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第1章　集合與簡易邏輯
課時作業1　集合的概念及運算

時間：45分鐘　　　　分值：100分
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．(2009·浙江高考)設U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，則A∩?UB＝ (　　)
A．{x|0≤x<1}　　　　 B．{x|0C．{x|x<0} D．{x|x>1}
解析：?UB＝{x|x≤1}，∴A∩?UB＝{x|0圖1
答案：B
2．(2009·廣東高考)已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1,2，…}的關系的韋恩(Venn)圖如圖1所示，則陰影部分所示的集合的元素共有 (　　)
A．2個 B．3個
C．1個 D．無窮多個
解析：M＝{x|－1≤x≤3}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}，
∴M∩N＝{1,3}．故選A.
答案：A
3．已知全集U＝R，且A＝{x||x－1|>2}，B＝{x|x2－6x＋8<0}，則(?UA)∩B等于(　　)
A．[－1,4) B．(2,3)
C．(2,3] D．(－1,4)
解析：|x－1|>2?x>3或x<－1，
即A＝{x|x>3或x<－1}，
∴?UA＝{x|－1≤x≤3}．
x2－6x＋8<0?2即B＝{x|2∴(?UA)∩B＝{x|2答案：C
4．已知A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|ax＝1}，若B?A，則實數a的值構成的集合M是(　　)
A．{－1,0，} B．{－1,0}
C．{－1，} D．{，0}
解析：A＝{－1,3}，a＝0時，B＝?，
此時B?A；a≠0時，B＝{x|x＝}，
則＝－1或＝3，
∴a＝－1或a＝.
此時B?A，故M＝{－1,0，}．
答案：A
5．設I＝{1,2,3,4}，A與B是I的子集，若A∩B＝{1,2}，則稱(A，B)為一個“理想配集”，那么符合此條件的“理想配集”的個數是(規定(A，B)與(B，A)是兩個不同的“理想配集”) (　　)
A．4 B．8
C．9 D．16
解析：由A與B是集合I的子集，且A∩B＝{1,2}，得A、B應為{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}中的一個．由定義知，若A＝{1,2}，則B可以取4個中的任何一個，共有4種不同的情形；
若A＝{1,2,3}，則B可以為{1,2}，{1,2,4}中的任何一個，有2種不同的情形；
若A＝{1,2,4}，則B可以為{1,2}，{1,2,3}中的任何一個，有2種不同的情形；
若A＝{1,2,3,4}，則B只可以為{1,2}這一種情形．
綜上可知，適合題意的情形共有4＋2＋2＋1＝9種．
答案：C
6．(2009·湖北高考)已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是兩個向量集合，則P∩Q＝ (　　)
A．{(1,1)} B．{(－1,1)}
C．{(1,0)} D．{(0,1)}
解析：∵P＝{a|a＝(1，m)，m∈R}，Q＝{b|b＝
(1－n,1＋n)，n∈R}，P∩Q＝{b|b＝a}，令a＝b，
∴?
∴a＝b＝(1,1)，故選A.
答案：A
二、填空題(每小題5分，共20分)
7．(2009·上海高考)已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，則實數a的取值范圍是________．
解析：A為(－∞，1]，B為[a，＋∞)，要使A∪B＝R，只需a≤1.
答案：a≤1
8．已知集合A＝{1,0,2}，B＝{x||x|∈A}，則B＝__________.
解析：∵|x|∈A，
∴|x|＝1?x＝±1，
或|x|＝0?x＝0，
或|x|＝2?x＝±2，
∴B＝{x|x＝±1或x＝0或x＝±2}
＝{－1,1,0，－2,2}．
答案：{－1,1,0，－2,2}．
9．設集合A＝{(x，y)|2x＋y＝1，x，y∈R}，B＝{(x，y)|a2x＋2y＝a，x，y∈R}，若A∩B＝?，則a的值為__________．
解析：集合A，B的元素都是點，A∩B的元素是兩直線的公共點．A∩B＝?，則兩直線無交點，即方程組無解．
列方程組，解得(4－a2)x＝2－a，
則，即a＝－2.
