資源簡(jiǎn)介

第三章　數(shù)列
課時(shí)作業(yè)14　數(shù)列的概念
時(shí)間：45分鐘　　　　分值：100分
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－1，則a4等于 (　　)
A．7　　　　　　　　　 B．8
C．9 D．17
解析：∵Sn＝n2－1，∴a4＝S4－S3＝16－1－(9－1)＝7.
答案：A
2．?dāng)?shù)列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，則此數(shù)列最大項(xiàng)的值是 (　　)
A．107 B．108
C．108 D．109
解析：an＝－2n2＋29n＋3＝－2(n2－n)＋3
＝－2(n－)2＋3＋.
當(dāng)n＝7時(shí)，an最大且等于108.
答案：B
3．在數(shù)列{an}中，a1＝，對(duì)所有n∈N*都有a1a2…an＝n2，則a3＋a5等于 (　　)
A. B.
C. D.
解析：?an＋1＝()2?a3＝，a5＝，∴a3＋a5＝.
答案：D
4．(2009·湖北黃岡質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝n2＋kn＋2，若對(duì)于n∈N*，都有an＋1>an成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 (　　)
A．k>0 B．k>－1
C．k>－2 D．k>－3
解析：∵an＋1>an，∴an＋1－an>0.
又an＝n2＋kn＋2，
∴(n＋1)2＋k(n＋1)＋2－(n2＋kn＋2)>0.
∴k>－2n－1.又－2n－1(n∈N*)的最大值為－3，
∴k>－3.
答案：D
5．(2009·江西中學(xué)一模)數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，當(dāng)n∈N*時(shí)，an＋2等于anan＋1的個(gè)位數(shù)，若數(shù)列{an}的前k項(xiàng)和為243，則k等于 (　　)
A．61 B．62
C．63 D．64
解析：∵a1＝1，a2＝2，
∴a3＝2，a4＝4，a5＝8，a6＝2，a7＝6，a8＝2，a9＝2，….
∴數(shù)列{an}是從第2項(xiàng)起周期為6的數(shù)列，并且a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝24.
又Sk＝243，∴k＝62.
答案：B
6．已知數(shù)列1，，，，，，，，，，…，則是此數(shù)列中的 (　　)
A．第48項(xiàng) B．第49項(xiàng)
C．第50項(xiàng) D．第51項(xiàng)
解析：將數(shù)列分為第1組1個(gè)，第2組2個(gè)，…，第n組n個(gè)，()，(，)，(，，)，…，(，，…，)，則第n組中每個(gè)數(shù)分子分母的和為n＋1，則為第10組中的第5個(gè)，其項(xiàng)數(shù)為(1＋2＋3＋…＋9)＋5＝50.
答案：C
二、填空題(每小題5分，共20分)
7．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝，則a5＋a6＝__________.
解析：∵Sn＝，∴a5＋a6＝S6－S4＝－＝.
答案：
8．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，a－(n＋2)an－1·an＋2na＝0，則an＝__________.(寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)答案即可)
解析：a－(n＋2)an－1·an＋2na＝0，
有(an－2an－1)(an－nan－1)＝0，
∴＝2.由a1＝1知an＝2n－1.
答案：2n－1
9．(2009·重慶高考)設(shè)a1＝2，an＋1＝，bn＝，n∈N*，則數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn＝________.
解析：∵bn＋1＝＝＝＝＝2bn，∴bn＋1＝2bn，又b1＝4，∴bn＝4·2n－1＝2n＋1.
答案：2n＋1
10．(2010·青島模擬)數(shù)列{an}滿足：a1＝2，an＝1－(n＝2,3,4，…)，則a4＝________；若{an}有一個(gè)形如an＝Asin(ωn＋φ)＋B的通項(xiàng)公式，其中A，B，ω，φ均為實(shí)數(shù)，且A>0，ω>0，|φ|<，則此通項(xiàng)公式可以為an＝________(寫出一個(gè)即可)．
解析：∵數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＝1－，∴a2＝1－＝，a3＝1－2＝－1，a4＝1＋1＝2；若{an}有一個(gè)形如an＝Asin(ωn＋φ)＋B的通項(xiàng)公式，因?yàn)橹芷跒?，所以3＝，ω＝，所以解得A＝，
B＝，φ＝－，所以an＝sin(n－)＋.
