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課時作業22　三角函數式的求值、化簡與證明
時間：45分鐘　　　　分值：100分
　　　　　　　　　　　　
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．下列各式中，值為的是
(　　)
A．2sin15°cos15° B．cos215°－sin215°
C．2sin215°－1 D．sin215°＋cos215°
解析：cos215°－sin215°＝cos30°＝.
答案：B
2．已知角α在第一象限且cosα＝，＝
(　　)
A. B.
C. D．－
解析：∵角α是第一象限角且cosα＝，∴sinα＝，
∴＝
＝＝2cosα＋2sinα＝，
故正確答案是C.
答案：C
3．設a＝(sin56°－cos56°)，b＝cos50°·cos128°＋cos40°·cos38°，c＝(cos80°－2cos250°＋1)，則a，b，c的大小關系是
(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．a>c>b
解析：∵a＝sin56°·－cos56°·
＝sin(56°－45°)＝sin11°，
b＝cos50°·(－cos52°)＋cos40°·cos38°
＝－sin40°·cos52°＋cos40°·sin52°，
＝sin(52°－40°)＝sin12°.
c＝(cos80°＋1－2cos250°)
＝(2cos240°－2sin240°)＝cos80°＝sin10°.
∴b>a>c.
答案：B
4．已知sinαsinβ＝1，則cos(α－β)的值為
(　　)
A．1 B．0
C．－1 D．1或－1
解析：由|sinα|≤1，|sinβ|≤1及sinαsinβ＝1可得cosαcosβ＝0，于是cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝1.
答案：A
5．已知方程x2＋4ax＋3a＋1＝0(a>0)的兩根為tanα、tanβ，且α，β∈(－，)，則tan的值是
(　　)
A. B．－2
C. D.或－2
解析：∵a>0，∴tanα＋tanβ＝－4a<0，tanα·tanβ＝3a＋1>0，α、β∈(－，)，∴α、β∈(－，0)，則∈(－，0)，又tan(α＋β)＝＝＝，∴tan(α＋β)＝＝，整理得2tan2＋3tan－2＝0，解得tan＝－2，故選B.
答案：B
6．(2010·衡陽聯考)如圖1，小正六邊形沿著大正六邊形的邊，按順時針方向滾動，小正六邊形的邊長是大正六形邊長的一半，如果小正六邊形沿著大正六邊形的邊滾動一周后返回出發時的位置，在這個過程中向量圍繞著點O旋轉了θ角，其中O為小正六邊形的中心，則sin＋cos的值是
(　　)
圖1
A．1 B.
C．－1 D．－
解析：結合圖形易知θ＝6π，∴sin＋cos＝－1.
答案：C
二、填空題(每小題5分，共20分)
7．計算＝________.
解析：sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sinα＋cosα＋cosα－sinα＝cosα，則所求答案為.
答案：
8．已知△ABC的三個內角A、B、C 滿足cosA(sinB＋cosB)＋cosC＝0，則∠A＝________.
解析：由題意得cosA(sinB＋cosB)－cos(A＋B)＝0，展開并整理得sinB(cosA＋sinA)＝0，又sinB>0，因此cosA＋sinA＝0，tanA＝－1，又A∈(0，π)，因此∠A＝.
答案：(或135°)
9．(2010·東城目標檢測)已知{an}為等差數列，若a1＋a5＋a9＝π，則cos(a2＋a8)的值為__________．
解析：由a1＋a5＋a9＝π，得a5＝，a2＋a8＝2a5＝，
∴cos(a2＋a8)＝－.
答案：－
10．(2009·西城抽樣)給出下列四個函數：
①y＝sinx＋cosx；②y＝sinx－cosx；
③y＝sinx·cosx；④y＝.
其中在(0，)上既無最大值也無最小值的函數是______．
解析：對于①，注意到當x∈(0，)時，函數y＝sinx＋cosx＝sin(x＋)有最大值；對于②，注意到當x∈
(0，)時，x－∈(－，)，sin(x－)∈(－，)，此時y＝sinx－cosx＝sin(x－)既無最大值也無最小值；對于③，注意到當x∈(0，)時，2x∈(0，π)，此時函數y＝sinxcosx＝sin2x有最大值；對于④，當x∈(0，)時，y＝＝tanx是增函數，此時該函數既無最大值也無最小值．綜上所述，其中在(0，)上既無最大值也無最小值的函數是②④.
