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第二章　函數(shù)
課時作業(yè)4　函數(shù)的概念及其表示

時間：45分鐘　　　　分值：100分
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．下列圖象中，不可能是函數(shù)圖象的是 (　　)
解析：從選項D中圖象可以看出x取很多值都對應(yīng)著兩個不同的y值，所以不滿足函數(shù)的定義．
答案：D
2．下列各組函數(shù)中表示同一函數(shù)的是 (　　)
A．y＝與y＝
B．y＝lnex與y＝elnx
C．y＝x＋3與y＝
D．y＝x0與y＝
解析：選項D中兩個函數(shù)都表示y＝1(x≠0)這一函數(shù)．
選項A中兩個函數(shù)對應(yīng)法則不同，分別是：y＝x和y＝|x|.
選項B中兩個函數(shù)的定義域不同，前者x∈R，而后者x∈(0，＋∞)．
選項C中兩個函數(shù)的定義域不同，前者x∈R，而后者x∈{x|x∈R且x≠1}．
答案：D
3．g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝(x≠0)，則f等于 (　　)
A．1　　　　　　　　　　　 B．3
C．15 D．30
解析：令g(x)＝，得x＝，
∴f＝＝15.
答案：C
4．(2009·成都診斷性檢測)若函數(shù)f(x)的定義域為{x|x>}，則函數(shù)f()的定義域為(　　)
A．{x|x>} 　 B．{x|x<且x≠0}
C．{x|x>2}∪{x|x<0} 　 D．{x|0解析：由已知得，>?2x(x－2)<0?0答案：D
5．已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(－，0)對稱，且滿足f(x)＝－f(x＋)，f(－1)＝1，f(0)＝－2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2005)的值為 (　　)
A．－2 B．－1
C．0 D．1
解析：∵f(x)的圖象關(guān)于點(－，0)對稱，
∴f(x)＝－f(－x－)．
又f(x)＝－f(x＋)，∴f(x)為偶函數(shù)．
f(x＋3)＝f(x＋＋)＝－f(x＋)＝f(x)，
∴f(x)是以3為周期的周期函數(shù)．
∴f(1)＝f(－1)＝1，f(0)＝－2＝f(3)，f(2)＝f(－1)＝1.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＝0.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2005)＝f(2005)＝f(1)＝1.
答案：D
6．(2010·黃岡質(zhì)檢)平面向量的集合A到A的映射f由f(x)＝x－2(x·a)a確定，其中a為常向量．若映射f滿足f(x)·f(y)＝x·y對任意x、y∈A恒成立，則a的坐標可能是 (　　)
A．(，－) B．(，)
C．(，) D．(－，)
解析：由題意得f(x)·f(y)＝[x－2(x·a)a]·[y－2(y·a)a]＝x·y－4(x·a)·(y·a)＋4(x·a)·(y·a)·a2＝x·y，即4(x·a)·(y·a)·(a2－1)＝0對于任意x，y∈A恒成立，又x·a與y·a都恒不為零，因此有a2－1＝0，|a|＝1，結(jié)合各選項知，選D.
答案：D
二、填空題(每小題5分，共20分)
7．函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖1所示．那么，f(x)的定義域是__________；值域是__________；其中只與x的一個值對應(yīng)的y值的范圍是__________．
圖1
解析：由圖象知，函數(shù)y＝f(x)的圖象包括兩部分，一部分是以點(－3,2)和(0,4)為兩個端點的一條曲線段，一部分是以(2,1)為起點到(3,5)結(jié)束的曲線段，故其定義域是[－3,0]∪[2,3]，值域為[1,5]，只與x的一個值對應(yīng)的y值的取值范圍是[1,2)∪(4,5]．
答案：[－3,0]∪[2,3]　[1,5]　[1,2)∪(4,5]
8．(2009·河南調(diào)研)已知函數(shù)f(x)，g(x)分別由下表給出，則f[g(1)]＝__________.
x
1
2
3
f(x)
2
1
3
g(x)
3
2
1
解析：f[g(1)]＝f(3)＝3.
答案：3
9．對于實數(shù)x、y，定義新運算x*y＝ax＋by＋1，其中a、b是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運算，若　　　　　
解析：
答案：-11
10．(2009·湖北八校聯(lián)考)定義映射f：n→f(n)(n∈N?)如下表：
n
1
2
3
4
…
n
f(n)
2
4
7
11
…
f(n)
若f(n)＝4951，則n＝________.
