資源簡介

第五章　平面向量
課時作業(yè)25　平面向量的概念及初等運算
時間：45分鐘　　　　分值：100分
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．(2009·北京高考)已知向量a、b不共線，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么
(　　)
A．k＝1且c與d同向　　 B．k＝1且c與d反向
C．k＝－1且c與d同向 D．k＝－1且c與d反向
解析：∵c∥d且a，b不共線，
∴存在唯一實數(shù)λ使c＝λd.
∴ka＋b＝λa－λb，
∴∴故選D.
答案：D
2．(2009·山東高考)設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點，＋＝2，則
(　　)
A.＋＝0 B.＋＝0
C.＋＝0 D.＋＋＝0
解析：∵＋＝2，∴－＋－＝－2，即＋＝0.
答案：B
3．(2009·廣東高考)一質(zhì)點受到平面上的三個力F1、F2、F3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分別為2和4，則F3的大小為
(　　)
A．2 B．2
C．2 D．6
解析：如圖1設(shè)代表力F1、代表力F2，則本題實際上是求與的和向量的長度，則余弦定理||2＝||2＋||2－2||·||cos∠OF1G＝4＋16－2·2·4·＝28.∴||＝2，故選A.
圖1
答案：A
4．已知向量a、b、c中任意兩個都不共線，并且a＋b與c共線，b＋c與a共線，那么a＋b＋c等于
(　　)
A．a(chǎn) B．b
C．c D．0
解析：由共線向量定理可設(shè)a＋b＝λ1c，b＋c＝λ2a，所以b＝λ1c－a，b＝λ2a－c.由向量的唯一性可知λ1＝λ2＝－1，所以a＋b＝－c.
答案：D
5．已知a，b是不共線的向量，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，則A，B，C三點共線的充要條件為
(　　)
A．λ1λ2－1＝0 B．λ1＝λ2＝1
C．λ1＝λ2＝－1 D．λ1λ2＋1＝0
解析：A、B、C三點共線?∥?λ1λ2＝1.故選A.
答案：A
6．已知平面內(nèi)有一點P及△ABC，若＋＋＝，則
(　　)
A．點P在△ABC外部 B．點P在線段AB上
C．點P在線段BC上 D．點P在線段AC上
解析：因為＋＋＝?＋＋＋＝?2＋＝0，所以P在線段AC上，選擇D.
答案：D
二、填空題(每小題5分，共20分)
7．設(shè)a和b是兩個不共線的向量，若＝2a＋kb，＝a＋b，＝2a－b，且A、B、D三點共線，則實數(shù)k的值等于__________．
解析：A、B、D三點共線?向量與共線，＝2a＋kb，＝＋＝－a－b＋2a－b＝a－2b，由此可解得k＝－4.
答案：－4
8．設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，當AB＝AC＝5，BC＝6時，＝x＋y，則實數(shù)x、y的值分別是__________．
解析：如圖2，設(shè)AI交BC邊于D，∵△ABC為等腰三角形，故D為BC中點，BD＝3，在△ABD中，由內(nèi)角平分線定理可知＝＝.
設(shè)＝，又＝＋＝＋，
∴＝(＋)＝＋，
故x＝，y＝.
圖2
答案：　
9．如圖3所示，已知一點O到平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的向量為r1、r2、r3，則＝__________.
圖3
解析：＝＋＋＋
＝r1＋(r2－r1)＋(r3－r2)＋(r1－r2)＝r3＋r1－r2.
答案：r3＋r1－r2
10．(2009·天津高考)在四邊形ABCD中，＝＝(1,1)，＋＝，則四邊形ABCD的面積為__________．
圖4
解析：由＝＝(1,1)知AB綊DC.
又＋＝知四邊形ABCD為菱形，且AB＝AD＝，
又∵2＝3，
∴∠ABC＝60°，BD＝.
∴∠BAD＝120°，故sin∠BAD＝，
∴SABCD＝××＝.
答案：
三、解答題(共50分)
11．(15分)如圖5所示，梯形ABCD，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分別為DC和AB的中點，若＝a，＝b，試用a，b表示和.
圖5
解：解法1：連結(jié)CN，N為AB的中點．
∵AN∥DC，且AN＝DC.