答案：②④
三、解答題(共50分)
11．(15分)已知α為銳角，cosα＝，tan(α－β)＝，求tanα和tanβ的值．
解：∵cosα＝，且α為銳角，
∴sinα＝＝＝.
∴tanα＝＝.
于是tanβ＝tan[α－(α－β)]
＝＝＝.
12．(15分)(2009·廣東高考)已知向量a＝(sinθ，－2)與b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈(0，)．
(1)求sinθ和cosθ的值；
(2)若sin(θ－φ)＝，0<φ<，求cosφ的值．
解：(1)∵a⊥b，則a·b＝sinθ－2cosθ＝0，即sinθ＝2cosθ，代入sin2θ＋cos2θ＝1，得sinθ＝±，cosθ＝±，又θ∈(0，)，∴sinθ＝，cosθ＝.
(2)∵0<φ<，0<θ<，∴－<θ－φ<.
則cos(θ－φ)＝＝，
∴cosφ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cosθcos(θ－φ)＋sinθsin(θ－φ)＝.
13．(20分)(2009·山東青島模擬)已知二次函數f(x)對于任意x∈R，都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，設向量a＝(sinθ，2)，b＝(2sinθ，)，c＝(cos2θ，1)，d＝(1,2)，當θ∈[0，π]時，求不等式f(a·b)>f(c·d)的解集．
解：∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的對稱軸為x＝1，
∵a·b＝2sin2θ＋1≥1，c·d＝cos2θ＋2≥1，
不妨設f(x)的二次項系數為m，
①當m>0時，f(x)在[1，＋∞)上為增函數，
由f(a·b)>f(c·d)得2sin2θ＋1>cos2θ＋2，
∴cos2θ<0.∵θ∈[0，π]，
∴<θ<.
②當m<0時，f(x)在[1，＋∞)上為減函數，
則2sin2θ＋10.
∴0≤θ<或<θ≤π.
∴當二次項系數為m>0時，原不等式的解集為(，)
當二次項系數m<0時，原不等式的解集為[0，)∪(π，π]．

課時作業23　三角函數的圖象
時間：45分鐘　　　　分值：100分
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．將函數y＝sin(6x＋)的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍，再向右平移個單位，得到的函數的一個對稱中心是
(　　)
A．(，0)　　　　　　　　 B．(，0)
C．(，0) D．(，0)
解析：將函數y＝sin(6x＋)的圖象按照條件變換后得到y＝sin2x的圖象，故選A.
答案：A
2．如圖1為函數y＝2sin(ωx＋φ)(|φ|
<)的圖象，那么
(　　)
圖1
A．ω＝，φ＝
B．ω＝，φ＝－
C．ω＝2，φ＝
D．ω＝2，φ＝－
解析：因圖象可由y＝2sinωx左移而得，∴φ>0，又∵圖象過(0,1)點，∴φ＝，再由圖象過(π，0)，得ω＝2.
故選C.
答案：C
3．設點P是函數f(x)＝cosωx(其中ω≠0)的圖象C的一個對稱中心，若點P到圖象C的對稱軸的距離最小值是π，則函數f(x)的最小正周期是
(　　)
A．π B．2π
C．3π D．4π
解析：由f(x)的圖象性質得f(x)的周期為4π，故選D.
答案：D
4．(2009·遼寧高考)已知函數f(x)＝Acos(ωx＋φ)的圖像如圖2所示，f()＝－，則f(0)等于
(　　)
圖2
A．－　　　 B．－
C. D.
解析：首先由題圖可知所求函數的周期為，故ω＝＝3.將(，0)代入解析式，其相當于余弦函數“五點法”作圖中的第二關鍵點，∴＋φ＝＋2kπ.
∴φ＝－＋2kπ.令φ＝－，代入解析式得f(x)＝Acos(3x－)．
又∵f()＝－，f()＝－Acos＝－，
∴f(0)＝Acos(－)＝Acos＝.