答案：2　sin(n－)＋
三、解答題(共50分)
11．(15分)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－13n－1，求數(shù)列
{|an|}的前20項(xiàng)的和T20.
解：可求an＝，
令2n－14≤0，得n≤7.
∴{an}中，由a1至a6是負(fù)值，a7＝0，而a8及以后各項(xiàng)為正值．
S7＝72－13×7－1＝－43，
S20＝202－13×20－1＝139，
∴數(shù)列{|an|}的前20項(xiàng)的和
T20＝S20－2S7＝139－2×(－43)＝225.
12．(15分)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝(n＋1)·n(n∈N*)，試問該數(shù)列{an}有沒有最大項(xiàng)？若有，求最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)；若沒有，說明理由．
解：易知a1不是數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)，
∴an若取最大值應(yīng)滿足(n≥2)，由已知an＝(n＋1)·n，則有
an－an＋1＝(n＋1)·n－(n＋2)·n＋1
＝n·＝n·.
由an－an＋1≥0，即n·≥0，
解不等式，得n≥8.
an－an－1＝(n＋1)·n－(n－1＋1)·n－1
＝n－1·＝n－1·，
由an－an－1≥0，即n－1·≥0，
解不等式，得n≤9.
∴同時(shí)滿足不等式組的正整數(shù)n的取值只能是8、9.
又a8＝9×8，a9＝10×9，即a8＝a9＝.
∴當(dāng)n＝8或n＝9時(shí)，a8，a9兩項(xiàng)都是數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)．
13．(20分)已知一次函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的圖象為C，且f(1)＝0，若點(diǎn)A(n，)(n∈N*)在C上，a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，－＝1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)Sn＝＋＋＋…＋，求Sn.
解：(1)依題意C過點(diǎn)(0,1)，所以設(shè)C方程為y＝kx＋1，因?yàn)辄c(diǎn)A(n，)(n∈N*)在C上，所以＝kn＋1，
代入－＝1，得k＝1，所以＝n＋1，
∴＝n，＝n－1，…，＝2，且a1＝1，
各式相乘得an＝n！.
(2)∵＝＝＝－，
∴Sn＝－＋－＋…＋－＝－，即Sn＝.
課時(shí)作業(yè)15　等差數(shù)列
時(shí)間：45分鐘　　　　分值：100分
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．(2009·福建高考)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S3＝6，a3＝4，則公差d等于(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B.
C．2 D．3
解析：∵S3＝＝6，而a3＝4，
∴a1＝0，∴d＝＝2.
答案：C
2．若等差數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和S5＝25，且a2＝3，則a7等于 (　　)
A．12 B．13
C．14 D．15
解析：25＝S5＝×5，∴a4＝7.
∴2d＝a4－a2＝4.∴a7＝a4＋3d＝13.
答案：B
3．設(shè){an}是等差數(shù)列，若a2＝3，a7＝13，則數(shù)列{an}前8項(xiàng)的和為 (　　)
A．128 B．80
C．64 D．56
解析：∵{an}是等差數(shù)列，
∴a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a5＝a1＋a8.
∴S8＝a1＋a2＋a3＋…＋a8＝4(a2＋a7)＝4×16＝64.
答案：C
4．(2009·唐山二模)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S7>S8>S6，則下列結(jié)論：
①a7＝0 ②a8<0
③S13>0 ④S14<0
其中正確結(jié)論是 (　　)
A．②③ B．①③
C．①④ D．②④
解析：∵S7>S8>S6，∴a7>0，a7＋a8>0
∴S14＝＝7(a7＋a8)>0，∴①④錯(cuò)誤，故選A.
答案：A
5．(2009·安徽高考)已知{an}為等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.以Sn表示{an}的前n項(xiàng)和，則使得Sn達(dá)到最大值的n是 (　　)
A．21 B．20
C．19 D．18
解析：∵{an}為等差數(shù)列，
∴a1＋a3＋a5＝105?a3＝35，
a2＋a4＋a6＝99?a4＝33，
d＝a4－a3＝33－35＝－2，
∴{an}是遞減數(shù)列．
an＝a3＋(n－3)d＝35＋(n－3)×(－2)＝－2n＋41，
an≥0，－2n＋41≥0，n≤，
∴當(dāng)n≤20時(shí)，an>0，
∴n＝20時(shí)，Sn最大，故選B.