∴＝＋＝－a＋b，
＝－＝＋＝－b＋a.
解法2：在梯形ABCD中，有＋＋＋＝0，
即a＋＋(－)＋(－b)＝0，
可得＝b－a.
在四邊形ADMN中，有＋＋＋＝0，
即有b＋a＋＋(－a)＝0，
∴＝a－b.
12．(15分)如圖6所示，在△ABC中，D、F分別是BC、AC的中點，＝，＝a，＝b.
圖6
(1)用a，b表示向量、、、、；
(2)求證：B、E、F三點共線．
解：(1)延長AD到G，使＝，連結(jié)BG、CG，得到?ABGC，如圖7，所以
＝a＋b，
＝＝(a＋b)，
＝＝(a＋b)，
＝＝b，
＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)．
　　＝－＝b－a＝(b－2a)．
(2)由(1)可知＝，所以B、E、F三點共線．
圖7
13．(20分)已知P點是△ABC內(nèi)一點，且滿足＋2＋3＝0.設(shè)Q為CP的延長線與AB的交點，令＝p，用p表示.
解：∵A、Q、B三點共線，∴＝x＋(1－x).
∵＋2＋3＝0，
∴－＋2－2＋3＝0.
∴6＝＋2.
又∵C、P、Q三點共線，∴＝λ.
∴λ(＋)＝x＋(1－x).
∴∴λ＝2，∴＝2p.

課時作業(yè)26　平面向量的坐標運算

時間：45分鐘　　　　分值：100分
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，則向量的坐標是
(　　)
A．(－4，)　　　　　　　　 B．(4，－)
C．(－8,1) D．(8,1)
解析：＝(－)＝(－5－3，－1＋2)
＝(－8,1)＝(－4，)．故選A.
答案：A
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)且＝，則P點的坐標為
(　　)
A．(－8,1) B．(－1，－)
C．(1，) D．(8，－1)
解析：設(shè)P(x，y)，則＝(x－3，y＋2)，
＝(－5－3，－1＋2)＝(－4，)
＝，∴∴
答案：B
3．已知四邊形ABCD的三個頂點A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，則頂點D的坐標為
(　　)
A．(2，) B．(2，－)
C．(3,2) D．(1,3)
解析：設(shè)D(x，y)，∵＝(4,3)，＝(x，y－2)，且＝2，
∴解得
答案：A
4．(2010·北京海淀模擬)已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝
(，1＋sinθ)，且a∥b，則銳角θ等于
(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．75°
解析：由a∥b可得(1－sinθ)(1＋sinθ)－＝0，即cosθ＝±，而θ是銳角，故θ＝45°.
答案：B
5．(2009·寧夏模擬)設(shè)＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，a>0，b>0，O為坐標原點，若A、B、C三點共線，則＋的最小值是
(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：kAB＝，kAC＝，
∵A、B、C三點共線，∴kAB＝kAC，即＝.
∴2a＋b＝1.
∴＋＝＋
＝4＋＋≥4＋2＝8.(等號成立的條件為b＝2a)
∴＋的最小值是8.
答案：D
6．直角坐標系xOy中，＝(2,1)，＝(3，k)，若三角形ABC是直角三角形，則k的可能值個數(shù)是
(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：若∠A＝90°，則·＝6＋k＝0，k＝－6；
若∠B＝90°，則·＝·(－)＝0，k＝－1；
若∠C＝90°，則·＝·(－)＝0?k2－k＋3＝0無解．
∴綜上，k可能取－6，－1兩個數(shù)．故選B.
答案：B
二、填空題(每小題5分，共20分)
7．l1、l2是不共線向量，且a＝－l1＋3l2，b＝4l1＋2l2，c＝－3l1＋12l2，若b，c為一組基底，則a＝__________.
解析：設(shè)a＝λ1b＋λ2c，即－l1＋3l2＝λ1(4l1＋2l2)＋λ2(－3l1＋12l2)，即－l1＋3l2＝(4λ1－3λ2)l1＋(2λ1＋12λ2)l2.
∴
解之，得λ1＝－，λ2＝.
答案：－b＋c
8．(2009·江西高考)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，則k＝________.