答案：C
5．方程2sin2x＝x－3的解有
(　　)
A．1個　　　　　　　　　　 B．2個
C．3個 D．4個
解析：作y＝sin2x與y＝的圖象可得其交點為3個且在x∈(0,2π)上．故選C.
圖3
答案：C
6．(2009·浙江高考)已知a是實數，則函數f(x)＝1＋asinax的圖象不可能是
(　　)
解析：當a＝0時f(x)＝1，C符合，
當0<|a|<1時T>2π，A符合，
當|a|>1時T<2π，B符合．排除A、B、C，故選D.
答案：D
二、填空題(每小題5分，共20分)
7．(2009·江蘇高考)函數y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ為常數，A>0，ω>0)在閉區間
[－π，0]上的圖象如圖4所示，則ω＝______.
圖4
解析：由題圖可知，T＝，
∴ω＝＝3.
答案：3
8．將函數y＝f(x)·sinx(x∈R)的圖象向右平移個單位后，再作關于x軸對稱變換，得到函數y＝1－2sin2x的圖象，則f(x)可以是________．
解析：將y＝f(x)sinx的圖象向右平移個單位得
y＝f(x－)sin(x－)的圖象，
其關于x軸的對稱圖象的解析式為
y＝－f(x－)sin(x－)，
∵y＝1－2sin2x＝cos2x＝sin(－2x)
＝2sin(－x)cos(－x)＝－2cos(x－)sin(x－)
∴f(x－)＝2cos(x－)，故f(x)＝2cosx.
答案：2cosx
9．設函數f(x)＝sin2x，若f(x＋t)是偶函數，則t的一個可能值是__________．
解析：∵f(x＋t)＝sin2(x＋t)＝sin(2x＋2t)是偶函數，
∴f(x＋t)＝f(－x＋t)，
即sin(2x＋2t)＝sin(－2x＋2t)．
∴2x＋2t＝－2x＋2t＋2kπ，k∈Z，
或2x＋2t＝π－(－2x＋2t)＋2kπ，k∈Z.
∴t＝π，k∈Z.
答案：，，，…，π(k∈Z)
10．(2009·福建師大附中模擬)下列命題：
①函數y＝sinx在第一象限是增函數；
②函數y＝|cosx＋|的最小正周期是π；
③函數y＝tan的圖象的對稱中心是(kπ，0)，k∈Z；
④函數y＝lg(1＋2cos2x)的遞減區間是[kπ，kπ＋)，k∈Z；
⑤函數y＝3sin(2x＋)的圖象可由函數y＝3sin2x的圖象按向量a＝(，0)平移得到．
其中正確的命題序號是__________．
答案：③④
三、解答題(共50分)
11．(15分)函數f1(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的一段圖象過點(0,1)，如圖5所示．
(1)求函數f1(x)的表達式；
(2)將函數y＝f1(x)的圖象向右平移個單位，得函數y＝f2(x)的圖象，求y＝f2(x)的最大值，并求出此時自變量x的集合．
圖5
解：(1)由圖知，T＝π，于是ω＝＝2.
將y＝Asin2x的圖象向左平移，
得y＝Asin(2x＋φ)的圖象，
于是φ＝2·＝.
將(0,1)代入y＝Asin(2x＋)，得A＝2.
故f1(x)＝2sin(2x＋)．
(2)依題意，f2(x)＝2sin[2(x－)＋]
＝－2cos(2x＋)，
當2x＋＝2kπ＋π，
即x＝kπ＋(k∈Z)時，ymax＝2.
x的取值集合為{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
12．(15分)(2009·天津重點學校聯考)已知函數f(x)＝sin2x＋sinxcosx＋2cos2x，x∈R.
(1)求函數f(x)的最小正周期；
(2)將函數f(x)的圖象按向量a＝(，－)平移后得到函數g(x)的圖象，求g(x)的解析式；
(3)在給定的坐標系中(如圖6)畫出函數y＝g(x)在區間[0，π]上的圖象．
圖6
解：(1)f(x)＝＋sin2x＋(1＋cos2x)
＝sin2x＋cos2x＋＝sin(2x＋)＋.