解析：由f(2)＝f(1)＋2，f(3)＝f(2)＋3，f(4)＝f(3)＋4，歸納可知，f(n)＝f(n－1)＋n，累加可知f(n)＝2＋2＋3＋…＋n＝＋1＝4951，得n(n＋1)＝9900，又n∈N?得n＝99.
答案：99
三、解答題(共50分)
11．(15分)已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)．
解：求函數(shù)解析式的方法有很多種，其中待定系數(shù)法是一種常用的方法．
設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，
則3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17，∴a＝2，b＝7，∴f(x)＝2x＋7.
12．(15分)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，且滿足f(xy)＝f(x)＋f(y)．
(1)求f(0)與f(1)的值；
(2)求證：f()＝－f(x)；
(3)若f(2)＝p，f(3)＝q(p，q都是常數(shù))，求f(36)的值．
解：這里的函數(shù)f(x)沒有給出具體的解析式，(1)中要求f(0)與f(1)的值，就需要對已知條件中的x、y進行恰當?shù)馁x值．
(1)令x＝y(tǒng)＝0得f(0)＝f(0)＋f(0)，解得f(0)＝0；
令x＝1，y＝0得f(0)＝f(1)＋f(0)，解得f(1)＝0.
(2)證明：令y＝，得f(1)＝f()＋f(x)，
則f()＝－f(x)．
(3)令x＝y(tǒng)＝2得f(4)＝f(2)＋f(2)＝2p，令x＝y(tǒng)＝3得f(9)＝f(3)＋f(3)＝2q，令x＝4，y＝9得f(36)＝f(4)＋f(9)＝2p＋2q.
13．(20分)(2010·宜昌模擬)已知函數(shù)f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，且f(x)＝f(x＋2)，當x∈[0,1]時，f(x)＝x.
(1)求x∈[2k－1,2k](k∈Z)時，f(x)的表達式；
(2)若A，B是f(x)圖象上縱坐標相等的兩點，且A，B兩點的橫坐標在[0,2]內(nèi)，點C(1,0)，求△ABC面積的最大值．
解：(1)設(shè)x∈[2k－1,2k]，k∈Z，
則2k－x∈[0,1]，那么f(2k－x)＝2k－x.
又f(x)＝f(－x)＝f(－x＋2)
＝f(－x＋2k)＝2k－x，
∴x∈[2k－1,2k](k∈Z)時，f(x)＝2k－x.
(2)由(1)當x∈[1,2]時，f(x)＝2－x，
函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱．
設(shè)A(1－t,1－t)，B(1＋t,1－t)，其中0則AB＝2t，S△ABC＝·2t·(1－t)≤.
即△ABC面積的最大值是.
課時作業(yè)5　函數(shù)的值域與最值

時間：45分鐘　　　　分值：100分
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．若函數(shù)y＝2x的定義域是P＝{1,2,3}，則該函數(shù)的值域是 (　　)
A．{2,4,6}　　　　　　　　 B．{2,4,8}
C．{1,2，log32} D．{1,2，log23}
解析：由題意得，當x＝1時，2x＝2，當x＝2時，2x＝4，當x＝3時，2x＝8，即函數(shù)的值域為{2,4,8}，故應(yīng)選B.
答案：B
2．定義在R上的函數(shù)y＝f(x)的值域為[a，b]，則y＝f(x＋1)的值域為 (　　)
A．[a，b] B．[a＋1，b＋1]
C．[a－1，b－1] D．無法確定
解析：∵函數(shù)y＝f(x＋1)的圖象是由函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移1個單位得到的，其值域不改變，∴其值域仍為
[a，b]，故應(yīng)選A.
答案：A
3．函數(shù)y＝(x>0)的值域是 (　　)
A．(0，＋∞) B．(0，)
C．(0，] D．[，＋∞)
解析：由y＝(x>0)得0(0，]，選C.
答案：C
4．函數(shù)y＝x2－2x＋3在區(qū)間[0，m]上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是(　　)
A．[1，＋∞) B．[0,2]
C．(－∞，2] D．[1,2]
解析：x＝1時，y取最小值2；令y＝3，得x＝0或x＝2.故1≤m≤2.