答案：B
6．設(shè){an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，則a11＋a12＋a13＝ (　　)
A．120 B．105
C．90 D．75
解析：設(shè)公差為d且d>0.
由已知，
得.
解得a1＝2，d＝3(∵d>0)．
∴a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a1＋11d)＝105.
答案：B
二、填空題(每小題5分，共20分)
7．已知等差數(shù)列{an}共有2008項(xiàng)，所有項(xiàng)的和為2010，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為2，則a1004＝__________.
解析：依題意得＝2010，a1＋a2008＝，＝2，a2＋a2008＝，故a2－a1＝－＝d，
又a2＋a2008＝2a1005＝，∴a1005＝，
a1004＝a1005－d＝＋＝2.
答案：2
8．(2009·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a5＝5a3，則＝__________.
解析：＝＝·＝×5＝9.
答案：9
9．(2008·山東高考)已知f(3x)＝4xlog23＋233，則f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)的值等于__________．
解析：∵f(3x)＝4xlog23＋233，
∴f(3x)＝4log23x＋233.
∴f(x)＝4log2x＋233.而f(2n)＝4log22n＋233＝4n＋233，
∴f(2)＋f(4)＋…＋f(28)＝(4×1＋233)＋(4×2＋233)＋…＋(4×8＋233)＝4×(1＋2＋…＋8)＋233×8＝2008.
答案：2008
10．把49個(gè)數(shù)排成如下圖所示的數(shù)表，若表中每行的7個(gè)數(shù)自左向右依次都成等差數(shù)列，每列的7個(gè)數(shù)自上而下依次也都成等差數(shù)列，且正中間的數(shù)a44＝1，則表中所有數(shù)的和為__________．
a11
a12
…
a17
a21
a22
…
a27
…
…
…
…
a71
a72
…
a77
解析：解法1：a11＋a12＋…＋a17＝7a14，
同理a21＋a22＋…＋a27＝7a24，
…
a71＋a72＋…＋a77＝7a74，
而a14＋a24＋…＋a74＝7a44，
故所有數(shù)的和為7(a14＋a24＋…＋a74)＝49a44＝49.
解法2：由題意分析，不妨設(shè)各個(gè)格中的數(shù)都為1，則符合題意要求，所以表中所有數(shù)的之和為49.
答案：49
三、解答題(共50分)
11．(15分)已知{an}是等差數(shù)列，a2＝5，a5＝14，
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)當(dāng){an}的前n項(xiàng)和Sn＝155，求n的值．
解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，首項(xiàng)為a1.
則a1＋d＝5，a1＋4d＝14，
解得a1＝2，d＝3.
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an＝a1＋(n－1)d＝3n－1.
(2)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝＝n2＋n.
由n2＋n＝155，化簡(jiǎn)得3n2＋n－310＝0.
即(3n＋31)(n－10)＝0；
所以n＝10.
12．(15分)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.
(1)設(shè)bn＝，證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.
解：(1)證明：an＋1＝2an＋2n，＝＋1，
bn＋1＝bn＋1，
又b1＝a1＝1，因此{(lán)bn}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．
(2)由(1)知＝n，即an＝n·2n－1，Sn＝1·20＋2·21＋…＋(n－1)·2n－2＋n·2n－1，
2Sn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n.
兩式相減，得Sn＝n·2n－20－21－…－2n－1＝n·2n－2n＋1＝(n－1)2n＋1.
13．(20分)(2010·福建廈門一模)已知數(shù)列{an}，a1＝1，an＝λan－1＋λ－2(n≥2)．
(1)當(dāng)λ為何值時(shí)，數(shù)列{an}可以構(gòu)成公差不為零的等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；
(2)若λ＝3，令bn＝an＋，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
解：(1)a2＝λa1＋λ－2＝2λ－2；
a3＝λa2＋λ－2＝2λ2－2λ＋λ－2＝2λ2－λ－2.
∵a1＋a3＝2a2，∴1＋2λ2－λ－2＝2(2λ－2)．
∴2λ2－5λ＋3＝0，解得λ＝1或λ＝.
當(dāng)λ＝時(shí)，a2＝2×－2＝1，a1＝a2不合題意，舍去；
當(dāng)λ＝1時(shí)，代入an＝λan－1＋λ－2，可得an－an－1＝－1.