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)把f(x)圖象上所有的點按向量a＝(，－)平移后，所得到的圖象的解析式為
g(x)＝sin[2(x－)＋]＋－
＝sin(2x－)．
(3)由y＝sin(2x－)，知
x
0




π
y
－
－1
0
1
0
－
圖7
13．(20分)(2009·重慶高考)設函數f(x)＝sin－2cos2x＋1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若函數y＝g(x)與y＝f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，求當x∈時，y＝g(x)的最大值．
解：(1)f(x)＝sinxcos－cosxsin－cosx
＝sinx－cosx＝sin，
故f(x)的最小正周期為T＝＝8.
(2)解法1：在y＝g(x)的圖象上任取一點(x，g(x))，它關于x＝1的對稱點為(2－x，g(x))．
由題設條件，點(2－x，g(x))在y＝f(x)的圖象上，從而
g(x)＝f(2－x)＝sin
＝sin＝cos.
當0≤x≤時，≤x＋≤，因此y＝g(x)在區間上的最大值為g(x)max＝cos＝.
解法2：因區間關于x＝1的對稱區間為，且y＝g(x)與y＝f(x)的圖象關于x＝1對稱，故y＝g(x)在上的最大值即為y＝f(x)在上的最大值．
由(1)知f(x)＝sin，
當≤x≤2時，－≤x－≤.
因此y＝g(x)在上的最大值為
g(x)max＝sin＝.

課時作業24　三角函數的性質
時間：45分鐘　　　　分值：100分
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．(2009·四川高考)已知函數f(x)＝sin(x－)(x∈R)，下面結論錯誤的是
(　　)
A．函數f(x)的最小正周期為2π
B．函數f(x)在區間[0，]上是增函數
C．函數f(x)的圖象關于直線x＝0對稱
D．函數f(x)是奇函數
解析：∵f(x)＝sin(x－)＝－cosx(x∈R)，∴函數f(x)是最小正周期為2π的偶函數，故選D.
答案：D
2．如果|x|≤，f(x)＝cos2x＋sinx的最小值是
(　　)
A.　　　　　　　　 B．－
C．－1 D.
解析：∵f(x)＝(1－sin2x)＋sinx
＝－(sinx－)2＋.
又∵|x|≤，∴sinx∈[－，]，
故當sinx＝－時，
[f(x)]min＝1－(－)2＋(－)＝.
答案：D
3．(2009·全國卷Ⅰ)如果函數y＝3cos(2x＋φ)的圖象關于點(，0)中心對稱，那么|φ|的最小值為
(　　)
A. B.
C. D.
解析：依題意得3cos(＋φ)＝0，＋φ＝kπ＋，φ＝kπ－(k∈Z)，因此|φ|的最小值是，選A.
答案：A
4．(2009·江蘇蘇州模擬)函數y＝sin4x＋cos2x的最小正周期為
(　　)
A. B.
C．π D．2π
解析：y＝sin4x＋cos2x＝()2＋
＝＋
＝＋＝＋·，
∴T＝＝.
答案：B
5．(2009·南昌二模)函數f(x)＝sinx在區間[a，b]上是增函數，且f(a)＝－1，f(b)＝1，則cos的值為
(　　)
A．0 B.
C．1 D．－1
解析：由f(a)＝－1，f(b)＝1，得a＝2kπ－，k∈Z，b＝2kπ＋，k∈Z，且a、b中k取同一個值，故cos＝cos2kπ＝1，故選C.
答案：C
6．(2010·江西五校聯考)已知函數f(x)＝2sinωx在區間
[－，]上的最小值為－2，則ω的取值范圍是
(　　)
A．(－∞，－]∪[6，＋∞)
B．(－∞，－]∪[，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[，＋∞)
D．(－∞，－2]∪[6，＋∞)
解析：題設條件等價于sinωx在區間[－，]上能取最小值－1，當ω>0時，只需－≤－或≥，即ω≥；當ω<0時，只需－≥或≤－，即ω≤－2.所以ω的取值范圍是(－∞，－2]∪[，＋∞)．故選C.
答案：C
二、填空題(每小題5分，共20分)
7．定義在R上的函數f(x)＝sinx＋cosx的最大值是__________．
解析：∵f(x)＝2sin(x＋)，∴f(x)最大＝2.
