資源簡介

第七章　直線和圓的方程
課時作業35　直線方程

時間：45分鐘　　　　分值：100分
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．若直線ax＋by＋c＝0在一、二、三象限，則有 (　　)
A．ab>0，bc>0　　　　　 B．ab>0，bc<0
C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0
解析：由題意知即選D.
答案：D
2．設直線ax＋by＋c＝0的傾斜角為α，且sinα＋cosα＝0，則a、b滿足 (　　)
A．a＋b＝1 B．a－b＝1
C．a＋b＝0 D．a－b＝0
解析：0°≤α<180°，又sinα＋cosα＝0，α＝135°，∴a－b＝0.
答案：D
3．直線x－2y＋2k＝0與兩坐標軸所圍成的三角形面積不大于1，那么k的范圍是(　　)
A．k≥－1 B．k≤1
C．－1≤k≤1且k≠0 D．k≤－1或k≥1
解析：令x＝0，得y＝k；令y＝0，得x＝－2k.
∴三角形面積S＝|xy|＝k2.
又S≤1，即k2≤1，∴－1≤k≤1.
又∵k＝0時不合題意，故選C.
答案：C
4．(2010·湖北荊州質檢)過點P(1,2)，且方向向量為v＝
(－1,1)的直線的方程為 (　　)
A．x－y－3＝0 B．x＋y＋3＝0
C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0
解析：方向向量為v＝(－1,1)，則直線的斜率為－1，直線方程為y－2＝－(x－1)即x＋y－3＝0，故選C.
答案：C
5．(2010·唐山一模)設ab>0，當＋取最小值時，直線ax＋by＝0的傾斜角為(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：＋≥2，當且僅當＝，即a2＝3b2時等號成立，此時＝，∴直線的斜率為－＝－，其傾斜角為120°，故選C.
答案：C
6．過直線y＝x上的一點作圓(x－5)2＋(y－1)2＝2的兩條切線l1、l2.當直線l1、l2關于y＝x對稱時，它們之間的夾角為 (　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：設過直線y＝x上一點P作圓的切線，圓心為
Q(5,1)，
∵直線l1、l2關于y＝x對稱，
∴直線PQ與l：y＝x垂直，
點Q到直線l的距離d＝＝2，
又圓的半徑為，∴l1、l2與直線PQ的夾角均是30°.
∴l1與l2的夾角為2×30°＝60°，故選C.
答案：C
二、填空題(每小題5分，共20分)
7．過點(1,0)且傾斜角是直線x－2y－1＝0的傾斜角的兩倍的直線方程是__________．
解析：設傾斜角為θ，則tanθ＝＝.
∴直線方程為y＝(x－1)，即4x－3y－4＝0.
答案：4x－3y－4＝0
8．已知A(2m,5)、B(1,3)、C(－1，－m)三點共線，則m的值為__________．
解析：由kAB＝kBC，即＝，得m＝1或m＝－.
答案：1或－
9．實數x、y滿足3x－2y－5＝0(1≤x≤3)，則的最大值、最小值分別為__________．
圖1
解：設k＝，則表示線段AB：3x－2y－5＝0(1≤x≤3)上的點與原點的連線的斜率．由圖1，易知max＝kOB＝，min＝kOA＝－1.
答案：，－1
10．(2009·廣州惠州一模)已知曲線y＝x2－1在x＝x0點處的切線與曲線y＝1－x3在x＝x0點處的切線互相平行，則x0的值為__________．
解析：y′＝2x得k1＝2x0，y′＝0－3x2得k2＝－3x，∴2x0＝－3x得x0＝0或x0＝－.
答案：x0＝0或x0＝－
三、解答題(共50分)
11．(15分)在△ABC中，已知點A(5，－2)、B(7,3)，且邊AC的中點M在y軸上，邊BC的中點N在x軸上．
(1)求點C的坐標；
(2)求直線MN的方程．
解：(1)設點C(x，y)，由題意得＝0，＝0，得x＝－5，y＝－3.故所求點C的坐標是(－5，－3)．
(2)點M的坐標是(0，－)，點N的坐標是(1,0)，直線MN的方程是＝，即5x－2y－5＝0.