答案：D
5．若函數(shù)y＝f(x)的值域是[，3]，則函數(shù)F(x)＝f(x)＋的值域是(　　)
A．[，3] B．[2，]
C．[，] D．[3，]
圖1
解析：令t＝f(x)，則t∈[，3]，F(xiàn)(t)＝t＋，根據(jù)其圖象可知：
當t＝1時，F(xiàn)(x)min＝F(t)min＝F(1)＝2；
當t＝3時，F(xiàn)(x)max＝F(t)max＝F(3)＝，
故其值域為[2，]．
答案：B
6．(2009·海南/寧夏高考)用min{a，b，c}表示a，b，c三個數(shù)中的最小值．設(shè)f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，則f(x)的最大值為 (　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
圖2
解析：令2x＝x＋2?x1<0(舍)或x2＝2，
令2x＝10－x即2x＋x＝10，則2則可知f(x)的大致圖象如圖2所示．
故f(x)≤6，即選C.
答案：C
二、填空題(每小題5分，共20分)
7．函數(shù)y＝的值域是{y|y≤0或y≥4}，則此函數(shù)的定義域為__________．
解析：y＝＝2＋，
即≤－2或≥2，
由≤－2?≤x<3，
由≥2?3答案：[，3)∪(3，]
8．已知f(x)的值域是[，]，g(x)＝f(x)＋，則y＝g(x)的值域是__________．
解析：∵f(x)∈[，]，則2f(x)∈[，]，
1－2f(x)∈[，]．
令t＝∈[，]，
則f(x)＝，g(x)＝＋t，
即g(x)＝，對稱軸t＝1，
g(x)在t∈[，]上單調(diào)遞增，g(x)∈[，]．
答案：[，]
9．函數(shù)f(x)＝＋2的最小值為__________．
解析：由?
∴x≥4或x≤0.
又x∈[4，＋∞)時，f(x)單調(diào)遞增?f(x)≥f(4)＝1＋2；而x∈(－∞，0]時，f(x)單調(diào)遞減?f(x)≥f(0)＝0＋4＝4.
故最小值為1＋2.
答案：1＋2
10．(2009·泉州質(zhì)檢)在實數(shù)的運算法則中，我們補充定義一種新運算“?”如下：當a≥b時，a?b＝a；當a解析：
課時作業(yè)6　函數(shù)的單調(diào)性

時間：45分鐘　　　　分值：100分
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．(2009·福建高考)下列函數(shù)f(x)中，滿足“對任意x1，x2∈(0，＋∞)，當x1f(x2)”的是 (　　)
A．f(x)＝　　　　　　 B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)
解析：∵對任意的x1，x2∈(0，＋∞)，當x1f(x2)，∴f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)．故選A.
答案：A
2．(2009·遼寧高考)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)增加，則滿足f(2x－1)A. B.
C. D.
解析：f(x)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，又f(x)在
[0，＋∞)上遞增，∴f(2x－1)答案：A
3．函數(shù)y＝loga(x2＋2x－3)，當x＝2時y>0，則此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是 (　　)
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞)
解析：當x＝2時，y＝loga5>0，
∴a>1，
由x2＋2x－3>0?x<－3或x>1，
易見函數(shù)t＝x2＋2x－3在(－∞，－3)上遞減，
故函數(shù)y＝loga(x2＋2x－3)(其中a>1)也在(－∞，－3)上遞減．
答案：A
4．已知f(x)＝loga[(3－a)x－a]是其定義域上的增函數(shù)，那么a的取值范圍是(　　)
A．(0,1) B．(1,3)
C．(0,1)∪(1,3) D．(3，＋∞)
解析：由題知，或，解得1答案：B
5．設(shè)f(x)是定義在R上以2為周期的偶函數(shù)，已知x∈(0,1)時，，則函數(shù)f(x)在(1,2)上
(　　)
A．是增函數(shù)，且f(x)<0 B．是增函數(shù)，且f(x)>0
C．是減函數(shù)，且f(x)<0 D．是減函數(shù)，且f(x)>0
解析：
答案：D
6．(2010·河南六市一模)奇函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減，f(2)＝0，則不等式(x－1)f(x＋1)>0的解集為 (　　)
A．(－2，－1)∪(1,2) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－3，－1) D．(－2,0)∪(2，＋∞)
解析：奇函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間
(0，＋∞)上單調(diào)遞減，由f(2)＝0得f(－2)＝0，則不等式
(x－1)f(x＋1)>0，即
或
其解集為(－3，－1)，故選C.