∴數(shù)列{an}構(gòu)成以a1＝1為首項(xiàng)，公差為－1的等差數(shù)列．
∴an＝－n＋2.
(2)由λ＝3可得，an＝3an－1＋3－2，即an＝3an－1＋1.
∴an＋＝3an－1＋.
∴an＋＝3(an－1＋)，即bn＝3bn－1(n≥2)．
又b1＝a1＋＝，
∴數(shù)列{bn}構(gòu)成以b1＝為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列．
∴Sn＝＝(3n－1)．

課時(shí)作業(yè)16　等比數(shù)列
時(shí)間：45分鐘　　　　分值：100分
　　　　　　　　　　　　
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若a1＝1，a5＝16，則數(shù)列{an}前7項(xiàng)的和為(　　)
A．63 B．64
C．127 D．128
解析：∵公比q4＝＝16，且q>0，
∴q＝2，∴S7＝＝127，故選C.
答案：C
2．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q＝2，前n項(xiàng)和為Sn，則＝
(　　)
A．2 B．4
C. D.
解析：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式．
設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，
則S4＝15a1，a2＝2a1，＝，故選C.
答案：C
3．已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝，則a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝
(　　)
A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)
C.(1－4－n) D.(1－2－n)
解析：∵q3＝＝，∴q＝，a1＝4，數(shù)列{an·an＋1}是以8為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，不難得出答案為C.
答案：C
4．(2009·遼寧高考)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若＝3，則等于
(　　)
A．2 B.
C. D．3
解析：設(shè)其公比為q.
由已知可得＝＝＝1＋q3＝3，
∴q3＝2.＝＝＝.
另解：可知S3，S6－S3，S9－S6成等比數(shù)列，
則可設(shè)S6＝3，S3＝1，則(S6－S3)2＝S3×(S9－S6)，解得S9＝7，故＝.
答案：B
5．(2009·廣東高考)已知等比數(shù)列{an}滿足an>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，則當(dāng)n≥1時(shí)，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝
(　　)
A．n(2n－1) B．(n＋1)2
C．n2 D．(n－1)2
解析：由{an}為等比數(shù)列，則a5·a2n－5＝a1·a2n－1＝22n，
則(a1·a3·a5·…·a2n－1)2＝(22n)n?a1·a3·…·a2n－1＝2n2，故log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1·a3·…·a2n－1)＝n2.
答案：C
6．已知等比數(shù)列{an}中a2＝1，則其前3項(xiàng)的和S3的取值范圍是
(　　)
A．(－∞，－1] B．(－∞，0)∪(1，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
解析：∵{an}是等比數(shù)列，a2＝1，
S3＝a1＋a2＋a3＝a1＋a3＋1.
當(dāng)q>0時(shí)，a1、a3>0，a1＋a3≥2＝2＝2，∴S3≥3.
當(dāng)q<0時(shí)，a1、a3<0，a1＋a3＝－[(－a1)＋(－a3)]≤－2＝－2，∴S3≤－1.
綜上可知，S3的取值范圍為(－∞，－1]∪[3，＋∞)．故選D.
答案：D
二、填空題(每小題5分，共20分)
7．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S1,2S2,3S3成等差數(shù)列，則{an}的公比為________．
解析：由題意知4S2＝S1＋3S3.
①當(dāng)q＝1時(shí)，4×2a1＝a1＋3×3a1，
即8a1＝10a1，a1＝0，不符合題意，所以q≠1.
②當(dāng)q≠1時(shí)，應(yīng)有
4×＝a1＋3×，
化簡(jiǎn)得3q2－q＝0，得q＝或0(舍去)．
答案：
8．(2009·浙江高考)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q＝，前n項(xiàng)和為Sn，則＝________.
解析：由S4＝，a4＝a1·q3，
則＝＝15.
答案：15
9．設(shè)數(shù)列{an}為公比q>1的等比數(shù)列，若a2004和a2005是方程4x2－8x＋3＝0的兩根，則a2006＋2007＝__________.
解析：解方程4x2－8x＋3＝0，得x＝或.
又q>1，∴a2004＝，a2005＝.∴q＝＝3.
∴a2006＋a2007＝(a2004＋a2005)·q2＝2×32＝18.