解析：a－c＝(3－k，－6)，b＝(1,3)，
∵(a－c)∥b，∴＝.∴k＝5.
答案：5
9．(2010·山東青島模擬)若向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b且u∥v，則x＝__________.
解析：u＝(1,2)＋2(x,1)＝(1,2)＋(2x,2)＝(2x＋1,4)，
v＝2(1,2)－(x,1)＝(2,4)－(x,1)＝(2－x,3)．
由u∥v，一定存在λ∈R，使u＝λv，
則有(2x＋1,4)＝((2－x)λ，3λ)，
∴
∴(2x＋1)＝(2－x)，解得x＝.
也可由下面的方法求得：
由u∥v，得(2x＋1)·3－4(2－x)＝0.∴x＝.
答案：
10．已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(cosα，sinα)(α∈R)，實數(shù)m、n滿足ma＋nb＝c，則(m－3)2＋n2的最大值為__________．
解析：由ma＋nb＝c得m(1,1)＋n(1，－1)＝
(cosα，sinα)，∴∴m＝(sinα＋cosα)，n＝(cosα－sinα)，∴(m－3)2＋n2＝m2＋n2－6m＋9＝10－3(sinα＋cosα)＝10－6sin(α＋)，∴(m－3)2＋n2的最大值為16.
答案：16
三、解答題(共50分)
11．(15分)設(shè)i、j分別是平面直角坐標系Ox，Oy正方向上的單位向量，且＝－2i＋mj，＝ni＋j，＝5i－j，若點A、B、C在同一條直線上，且m＝2n，求實數(shù)m、n的值．
解：＝－＝(n＋2)i＋(1－m)j，
＝－＝(5－n)i＋(－2)j，
因為A、B、C共線，所以與共線，
所以－2(n＋2)＝(1－m)(5－n)． ①
又m＝2n， ②
解①②組成的方程組得或
12．(15分)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝
(5－m，－3－m)．
(1)若點A、B、C能夠成三角形，求實數(shù)m應(yīng)滿足的條件；
(2)若點A、B、C構(gòu)成以∠A為直角的直角三角形，求m的值．
解：(1)若點A、B、C能構(gòu)成三角形，則這三點不共線．
由＝(3,1)、＝(2－m,1－m)不共線，得3(1－m)≠2－m.解得m≠.
(2)∵∠A為直角，∴⊥.
∴3(2－m)＋(1－m)＝0，得m＝.
13．(20分)(2009·江蘇高考)設(shè)向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．
(1)若a與b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)求|b＋c|的最大值；
(3)若tanαtanβ＝16，求證：a∥b.
解：(1)因為a與b－2c垂直，
b－2c＝(sinβ－2cosβ，4cosβ＋8sinβ)，
所以a·(b－2c)＝4cosαsinβ－8cosαcosβ＋4sinαcosβ＋8sinαsinβ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，
因此tan(α＋β)＝2.
(2)由b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，得
|b＋c|＝
＝≤4.
又當β＝－時，等號成立，所以|b＋c|的最大值為4.
(3)證明：由tanαtanβ＝16得＝，
所以a∥b.

課時作業(yè)27　平面向量的數(shù)量積
時間：45分鐘　　　　分值：100分
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．(2009·全國卷Ⅱ)已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，則|b|＝
(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C．5 D．25
解析：|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝50，即5＋2×10＋|b|2＝50，∴|b|＝5.
答案：C
2．(2009·重慶高考)已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，則向量a與b的夾角是
(　　)
A. B.
C. D.
解析：∵a·(b－a)＝a·b－a2＝2.又|a|＝1，∴a·b＝3.即|a|·|b|cos〈a，b〉＝3＝1×6cos〈a，b〉，得cos〈a，b〉＝，∴a與b的夾角為，故選C.
答案：C
3．(2009·遼寧高考)平面向量a與b的夾角為60°，a＝(2,0)，|b|＝1，則|a＋2b|＝(　　)
A. B．2
C．4 D．12
解析：∵|a|＝2，∴|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12，∴|a＋2b|＝2.