12．(15分)一條直線經過點P(3,2)，并且分別滿足下列條件，求直線方程．
(1)傾斜角是直線x－4y＋3＝0的傾斜角的2倍；
(2)與x、y軸的正半軸分別交于A、B兩點，且△AOB的面積最小(O為坐標原點)．
解：(1)設所求直線傾斜角為θ，已知直線的傾斜角為α，則θ＝2α，且tanα＝，tanθ＝tan2α＝，從而方程為8x－15y＋6＝0.
(2)設直線方程為＋＝1，代入P(3,2)，得＋＝1≥2，得ab≥24，從而S△AOB＝ab≥12，此時＝.
∴k＝－＝－.
∴所求方程為2x＋3y－12＝0.
13．(20分)(2008·北京高考)已知菱形ABCD的頂點A、C在橢圓x2＋3y2＝4上，對角線BD所在直線的斜率為1.
(1)當直線BD過點(0,1)時，求直線AC的方程；
(2)當∠ABC＝60°時，求菱形ABCD面積的最大值．
解：(1)由題意得直線BD的方程為y＝x＋1.
因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD.
于是可設直線AC的方程為y＝－x＋n.
由得4x2－6nx＋3n2－4＝0.
因為A、C在橢圓上，所以Δ＝－12n2＋64>0，
解得－設A，C兩點坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，
則x1＋x2＝，x1x2＝，
y1＝－x1＋n，y2＝－x2＋n.所以y1＋y2＝.
所以AC的中點坐標為.
由四邊形ABCD為菱形可知，
點在直線y＝x＋1上，
所以＝＋1，解得n＝－2.
所以直線AC的方程為y＝－x－2，
即x＋y＋2＝0.
(2)因為四邊形ABCD為菱形，且∠ABC＝60°，
所以|AB|＝|BC|＝|CA|.
所以菱形ABCD的面積S＝|AC|2.
由(1)可得|AC|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2
＝，
所以S＝(－3n2＋16).
所以當n＝0時，菱形ABCD的面積取得最大值4.
課時作業36　兩條直線的位置關系

時間：45分鐘　　　　分值：100分
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．m＝－1是直線mx＋y－3＝0與直線2x＋m(m－1)y＋2＝0垂直的 (　　)
A．充分不必要條件　　　　 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
解析：兩直線垂直的充要條件是2m＋m(m－1)＝0，解得m＝0或m＝－1，∴m＝－1僅是兩直線垂直的充分不必要條件．
答案：A
2．若直線l：y＝kx－與直線2x＋3y－6＝0的交點位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是 (　　)
A．[，) B．(，)
C．(，) D．[，]
解析：解法1：求出交點坐標，再由交點在第一象限求得傾斜角的范圍?
∵交點在第一象限，∴，
∴，∴k∈(，＋∞)．
圖1
∴傾斜角范圍為(，)．
解法2：如圖1所示，直線2x＋3y－6＝0過點A(3,0)，B(0,2)，直線l必過點C(0，－)，當直線過A點時，兩直線的交點在x軸，當直線l繞C點逆時針旋轉時，交點進入第一象限，從而得出結果．
答案：B
3．直線x－2y＋1＝0關于直線x＝1對稱的直線方程是 (　　)
A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0
解析：在直線x－2y＋1＝0上任取兩點(1,1)，(0，)，這兩點關于直線x＝1的對稱點分別為(1,1)，(2，)，
過這兩點的直線方程為y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.所以應選D.
答案：D
4．(2009·上海高考)已知直線l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0與l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，則k的值是 (　　)
A．1或3 B．1或5
C．3或5 D．1或2
解析：當k＝4時，直線l1的斜率不存在，直線l2的斜率為1，兩直線不平行；當k≠4時，兩直線平行的一個必要條件是＝k－3，解得k＝3或k＝5，但必須同時滿足≠(截距不相等)才是充要條件，檢驗知k＝3、k＝5均滿足這個條件．故選C.
答案：C
5．光線入射在直線l1：2x－y－3＝0上，經過x軸反射到直線l2上，再經過y軸反射到直線l3上，則l3的直線方程為 (　　)
A．x－2y＋3＝0 B．2x－y＋3＝0
C．2x＋y－3＝0 D．2x－y＋6＝0
解析：2x－y－3＝0與x軸交點為(，0)
所以2x－y－3＝0關于x軸的對稱直線為2x＋y－3＝0,2x＋y－3＝0關于y軸對稱的直線為2x－y＋3＝0，所以l3的方程為2x－y＋3＝0.選B.
