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第四章　三角函數
課時作業19　三角函數的概念
時間：45分鐘　　　　分值：100分
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．角α的終邊上有一點(a，－a)(a>0)，則使f(a)＝－的一個函數是
(　　)
A．f(x)＝sinx B．f(x)＝tanx
C．f(x)＝cosx D．f(x)＝cotx
解析：由角的定義知sinα＝－＝－.
答案：A
2．若α是第三象限的角，則π－α是
(　　)
A．第一或第二象限的角 B．第一或第三象限的角
C．第二或第三象限的角 D．第二或第四象限的角
解析：在坐標系中，將各象限2等分，再從x軸正向的上方起，依次將各區域標上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，則由圖可知，在Ⅲ內，π－在Ⅱ內，故π－在第一或第三象限，選B.
答案：B
3．若tanx>0，且sinx＋cosx>0，則角x的終邊在
(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：由tanx>0知角x在第一或第三象限，又sinx＋cosx>0，故x不可能在第三象限．
答案：A
4. (2010·杭州質檢)如圖1，已知單位圓O與y軸相交于A、B兩點．角θ的頂點為原點，始邊在x軸的正半軸上，終邊在射線OC上．過點A作直線AC垂直于y軸且與角θ的終邊交于點C，則有向線段AC的函數值是
(　　)
圖1
A．sinθ B．cosθ
C．tanθ D．cotθ
解析：根據單位圓中三角函數線的定義可知應選擇D.
答案：D
5．如果θ是第二象限角，且滿足cos－sin＝，那么
(　　)
A．是第一象限角
B．是第二象限角
C．是第三象限角
D．可能是第一象限角，也可能是第三象限角
解析：∵θ是第二象限角，∴是第一或第三象限角前半區域的角，∵cos－sin＝≥0，∴cos≥sin，∴只能在第三象限．
答案：C
6．sin1，cos1，tan1的大小關系是
(　　)
A．tan1>sin1>cos1 B．tan1>cos1>sin1
C．cos1>sin1>tan1 D．sin1>cos1>tan1
解析：因為1rad≈57.30°，結合單位圓中的三角函數線知tan1>sin1>cos1，故選A.
答案：A
二、填空題(每小題5分，共20分)
7．一個扇形的面積為4 cm2，周長為8 cm，則扇形的圓心角及相應的弦長分別是__________．
圖2
解析：如圖2所示，設扇形的半徑為R，圓心角為α，則有
解得
取AB的中點C，連OC，則OC⊥AB，
且∠AOC＝＝1.∴AB＝2Rsin＝4sin1.
故所求的圓心角為2弧度，其弦長為4sin1.
答案：2,4sin1 cm
8．若θ角的終邊與的終邊相同，則在[0,2π]內終邊與角的終邊相同的角是________．
解析：由已知θ＝2kπ＋(k∈Z)，
∴＝＋(k∈Z)，
由0≤＋≤2π，得－≤k≤，
∵k∈Z，∴k＝0,1,2,3，
∴依次為π，π，π，π.
答案：π，π，π，π
9．在(0,2π)內使sinx>cosx成立的x的取值范圍是______．
答案：
10．已知角α的終邊在直線y＝－x上，則2sinα＋cosα的值是__________．
解析：因為直線y＝－x經過原點，且過第二、第四象限，當角α的終邊在第二象限時，取終邊上任意一點P(－4,3)，得|OP|＝5，由三角函數的定義得sinα＝，cosα＝－，故2sinα＋cosα＝；當角α的終邊在第四象限時，取終邊上任意一點P(4，－3)，得|OP|＝5，由三角函數的定義得sinα＝－，cosα＝故2sinα＋cosα＝－.
答案：或－
三、解答題(共50分)
11．(15分)已知角α終邊上有一點P(24k,7k)(k≠0)，且180°<α<270°，求α的六個三角函數值．
解：∵180°<α<270°，且x＝24k，y＝7k，
∴k<0，r＝|OP|＝＝－25k，
∴sinα＝＝－，cosα＝＝－，
tanα＝＝，cotα＝＝，
secα＝＝－，cscα＝＝－.
12．(15分)如果sinα·cosα>0，且sinα·tanα>0.化簡：cos·＋cos·.
解：由sinα·tanα>0，得>0，cosα>0.
又sinα·cosα>0，∴sinα>0，∴2kπ<α<2kπ＋(k∈Z)，即kπ<當k為偶數時，位于第一象限；
當k為奇數時，位于第三象限；
∴原式＝cos·＋cos·
＝cos·＋cos·
＝＝
13．(20分)已知角α的終邊經過點P(sin，cos)，且0≤α<2π，求角α.
