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第八章　圓錐曲線方程
課時作業(yè)40　橢圓

時間：45分鐘　　　　分值：100分
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．(2009·陜西高考)“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦點在y軸上的橢圓”的
(　　)
A．充分而不必要條件　　　 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：把橢圓方程化為＋＝1.若m>n>0，則>>0.所以橢圓的焦點在y軸上．反之，若橢圓的焦點在y軸上，則>>0即有m>n>0.故選C.
答案：C
2．已知橢圓＋＝1，長軸在y軸上．若焦距為4，則m等于 (　　)
A．4 B．5
C．7 D．8
解析：因為橢圓＋＝1的長軸在y軸上，所以
?6所以m－2－10＋m＝4?m＝8，選擇D.
答案：D
3．若橢圓＋＝1(m>n>0)上的點到右準線的距離是到右焦點距離的3倍，則m?n＝
(　　)
A. B.
C. D.
解析：由題意得該橢圓的離心率e＝＝，因此1－＝，＝，m?n＝，選D.
答案：D
4．(2009·江西高考)過橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于點P，F(xiàn)2為右焦點，若∠F1PF2＝60°，則橢圓的離心率為 (　　)
A. B.
C. D.
圖1
解析：∵|PF1|＋|PF2|＝2a，
又∠F1PF2＝60°，
∴|PF1|＝|PF2|，
∴|PF2|＝2a?|PF2|＝a，|PF1|＝a，
在Rt△PF1F2中，|PF1|2＋
|F1F2|2＝|PF2|2，
∴2＋(2c)2＝2?e＝＝，故選B.
答案：B
5．(2010·長望瀏寧模擬)從一塊短軸長為2b的橢圓形玻璃鏡中劃出一塊面積最大的矩形，其面積的取值范圍是[3b2,4b2]，則這一橢圓離心率e的取值范圍是 (　　)
A．[，] B．[，]
C．[，] D．[，]
解析：設橢圓的長軸長為2a，則矩形的最大面積為2ab，∴3b2≤2ab≤4b2，即≤≤2，又∵b＝，∴∈[，]，即∈[，]，解得：e∈[，]．
答案：A
6．(2009·全國卷Ⅰ)已知橢圓C：＋y2＝1的右焦點為F，右準線為l，點A∈l，線段AF交C于點B.若＝3，則||＝ (　　)
圖2
A.　　　 B．2
C.　　　 D．3
解析：如圖2，BM垂直于右準線于M，右準線與x軸交于N，易求得橢圓的離心率為e＝，由橢圓的第二定義得BM＝，在Rt△AMB中，＝＝＝，它為等腰直角三角形，則△ANF也為等腰直角三角形，F(xiàn)N＝＝1，則||
＝.故選A.
答案：A
二、填空題(每小題5分，共20分)
7．(2009·北京高考)橢圓＋＝1的焦點為F1、F2，點P在橢圓上．若|PF1|＝4，則|PF2|＝__________；∠F1PF2的大小為__________．
解析：依題知a＝3，b＝，c＝.由橢圓定義得|PF1|＋
|PF2|＝6，∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2.又|F1F2|＝2.在△F1PF2中由余弦定理可得cos∠F1PF2＝－，∴∠F1PF2＝120°
答案：2　120°
8．(2009·廣東高考)已知橢圓G的中心在坐標原點，長軸在x軸上，離心率為，且G上一點到G的兩個焦點的距離之和為12，則橢圓G的方程為________．
解析：由題意得2a＝12，＝，所以a＝6，c＝3，b＝3.故橢圓方程為＋＝1.
答案：＋＝1
9．已知A、B為橢圓C：＋＝1的長軸的兩個端點，P是橢圓C上的動點，且∠APB的最大值是，則實數(shù)m的值是__________．
解析：由橢圓知識知，當點P位于短軸的端點時∠APB取得最大值，根據(jù)題意則有tan＝?m＝.
答案：
圖3
10．(2010·武漢調研)如圖3，已知A、B兩點分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左頂點和上頂點，而F是橢圓C的右焦點，若·＝0，則橢圓C的離心率e＝________.
解析：A(－a,0)，B(0，b)，F(xiàn)(c,0)，
∴＝(a，b)，＝(c，－b)
∴ac＝b2，即ac＝a2－c2，∴e＝1－e2，解得e＝.
