明一：（由左到右）
∠BIC＝180－（∠1＋∠2）＝180－（∠ABC＋∠ACB）
＝180－（∠ABC＋∠ACB＋∠A）＋∠A
＝90＋∠A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
證明二：（左邊－右邊＝0）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　∠BIC－（90＋∠A）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
＝180－（∠ABC＋∠ACB）－90－∠A　　　　　　　　　　　　　　　　　　
＝90－（∠ABC＋∠ACB＋∠A）＝……
　證明三：（從已知的等式出發，進行恒等變形）
∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180　　∴∠A＝180－（∠ABC＋∠ACB）
∠A＝90－（∠ABC＋∠ACB）　
90＋∠A＝180－（∠ABC＋∠ACB），即∠BIC＝90＋∠A
丙練習40
△ABC中，∠B＝2∠C，AD是角平分線，求證：AC＝AB＋BD
△ABC中，∠B＝2∠C，AD是高，M是BC的中點，則AB＝2DM
△ABC中，∠B的平分線和∠C的外角平分線交于E，則∠A＝2∠E
△ABC的AB＝AC，CD是中線，延長AB到E使BE＝AB，連結EC，則CE＝2CD
已知：等腰直角三角形ABC中，∠A＝Rt∠，BD是角平分線
求證：BC＝AB＋AD
已知：△ABC中，AB＜AC，AD是高，AE是角平分線
求證　：∠DAE＝（∠B＋∠C）
已知：△ABC中，AB＝AC，點D在AC的延長線上，
求證：∠CBD＝（∠ABD－∠D）
已知：AD是△ABC的中線，E是AD的中點，BE延長線交AC于F
求證：BF＝4EF
已知：在正方形ABCD中，E是BC邊上的一點，AF平分∠DAE，交CD于F
求證：AE＝BE＋DF
在△ABC中，∠BAC＝Rt∠，BC的中垂線MN交AB于M，交BC于N，角平分線AD延長線交MN于E，則BC＝2NE　
（1987年泉州市雙基賽題）
以Rt△ABC兩直角邊AC，BC為邊向形外作正方形ACDE和BCFG，分別過E，G作斜邊AB所在直線的垂線段EE，，GG，則AB＝EE，＋GG，
已知：△ABC中，AB＝AC，AD是高，CE是角平分線EF⊥BC于F，GE⊥CE交CB延長線于G，
求證：FD＝CG　（提示：以CE為軸作△CEG的對稱三角形）
已知：△ABC中，∠A＝100，AB＝AC，BD是角平分線
求證：BC＝BD＋AD
已知：正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于E，交BD于F，O是對角線的交點
求證：CE＝2FO
已知：如圖AC，BD都垂直于AB，且CD交AB于E，CE＝2AD
求證：∠ADE＝2∠BDE
已知：△ABC中，AB＜AC＜BC，點D在BC上，點E在BA的延長線上，且BD＝BE＝AC，△BDE的外接圓和△ABC的外接圓交于點F
求證：BF＝AF＋FC　　（1991年全國初中數學聯賽題）
　　（提示：在BF上取BG＝CF）
　　　　　　　　　　　　　　　
初中數學競賽輔導資料（41）
　線段的比、積、冪
甲內容提要
一．有關線段的比、積、冪的主要定理
比例的基本性質：　合比，等比定理（略）
平行線分線段成比例定理（即平行截線定理）的推論
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　
DE∥BC
推廣到：過一點的一線束被平行線截得的對應線段成比例
　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　a∥b
相似多邊形性質：對應線段成比例，面積比等于相似比的平方
直角三角形中成比例線段定理（射影定理）
　　　　　　　　　　　　　
三角形內（外）角平分線性質
在△ABC中
∠1＝∠2
圓中成比例線段定理（即圓冪定理）
若ABCD四點共圓，
AB、CD交于P，
則PA×PB＝PC×PD
＝PT2
（PT切圓于T）
三角形、平行四邊形面積公式（略）
8.正弦定理：在△ABC中，
二．要運用相似三角形證明線段的積、冪，一般應把積、冪先化為比例式，然后由它來找相似三角形。有時還要用等線段或等比代換。
乙例題
過四邊形ABCD的對角線交點O畫CD的平行線，分別與邊BC，AD及AB的延長線交于E，F，G求證：GO2=GEGF
證明：設DC，AB的延長線相交于H，
　∵FG∥DH，
從過點B的線束被平行線截得
從過點A的線束被平行線截得
∴　　　即GO2＝GEGF
例2.已知：CD是Rt△ABC斜邊上的高，角平分線AE交CD于F
求證：CE2＝DF×BE
分析：要CE2＝DF×BE成立，應證
可證CE＝CF（等角對等邊），即證
根據角平分線性質可得
，
只要AC2＝ABAD這符合直角三角形中成比例線段定理
證明　（略）
例3.已知：△ABC中最大角A是最小角C的2倍，三邊長是連續整數　
求：△ABC的各邊長
解：設AC為x, 則AB是x-1,BC為x+1
延長CA到D使AD=AB，連結BD，BA
則∠D＝∠1　　　　　　　　　　
∵∠BAC＝∠1＋∠D＝2∠D，
∵∠BAC＝2∠C，　∴∠1＝∠D＝∠C
∴等腰△ABD∽等腰△BCD
，，解得x=5, ∴三邊長分別為4,5,6
( 本題也可作∠BAC的平分線AE，證明△EAB∽△ACB)
例4. 已知：⊙O和⊙O1相交于P，外公切線AB，A，B是切點，AP交⊙O于C，BP交⊙O1于D，CE和⊙O1切于點E
求證：CE＝CB
證明：過點P作兩圓公切線PQ交AB于Q
由切線長定理，得QP＝QA＝QB
∴△APB是Rt△，∠APB＝Rt∠
∴BC是⊙O的直徑，BC⊥AB
根據射影定理，得BC2＝CP×CA
∵CE切⊙O1于E，
根據圓冪定理，得CE2＝CP×CA
∴CE＝CB
例5.正方形OPQR內接于△ABC，已知△AOR，△BOP，△CRQ面積是
S1＝1，S2＝3，S3＝1。那么正方形OPQR的邊長是（　　）
（A） （B） (C)2 (D)3　（1991年全國初中數學聯賽題）
解：設正方形OPQR的邊長為x，
∵S2＝3，S3＝1　∴BP＝，QC＝，
∵OR∥BC，∴△AOR∽△ABC
∴　＝
即=　解得（x4－16）(x2+4)=0　　∴x=2　
本題也可以求出△ABC的高為＋x, 用面積公式列方程。
丙練習41
線段a,b滿足等式a2+ab-b2=0 則a ：b=＿＿＿＿
△ABC中D，E三等分BC，中線BF分別交AD，AE于M，N，那么
BM∶MN∶NF＝＿＿＿
△ABC中，點D內分BC為1∶3，點E內分AD為1∶2，BE的延長線交AC于F，則AF∶FC＝＿＿＿
求證：有一個角相等或互補的兩個三角形面積的比等于夾這個角兩邊的乘積的比
經過平行四邊形ABCD頂點A畫直線，分別交BD，BC及DC的

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