答案：B
6．設兩條平行直線的方程分別為x＋y＋a＝0、x＋y＋b＝0，已知a、b是關于x的方程x2＋x＋c＝0的兩個實數根，且0≤c≤，則這兩條直線之間的距離的最大值和最小值分別為 (　　)
A.， B.，
C.， D.，
解析：由題意得，|a－b|＝＝，∵0≤c≤，∴|a－b|∈[，1]，∴兩直線間的距離d＝∈[，]，∴兩條直線之間的距離的最大值和最小值分別為，.
答案：D
二、填空題(每小題5分，共20分)
7．與直線3x＋4y＋12＝0平行，且與坐標軸構成的三角形面積是24的直線l的方程是__________．
解析：由題意可設直線l：3x＋4y＋c＝0，令x＝0，y＝－，令y＝0，x＝－，∴··＝24?c＝±24，
∴直線l：3x＋4y±24＝0.
答案：3x＋4y±24＝0
8．點P(4cosθ，3sinθ)到直線x＋y－6＝0的距離的最小值等于__________．
解析：由點到直線的距離公式可得
d＝＝
∵－5≤5sin(θ＋φ)≤5，
∴－11≤5sin(θ＋φ)－6≤－1.∴dmin＝.
答案：
9．直線l1：a1x＋b1y＋1＝0和直線l2：a2x＋b2y＋1＝0的交點為(2,3)，則過兩點Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直線方程為__________．
解析：∵(2,3)為兩直線l1，l2的交點，
∴2a1＋3b1＋1＝0,2a2＋3b2＋1＝0，由此可知，
點Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)都在直線2x＋3y＋1＝0上，
又∵l1與l2是兩條不同的直線，
∴a1與a2，b1與b2不可能全相同，
因此Q1，Q2為不同的兩點，
∴過兩點Q1，Q2的直線方程為2x＋3y＋1＝0.
答案：2x＋3y＋1＝0
10．(2009·全國卷Ⅰ)若直線m被兩平行線l1：x－y＋1＝0與l2：x－y＋3＝0所截得的線段的長為2，則m的傾斜角可以是①15°?、?0°?、?5°?、?0°?、?5°
其中正確答案的序號是________．(寫出所有正確答案的序號)
圖2
解析：兩平行線間的距離為d＝＝，如圖2所示，可知直線m與l1、l2的夾角為30°，l1、l2的傾斜角為45°，所以直線m的傾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.故填①⑤.
答案：①⑤
三、解答題(共50分)
11．(15分)等腰Rt△ABC的斜邊AB所在的直線方程是3x－y＋2＝0，C(，)，求直線AC和直線BC的方程和△ABC的面積．
解：kAB＝3，設與直線AB夾角為45°的直線斜率為k，則＝tan45°＝1.
∴k＝或－2.∴直線AC、BC的方程為
y－＝(x－)和y－＝－2(x－)，
即x－2y－2＝0和2x＋y－6＝0，
又C到直線AB的距離d＝，
∴S△ABC＝|AB|·d＝×2×＝10.
12．(15分)△ABC中，A(1,4)，∠ABC的平分線所在直線方程為x－2y＝0，∠ACB的平分線所在直線的方程為x＋y－1＝0(如圖3)，求BC邊所在直線的方程．
圖3
解：設A點關于直線x－2y＝0的對稱點為A1(x1，y1)，則有
，可解得即A1(，－)，
設點A關于x＋y－1＝0的對稱點為A2(x2，y2)，
則有
解得.即A2(－3,0)．
則直線A1A2即直線BC的方程為
y＝[x－(－3)]
即4x＋17y＋12＝0.
13．(20分)兩條互相平行的直線分別過點A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自繞著A、B旋轉，如果兩條平行直線間的距離為d，求：
(1)d的變化范圍；
(2)當d取最大值時，兩條直線的方程．
解：(1)方法1：①當兩條直線的斜率不存在時，即兩直線分別為x＝6和x＝－3，則它們之間的距離為9.
②當兩條直線的斜率存在時，設這兩條直線方程為
l1：y－2＝k(x－6)，
l2：y＋1＝k(x＋3)，
即l1：kx－y－6k＋2＝0，l2：kx－y＋3k－1＝0.
∴d＝＝，
即(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0.