解：解法1：tanα＝＝cot＝tan(－)
＝tan(－)＝tan＝tan.
∵點P在第四象限，0≤α<2π，
∴α＝.
解法2：點P(，－)在第四象限，tanα＝＝－，
又0≤α<2π，∴α＝.
解法3：點P(cos(－)，sin(－))，
即P(cos(－)，sin(－))，即P(cos，sin)．
∵0≤α<2π，∴α＝.

課時作業20　同角三角函數的基本關系式與誘導公式
時間：45分鐘　　　　分值：100分
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．已知sin(π＋α)＝－，那么cosα的值為
(　　)
A．±　　　　　　　　　 B.
C. D．±
解析：sin(π＋α)＝－，則sinα＝.
∴cosα＝±＝±.故選D.
答案：D
2．已知f(α)＝，則
f(－)的值為
(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：f(α)＝＝－cosα，
∵－＝－10π－，
∴f(－)＝－cos(－)＝－cos(－)＝－.故選B.
答案：B
3．若f(cosx)＝cos2x，則f(sin150°)的值為
(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：f(sin150°)＝f(sin30°)＝f(cos60°)＝cos120°＝
－.
答案：B
4．若sinα＝，cosα＝，則的值為
(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：∵sinα＝，cosα＝，sin2α＋cos2α＝1，
∴()2＋()2＝1?k＝－7或k＝1.
k＝1時，sinα＝－1，cosα＝0?tanα無意義，k＝－7時，sinα＝，cosα＝?＝.故選B.
答案：B
5．(2010·天津和平高三質檢)sin(－x)＝，則sin2x的值為
(　　)
A. B.
C. D.
解析：sin2x＝cos(－2x)＝cos＝1－2sin2(－x)＝.
答案：D
6．(2009·山東濰坊模擬)已知＝2009，則tan(x＋)的值為
(　　)
A．－2009 B．－
C. D．2009
解析：∵原式＝＝＝tan(x＋)＝2009，∴tan(x＋)＝tan(x＋)＝2009.
答案：D
二、填空題(每小題5分，共20分)
7．已知θ∈，sinθ＝，則tanθ＝__________.
解析：由題意cosθ＝－?tanθ＝＝－.
答案：－
8．若f(n)＝sin，則f(1)·f(3)·f(5)·f(7)·f(9)·f(11)＝________.
解析：據題意，
原式＝sin·sin·sin·sin·sin·sin
＝－sin·sin·(－sin)·(－sin)
＝－(sin)4＝－.
答案：－
9．已知tanα＝2，則＝__________.
解析：＝＝＋＝tanα＋＝2＋＝.
答案：
10．(2009·山東煙臺二模)已知tanα＋＝，則tan2α＋＋＝__________.
解析：tanα＋＝，
∴＋＝＝.
∴tan2α＋＋
＝(tanα＋)2－2＋
＝()2－2＋＝.
答案：
三、解答題(共50分)
11．(15分)(1)若角α是第二象限角，化簡tanα；
(2)化簡：.
解：(1)原式＝tanα＝tanα
＝，
∵α是第二角限角，∴sinα>0，cosα<0，
∴原式＝＝·＝－1.
(2)原式＝
＝＝＝1.
12．(15分)(2009·山東聊城二模)已知tan(α＋)＝－.
(1)求tanα的值；
(2)求的值．
解：(1)由tan(α＋)＝＝－，
得tanα＝－.
(2)原式＝
＝
＝＝＝.
13．(20分)(2009·廣東中學模擬)已知△ABC的面積S滿足3≤S≤3且·＝6，與的夾角為α.
(1)求α的取值范圍；
(2)求f(α)＝sin2α＋2sinαcosα＋3cos2α的最小值．
解：(1)由題意知·＝||·||cosα＝6.
∵||·||＝，
S＝||·||sin(π－α)＝||·||sinα
＝××sinα＝3tanα.
∵3≤S≤3，∴3≤3tanα≤3即1≤tanα≤.
∵α是與的夾角，∴α∈[0，π]，∴α∈.
(2)f(α)＝sin2α＋2sinαcosα＋3cos2α＝1＋sin2α＋2cos2α＝2＋sin2α＋cos2α＝2＋sin.
∵α∈，2α＋∈，
∴當2α＋＝，即當α＝時，f(α)有最小值．
f(α)的最小值是.

課時作業21　兩角和與差的三角函數
時間：45分鐘　　　　分值：100分
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．(2009·福建高考)函數f(x)＝sinxcosx的最小值是
(　　)
A．－1　　　　　　　　　　 B．－
C. D．1
解析：∵f(x)＝sinxcosx＝sin2x，∴f(x)min＝－.