答案：－2
10．(2010·湖北八校聯考)設A＝{(x，y)|y≤－|x－3|}，B＝{(x，y)|y≥2|x|＋b，b為常數}，A∩B≠?.
(1)b的取值范圍是________；
(2)設P(x，y)∈A∩B，點T的坐標為(1，)，若在方向上投影的最小值為－5，則b的值為__________．
圖2
解析：(1)作出點集所表示的區域，結合圖形可知b≤－3；
(2)有－5≤＝，令x＋y＝z，即y＝＋，結合圖形可知，當動直線y＝＋經過點(0，b)時，z有最小值－10，即－10＝b?b＝－10.
答案：(1)b≤－3　(2)－10
三、解答題(共50分)
11．(15分)已知A＝{x|x2≥9}，B＝，C＝
{x||x－2|<4}．
(1)求A∩B及A∪C；
(2)若U＝R，求A∩?U(B∩C)．
解：由x2≥9，得x≥3或x≤－3，
∴A＝{x|x≥3或x≤－3}．
又由不等式≤0，得－1∴B＝{x|－1又由|x－2|<4，得－2∴C＝{x|－2(1)A∩B＝{x|3≤x≤7}，如圖3(1)所示．A∪C＝
{x|x≤－3或x>－2}，如圖3(2)所示．
圖3
(2)∵U＝R，B∩C＝{x|－1∴?U(B∩C)＝{x|x≤－1或x≥6}，
∴A∩?U(B∩C)＝{x|x≥6或x≤－3}．
圖4
12．(15分)(2010·南京一調)某學校有籃球隊、羽毛球隊、乒乓球隊員，某些隊員不止參加了一支球隊，具體情況如圖4所示，現從中隨機抽取一名隊員，求：
(1)該隊員只屬于一支球隊的概率；
(2)該隊員最多屬于兩支球隊的概率．
解：(1)設“該隊員只屬于一支球隊”為事件A，則事件A的概率P(A)＝＝.
(2)設“該隊員最多屬于兩支球隊”為事件B，則事件B的概率為P(A)＝1－＝.
答：(1)該隊員只屬于一支球隊的概率為；
(2)該隊員最多屬于兩支球隊的概率為.
13．(20分)(2009·上海寶山模擬)已知二次函數f(x)＝ax2＋x有最小值，不等式f(x)<0的解集為A.
(1)求集合A；
(2)設集合B＝{x||x＋4|解：(1)二次函數f(x)＝ax2＋x有最小值，∴a>0.
∴解不等式f(x)＝ax2＋x<0，得集合A＝(－，0)．
(2)解得B＝(－a－4，a－4)，因為集合B是集合A的子集，所以－≤－a－4≤0且－≤a－4≤0，且a>0，解得0
課時作業2　含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法

時間：45分鐘　　　　分值：100分
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．(2009·全國卷Ⅰ)不等式<1的解集為 (　　)
A．{x|01}
B．{x|0C．{x|－1D．{x|x<0}
解析：解法1(特值法)：顯然x＝－1是不等式的解，故選D.
解法2：不等式等價于|x＋1|<|x－1|，即(x＋1)2<(x－1)2，解得x<0.故選D.
答案：D
2．設集合P＝{m|－1(　　)
A．PQ　　　　　　　 B．QP
C．P＝Q D．P∩Q＝?
解析：由mx2＋4mx－4<0對任意實數x恒成立，得Δ＝16m2＋16m<0且m<0或m＝0，
所以－1所以Q＝{m|－1答案：A
3．(2009·株洲質檢二)不等式(|x|＋2)(1－x2)≤0的解集是 (　　)
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C．(－1,1)
D．[－1,1]
解析：(|x|＋2)(x＋1)(x－1)≥0等價于

或，解得x≤－1或x≥1.故選B.