∵k∈R，且d≠9，d>0，
∴Δ＝542－4(81－d2)(9－d2)≥0，
即0綜合①②可知，所求的d的變化范圍為(0,3]．
圖4
方法2：如圖4所示，
顯然有0而|AB|＝
＝3.
故所求的d的變化范圍為(0,3]．
(2)由圖4可知，當d取最大值時，兩直線垂直于AB.
而kAB＝＝，
∴所求的直線的斜率為－3.
故所求的直線方程分別為y－2＝－3(x－6)和y＋1＝
－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
課時作業37　簡單的線性規劃

時間：45分鐘　　　　分值：100分
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．若實數x、y滿足則的取值范圍是 (　　)
A．(0,1)　　　　　　　　 B．(0,1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
圖1
解析：先作出可行域如圖1，而＝，可作為點(x，y)與原點連線的斜率，故選C.
答案：C
2．(2009·天津高考)設變量x、y滿足約束條件則目標函數z＝2x＋3y的最小值為 (　　)
A．6 B．7
C．8 D．23
解析：約束條件表示的平面區域如圖2
圖2
易知過C(2,1)時，目標函數z＝2x＋3y取得最小值．
∴zmin＝2×2＋3×1＝7.故選B.
答案：B
3．(2009·陜西高考)若x，y滿足約束條件目標函數z＝ax＋2y僅在點(1,0)處取得最小值，則a的取值范圍是 (　　)
圖3
A．(－1,2)　　 B．(－4,2)
C．(－4,0] D．(－2,4)
解析：可行域為△ABC，如圖3
當a＝0時，顯然成立．當a>0時，直線ax＋2y－z＝0的斜率k＝－>kAC＝－1，a<2.
當a<0時，k＝－－4.
綜合得－4答案：B
4．(2009·安徽高考)若不等式組 所表示的平面區域被直線y＝kx＋分為面積相等的兩部分，則k的值是 (　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
圖4
解析：由圖4可知，線性規劃區域為△ABC邊界及內部，y＝kx＋恰過A，y＝kx＋將區域平均分成面積相等兩部分，故過BC的中點D，＝k×＋，k＝，故選A.
答案：A
5．(2009·山東高考)設x，y滿足約束條件若目標函數z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值為12，則＋的最小值為 (　　)
A. B.
C. D．4
圖5
解析：作可行域如圖5可知，目標函數在(4,6)處取得最大值12，
∴2a＋3b＝6，從而有＋
＝(2a＋3b)
＝
＝＋
＝＋≥＋2＝.故選A.
答案：A
6．(2009·湖北高考)在“家電下鄉”活動中，某廠要將100臺洗衣機運往鄰近的鄉鎮，現有4輛甲型貨車和8輛乙型貨車可供使用．每輛甲型貨車運輸費用400元，可裝洗衣機20臺；每輛乙型貨車運輸費用300元，可裝洗衣機10臺．若每輛車至多只運一次，則該廠所花的最少運輸費用為 (　　)
A．2000元 B．2200元
C．2400元 D．2800元
解析：設需使用甲型貨車x輛，乙型貨車y輛，運輸費用z元，根據題意得線性約束條件求線性目標函數z＝400x＋300y的最小值．
解得當時，zmin＝2200，故選B.
答案：B
二、填空題(每小題5分，共20分)
7．已知點P(x1，y1)不在直線l：Ax＋By＋C＝0(B≠0)上，則P在直線l上方的充要條件是__________，P在直線l下方的充要條件是__________．
解析：直線l：Ax＋By＋C＝0(B≠0)上點M，其橫坐標x＝x1時，縱坐標y＝－，點P在直線l的上方等價于點P在點M的上方，即y1>－，∴>0，亦即B(Ax1＋By1＋C)>0.所以P在直線l上方的充要條件是B(Ax1＋By1＋C)>0，同理P在直線l下方的充要條件是B(Ax1＋By1＋C)<0.
答案：B(Ax1＋By1＋C)>0　B(Ax1＋By1＋C)<0
8．(2009·浙江高考)若實數x、y滿足不等式組則2x＋3y的最小值是________．
圖6
解析：依題意作出可行性區域如圖6，目標函數z＝2x＋3y在邊界點(2,0)處取到最小值z＝2×2＋3×0＝4.