答案：B
4．已知非零向量和滿足(＋)·＝0，且·＝，則△ABC為(　　)
A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等邊三角形 D．等邊三角形
解析：由(＋)·＝0?∠BAC的角平分線與BC垂直，∴△ABC為等腰三角形，
∵·＝，
∴∠BAC＝60°，∴△ABC為等邊三角形．
答案：D
5．設(shè)D、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點，且＝2，＝2，＝2，則＋＋與
(　　)
A．反向平行 B．同向平行
C．互相垂直 D．既不平行也不垂直
解析：＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
∴＋＋＝＋＋
＝(＋)＋
＝＋＝－.故選A.
答案：A
6．已知a，b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a－c)·(b－c)＝0，則|c|的最大值是
(　　)
A．1 B．2
C. D.
解析：建立平面直角坐標系，設(shè)a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)．
由(a－c)·(b－c)＝0得(x－)2＋(y－)2＝.
這說明向量c的終點在圓(x－)2＋(y－)2＝上，又向量c的起點O也在圓上，原點O到此圓上的點的最大值等于圓的直徑的大小，即|c|max＝.故選C.
答案：C
二、填空題(每小題5分，共20分)
7．(2009·江蘇高考)已知向量a和向量b的夾角為30°，|a|＝2，|b|＝，則向量a和向量b的數(shù)量積a·b＝________.
解析：a·b＝|a|·|b|·cosθ＝2×cos30°＝2×＝3.
答案：3
8．(2009·廣東高考)若平面向量a，b滿足|a＋b|＝1，a＋b平行于x軸，b＝(2，－1)，則a＝________.
解析：設(shè)a＝(x，y)，則a＋b＝(x＋2，y－1)，
由題意?
∴a＝(－1,1)或(－3,1)．
答案：(－1,1)或(－3,1)
9．如圖1，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是邊BC上一點，DC＝2BD，則·＝________.
圖1
解析：＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋，
又∵＝－，||2＝1，||2＝4，
∴·＝2×1×cos120°＝－1，
∴·＝(＋)·(－)
＝2－2＋·＝－，故填－.
答案：－
10．已知點G是△ABC的重心，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，那么λ＋μ＝________；若∠A＝120°，·＝－2，則||的最小值是__________．
解析：取BC的中點D，則＝＝×(＋)＝＋，因此λ＋μ＝＋＝；當∠A＝120°，·＝－2時，||·||cos120°＝－2，||·||＝4，||＝|＋|＝≥＝，即||的最小值是.
答案：　
三、解答題(共50分)
11．(15分)已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝
(1,0)，e2＝(0,1)．
(1)試計算a·b及|a＋b|的值；
(2)求向量a與b夾角的大小．
解：由已知a＝(1，－1)，b＝(4,3)．
(1)a·b＝1×4＋(－1)×3＝1，
∵a＋b＝(1，－1)＋(4,3)＝(5,2)，
∴|a＋b|＝＝.
(2)設(shè)a，b夾角為θ，
則cosθ＝＝＝，
又θ∈[0，π]，∴θ＝arccos.
12．(15分)已知a＝(－，)，＝a－b，＝a＋b，若△AOB是以O(shè)為直角頂點的等腰直角三角形，求向量b及△AOB的面積．
解：∵⊥，∴·＝0，
即(a－b)·(a＋b)＝0，∴|a|2－|b|2＝0，
∵|a|＝1，∴|b|＝1.
又||＝|－|＝|2b|＝2，
∴||＝||＝，
即|a＋b|＝|a－b|＝，∴a·b＝0.
設(shè)b＝(x，y)，則由
解得b＝(，)或(－，－)，
S△AOB＝||||＝()2＝1.
13．(20分)(2009·石家莊一模)在△ABC中，BC＝2，AC＝，AB＝＋1.
(1)求·；
(2)設(shè)△ABC的外心為O，若＝m＋n，求m，n的值．
解：(1)由余弦定理知：cosA＝＝，
∴·＝||·||cosA＝(＋1)·＝＋1.
(2)由＝m＋n，
知
∴
∵O為△ABC的外心，
∴·＝||·||cos∠BAO
＝||·||·＝(＋1)2.
同理，∴·＝1.