答案：2
8．f(x)是以5為周期的奇函數，f(－3)＝4且cosα＝，則f(4cos2α)＝________.
解析：∵4cos2α＝4(2cos2α－1)＝4(2×－1)＝－2，又T＝5，∴f(4cos2α)＝f(－2)＝f(－2＋5)＝f(3)＝－f(－3)＝－4.
答案：－4
9．函數y＝的單調遞增區間是__________．
解析：y＝＝
＝＝＝tan(＋)，
當＋∈(kπ－，kπ＋)，k∈Z時，函數為增函數，此時x∈(2kπ－，2kπ＋)，k∈Z.
答案：(2kπ－，2kπ＋)，k∈Z
10．(2010·江西協作體聯考)已知函數y＝asinx＋bcosx＋c的圖象上有一個最低點(π，1)，如果圖象上每點的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的倍，然后向左平移一個單位，可得到y＝f(x)的圖象，又知f(x)＝3的所有根依次形成公差為2的等差數列，下列結論：
(1)f(x)的周期為4；(2)f(x)的周期為2；(3)a＝，b＝
－，c＝3；(4)a＝1，b＝－1，c＝2.其中正確的序號是__________．
解析：依題意可知－a＋b＋c＝1，－＋c＝1，a＝－b，y＝asinx＋bcosx＋c＝asin(x－)＋c，a>0，－a＋c＝1，且f(x)＝asin[(x＋1)－]＋c＝asin(x＋)＋c，函數f(x)的周期是＝4，因此(1)是正確的，(2)是錯誤的．由f(x)＝3的所有根依次形成公差為2的等差數列及f(x)的周期是4得c＝3.又－a＋c＝1，由此解得a＝，b＝－，(3)是正確的．綜上所述，其中正確的命題是(1)(3)．
答案：(1)(3)
三、解答題(共50分)
11．(15分)求函數f(x)＝的最小正周期、最大值、最小值及單調區間．
解：f(x)＝
＝)
＝(1＋sinx·cosx)＝sin2x＋，
所以函數的最小正周期為π，最大值為，最小值為.
令2kπ－≤2x≤2kπ＋，k∈Z，
則kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
令2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z，
則kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函數的單調增區間為[kπ－，kπ＋]，k∈Z，單調減區間為[kπ＋，kπ＋]，k∈Z.
12．(15分)設函數f(x)＝(2cosx＋asinx)sinx＋cos2x(x∈R)，且f()＝f()．
(Ⅰ)求函數f(x)的值域；
(Ⅱ)設f(x)圖象上過任意一點P的切線斜率為k，證明：|k|≤2.(文科選做)
解：(Ⅰ)f(x)＝2sinxcosx＋asin2x＋1－sin2x
＝sin2x＋(1－cos2x)＋1.
∴f()＝a，f()＝.
由f()＝f()，有a＝，∴a＝3.
∴f(x)＝sin2x－cos2x＋2＝sin(2x－)＋2.
∴函數f(x)的值域為[2－，2＋]．
(Ⅱ)設P(x，y)是f(x)圖象上任意一點，則
k＝f′(x)＝2cos(2x－)．
∴|k|＝|f′(x)|＝≤|2|＝2.
13．(20分)(2009·陜西高考)已知函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0,0<φ<)的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為，且圖象上一個最低點為M(，－2)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)當x∈[，]時，求f(x)的值域．
解：(1)由最低點為M(，－2)得A＝2.
在x軸上相鄰兩個交點之間的距離為得＝，即T＝π，∴ω＝＝＝2.
由點M(，－2)在函數圖象上得2sin(2×＋φ)＝－2，即sin(＋φ)＝－1，故＋φ＝2kπ－，k∈Z，
∴φ＝2kπ－.
又φ∈(0，)，∴φ＝，故f(x)＝2sin(2x＋)．
(2)∵x∈[，]，∴2x＋∈[，]，
當2x＋＝，即x＝時，f(x)取得最大值2；當2x＋＝，即x＝時，f(x)取得最小值－1，故f(x)的值域為[－1,2]．

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