答案：C
二、填空題(每小題5分，共20分)
7．函數(shù)y＝ln的單調(diào)遞增區(qū)間是__________．
解析：本題考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定；據(jù)題意需>0即函數(shù)定義域為(－1,1)，原函數(shù)的遞增區(qū)間即為函數(shù)u(x)＝在(－1,1)上的遞增區(qū)間，由于u′(x)＝()′＝>0.故函數(shù)u(x)＝在(－1,1)上的遞增區(qū)間即為原函數(shù)的遞增區(qū)間．
答案：(－1,1)
8．函數(shù)y＝－(x－3)|x|的遞增區(qū)間是__________．
解析：y＝－(x－3)|x|＝
圖1
作出該函數(shù)的圖象，觀察圖象知遞增區(qū)間為.
答案：
9．若函數(shù)f(x)＝loga(2x2＋x)(a>0，a≠1)在區(qū)間(0，)內(nèi)恒有f(x)>0，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為__________．
解析：當x∈(0，)時，0<2x2＋x<1，又f(x)>0，則0由2x2＋x>0，解得：x<－或x>0，則f(x)的遞增區(qū)間為(－∞，－)．
答案：(－∞，－)
10．(2008·湖南高考)已知函數(shù)f(x)＝(a≠1)．
(1)若a>0，則f(x)的定義域是________；
(2)若f(x)在區(qū)間(0,1]上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________．
解析：(1)∵a>0且a≠1，要使f(x)有意義，只需3－ax≥0，即x≤.
∴x∈；
(2)若a＝0，f(x)＝－不合題意；
若a<0，y＝是(0,1]上的增函數(shù)，且a－1<0，
∴f(x)是(0,1]上的減函數(shù)；
若a>0，∵y＝是(0,1]上的減函數(shù)，故需a－1>0，∴a>1，另一方面，f(x)的定義域為，
∴≥1，∴a≤3，∴a∈(1,3]．
綜上知a∈(－∞，0)∪(1,3]．
答案：(1)　(2)(－∞，0)∪(1,3]
三、解答題(共50分)
11．(15分)已知函數(shù)f(x)＝(x∈R)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間，并加以證明．
解：解法1：由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(增區(qū)間，減區(qū)間)的定義入手分析，取x1∵f(x)＝(x∈R)是奇函數(shù)，
∴只需研究(0，＋∞)上f(x)的單調(diào)區(qū)間即可．
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵x＋1>0，x＋1>0，x2－x1>0，
而x1，x2∈(0,1)時，x1x2－1<0；
x1，x2∈[1，＋∞)時，x1x2－1≥0，
∴當x1，x2∈(0,1)時，f(x1)－f(x2)<0，函數(shù)f(x)是增函數(shù)；
當x1，x2∈[1，＋∞)時，f(x1)－f(x2)≥0，函數(shù)f(x)是減函數(shù)．
又f(x)是奇函數(shù)，∴f(x)在(－1,0)上是增函數(shù)，在
(－∞，－1]上是減函數(shù)．
又x∈[0,1)，u∈(－1,0]上恒有f(x)≥f(u)，等號只在x＝u＝0時取到，故f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)．
綜上知，函數(shù)f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)，在(－∞，－1]和[1，＋∞)上是減函數(shù)．
解法2：f′(x)＝()′＝，
f′(x)>0?x∈(－1,1)，即在(－1,1)上函數(shù)單調(diào)遞增．
f′(x)≤0?x∈[1，＋∞)∪(－∞，－1]即在(－∞，－1]和[1，＋∞)上函數(shù)單調(diào)遞減．
綜上知，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－1,1)，單調(diào)減區(qū)間為(－∞，－1]和[1，＋∞)．
12．(15分)函數(shù)f(x)的定義域為D＝{x|x>0}，且滿足：對于任意m，n∈D，都有f(m·n)＝f(m)＋f(n)．
(1)求f(1)的值；
(2)如果f(2)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤2，且f(x)在
(0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，求x的取值范圍．
解：(1)令m＝n＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.
(2)f(4)＝f(2×2)＝f(2)＋f(2)＝2，所以f(3x＋1)＋f(2x－6)≤2?f(3x＋1)＋f(2x－6)≤f(4)．
因為f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，所以f(3x＋1)＋f(2x－6)≤f(4)?