即
解得：

課時作業(yè)28　線段的定比分點與平移
時間：45分鐘　　　　分值：100分
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．已知點P為線段AB上的一點，且P分的比為2，則點B分有向線段的比為(　　)
A．－2　　　　　　　　　　 B．－3
C. D．－
答案：B
2．已知△ABC的三個頂點分別是A(1，)，B(4，－2)，
C(1，y)，重心為G(x，－1)，則x、y的值分別是
(　　)
A．x＝2，y＝5 B．x＝1，y＝－
C．x＝1，y＝－1 D．x＝2，y＝－
解析：由重心坐標公式x＝＝2，－1＝?y＝－.
答案：D
3．已知點A(2,3)，B(10,5)，直線AB上一點P滿足||＝2||，則點P的坐標是(　　)
A．(，) B．(18,7)
C．(，)或(18,7) D．(18,7)或(－6，－1)
解析：設(shè)＝λ，由||＝2||可知λ＝±2，由定比分點坐標公式可得P點坐標為(，)或(18,7)．
答案：C
4．(2010·河北實驗中學(xué)檢測)若已知函數(shù)y＝的圖象按向量n＝(b,0)平移后得到函數(shù)y＝的圖象，則函數(shù)f(x)＝ax－b(a>0且a≠1)的反函數(shù)的圖象恒過定點
(　　)
A．(2,1) B．(1,2)
C．(－2,1) D．(0,2)
解析：函數(shù)y＝的圖象按n＝(b,0)平移后得到函數(shù)y＝的圖象，∴b＝2.
f(x)＝ax－2恒過(2,1)點，f－1(x)恒過(1,2)點．
答案：B
5．將函數(shù)y＝sinωx(ω>0)的圖象按向量a＝(－，0)平移，平移后的圖象如圖1所示，則平移后的圖象所對應(yīng)函數(shù)的解析式是
(　　)
圖1
A．y＝sin(x＋)
B．y＝sin(x－)
C．y＝sin(2x＋)
D．y＝sin(2x－)
解析：由圖象可看出ω＝＝＝2.
按向量a＝(－，0)平移，即向左平移個單位．
平移后的函數(shù)解析式為y＝sin[2(x＋)]＝sin(2x＋)．
答案：C
6．(2010·湖北八校聯(lián)考)將函數(shù)f(x)＝x3＋3x2＋3x的圖象按向量a平移后得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)滿足g(x)＋g(2－x)＝1，則向量a的坐標是
(　　)
A．(－1，－1) B．(2，)
C．(2,2) D．(－2，－)
解析：設(shè)平移向量a＝(m，n)，(x，y)是函數(shù)f(x)＝x3＋3x2＋3x圖象上任意點的坐標，(x′，y′)是按向量a＝(m，n)平移后函數(shù)g(x)圖象上對應(yīng)點的坐標，則平移公式，代入f(x)＝x3＋3x2＋3x得g(x′)＝(x′－m＋1)3－1＋n，由于g(x)＋g(2－x)＝1，(1－m＋x)3－1＋n＋(3－m－x)3－1＋n＝1，整理并解得m＝2，n＝，選擇B.
答案：B
二、填空題(每小題5分，共20分)
7．把函數(shù)y＝3x的圖象按a＝(2，－2)平移得到F′，F(xiàn)′的解析式為__________．
答案：y＝3x－2－2
8．已知A(1,0)，B(0，－1)，P(x，y)，O為坐標原點，若＝，則P點的軌跡方程為__________．
解析：消去參數(shù)得：y＝x－1，(x≠0)．
答案：y＝x－1，(x≠0)
9．(2009·北京西城模擬)已知點A(0,0)，B(，0)，C(0,1)．設(shè)AD⊥BC于D，那么有＝λ，其中λ＝________.
解析：如圖2，|AB|＝，|AC|＝1，|CB|＝2，由于AD⊥BC，且＝λ，所以C、D、B 共線，所以＝，即λ＝.