答案：
三、解答題(共50分)
11．(15分)已知A(－2,0)，B(2,0)，過點A作直線l交以A、B為焦點的橢圓于M、N兩點，線段MN的中點到y(tǒng)軸的距離為，且直線l與圓x2＋y2＝1相切，求該橢圓的方程．
解：易知直線l與x軸不垂直，設直線l的方程為y＝k(x＋2)．①
又設橢圓方程為＋＝1(a2>4)． ②
因為直線l與圓x2＋y2＝1相切，故＝1，
解得k2＝.將①代入②整理得，
(a2k2＋a2－4)x2＋4a2k2x＋4a2k2－a4＋4a2＝0，而k2＝，即(a2－3)x2＋a2x－a4＋4a2＝0，
設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝－，
由題意有＝2×(a2>3)，求得a2＝8.經(jīng)檢驗，此時Δ>0.
故所求的橢圓方程為＋＝1.
圖4
12．(15分)如圖4，兩束光線從點
M(－4,1)分別射向直線y＝－2上兩點P(x1，y1)和Q(x2，y2)后，反射光線恰好通過橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩焦點，已知橢圓的離心率為，且x2－x1＝，求橢圓C的方程．
解：設a＝2k，c＝k，k≠0，則b＝k，
其橢圓的方程為＋＝1.
由題設條件得＝－，①
＝－，②
x2－x1＝，③
由①②③解得k＝1，x1＝－，x2＝－1，
所求橢圓C的方程為＋＝1.
13．(20分)(2009·四川高考)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，離心率e＝，右準線方程為x＝2.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過點F1的直線l與該橢圓相交于M、N兩點，且|＋|＝，求直線l的方程．
解析：(1)由條件有解得a＝，c＝1.
∴b＝＝1.
所以，所求橢圓的方程為＋y2＝1.
(2)由(1)知F1(－1,0)、F2(1,0)．
若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x＝－1，
將x＝－1代入橢圓方程得y＝±.
不妨設M、N，
∴＋＝＋＝(－4,0)．
∴|＋|＝4，與題設矛盾．
∴直線l的斜率存在．
設直線l的斜率為k，則直線l的方程為y＝k(x＋1)．
設M(x1，y1)、N(x2，y2)，聯(lián)立
消y得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.
由根與系數(shù)的關系知x1＋x2＝，從而y1＋y2＝k(x1＋x2＋2)＝.
又∵＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，
∴＋＝(x1＋x2－2，y1＋y2)．
∴|＋|2＝(x1＋x2－2)2＋(y1＋y2)2
＝2＋2＝.
∴＝2.
化簡得40k4－23k2－17＝0，
解得k2＝1或k2＝－(舍)．∴k＝±1.
∴所求直線l的方程為y＝x＋1或y＝－x－1.
課時作業(yè)41　雙曲線

時間：45分鐘　　　　分值：100分
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．(2009·安徽高考)下列曲線中離心率為的是(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：雙曲線離心率e＝＝＝＝，知＝，只有B選項符合，故選B.
答案：B
2．(2009·寧夏/海南高考)雙曲線－＝1的焦點到漸近線的距離為 (　　)
A．2 B．2
C. D．1
解析：雙曲線－＝1的焦點為(4,0)、(－4,0)．漸近線方程為y＝±x.由雙曲線的對稱性可知，任一焦點到任一漸近線的距離相等．d＝＝2.
答案：A
3．設a>1，則雙曲線－＝1的離心率e的取值范圍是 (　　)
A．(，2) B．(，)
C．(2,5) D．(2，)
解析：e＝＝
＝＝.
∵a>1，∴0<<1，
∴1<1＋<2，
∴答案：B
4．(2009·全國卷Ⅰ)設雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線與拋物線y＝x2＋1相切，則該雙曲線的離心率等于 (　　)
A. B．2
C. D.
解析：雙曲線的漸近線方程為y＝±x，與拋物線方程聯(lián)立得x2±x＋1＝0，Δ＝2－4＝0?b2＝4a2，
∴c2－a2＝4a2，∴c2＝5a2，e＝.故選C.
答案：C
5．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線為y＝kx(k>0)，離心率e＝k，則雙曲線方程為 (　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：由題意知，k＝，
∵e＝k＝·，即＝，
∴c＝b，c2＝5b2，∴a2＝c2－b2＝4b2.
故選C.
答案：C
6．雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩個焦點為F1、F2，若P為其上一點，且|PF1|＝2|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍為 (　　)
A．(1,3) B．(1,3]
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
解析：∵|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a，而雙曲線右支上到右焦點距離最近的點為右頂點，∴有c－a≤2a，∴1答案：B
二、填空題(每小題5分，共20分)
7．已知雙曲線的右焦點為(5,0)，一條漸近線方程為2x－y＝0，則雙曲線的標準方程為__________．
解析：據(jù)題意由c＝5，＝2，a2＋b2＝c2?a2＝5，b2＝20，故雙曲線方程為－＝1.