答案：B
2．(2009·陜西高考)若3sinα＋cosα＝0，則的值為
(　　)
A. B.
C. D．－2
解析：由3sinα＋cosα＝0得cosα＝－3sinα，則＝＝＝，故選A.
答案：A
3．(2009·湖南郴州三模)函數y＝sinxsin＋sincos2x的最大值和最小正周期分別為
(　　)
A．1，π B．2,2π
C.，2π D.，π
解析：y＝sinxsin＋sincos2x＝sin2x＋cos2x＝sin，則其最大值和最小正周期分別為1，π，故選A.
答案：A
4．已知sin(α－)＝，則cos(α＋)的值等于
(　　)
A. B．－
C．－ D.
解析：∵sin(α－)＝，
∴sin(－α)＝－，
∴cos(α＋)＝cos[－(－α)]
＝sin(－α)＝－.
答案：C
5．若sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝－，其中α＋β∈，α－β∈，則sin2β＝ (　　)
A. B．－
C．1 D．－1
解析：∵2β＝(α＋β)－(α－β)，
∴sin2β＝sin[(α＋β)－(α－β)]
＝sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β)．
又sin(α＋β)＝，α＋β∈(，π)∴cos(α＋β)＝－，
sin(α－β)＝－，α－β∈(－，0)，
∴cos(α－β)＝，
∴sin2β＝×－(－)×(－)＝.
答案：A
6．已知cos＋sinα＝，則sin的值是
(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：由已知得cosα＋sinα＋sinα＝，即cosα＋sinα＝，得sin＝，
sin＝－sin＝－，故選C.
答案：C
二、填空題(每小題5分，共20分)
7．(2009·上海高考)函數y＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．
解析：y＝2cos2x＋sin2x＝sin2x＋1＋cos2x＝sin2x＋cos2x＋1＝sin＋1≥1－.
答案：1－
8．函數y＝cos2x－sinx的最小值為__________．
解析：y＝(1－2sin2x)－sinx
＝－2(sin2x＋sinx)＋1
＝－2(sinx＋)2＋.
∵sinx∈[－1,1]，∴當sinx＝1時，y取得最小值－2.
答案：－2
9．已知函數f(x)＝，則f(x)＋f(－x)的值為__________．
解析：f(x)＋f(－x)
＝＋
＝＝
＝＝＝.
答案：
10．cot20°cos10°＋sin10°tan70°－2cos40°＝__________.
解析：原式＝tan70°cos10°＋sin10°tan70°－2cos40°
＝tan70°(sin10°＋cos10°)－2cos40°
＝·2·sin40°－2cos40°
＝·2·2sin20°cos20°－2cos40°
＝4cos220°－2cos40°
＝2(2cos220°－1)＋2－2cos40°＝2.
答案：2
三、解答題(共50分)
11．(15分)已知cos＝，x∈.
(1)求sinx的值；
(2)求sin的值．
解：(1)因為x∈，
所以x－∈，
于是sin＝＝.
sinx＝sin
＝sincos＋cossin
＝×＋×＝.
(2)因為x∈，
故cosx＝－＝－＝－.
sin2x＝2sinxcosx＝－，
cos2x＝2cos2x－1＝－.
所以sin＝sin2xcos＋cos2xsin
＝－.
12．(15分)已知α、β都是銳角，且sinβ＝sinα·cos(α＋β)．
(1)若α＋β＝，求tanβ的值；
(2)當tanβ取最大值時，求tan(α＋β)的值．
解：(1)∵α＋β＝，
∴sinβ＝sin(－β)cos＝sin(－β)
＝(cosβ－sinβ)，化簡得：sinβ＝cosβ，
∵β是銳角，∴tanβ＝.
(2)由已知得：sinβ＝sinαcosαcosβ－sin2αsinβ，
∴tanβ＝sinαcosα－sin2αtanβ，
∴tanβ＝＝
＝＝≤＝.
當且僅當＝2tanα，
即tanα＝時，tanβ取得最大值，
此時，tan(α＋β)＝＝.
13．(20分)(2009·江西高考)△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，tanC＝，sin(B－A)＝cosC.
(1)求A，C；
(2)若S△ABC＝3＋，求a，c.
解：(1)因為tanC＝，即＝，
所以sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB，
即sinCcosA－cosCsinA＝cosCsinB－sinCcosB，
得sin(C－A)＝sin(B－C)，
所以C－A＝B－C，或C－A＝π－(B－C)(不成立)，
即2C＝A＋B，得C＝，所以B＋A＝.
又因為sin(B－A)＝cosC＝，
則B－A＝或B－A＝(舍去)，
得A＝，B＝.∴A＝，C＝.
(2)S△ABC＝acsinB＝ac＝3＋，又＝，即＝，得a＝2，c＝2.

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