圖2
答案：
10．(2009·福建質(zhì)檢)P為△ABC所在平面上的點，且滿足＝＋，則△ABP與△ABC的面積之比是________．
圖3
解析：∵＝＋，∴＝
∴P點位置如圖3所示：∴＝
答案：1?2
三、解答題(共50分)
11．(15分)已知A(2,3)，B(－1,5)，且滿足＝，＝3，＝－，求C，D，E的坐標．
解：解法1：設(shè)C(xC，yC)，D(xD，yD)，E(xE，yE)．
∴＝(xC－2，yC－3)，＝(－3,2)．
＝(xD－2，yD－3)，＝(xE－2，yE－3)．
由條件得(xC－2，yC－3)＝(－3,2)，
(xD－2，yD－3)＝3(－3,2)，
(xE－2，yE－3)＝－(－3,2)．從而有
，，.
∴C(1，)，D(－7,9)，E(，)．
解法2：由＝3＝3(＋)得＝－.
由＝－(＋)，得＝－.
由＝＝(＋)，得＝.
由定比分點公式，可得
xC＝＝1，yC＝＝；
xD＝＝－7，
yD＝＝9；
xE＝＝，
yE＝＝.
∴C(1，)，D(－7,9)，E(，)．
12．(15分)已知函數(shù)y＝－2(x－2)2－1經(jīng)過a平移后使得拋物線頂點在y軸上，且在x軸上截得的弦長為4，求平移后的函數(shù)解析式和a.
解：設(shè)a＝(h，k)，則平移公式為
，將其代入y＝－2(x－2)2－1，
得平移后的拋物線為y′－k＝－2(x′－h(huán)－2)2－1，
即y－k＝－2(x－h(huán)－2)2－1，
∵它的頂點在y軸上，∴－h(huán)－2＝0，h＝－2，
∴y－k＝－2x2－1，
令y＝0，得2x2－k＋1＝0，x＝±.
又∵|x1－x2|＝4，∴2＝4，
∴k＝9，∴y＝－2x2＋8，a＝(－2,9)．
13．(20分)已知點M(2,3)，N(8,4)在線段MN內(nèi)是否存在點P，使＝λ＝λ2(λ≠0)成立？若存在，求出對應(yīng)的λ的值和P點坐標；若不存在，請說明理由．
解：由λ＝λ2即＝λ.
∴＝λ(＋)，整理得＝
又＝λ，∴λ＝，即λ2＋λ－1＝0.
又λ>0，∴λ＝.
∴x＝＝11－3，
y＝＝.
因此存在一點P滿足條件，對應(yīng)的λ＝，P點坐標為(11－3，)．

課時作業(yè)29　解斜三角形
時間：45分鐘　　　　分值：100分
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知A＝，a＝，b＝1，則c等于
(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．2
C.－1 D.
解析：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得3＝1＋c2－2c·cos，即c2－c－2＝0，得c＝－1(舍去)，c＝2.故選B.
答案：B
2．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c.若a2＋c2－b2＝ac，則角B的值為
(　　)
A. B.
C.或 D.或
解析：由a2＋c2－b2＝ac聯(lián)想到余弦定理cosB＝＝，∴∠B＝.
答案：A
3．在三角形ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，則∠BAC的大小為
(　　)
A. B.
C. D.
解析：由余弦定理cos∠BAC＝＝＝－，∴∠BAC＝120°.
答案：A
4．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a、b、c成等比數(shù)列，且c＝2a，則cosB等于
(　　)
A. B.
C. D.
解析：∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2＝ac.
又∵c＝2a，∴b2＝2a2.
由余弦定理，cosB＝＝＝，故選B.
答案：B
5．已知△ABC，若對任意m∈R，|－m|≥||恒成立，則△ABC必定為
(　　)
A．銳角三角形 B．鈍角三角形
C．直角三角形 D．不確定
解析：設(shè)m＝，則由題意得||≥||，由m的任意性可知，點D可視為是直線AB上的任意一點，即對于直線AB上的任意一點D與點C的距離都不小于A、C兩點間的距離，因此AC⊥AB，選C.
答案：C
6．(2009·泉州質(zhì)檢)在銳角△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，設(shè)B＝2A，則b?a的取值范圍是
(　　)
A．(1,2) B．(0,2)
C．(，2) D．(，)
解析：＝＝2cosA，
由，得：∴cosA∈(，)，∴∈(，)．
答案：D
二、填空題(每小題5分，共20分)
7．已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，且AB＝1，BC＝4，則邊BC上的中線AD的長為__________．
解析：∵A、B、C成等差數(shù)列，∴2B＝A＋C.