?313．(20分)已知函數(shù)f(x)＝lnx－.
(Ⅰ)判定函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
(Ⅱ)設(shè)a>1，證明：<.
解：(Ⅰ)∵f′(x)＝－
＝－＝－
＝＝－.
又∵函數(shù)f(x)的定義域為x>0，
∴≤0，
而在(0，＋∞)上，只有當x＝1時，f′(x)＝0，
∴f(x)是定義域上的減函數(shù)．
(Ⅱ)由(Ⅰ)f(x)是定義域上的減函數(shù)，
∴當a>1時，f(a)即lna－<0，即lna<，
又∵a－1>0，∴<成立．
課時作業(yè)7　函數(shù)的奇偶性與周期性

時間：45分鐘　　　　分值：100分
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．下列函數(shù)中是偶函數(shù)的是 (　　)
①f(x)＝lg(1＋x2) ②g(x)＝2－|x|
③h(x)＝tan2x ④s(x)＝
A．①② B．①④
C．②④ D．①②④
解析：f(x)，g(x)，h(x)顯然為偶、偶、奇函數(shù)．
對于s(x)，
當x<－1時，s(x)＝x＋2，s(－x)＝x＋2＝s(x)．
當x>1時，s(x)＝－x＋2，s(－x)＝－x＋2＝s(x)；
|x|≤1時，s(x)＝0，s(－x)＝0＝s(x)．
∴s(x)也為偶函數(shù)．
答案：D
2．設(shè)f(x)是增函數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的是 (　　)
A．y＝[f(x)]2是增函數(shù)　　　 B．y＝是減函數(shù)
C．y＝－f(x)是減函數(shù) D．y＝|f(x)|是增函數(shù)
解析：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義判定，設(shè)x1則f(x1)－f(x2)，
但[f(x1)]2<[f(x2)]2，>，
|f(x1)|<|f(x2)|，三個關(guān)系式不一定成立．
答案：C
3．已知f(x)＝lg(－ax)是一個奇函數(shù)，則實數(shù)a的值是 (　　)
A．1 B．－1
C．10 D．±1
解析：據(jù)題意知：f(x)＋f(－x)＝lg(－ax)＋lg(＋ax)＝0，
即lg[()2－(ax)2]＝lg[(1－a2)x2＋1]＝0，
即(1－a2)x2＝0，而x不恒為0，
則必有1－a2＝0?a＝±1，代入檢驗，函數(shù)定義域均關(guān)于原點對稱．
答案：D
4．(2008·福建高考)函數(shù)f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，則f(－a)的值為(　　)
A．3 B．0
C．－1 D．－2
解析：∵f(a)＝a3＋sina＋1＝2，
∴a3＋sina＝1，
而f(－a)＝－a3－sina＋1＝－1＋1＝0，故選B.
答案：B
5．(2009·全國卷Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域為R，若f(x＋1)與f(x－1)都是奇函數(shù)，則(　　)
A．f(x)是偶函數(shù) B．f(x)是奇函數(shù)
C．f(x)＝f(x＋2) D．f(x＋3)是奇函數(shù)
解析：由f(x＋1)為奇函數(shù)，可知f(x)關(guān)于點(1,0)對稱，
f(x－1)為奇函數(shù)，可知f(x)關(guān)于點(－1,0)對稱，
則f(x)為周期函數(shù)且T＝4，
則f(x＋3)＝f(x－1)，故選D.
(排除法)若取函數(shù)f(x)＝sinπx，g(x)＝cosx，f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，
f(x)＝sinπx左、右分別移1個單位都是奇函數(shù)，
g(x)＝cosx左、右分別移1個單位也都是奇函數(shù)，所以排除A、B.
又f(x)的周期為2，g(x)的周期為4，所以排除C，故選D.
答案：D
6．(2009·四川高考)已知函數(shù)f(x)是定義在實數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實數(shù)x都有xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，則f(f())的值是 (　　)
A．0 B.
C．1 D.
解析：由已知令x＝0，則f(0)＝0，
由已知令x＝－，得－f()＝f(－)＝f()，∴f()＝0.
又令x＝，得f()＝f()，
又∵f()＝0，∴f()＝0.
再令x＝，得f()＝f()，
∵f()＝0，∴f()＝0.
∴f(f())＝f(0)＝0.
答案：A
二、填空題(每小題5分，共20分)
7．(2009·重慶高考)若f(x)＝＋a是奇函數(shù)，則a＝________.