答案：4
9．若a≥0，b≥0，且當時，恒有ax＋by≤1，則以a、b為坐標的點P(a，b)所形成的平面區域的面積等于__________．
解析：令z＝ax＋by，
∵ax＋by≤1恒成立，
即函數z＝ax＋by在可行域要求的條件下，zmax＝1恒成立．
當直線ax＋by－z＝0過點(1,0)或點(0,1)時，0≤a≤1,0≤b≤1.點P(a，b)形成的圖形是邊長為1的正方形．
∴所求的面積S＝12＝1.
答案：1
10．若A為不等式組表示的平面區域，則當a從－2連續變化到1時，動直線x＋y＝a掃過A中的那部分區域的面積為__________．
圖7
解析：根據題意作圖如圖7：
圖中陰影部分為所求的區域，設其面積為S，S＝S△AOD－S△ABC＝·2·2－·1·＝.
答案：
三、解答題(共50分)
11．(15分)求不等式|x|＋|y|≤2表示的平面區域的面積．
解：|x|＋|y|≤2可化為：
圖8
或
或或
其平面區域如圖8所示．
∴面積S＝×4×4＝8.
12．(15分)某廠擬生產甲、乙兩種試銷產品，每件銷售收入分別為3千元、2千元．甲、乙產品都需要在A、B兩種設備上加工，在每臺A、B上加工一件甲所需工時分別為1工時、2工時，加工一件乙所需工時分別為2工時、1工時，A、B兩種設備每月有效使用臺時數為a(400≤a≤500)．求生產收入最大值的范圍．
解：設甲、乙兩種產品月產量分別為x、y件，約束條件是目標函數是z＝3x＋2y，
由約束條件畫出可行域，如圖9.
圖9
將z＝3x＋2y變形為y＝－x＋，
這是斜率為－，隨z變化的一簇直線．
是直線在y軸上的截距，當最大時z最大，當然直線要與可行域相交，即在滿足約束條件時目標函數取得最大值．
由解得
在這個問題中，使z＝3x＋2y取得最大值的(x，y)是兩直線2x＋y＝a與x＋2y＝a的交點(，)．
∴z＝3·＋2·＝a.
又∵400≤a≤500，∴≤z≤.
故月生產收入最大值的范圍是[，]．
13．(20分)(2009·全國卷Ⅰ)設函數f(x)＝x3＋3bx2＋3cx有兩個極值點x1、x2，且x1∈[－1,0]，x2∈[1,2]．
(1)求b、c滿足的約束條件，并在下面的坐標平面內，畫出滿足這些條件的點(b，c)的區域；
圖10
(2)證明：－10≤f(x2)≤－.
解：(1)f′(x)＝3x2＋6bx＋3c，依題意知，方程f′(x)＝0有兩個根x1、x2，且x1∈[－1,0]，x2∈[1,2]等價于f′(－1)≥0，f′(0)≤0，f′(1)≤0，f′(2)≥0.
由此得b、c滿足的約束條件為
滿足這些條件的點(b，c)的區域為圖11中陰影部分．
圖11
(2)由題設知f′(x2)＝3x＋6bx2＋3c＝0，故bx2＝－x－c，于是f(x2)＝x＋3bx＋3cx2＝－x＋x2.
由于x2∈[1,2]，而由(1)知c≤0，
故－4＋3c≤f(x2)≤－＋c.
又由(1)知－2≤c≤0，所以－10≤f(x2)≤－.
課時作業38　圓的方程

時間：45分鐘　　　　分值：100分
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．若x2＋y2＋(λ－1)x＋2λy＋λ＝0表示圓，則λ的取值范圍是 (　　)
A．(0，＋∞)　　　　　　　　B．[，1]
C．(1，＋∞)∪(－∞，) D．R
解析：D2＋E2－4F＝(λ－1)2＋4λ2－4λ>0，解不等式得λ<或λ>1，故選C.
答案：C
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)表示的曲線關于x＋y＝0成軸對稱圖形，則 (　　)
A．D＋E＝0 B．D＋F＝0
C．E＋F＝0 D．D＋E＋F＝0
解析：曲線關于x＋y＝0成軸對稱圖形，即圓心在x＋y＝0上．
答案：A
3．(2009·遼寧高考)已知圓C與直線x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圓心在直線x＋y＝0上，則圓C的方程為 (　　)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
解析：∵直線x－y＝0與x－y－4＝0平行，∴它們之間的距離即為圓的直徑．∴2R＝.∴R＝.設圓心坐標為C(a，－a)，則滿足點C到兩條切線的距離都等于半徑，
∴＝，＝，解得a＝1，故圓心為(1，－1)，
∴圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
答案：B
4．一束光線從點A(－1,1)出發經x軸反射到圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路程是
(　　)
A．4 B．5
C．3－1 D．2
解析：圓C的圓心C的坐標為(2,3)，半徑r＝1.點A(－1,1)關于x軸的對稱點A′的坐標為(－1，－1)．
因A′在反射線上，所以最短距離為|A′C|－r，
即－1＝4.