答案：－＝1
8．已知P是雙曲線－＝1右支上的一點，雙曲線的一條漸近線方程為3x－y＝0.設F1、F2分別為雙曲線的左、右焦點．若|PF2|＝3，則|PF1|＝________.
解析：∵雙曲線－＝1的漸近線方程為3x－y＝0，∴a＝1，又P是雙曲線的右支上一點，|PF2|＝3，|PF1|－|PF2|＝2，|PF1|＝5.
答案：5
9．(2009·湖南高考)已知以雙曲線C的兩個焦點及虛軸的兩個端點為頂點的四邊形中，有一個內角為60°，則雙曲線C的離心率為________．
圖1
解析：如圖1，∵c>b，∴∠B1F1B2＝60°，∠B1F1O＝30°，在△B1OF1中，＝tan30°，∴＝，∴＝，∴1－＝?＝，∴e2＝＝，∴e＝.
答案：
10．(2009·東北三校)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率的取值范圍是e∈[，2]，則兩漸近線夾角的取值范圍是__________．
解析：e2∈[，4]，∴≤≤4，∴≤≤，設夾角為α，可得≤≤，∵α≤，∴≤α≤.
答案：[，]
三、解答題(共50分)
11．(15分)已知雙曲線的方程是16x2－9y2＝144.
(1)求這雙曲線的焦點坐標、離心率和漸近線方程；
(2)設F1和F2是雙曲線的左、右焦點，點P在雙曲線上，且
|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．
解：(1)由16x2－9y2＝144得－＝1，
∴a＝3，b＝4，c＝5.
焦點坐標F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，離心率e＝，漸近線方程為y＝±x.
(2)||PF1|－|PF2||＝6，
cos∠F1PF2＝
＝
＝＝0.
∴∠F1PF2＝90°.
12．(15分)設x，y∈R，i、j為直角坐標平面內x，y軸正方向上的單位向量，若向量a＝xi＋(y＋2)j，b＝xi＋(y－2)j，且|a|－|b|＝2.
(1)求點M(x，y)的軌跡C的方程；
(2)已知直線l過點A(，0)，斜率為k(0解：(1)由|a|－|b|＝2以及a＝xi＋(y＋2)j，b＝xi＋(y－2)j知M(x，y)到點(0，－2)和(0,2)的距離之差為常數(shù)2，所以，M(x，y)的軌跡為以(0，－2)和(0,2)為焦點，實軸長為2的雙曲線的上支，其方程為－＝1(y>0)．
(2)顯然，直線l的方程為y＝k(x－)，與直線l平行且距離為的直線為l′：y＝kx＋d，則由＝可求得d＝－k.所以，l′的方程為y＝kx＋－k.
由于l′與C的漸近線不平行，因此，根據(jù)題設可知，直線l′與雙曲線C相切．將直線l′的方程代入雙曲線C的方程－＝1，有(kx＋－k)2－x2＝2，即
(k2－1)x2＋2(－k)kx＋(－k)2－2＝0.
由
可以解得k＝.
圖2
13．(20分)已知M(－2,0)，N(2,0)兩點，動點P在y軸上的射影為H，且使·與·分別是公比為2的等比數(shù)列的第三、四項．
(1)求動點P的軌跡C的方程；
(2)已知過點N的直線l交曲線C于x軸下方兩個不同的點A、B，設R為AB的中點，若過點R與定點Q(0，－2)的直線交x軸于點D(x0,0)，求x0的取值范圍．
解：(1)M(－2,0)，N(2,0)，設動點P的坐標為(x，y)，所以H(0，y)，所以＝(－x,0)，＝(－2－x，－y)，＝
(2－x，y)，·＝x2，·＝－(4－x)2＋y2由條件得y2－x2＝4，又因為是等比，所以x2≠0，所求動點的軌跡方程y2－x2＝4(x≠0)．
(2)設直線l的方程為y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立方程得
∴y2－y－8＝0.
∴y1＋y2＝，y1·y2＝－.
∴解得：R，kRQ＝.
直線RQ的方程為y＋2＝x，
∴x0＝＝，
∴2
課時作業(yè)42　拋物線

課時作業(yè)42　拋物線
時間：45分鐘　　　　分值：100分
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．若點P到直線x＝－1的距離比它到點(2,0)的距離小1，則點P的軌跡為 (　　)
A．圓　　　　　　　　　 B．橢圓
C．雙曲線 D．拋物線
解析：由題意知，點P到點(2,0)的距離與P到直線x＝－2的距離相等，由拋物線定義得點P的軌跡是以(2,0)為焦點，以直線x＝－2為準線的拋物線，故選D.