解析：∵f(x)是{x|x≠0}上的奇函數(shù)，
∴f(－1)＝－f(1)．∴a＝.
答案：
8．(2008·上海高考)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)．若當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝lgx，則滿足f(x)>0的x的取值范圍是__________．
圖1
解析：根據(jù)題意畫出函數(shù)f(x)的草圖，由圖象可知f(x)>0的x的取值范圍是－11.
答案：(－1,0)∪(1，＋∞)
9．設(shè)周期為4的奇函數(shù)f(x)的定義域為R，且當x∈[4,6)時，f(x)＝2－x2，則f(－1)的值為__________．
解析：∵f(－1)＝－f(1)＝－f(1＋4)＝－f(5)＝－(2－52)＝23.
答案：23
10．已知函數(shù)y＝f(x)是R上的偶函數(shù)，對于x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，且f(－4)＝－2，當x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2時，都有>0.則給出下列命題：
①f(2008)＝－2；
②函數(shù)y＝f(x)圖像的一條對稱軸為x＝－6；
③函數(shù)y＝f(x)在[－9，－6]上為減函數(shù)；
④方程f(x)＝0在[－9,9]上有4個根．
其中所有正確命題的序號為________．
解析：當x＝－3時，f(－3＋6)＝f(－3)＋f(3)＝2f(3)，∴f(3)＝0，∴f(x＋6)＝f(x)，即函數(shù)y＝f(x)是周期為6的偶函數(shù)，∴x＝－6為其一條對稱軸；又f(－4)＝－2，∴f(2008)＝f(334×6＋4)＝f(4)＝f(－4)＝－2；由題意函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[0,3]上單調(diào)遞增，又函數(shù)y＝f(x)是周期為6的偶函數(shù)，∴y＝f(x)在[－9，－6]上單調(diào)遞減；∵f(3)＝f(9)＝f(－3)＝f(－9)＝0，∴f(x)＝0在區(qū)間[－9,9]上有4個根，綜上應(yīng)填①②③④.
答案：①②③④
三、解答題(共50分)
11．(15分)已知函數(shù)y＝f(x)(x∈R且x≠0)，對任意非零實數(shù)x1，x2恒有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性．
解：令x1＝－1，x2＝x得：
f(－x)＝f(－1)＋f(x) ①
再令x1＝1，x2＝－1得：
f(－1)＝f(1)＋f(－1)，即f(1)＝0 ②
再取x1＝x2＝－1得：
f(1)＝f(－1)＋f(－1) ③
由②、③得：f(－1)＝0，
代入①得：f(－x)＝f(x)
∴f(x)為偶函數(shù)．
12．(15分)設(shè)f(x)是周期函數(shù)，且最小正周期為2，且f(1＋x)＝f(1－x)，當－1≤x≤0時，f(x)＝－x，試求函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,3]上的表達式．
解：∵f(－x)＝f(2－x)＝f[1＋(1－x)]
＝f[1－(1－x)]＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)．
于是由“當－1≤x≤0時，f(x)＝－x”可知當0≤x≤1時，f(x)＝x；
進而當1≤x≤2時，－1≤x－2≤0?f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2；
當2≤x≤3時，0≤x－2≤1?f(x)＝f(x－2)＝x－2.
13．(20分)(2009·湖北模擬)已知函數(shù)f(x)＝x|x＋m|＋n，其中m，n∈R.
(Ⅰ)求證：m2＋n2＝0是f(x)是奇函數(shù)的充要條件；
(Ⅱ)若常數(shù)n＝－4，且f(x)<0對任意x∈[0,1]恒成立，求m的取值范圍．
證明：(Ⅰ)充分性：若m2＋n2＝0，則m＝n＝0，
∴f(x)＝x|x|，
又有f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)．
必要性：若f(x)為奇函數(shù)，∵x∈R，∴f(0)＝0，即n＝0，∴f(x)＝x|x＋m|.
由f(1)＝－f(－1)，有|m＋1|＝|m－1|，∴m＝0.
∴f(x)為奇函數(shù)，則m＝n＝0，即m2＋n2＝0.
∴m2＋n2＝0是f(x)為奇函數(shù)的充要條件．
解：(Ⅱ)若x＝0時，m∈R，f(x)<0恒成立；
若x∈(0,1]時，原不等式可變形為|x＋m|<－.