答案：A
5．如果直線l將圓x2＋y2－2x－4y＝0平分，且不通過第四象限，那么l的斜率取值范圍是 (　　)
A．[0,2] B．[0,1]
C．[0，] D．[0，)
圖1
解析：化圓方程為(x－1)2＋(y－2)2＝5，l平分該圓，即直線l過圓心(1,2)．設l的方程為y－2＝k(x－1)，即y＝kx＋(2－k)．
由于點(1,2)在第一象限，如圖1，故l不通過第四象限的充要條件是l在y軸上的截距(2－k)∈[0,2]，即0≤2－k≤2，得0≤k≤2.
答案：A
6．已知兩點A(－1,0)、B(0,2)，點P是圓(x－1)2＋y2＝1上任意一點，則△PAB面積的最大值與最小值是 (　　)
A．2，(4－)
B.(4＋)，(4－)
C.，4－
D.(＋2)，(－2)
圖2
解析：如圖2，圓心(1,0)到直線AB：2x－y＋2＝0的距離d＝，
故圓上的點P到AB距離的最大值是＋1，最小值是－1.
又|AB|＝，
∴△PAB面積的最大值和最小值分別是2＋和2－.
答案：B
二、填空題(每小題5分，共20分)
7．圓心為(1,1)且與直線x＋y＝4相切的圓的方程為__________．
解析：半徑R＝＝，所以圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.
答案：(x－1)2＋(y－1)2＝2
8．圓x2＋y2＋x－6y＋3＝0上兩點P、Q關于直線kx－y＋4＝0對稱，則k＝__________.
解析：圓心(－，3)在直線上，代入kx－y＋4＝0，得k＝2.
答案：2
9．已知圓O：x2＋y2＝4，過點P(2，－1)作圓O的切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為__________．
解析：設切點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則過A，B的切線方程分別為：
x1·x＋y1·y＝4，x2·x＋y2·y＝4，
又因為均過點P(2，－1)，∴2x1－y1＝4,2x2－y2＝4，
說明點A(x1、y1)，B(x2，y2)均在直線2x－y＝4上．
∴直線AB的方程為2x－y－4＝0.
答案：2x－y－4＝0
10．在平面直角坐標系xOy中，若曲線x＝與直線x＝m有且只有一個公共點，則實數m＝__________.
圖3
解析：如圖3所示，作出曲線x＝與直線x＝m，可得當且僅當m＝2時，直線x＝2與半圓僅有一個交點．∴m＝2.
答案：2
三、解答題(共50分)
11．(15分)求經過點A(－2，－4)，且與直線l：x＋3y－26＝0相切于點B(8,6)的圓的方程．
解：根據本題的條件，既可以設圓的一般方程，也可以設圓的標準方程進行求解．
設圓心為C，則CB⊥l，
∴CB的方程為y－6＝3(x－8)，即3x－y－18＝0.
又AB的垂直平分線的方程為x＋y－4＝0，
聯立，得圓心C(，－)．
∴半徑r＝＝.
∴所求圓的方程為(x－)2＋(y＋)2＝.
12．(15分)已知⊙C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，點A(－1,0)、B(1,0)，點P是圓上動點，求d＝|PA|2＋|PB|2的最大、最小值及對應的P點坐標．
解：設點P為(x0，y0)，則d＝(x0＋1)2＋y＋(x0－1)2＋y＝2(x＋y)＋2，欲求d的最大、最小值，只需求u＝x＋y的最大、最小值，此即求⊙C上點到原點距離之平方的最大、最小值．
設直線OC交⊙C于P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，
則umin＝(|OC|－1)2＝16＝|OP1|2，
此時OP1?P1C＝4，
∴dmin＝34，對應P1坐標為，
同理可得dmax＝74，對應P2坐標為.