∵A＋B＋C＝π，∴B＝.
在△ABD中，AD＝
＝＝.
答案：
8．在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，則AC＝__________.
解析：由正弦定理得＝，即＝，
∴AC＝×＝4.
答案：4
9．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.若(b－c)cosA＝acosC，則cosA＝________.
解析：由正弦定理得：(sinB－sinC)cosA＝sinA·cosC?sinBcosA－sinCcosA＝sinA·cosC?sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB.即cosA＝.
答案：
10．在△ABC中，若＝＝，則tanA∶tanB∶tanC＝__________，tanA＝________.
解析：由＝＝，
得＝＝，∴＝＝，
結(jié)合正弦定理有：＝＝，
∴3tanB＝2tanC＝tanA，
∴tanA∶tanB∶tanC＝1∶∶＝6∶2∶3，且∠A、∠B、∠C皆為銳角．
又∵tanA＝－tan(B＋C)＝－
＝，
∴tan2A－1＝，tan2A＝11，∴tanA＝.
答案：6?2?3　
三、解答題(共50分)
11．(15分)在△ABC中，cosA＝－，cosB＝.
(1)求sinC的值；
(2)設(shè)BC＝5，求△ABC的面積．
解：(1)由cosA＝－，得sinA＝，
由cosB＝，得sinB＝.
所以sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝.
(2)由正弦定理得
AC＝＝＝.
所以△ABC的面積
S＝×BC×AC×sinC＝×5××＝.
12．(15分)(2009·天津高考)在△ABC中，BC＝，AC＝3，sinC＝2sinA.
(1)求AB的值；
(2)求sin(2A－)的值．
解：(1)在△ABC中，根據(jù)正弦定理，＝.
于是AB＝BC＝2BC＝2.
(2)在△ABC中，根據(jù)余弦定理，
得cosA＝＝.
于是sinA＝＝.
從而sin2A＝2sinAcosA＝，cos2A＝cos2A－sin2A＝.
所以sin(2A－)＝sin2Acos－cos2Asin＝.
13．(20分)(2009·福建高考)如圖1，某市擬在長為8 km的道路OP的一側(cè)修建一條運動賽道．賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)y＝Asinωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的圖象，且圖象的最高點為S(3,2)；賽道的后一部分為折線段MNP.為保證參賽運動員的安全，限定∠MNP＝120°.
圖1
(1)求A，ω的值和M，P兩點間的距離；
(2)應(yīng)如何設(shè)計，才能使折線段賽道MNP最長？
圖2
解：解法1：(1)依題意，有A＝2，＝3，
又T＝，∴ω＝.
∴y＝2sinx.
當x＝4時，y＝2sin＝3，
∴M(4,3)．又P(8,0)，
∴MP＝＝5.
(2)在△MNP中，∠MNP＝120°，MP＝5.
設(shè)∠PMN＝θ，則0°<θ<60°.
由正弦定理得＝＝，
∴NP＝sinθ，MN＝sin(60°－θ)．
故NP＋MN＝sinθ＋sin(60°－θ)
＝(sinθ＋cosθ)＝sin(θ＋60°)．
∵0°<θ<60°，∴當θ＝30°時，折線段賽道MNP最長．
亦即，將∠PMN設(shè)計為30°時，折線段賽道MNP最長．
解法2：(1)同解法1.
(2)在△MNP中，∠MNP＝120°，MP＝5，
由余弦定理得
MN2＋NP2－2MN·NP·cos∠MNP＝MP2，
即MN2＋NP2＋MN·NP＝25.
故(MN＋NP)2－25＝MN·NP≤()2，
從而(MN＋NP)2≤25，即MN＋NP≤，
當且僅當MN＝NP時等號成立．
亦即，設(shè)計為MN＝NP時，折線段賽道MNP最長．
注：本題第(2)問答案及其呈現(xiàn)方式均不唯一．除了解法1、解法2給出的兩種設(shè)計方式，還可以設(shè)計為：①N(，)；②N(，)；③點N在線段MP的垂直平分線上等．

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