答案：18
10．(2010·浙江猜題卷)等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項(xiàng)的積為Tn，并且滿足條件a1>1，a99a100－1>0，<0.給出下列結(jié)論：①01成立的最大自然數(shù)n等于198.其中正確的結(jié)論是__________．
解析：①中??q＝∈(0,1)，∴①正確．
②中?a99·a101<1，∴②正確．
③中?T100④中T198＝a1a2…a198＝(a1·a198)(a2·a197)…(a99·a100)＝(a99·a100)99>1，
T199＝a1a2…a198·a199＝(a1a199)…(a99·a101)·a100＝a<1，∴④正確．
答案：①②④
三、解答題(共50分)
11．(15分)設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3＝4，a4a5a6＝212.
(1)求首項(xiàng)a1和公比q的值；
(2)若Sn＝210－1，求n的值．
解：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，則由題設(shè)有a4a5a6＝a＝212?a5＝24＝16，
∴＝q2＝4?q＝2，代入a3＝a1q2＝4，解得a1＝1.
(2)由Sn＝210－1，得Sn＝＝2n－1＝210－1，∴2n＝210，∴n＝10.
12．(15分)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N*)．其中m為常數(shù)，m≠－3，且m≠0.
(1)求證：{an}是等比數(shù)列；
(2)若數(shù)列{an}的公比滿足q＝f(m)且b1＝a1，
bn＝f(bn－1)(n∈N*，n≥2)，求證：{}為等差數(shù)列，并求bn.
解：(1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3，
得(3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3.
兩式相減，得(3＋m)an＋1＝2man(m≠－3)．
∴＝(m≠－3)．
從而可以知道，數(shù)列{an}是等比數(shù)列．
(2)當(dāng)n＝1時(shí)，(3－m)a1＋2ma1＝m＋3，a1＝＝1，
∴b1＝a1＝1，又q＝f(m)＝，
∴bn＝f(bn－1)＝·(n∈N*且n≥2)．
得bnbn－1＋3bn＝3bn－1?－＝.
∴{}是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．
∴＝1＋＝，故bn＝.
13．(20分)(2010·潮州模擬)已知數(shù)列{an}、{bn}分別是等差數(shù)列、等比數(shù)列，a3＝8，a6＝17，b1＝2，b1b2b3＝9(a2＋a3＋a4)．
(1)分別求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)cn＝log3bn，求證：數(shù)列{cn}是等差數(shù)列，并求出其公差和首項(xiàng)；
(3)設(shè)Un＝b1＋b4＋b7＋…＋b3n－2，其中n＝1,2，…，求Un的值．
解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1、公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.
由a3＝8，a6＝17得a1＋2d＝8①
a1＋5d＝17②
由①②解得a1＝2，d＝3，
由b1b2b3＝9(a2＋a3＋a4)，得8q3＝9×24，解得q＝3.
所以數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式分別為
an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，bn＝2·3n－1.
(2)cn＝log3bn＝log32·3n－1＝log32＋(n－1)，
cn＋1－cn＝(log32＋n)－(log32＋n－1)＝1，
∴數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為log32，公差為1的等差數(shù)列．
(3)由等比數(shù)列的性質(zhì)知數(shù)列{b3n－2}是首項(xiàng)為2，公比為27的等比數(shù)列，
所以Un＝b1＋b4＋b7＋…＋b3n－2
＝＝(27n－1)．

課時(shí)作業(yè)17　數(shù)列求和
時(shí)間：45分鐘　　　　分值：100分
　　　　　　　　　　　　
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an＝－2n＋1，則數(shù)列{}的前11項(xiàng)和為
(　　)
A．－45 B．－50
C．－55 D．－66
解析：Sn＝＝－n2，即＝－n，則數(shù)列{}的前11項(xiàng)和為－1－2－3－4－…－11＝－66.
答案：D
2．若Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1n，則S17＋S33＋S50等于
(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．－1
C．0 D．2
解析：S2n＝－n，S2n＋1＝S2n＋a2n＋1＝－n＋2n＋1＝n＋1，
∴S17＋S33＋S50＝9＋17－25＝1.
答案：A
3．?dāng)?shù)列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n項(xiàng)和Sn>1020，那么n的最小值是
(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，
∴Sn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－2－n.
Sn>1020　即2n＋1－2－n>1020.
∵210＝1024,1024－2－9＝1013<1020.
故nmin＝10.