答案：B
4．若關于x的不等式－x2＋2x>mx的解集為{x|0A．1 B．－2
C．－3 D．3
解析：x2－4x＋2mx<0，即x2＋(2m－4)x<0，∴0,2為x2＋(2m－4)x＝0的兩根，∴4－2m＝2，∴m＝1.故選A.
答案：A
5．(2010·青島模擬)若關于x的不等式|x－1|＋|x－2|>a2＋a＋1(x∈R)恒成立，則實數a的取值范圍為 (　　)
A．(0,1) B．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－1,0)
解析：由絕對值的幾何意義知
|x－1|＋|x－2|≥1，
∴a2＋a＋1<1恒成立，
即a2＋a<0，∴－1答案：D
6．(2009·天津高考)設0(ax)2的解集中的整數恰有3個，則 (　　)
A．－1C．1解析：原不等式轉化為：[(1－a)x－b][(1＋a)x－b]>0.
(1)a≤1，結合不等式解集形式知不符合題意．
(2)a>1.此時－知－3≤－<－2.整理得：2a－2結合題意b<1＋a，有2a－2<1＋a.
∴a<3，從而有1答案：C
二、填空題(每小題5分，共20分)
7．(2009·山東高考)不等式|2x－1|－|x－2|＜0的解集為________．
解析：|2x－1|－|x－2|<0?|2x－1|<|x－2|?(2x－1)2<(x－2)2?4x2－4x＋1答案：(－1,1)
8．(2009·廣東高考)不等式≥1的實數解為________．
解析：≥1?
?
即
解得x≤－且x≠－2.
答案：(－∞，－2)∪
9．(2010·合肥質檢二)若不等式|2x－3|>4與不等式x2＋px＋q>0的解集相同，則p＋q＝__________.
解析：解|2x－3|>4得x>或x<－，由它與x2＋px＋q>0同解，可知方程x2＋px＋q＝0的根是x1＝，x2＝
－，由根與系數的關系可知p＝－3，q＝－，∴p＋q＝－.
答案：－
10．已知關于x的不等式3ax＋b>0的解集為{x|x>1}，則不等式(a＋b)x＋(2a－b)<0的解集為__________．
解析：由題意得不等式3ax＋b>0的解為
x>－且3a>0，
－＝1，所以b＝－3a(a>0)，
所以不等式(a＋b)x＋(2a－b)<0
可化為－2ax＋5a<0，
即2ax>5a，因為a>0，所以x>，
即不等式(a＋b)x＋(2a－b)<0的解集為{x|x>}．
答案：{x|x>}
三、解答題(共50分)
11．(15分)解關于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1<0.
解：(1)當a＝0時，原不等式化為－x＋1<0，
∴原不等式的解集為{x|x>1}．
(2)當a≠0時，原不等式可化為a(x－1)(x－)<0.
當a<0時，有(x－1)(x－)>0，
∵<1，∴原不等式的解集為{x|x<或x>1}．
當a>0時，原不等式可化為(x－1)(x－)<0.
①當<1即a>1時，
不等式的解集為{x|②當＝1，即a＝1時，
不等式即為(x－1)2<0，解集為?.
③當>1，即0不等式的解集為{x|1綜上所述，原不等式的解集為
當a<0時，{x|x<或x>1}；
當a＝0時，{x|x>1}；
當0當a＝1時，解集為?；
當a>1時，{x|12．(15分)(2009·遼寧高考)設函數f(x)＝|x－1|＋|x－a|.
(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；
(2)如果任意x∈R，f(x)≥2，求a的取值范圍．
解：(1)當a＝－1時，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|，由f(x)≥3得|x－1|＋|x＋1|≥3.
①當x≤－1時，不等式化為1－x－1－x≥3，即－2x≥3.
不等式組的解集為.
②當－1不等式組的解集為?.
③當x>1時，不等式化為x－1＋x＋1≥3，即2x≥3.