即－x＋∴只需對x∈(0,1]，滿足
對①式f1(x)＝－x＋在(0,1]上單調(diào)遞減，
∴m對②式，設(shè)f2(x)＝－x－，根據(jù)單調(diào)函數(shù)的定義可證明f2(x)在(0,1]上單調(diào)遞增，
∴f2(x)max＝f(1)，∴m>f2(1)＝－5 ④
由③④知－5課時作業(yè)8　反函數(shù)

時間：45分鐘　　　　分值：100分
　　　　　　　　　　　　
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．設(shè)函數(shù)f(x)＝log2x＋3，x∈[1，＋∞)，則f－1(x)的定義域是 (　　)
A．(0,1) B．[1，＋∞)
C．[3，＋∞) D．R
解析：由x≥1，得log2x≥0，
∴y＝log2x＋3≥3，
∵反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域，
∴f－1(x)的定義域為[3，＋∞)．
答案：C
2．函數(shù)f(x)＝2x＋1的反函數(shù)的圖象大致是 (　　)
解析：由y＝2x＋1得x＋1＝log2y，x＝log2y－1(y>0)，即函數(shù)f(x)＝2x＋1的反函數(shù)是f－1(x)＝log2x－1(x>0)，注意到函數(shù)f－1(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，結(jié)合各選項知，選A.
答案：A
3．函數(shù)y＝ln，x∈(1，＋∞)的反函數(shù)為 (　　)
A．y＝，x∈(0，＋∞)
B．y＝，x∈(0，＋∞)
C．y＝，x∈(－∞，0)
D．y＝，x∈(－∞，0)
解析：由y＝ln得x＝，∵x>1，
∴>1，∴>0，ey>1，∴y>0，
因此y＝ln的反函數(shù)為y＝，x∈(0，＋∞)．
答案：B
4．若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x<0時，f(x)＝3x，則f－1(－)的值是(　　)
A．－2 B．2
C．－ D.
解析：當x>0時，－x<0，∴f(x)＝－f(－x)＝－3－x，令f(x)＝－，可解得x＝2，即f－1(－)＝2.
答案：B
5．(2009·湖北八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝(ex＋ex－2)(x<1)(其中e是自然對數(shù)的底數(shù))的反函數(shù)為f－1(x)，則有 (　　)
A．f－1()f－1()
C．f－1()f－1(2)
解析：∵函數(shù)f(x)＝(ex＋ex－2)＝·ex是一個單調(diào)遞增函數(shù)，∴f－1(x)在(0，＋∞)上也是單調(diào)遞增函數(shù)．
又∵x<1，∴f(x)＝·ex<·e＝.
－2＝＝，
∵2∵2.7∴(e－)2－>0，∴>，∴<<2.
∴在x<1時，函數(shù)f(x)＝(ex＋ex－2)的值域為
(0，)，其中<<2，故選A.
答案：A
6．(2010·唐山一模)函數(shù)y＝(x≤1且x∈R)的圖象與其反函數(shù)圖象的交點共有(　　)
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
解析：求其反函數(shù)為y＝1－x2(x≥0)，由，判斷其解的個數(shù)即可．
答案：C
二、填空題(每小題5分，共20分)
7．函數(shù)y＝(x>1)的反函數(shù)是__________．
解析：依題意，由y＝(x>1)得x＝(y>1)，所以函數(shù)y＝(x>1)的反函數(shù)是y＝(x>1)．
答案：y＝(x>1)
8．(2009·成都一診)設(shè)函數(shù)f(x)＝e2(x－1)，y＝f－1(x)為y＝f(x)的反函數(shù)，若函數(shù)g(x)＝，
則g[g(－1)]＝__________.
解析：依題意得g(－1)＝－1＋2＝1，g[g(－1)]＝g(1)＝f－1(1)．設(shè)f－1(1)＝t，則有f(t)＝1，即e2(t－1)＝1，t＝1，所以g[g(－1)]＝1.
答案：1
9．已知函數(shù)f(x)＝的反函數(shù)f－1(x)的圖象的對稱中心是(－1,3)，則實數(shù)a的值為__________．
解析：因為f－1(x)的圖象的對稱中心是(－1,3)，所以f(x)的圖象的對稱中心為(3，－1)．又由f(x)＝＝－1－，則f(x)的圖象可由g(x)＝－的圖象中心(0,0)平移到(3，－1)得到，所以a＋1＝3，即a＝2.