答案：D
4．已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn等于
(　　)
A．0 B．1
C. D．2
解析：∵＝＝－
∴Sn＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＋(－)
＝1＋－－.
∴Sn＝ (1＋－－)＝.
答案：C
5．已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S10>0且S11＝0，若Sn≤Sk對(duì)n∈N*恒成立，則正整數(shù)k的構(gòu)成集合為
(　　)
A．{5} B．{6}
C．{5,6} D．{7}
解析：由S10>0，且S11＝0得
S10＝>0?a1＋a10＝a5＋a6>0
S11＝＝0?a1＋a11＝2a6＝0，故可知{an}為遞減數(shù)列且a6＝0，所以S5＝S6≥Sn，即k＝5或6.
答案：C
6．(2009·江西高考)數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝n2(cos2－sin2)，其前n項(xiàng)和為Sn，則S30為
(　　)
A．470 B．490
C．495 D．510
解析：an＝n2·cosπ，a1＝12·(－)，a2＝22(－)，a3＝32，a4＝42(－)，
…
S30＝(－)(12＋22－2·32＋42＋52－2·62＋…＋282＋292－2·302)＝(－)(3k－2)2＋(3k－1)2－2·(3k)2]＝(－)(－18k＋5)＝－[－18·＋50]＝470.
答案：A
二、填空題(每小題5分，共20分)
7．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n＋2n(n＝1,2,3，…)，則{an}的前n項(xiàng)和Sn＝__________.
解析：由題意得數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和等于(1＋2＋3＋…＋n)＋(2＋22＋23＋…＋2n)＝＋＝＋2n＋1－2.
答案：＋2n＋1－2
8．?dāng)?shù)列，，，…的前n項(xiàng)和等于________．
解析：an＝＝
∴Sn＝
＝＝－.
答案：－
9．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1＋1，則a1C＋a2C＋a3C＋…＋an＋1C＝________.
解析：a1C＋a2C＋…＋an＋1C＝(20＋1)C＋(21＋1)C＋(22＋1)C＋…＋(2n＋1)C＝20C＋21C＋22C＋…＋2nC＋C＋C＋…＋C＝(2＋1)n＋2n＝3n＋2n.
答案：2n＋3n
10．(2010·重慶質(zhì)檢二)設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，{bn}為公比大于1的等比數(shù)列，且a1＝b1＝2，a2＝b2，＝，令數(shù)列{cn}滿足cn＝，則數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn等于________．
解析：設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q(q>1)，
∵＝，∴a4＝b3，∴2＋3d＝2q2①，由a2＝b2，得：2＋d＝2q②，
由①②得d＝2，q＝2，∴an＝2＋(n－1)·2＝2n，bn＝2·2n－1＝2n.∴cn＝＝n·2n，∴Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝1·2＋2·22＋…＋n·2n③
∴2Sn＝1·22＋2·23＋…＋n·2n＋1④，③－④得：－Sn＝2＋(22＋23＋…＋2n)－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，
∴Sn＝(n－1)2n＋1＋2.
答案：(n－1)2n＋1＋2
三、解答題(共50分)
11．(15分)求和：(1)＋＋…＋.
(2)＋＋＋…＋.
解：(1)∵＝(－)
∴原式＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝(1－＋－＋…＋－)
＝(1－)＝.
(2)∵＝＝－
∴原式＝－＋－＋…＋－
＝1－.
12．(15分)已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝2,2an＝1＋anan＋1，bn＝an－1，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，Tn＝S2n－Sn.
(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)求證：Tn＋1>Tn；
解：(1)由bn＝an－1得an＝bn＋1，代入2an＝1＋anan＋1，得2(bn＋1)＝1＋(bn＋1)(bn＋1＋1)，整理，得bnbn＋1＋bn＋1－bn＝0，從而有－＝1，∵b1＝a1－1＝2－1＝1，
∴{}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴＝n，即bn＝.
(2)∵Sn＝1＋＋…＋，
∴Tn＝S2n－Sn＝＋＋…＋，
Tn＋1＝＋＋…＋＋＋，
Tn＋1－Tn＝＋－>＋－＝0，(∵2n＋1<2n＋2)
∴Tn＋1>Tn.
13．(20分)(2009·全國(guó)卷Ⅰ)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝(1＋)an＋.
(1)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.