13．(20分)已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
(1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程；
(2)從圓C外一點P(x1，y1)向該圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的點P的坐標．
解：(1)∵切線在兩坐標軸上的截距相等，
∴當截距不為零時，設切線方程為x＋y＝a，
又∵圓C：(x＋1)2＋(y－2)2＝2，
∴圓心C(－1,2)到切線的距離等于圓半徑，
即＝，∴a＝－1或a＝3；
當截距為零時，設y＝kx，同理可得k＝2＋或k＝2－，
則所求切線的方程為x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0或y＝(2＋)x或y＝(2－)x.
(2)∵切線PM與半徑CM垂直，
∴|PC|2－|CM|2＝|PM|2＝|PO|2，
∴(x1＋1)2＋(y1－2)2－2＝x＋y，
∴2x1－4y1＋3＝0，
∴動點P的軌跡是直線2x－4y＋3＝0.
∵|PM|的最小值就是|PO|的最小值，
而|PO|的最小值為點O到直線2x－4y＋3＝0的距離d＝，
∴由，可得，
則所求點P坐標為(－ ，)．
課時作業39　直線與圓的位置關系

時間：45分鐘　　　　分值：100分
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．(2009·重慶高考)直線y＝x＋1與圓x2＋y2＝1的位置關系是 (　　)
A．相切 B．相交但直線不過圓心
C．直線過圓心 D．相離
解析：圓心(0,0)到直線y＝x＋1的距離為d＝＝，圓的半徑r＝1，∴0∴直線與圓相交但不過圓心．
答案：B
2．直線x－y＋m＝0與圓x2＋y2－2x－2＝0相切，則實數m等于 (　　)
A.或－ B．－或3
C．－3或 D．－3或3
解析：把圓的方程化成標準方程(x－1)2＋y2＝3，
由已知得＝，
即|m＋|＝2，
∴m＝－3或m＝.故選C.
答案：C
3．過點(－4,0)作直線l與圓x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A、B兩點，如果|AB|＝8，則l的方程為 (　　)
A．5x＋12y＋20＝0
B．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0
C．5x－12y＋20＝0
D．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0
解析：圓的標準方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝25，若|AB|＝8，只需保證圓心(－1,2)到直線l的距離等于3，過點(－4,0)的直線方程為y＝k(x＋4)和x＝－4，顯然x＝－4與(－1,2)的距離為3滿足題意；
而＝3，得k＝－，
從而直線方程為5x＋12y＋20＝0.
答案：B
4．若直線2ax－by＋2＝0(a，b∈R)始終平分圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的周長，則ab的取值范圍是 (　　)
A．(－∞，] B．(－∞，)
C．(，＋∞) D．[，＋∞)
解析：圓心(－1,2)，∵直線平分圓的周長，∴直線必過圓心，將(－1,2)代入直線方程得a＋b＝1，ab≤()2＝.
答案：A
5．能夠使得圓x2＋y2－2x＋4y＋1＝0上恰有兩個點到直線2x＋y＋c＝0距離等于1的c的一個值為 (　　)
A．2 B.
C．3 D．3
解析：圓的標準方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝4，圓心為
(1，－2)，半徑為2.根據圓的性質可知，當圓心到直線的距離大于1且小于3時，圓上有兩點到直線的距離為1，經驗證，c＝3時，圓心到直線2x＋y＋3＝0的距離為，滿足1<<3.因此c＝3滿足題意．
答案：C
6．若直線＋＝1通過點M(cosα，sinα)，則 (　　)
A．a2＋b2≤1 B．a2＋b2≥1
C.＋≤1 D.＋≥1
解析：∵點M(cosα，sinα)的軌跡方程為x2＋y2＝1，由題意知直線＋＝1與圓x2＋y2＝1有公共點，得圓心到直線的距離≤1，∴＋≥1.故選D.
答案：D
二、填空題(每小題5分，共20分)
7．直線l與圓x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于兩點A、B，弦AB的中點為(0,1)，則直線l的方程為__________．
解析：圓心P(－1,2)，AB中點Q(0,1)，kPQ＝＝－1，∴直線l的斜率k＝1，
故y－1＝1(x－0)，即x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
8．已知圓C的圓心與拋物線y2＝4x的焦點關于直線y＝x對稱．直線4x－3y－2＝0與圓C相交于A、B兩點，且|AB|＝6，則圓C的方程為__________．
解析：y2＝4x，焦點F(1,0)，
∴圓心O(0,1)．
O到4x－3y－2＝0的距離d＝＝1，則圓半徑r滿足r2＝12＋32＝10，∴圓方程為x2＋(y－1)2＝10.