答案：2
10．(2009·重慶二次調(diào)研)若函數(shù)f(x)＝log2(4x－2)，則方程f－1(x)＝x的解是__________．
解析：由f－1(x)＝x，得x＝f(x)，∴x＝log2(4x－2)，即2x＝4x－2，∴2x＝2.∴x＝1.
答案：x＝1
三、解答題(共50分)
11．(15分)求y＝lg(x－)的反函數(shù)．
解：由x－>0，得x>，
∴　∴x≥2.
∴l(xiāng)g(x－)＝lg≤lg＝lg2.
由y＝lg(x－)．得
x－＝10y，＝x－10y.
∴x2－4＝x2－2·10yx＋102y.
∴x＝(4·10－y＋10y)．
故f－1(x)＝(10x＋4·10－x)，x∈(－∞，lg2]．
12．(15分)設(shè)函數(shù)f(x)＝2x－1有反函數(shù)f－1(x)，g(x)＝log4(3x＋1)，
(1)若f－1(x)≤g(x)，求x的取值范圍D；
(2)設(shè)H(x)＝g(x)－f－1(x)，當x∈D時，求函數(shù)H(x)的值域及它的反函數(shù)H－1(x)．
解：(1)∵f(x)＝2x－1的定義域是R，值域是(－1，＋∞)．由y＝2x－1解得x＝log2(y＋1)(y>－1)，
∴f－1(x)＝log2(x＋1)(x>－1)，于是f－1(x)≤g(x)即為log2(x＋1)≤log4(3x＋1)，即
∴0≤x≤1，即D＝[0,1]．
(2)H(x)＝g(x)－f－1(x)＝log4(3x＋1)－log2(x＋1)
＝log2＝log2(3－)．
∵0≤x≤1，∴1≤3－≤2.
∴0≤log2(3－)≤.
∴H(x)的值域為[0，]．
由y＝log2(3－)得3－＝22y，
∴＝3－4y，x＋1＝，x＝，y∈[0，]．
∴H－1(x)＝(x∈[0，])．
13．(20分)(2009·上海高考)已知函數(shù)y＝f－1(x)是y＝f(x)的反函數(shù)．定義：若對給定的實數(shù)a(a≠0)，函數(shù)y＝f(x＋a)與y＝f－1(x＋a)互為反函數(shù)，則稱y＝f(x)滿足“a和性質(zhì)”；若函數(shù)y＝f(ax)與y＝f－1(ax)互為反函數(shù)，則稱y＝f(x)滿足“a積性質(zhì)”．
(1)判斷函數(shù)g(x)＝x2＋1(x>0)是否滿足“1和性質(zhì)”，并說明理由；
(2)求所有滿足“2和性質(zhì)”的一次函數(shù)；
(3)設(shè)函數(shù)y＝f(x)(x>0)對任何a>0，滿足“a積性質(zhì)”．求y＝f(x)的表達式．
解：(1)函數(shù)g(x)＝x2＋1(x>0)的反函數(shù)是g－1(x)＝(x>1)，∴g－1(x＋1)＝(x>0)，
而g(x＋1)＝(x＋1)2＋1(x>－1)，其反函數(shù)為y＝－1(x>1)，
故函數(shù)g(x)＝x2＋1(x>0)不滿足“1和性質(zhì)”．
(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝kx＋b(x∈R)滿足“2和性質(zhì)”，k≠0.
∴f－1(x)＝(x∈R)，∴f－1(x＋2)＝，
而f(x＋2)＝k(x＋2)＋b(x∈R)，得反函數(shù)為y＝，由“2和性質(zhì)”定義可知＝對x∈R恒成立，∴k＝－1，b∈R，即所求一次函數(shù)為f(x)＝－x＋b(b∈R)．
(3)設(shè)a>0，x0>0，且點(x0，y0)在y＝f(ax)圖象上，則(y0，x0)在函數(shù)y＝f－1(ax)圖象上，故可得ay0＝f(x0)＝af(ax0)．令ax0＝x，則a＝，∴f(x0)＝f(x)，即f(x)＝.
綜上所述，f(x)＝(k≠0)，此時f(ax)＝，其反函數(shù)就是y＝，而f－1(ax)＝，故y＝f(ax)與y＝f－1(ax)互為反函數(shù)．

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