解：(1)由已知得b1＝a1＝1，且＝＋，
即bn＋1＝bn＋，
從而b2＝b1＋，
b3＝b2＋，
…
bn＝bn－1＋(n≥2)，
于是bn＝b1＋＋＋…＋＝2－(n≥2)．
又b1＝1，故所求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2－.
(2)由(1)知an＝n(2－)＝2n－.
令Tn＝，則2Tn＝，
于是Tn＝2Tn－Tn＝－＝4－.
又(2k)＝n(n＋1)，所以Sn＝n(n＋1)＋－4.

課時(shí)作業(yè)18　數(shù)列的綜合應(yīng)用

時(shí)間：45分鐘　　　　分值：100分
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n－1，則此數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)的前n項(xiàng)和是
(　　)
A.(2n＋1－1) B.(2n＋1－2)
C.(22n－1) D.(22n－2)
解析：由Sn＝2n－1，得an＝2n－1，
∴數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
∴此數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)的前n項(xiàng)和為＝＝(22n－1)．
答案：C
2．已知a，b，a＋b成等差數(shù)列，a，b，ab成等比數(shù)列，且0(　　)
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(0,8) D．(8，＋∞)
解析：∵a，b，a＋b成等差數(shù)列，
∴2b＝2a＋b，b＝2a.①
∵a，b，ab成等比數(shù)列，
∴a≠0，b≠0，且b2＝a2b，b＝a2.②
由①②知a2＝2a，a＝2，b＝4，ab＝8.
∵08.
答案：D
3．一套共7冊(cè)的書計(jì)劃每?jī)赡瓿鲆粌?cè)，若出完全部，各冊(cè)書公元年代之和為13958，則出齊這套書的年份是
(　　)
A．1994 B．1996
C．1998 D．2000
解析：設(shè)出齊這套書的年份是x，
則(x－12)＋(x－10)＋(x－8)＋…＋x＝13958，
∴7x－＝13958，
x＝2000.
答案：D
4．(2009·寧夏銀川一模)已知正數(shù)組成的等差數(shù)列{an}的前20項(xiàng)的和為100，那么a7·a14的最大值為
(　　)
A．25 B．50
C．100 D．不存在
解析：由S20＝100得a1＋a20＝10，∴a7＋a14＝10.
又a7>0，a14>0，
∴a7·a14≤()2＝25.
答案：A
5．(2009·河南鄭州一模)數(shù)列{an}中，a1＝1，an，an＋1是方程x2－(2n＋1)x＋＝0的兩個(gè)根，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn等于
(　　)
A. B.
C. D.
解析：∵an，an＋1是方程x2－(2n＋1)x＋＝0的兩個(gè)根，
∴an＋an＋1＝2n＋1，an·an＋1＝.
∴bn＝.
又a1＝1，∴a2＝2，a3＝3，…，an＝n.
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋
＝1－＋－＋…＋－
＝1－＝.
答案：B
6．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝3n2－(9＋a)n＋6＋2a(其中a為常數(shù))，若a6與a7兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)是an的最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
(　　)
A．[24,36]
B．[27,33]
C．{a|27≤a≤33，a∈N*}
D．{a|24≤a≤36，a∈N*}
解析：設(shè)f(x)＝3x2－(9＋a)x＋6＋2a，其對(duì)稱軸為x＝，當(dāng)≤≤時(shí)，即24≤a≤36時(shí)，a6與a7至少有一項(xiàng)是an的最小值．
答案：A
二、填空題(每小題5分，共20分)
7．有這樣一首詩：“有個(gè)學(xué)生資性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，問君每日讀多少？”(注：《孟子》全書共34685字，“一倍多”指一倍)，由此詩知該君第二日讀的字?jǐn)?shù)為__________．
解析：設(shè)第一日讀的字?jǐn)?shù)為a，由“每日添增一倍多”得此數(shù)列是以a為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，可求得三日共讀的字?jǐn)?shù)為＝7a＝34685，解得a＝4955，∴2a＝9910，即該君第二日讀的字?jǐn)?shù)為9910.
答案：9910
8．在等差數(shù)列{an}中，滿足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是數(shù)列{an}前n項(xiàng)的和，若Sn取得最大值，則n＝__________.
解析：設(shè)公差d，由題設(shè)3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)，
所以d＝－a1<0.