答案：x2＋(y－1)2＝10
圖1
9．如圖1，A、B是直線l上的兩點，且AB＝2.兩個半徑相等的動圓分別與l相切于A，B點，C是這兩個圓的公共點，則圓弧AC，CB與線段AB圍成圖形面積S的取值范圍是__________．
解析：如圖2，當圓O1與圓O2外切于點C時，S最大，此時，
圖2
兩圓半徑為1，S等于矩形ABO2O1的面積減去兩扇形面積，
∴Smax＝2×1－2×(×π×12)＝2－.
隨著圓半徑的變化，C可以向直線l靠近，
當C到直線l的距離d→0時，S→0，∴S∈(0,2－]．
答案：(0,2－]
10．已知圓C1：x2＋y2＝9，圓C2：(x－4)2＋(y－6)2＝1，兩圓的外公切線交于P2點，內公切線交于P1點，若＝λ，則λ等于__________．
解析：如圖3：設||＝y，||＝x，||＝l，
又圓C1的半徑R＝3，圓C2的半徑r＝1，
由平面幾何性質可得＝＝?x＝l，
＝＝?y＝l.
λ＝－＝－＝－.
圖3
答案：－
三、解答題(共50分)
11．(15分)已知圓C同時滿足下列三個條件．
①與y軸相切；
②在直線y＝x上截得弦長為2；
③圓心在直線x－3y＝0上，求圓C的方程．
解：設所求的圓C與直線y＝x交于A、B，
∵圓心C在直線x－3y＝0上，∴設圓心為C(3a，a)，
∵圓與y軸相切，∴R＝3|a|.
而圓心C到直線x－y＝0的距離
|CD|＝＝|a|.
又∵|AB|＝2，|BD|＝，
在Rt△CBD中，R2－|CD|2＝()2，
∴9a2－2a2＝7，a2＝1，a＝±1,3a＝±3，
∴圓心的坐標C為(3,1)或(－3，－1)，故所求圓的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
12．(15分)已知圓x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直線x＋2y－3＝0交于P、Q兩點，若OP⊥OQ(O是原點)，求m的值．
解：設點P、Q的坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2)．由OP⊥OQ得kOP·kOQ＝－1，
即·＝－1，x1x2＋y1y2＝0 ①
又(x1，y1)，(x2，y2)是方程組
的實數解，
即x1、x2是方程5x2＋10x＋4m－27＝0的兩個根②
∴x1＋x2＝－2，x1x2＝ ③
∵P、Q在直線x＋2y－3＝0上，
∴y1y2＝(3－x1)·(3－x2)
＝[9－3(x1＋x2)＋x1x2]．
將③代入，得y1y2＝ ④
將③④代入①，解得m＝3，代入方程②，檢驗Δ>0成立，∴m＝3.
圖4
13．(20分)(2009·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，如圖4，已知圓C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圓C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.
(1)若直線l過點A(4,0)，且被圓C1截得的弦長為2，求直線l的方程；
(2)設P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等．試求所有滿足條件的點P的坐標．
解：(1)由于直線x＝4與圓C1不相交，所以直線l的斜率存在，設直線l的方程為y＝k(x－4)，圓C1的圓心到直線l的距離為d，因為直線l被圓C1截得的弦長為2，
所以d＝＝1.
由點到直線的距離公式得d＝，從而k(24k＋7)＝0，即k＝0或k＝－，
所以直線l的方程為y＝0或7x＋24y－28＝0.
(2)設點P(a，b)滿足條件，不妨設直線l1的方程為y－b＝k(x－a)，k≠0，則直線l2的方程為y－b＝－(x－a)．
因為圓C1和C2的半徑相等，及直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，所以圓C1的圓心到直線l1的距離和圓C2的圓心到直線l2的距離相等，即
＝，
整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|，
從而1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk或1＋3k＋ak－b＝－5k－4＋a＋bk，
即(a＋b－2)k＝b－a＋3或(a－b＋8)k＝a＋b－5，
因為k的取值有無窮多個，
所以或
解得或
這樣點P只可能是點P1(，－)或點P2(－ ，)．
經檢驗點P1和P2滿足題目條件．

展開更多......

收起↑