不等式組的解集為.
綜上得，f(x)≥3的解集為∪.
(2)若a＝1，f(x)＝2|x－1|，不滿足題設條件．
若a<1，f(x)＝
f(x)的最小值為1－a.
若a>1，f(x)＝
f(x)的最小值為a－1.
所以任意x∈R，f(x)≥2的充要條件是|a－1|≥2，從而a的取值范圍為(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
13．(20分)(2010·大慶模擬)二次函數f(x)滿足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在區間[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求實數m的范圍．
解：(1)設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝1得c＝1，故f(x)＝ax2＋bx＋1.
∵f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x.
即2ax＋a＋b＝2x，
所以，∴，
∴f(x)＝x2－x＋1.
(2)由題意得x2－x＋1>2x＋m在[－1,1]上恒成立，即x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立．
設g(x)＝x2－3x＋1－m，
其圖象的對稱軸為直線x＝，
所以g(x)在[－1,1]上單調遞減．
因此只需g(1)>0，即12－3×1＋1－m>0，
解得m<－1.
故實數m的范圍為(－∞，－1)．

課時作業3　簡易邏輯

時間：45分鐘　　　　分值：100分
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．(2009·寶雞一中模擬)下列命題為真的是 (　　)
A．所有的素數都是奇數
B．對每一個無理數x，x2也是無理數
C．存在一個實數x，使x2＋2x＋3＝0
D．有些整數只有兩個正因數
解析：選項A可以通過舉反例“2”說明其為假命題，選項B顯然為假命題，選項C中方程在實數范圍內無解，選項D為真命題．
答案：D
2．(2010·大慶模擬)若命題p：x∈M∪N，則?p是 (　　)
A．x?M?N　　　　　 B．x?M或x?N
C．x?M且x?N D．x∈M∩N
解析：x∈M∪N，即x∈M或x∈N，∴?p：x?M且x?N.
答案：C
3．(2009·北京東城模擬)已知命題p，q，若p且q為真命題，則必有 (　　)
A．p真q真 B．p假q假
C．p真q假 D．p假q真
答案：A
4．若命題甲：a，b，c為等差數列，命題乙：ma＋p，mb＋p，mc＋p成等差數列，其中m，p為常數，則甲是乙的 (　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：本題考查等差數列概念及充分必要條件；由命題甲知2b＝a＋c；由命題乙可知2(mb＋p)＝(ma＋p)＋(mc＋p)?m＝0或2b＝a＋c，故命題甲是命題乙的充分但不必要條件．
答案：A
5．若p：a2＋b2>2ab，q：|a＋b|<|a|＋|b|，則p是q的 (　　)
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：a2＋b2>2ab?a≠b?ab<0?|a＋b|<|a|＋|b|，∴p是q的必要非充分條件．
答案：B
6．設a1、b1、c1、a2、b2、c2均為非零實數，不等式a1x2＋b1x＋c1>0和a2x2＋b2x＋c2>0的解集分別為集合M與N，那么“＝＝”是“M＝N”的 (　　)
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
解析：不等式2x2－x＋1>0，－2x2＋x－1>0對應系數成比例但解集不等；
不等式x2＋x＋1>0與x2＋x＋2>0的解集相等，但對應系數不成比例．
答案：D
二、填空題(每小題5分，共20分)
7．(2009·湖北模擬)命題P：若x2<2，則－答案：若x2≥2，則x≤－或x≥　若x2<2，則x≤
－或x≥
8．已知命題p：不等式|x|＋|x－1|>m解集為R，命題q：f(x)＝－(5－2m)x是減函數，若p或q為真命題，p且q為假命題，則m的取值范圍為__________．
解析：|x|＋|x－1|>m的解集為R，
∴m<(|x|＋|x－1|)min，
而|x|＋|x－1|≥|x－(x－1)|＝1，∴m<1.
由已知y＝(5－2m)x為增函數，∴5－2m>1，m<2，
由p或q為真，p且q為假可知，p，q中一真一假，
∴或∴1≤m<2.