解不等式an>0，即a1＋(n－1)(－a1)>0，所以n<，則n≤9，
當(dāng)n≤9時(shí)，an>0，同理可得n≥10時(shí)，an<0.
故當(dāng)n＝9時(shí)，Sn取得最大值．
答案：9
9．已知數(shù)列{an}滿足＝(n∈N*)，且a1＝1，則an＝__________.
解析：本題考查利用遞推公式確定數(shù)列通項(xiàng)公式．據(jù)已知有：n≥2時(shí)利用累乘法得：an＝a1···…·＝1····…··＝，又驗(yàn)證知a1＝1也適合，故an＝.
答案：
10．設(shè)函數(shù)f(x)定義如下表，數(shù)列{xn}滿足x0＝5，且對(duì)任意自然數(shù)均有xn＋1＝f(xn)，則x2006的值為__________.
x
1
2
3
4
5
f(x)
4
1
3
5
2
解析：∵x0＝5，xn＋1＝f(xn)，
∴x1＝f(x0)＝f(5)＝2，x2＝f(x1)＝f(2)＝1，
x3＝f(x2)＝f(1)＝4，x4＝f(x3)＝f(4)＝5.
從而知數(shù)列{xn}是以4為周期的數(shù)列，而x2006＝f(x2005)＝f(x1)＝f(2)＝1.
答案：1
三、解答題(共50分)
11．(15分)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a3＝5，S15＝225；數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，b3＝a2＋a3，b2b5＝128.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an及數(shù)列{bn}的前8項(xiàng)和T8；
(2)求使得>成立的正整數(shù)n.
解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
由已知a1＋2d＝5,15a1＋×15×14d＝225，
即解得d＝2，a1＝1，
所以an＝2n－1.
設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，
因?yàn)閎3＝a2＋a3，所以b1q2＝8，
因?yàn)閎2b5＝128，所以bq5＝128，
解得q＝2，b1＝2，
T8＝＝510.
(2)>即>，
解之得412．(15分)(2010·福建泉州一模)某城市決定對(duì)城區(qū)住房進(jìn)行改造，在新建住房的同時(shí)拆除部分舊住房．第一年建新住房a m2，第二年到第四年，每年建設(shè)的新住房比前一年增長(zhǎng)100%，從第五年起，每年建設(shè)的新住房都比前一年減少a m2；已知舊住房總面積為32a m2，每年拆除的數(shù)量相同．
(1)若10年后該城市住房總面積正好比改造前的住房總面積翻一番，則每年拆除的舊住房面積是多少m2?
(2)求前n(1≤n≤10且n∈N)年新建住房總面積Sn.
解：(1)10年后新建住房總面積為a＋2a＋4a＋8a＋7a＋6a＋5a＋4a＋3a＋2a＝42a.
設(shè)每年拆除的舊住房為x m2，
則42a＋(32a－10x)＝2×32a，
解得x＝a，即每年拆除的舊住房面積是a m2.
(2)設(shè)第n年新建住房面積為a，
則an＝
所以當(dāng)1≤n≤4時(shí)，Sn＝(2n－1)a；
當(dāng)5≤n≤10時(shí)，Sn＝a＋2a＋4a＋8a＋7a＋6a＋…＋(12－n)a＝15a＋＝，
故Sn＝
13．(20分)(2009·江西高考)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}，a1＝a，a2＝b，且對(duì)滿足m＋n＝p＋q的正整數(shù)m，n，p，q都有＝.
(1)當(dāng)a＝，b＝時(shí)，求通項(xiàng)an；
(2)證明：對(duì)任意a，存在與a有關(guān)的常數(shù)λ，使得對(duì)于每個(gè)正整數(shù)n，都有≤an≤λ.
解：(1)由＝
得＝，
將a1＝，a2＝代入上式化簡(jiǎn)得an＝，
所以＝·.
故數(shù)列{}為等比數(shù)列，
從而＝，即an＝.
可驗(yàn)證，an＝滿足題設(shè)條件．
(2)由題設(shè)的值僅與m＋n有關(guān)，記為bm＋n，則bn＋1＝＝
考察函數(shù)f(x)＝(x>0)，
則在定義域上有f(x)≥g(a)＝
故對(duì)n∈N*，bn＋1≥g(a)恒成立．
又b2n＝≥g(a)，注意到0解上式得：＝≤an≤，
取λ＝，即有≤an≤λ.

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