答案：1≤m<2
9．已知p：<1，q：(x＋1)(x－m)(x－3)>0.若p是q的充分不必要條件，則實數m的取值范圍是__________．
解析：p：－13時，q：－1m.符合題意；當m＝3時，q：x>－1且x≠3.符合題意；當－13，若p?q，則m≥1，當m≤－1時，不符合題意．綜上分析m的取值范圍是m≥1.
答案：m≥1
10．(2009·江西高考)設直線系M：xcosθ＋(y－2)sinθ＝1(0≤θ≤2π)，對于下列四個命題：
A．M中所有直線均經過一個定點
B．存在定點P不在M中的任一條直線上
C．對于任意整數n(n≥3)，存在正n邊形，其所有邊均在M中的直線上
D．M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等
其中真命題的代號是________(寫出所有真命題的代號)．
解析：因為xcosθ＋(y－2)sinθ＝1，所以點P(0,2)到M中每條直線的距離d＝＝1，即M為圓C：x2＋(y－2)2＝1的全體切線組成的集合，從而M中存在兩條平行直線，所以A錯誤；又因為(0,2)點不在M的任何直線上，所以B正確；對任意n≥3，存在正n邊形使其內切圓為圓C，故C正確．M中的邊能組成兩個大小不同的正三角形ABC和AEF，故D錯誤．故命題中正確的序號是B、C.
答案：B、C
三、解答題(共50分)
11．(15分)已知函數f(x)是在(－∞，＋∞)上的增函數，a，b∈R，對命題“若a＋b≥0，則f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．
(1)寫出逆命題，判斷其真假，并證明你的結論；
(2)寫出其逆否命題，判斷其真假，并證明你的結論．
解：(1)逆命題是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，
則a＋b≥0，真命題．
用反證法證明：假設a＋b<0，
則a<－b，b<－a，
∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數，
則f(a)∴f(a)＋f(b)(2)逆否命題：若f(a)＋f(b)則a＋b<0為真命題．
因為一個命題?它的逆否命題，所以可證明原命題為真命題．
∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a，
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，
∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，
所以逆否命題為真．
12．(15分)(2010·山東臨沂模擬)已知集合A＝{y|y＝x2－x＋1，x∈[，2]}，B＝{x|x＋m2≥1}；命題p：x∈A，命題q：x∈B，并且命題p是命題q的充分條件，求實數m的取值范圍．
解：化簡集合A，由y＝x2－x＋1，
配方得y＝(x－)2＋.
∵x∈[，2]，∴ymin＝，ymax＝2.
∴y∈[，2]．∴A＝{y|≤y≤2}．
化簡集合B，由x＋m2≥1，∴x≥1－m2，B＝{x|x≥1－m2}．
∵命題p是命題q的充分條件，∴A?B.
∴1－m2≤，解之，得m≥或m≤－.
∴實數m的取值范圍是(－∞，－]或[，＋∞)．
13．(20分)(2009·常州模擬)已知命題p：x1和x2是方程x2－mx－2＝0的兩個實根，不等式a2－5a－3≥|x1－x2|對任意實數m∈[－1,1]恒成立；命題q：只有一個實數x滿足不等式x2＋2ax＋11a≤0，若命題p是假命題，命題q是真命題，求a的取值范圍．
解：(1)p：x1和x2是x2－mx－2＝0的兩根，
所以
?|x1－x2|＝＝
又m∈[－1,1]，則有|x1－x2|∈[2，3]．因為不等式a2－5a－3≥|x1－x2|對任意實數m∈[－1,1]恒成立，所以a2－5a－3≥|x1－x2|max＝3，所以a2－5a－3≥3
?a∈(－∞，－1]∪[6，＋∞)
q：由題意有Δ＝(2a)2－4×11a＝0?a＝0或a＝.
由命題p是假命題，命題q是真命題，所以a∈{}．

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