答案：D
2．AB是拋物線y2＝2x的一條焦點弦，|AB|＝4，則AB中點C的橫坐標是 (　　)
A．2 B.
C. D.
解析：|AB|＝xA＋xB＋1＝4，xC＝＝.
答案：C
3．(2009·四川高考)已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是 (　　)
A．2 B．3
C. D.
解析：∵直線l2：x＝－1恰為拋物線y2＝4x準線，∴P到l2的距離d2＝|PF|(F(1,0)為拋物線焦點)，所以P到l1、l2距離之和最小值為F到l1距離＝2，故選A.
答案：A
4．(2008·四川非延考區(qū))已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準線與x軸的交點為K，點A在C上且|AK|＝|AF|，則△AFK的面積為 (　　)
圖1
A．4 B．8
C．16 D．32
解析：如圖1：y2＝8x的焦點
F(2,0)，準線x＝－2，K(－2,0)．
設A(x，y)，由|AK|＝|AF|，得：
＝，
即：(x＋2)2＋y2＝2[(x－2)2＋y2]，化簡得：y2＝－x2＋12x－4與y2＝8x聯(lián)立求解得：x＝2，y＝±4，
∴S△AFK＝|FK|·|yA|＝×4×4＝8.故選B.
答案：B
5．(2009·全國卷Ⅱ)已知直線y＝k(x＋2)(k>0)與拋物線C：y2＝8x相交于A、B兩點，F(xiàn)為C的焦點．若|FA|＝2|FB|，則k＝ (　　)
A. B.
C. D.
圖2
解析：過A、B作拋物線準線l的垂線，垂足分別為A1、B1(如圖2)，由拋物線定義可知，|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，
∵2|BF|＝|AF|，
∴|AA1|＝2|BB1|，即B為AM的中點．
從而yA＝2yB，聯(lián)立方程組

?消去x得：y2－y＋16＝0，
∴??消去yB得k＝.
答案：D
6．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，A為拋物線上異于原點O的任意一點，過A作AT垂直y軸于T，OT的中點為M，則直線AM一定經(jīng)過△ATF的 (　　)
A．內心 B．外心
C．重心 D．垂心
圖3
解析：如圖3所示，設AT交準線于N，連結FN，由NT＝OF可證M為NF中點，又由AN＝AF，可知AM為∠FAT的角平分線，∴AM經(jīng)過△ATF的內心．
答案：A
二、填空題(每小題5分，共20分)
7．已知有以點(0,3)為頂點，點(0,6)為焦點的拋物線，設點P(a，b)在該拋物線上，且點Q(a,0)滿足∠FPQ＝60°，則b＝________.
解析：由題意知，該拋物線的準線是x軸，且|FP|＝|PQ|，∠FPQ＝60°，∴△FPQ是正三角形，b＝12.
答案：12
8．如果直線l過定點M(1,2)且與拋物線y＝2x2有且僅有一個公共點，那么直線l的方程為__________．
解析：當直線l的斜率不存在，即直線l的方程是x＝1時，顯然該直線與拋物線y＝2x2只有一個公共點，滿足題意；當直線l的斜率存在時，設直線l的方程是y－2＝k(x－1)，由消去y得2x2－kx＋(k－2)＝0，Δ＝k2－8(k－2)＝0，k＝4，直線l的方程是y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.綜上所述，直線l的方程是x＝1或4x－y－2＝0.
答案：x＝1或4x－y－2＝0
9．(2009·寧夏/海南高考)已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點為F(1,0)，直線l與拋物線C相交于A、B兩點．若AB的中點為(2,2)，則直線l的方程為________．
解析：拋物線C的頂點在坐標原點，焦點為F(1,0)，∴＝1，拋物線方程為y2＝4x.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4，y＝4x1　①，y＝4x2　②，①－②得y－y＝4(x1－x2)，
∴(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，∴＝1，
∴直線l的斜率為1，且過點(2,2)，
∴直線方程為y－2＝x－2，∴y＝x.
答案：y＝x
10．已知拋物線y2＝4x的一條弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直線與y軸交點坐標為(0,2)，則＋＝__________.
解析：取特例，AB為焦點弦，則AB：y＝－2x＋2，
由得x2－3x＋1＝0，∴x1＋x2＝3.
∴y1＋y2＝－2(x1＋x2)＋4＝－2
y1y2＝4(x1x2－x1－x2＋1)＝－4
＋＝＝
答案：
三、解答題(共50分)
11．(15分)已知拋物線方程為標準方程，焦點在y軸上，拋物線上一點M(a，－4)到焦點F的距離為5，求拋物線的方程和a的值．
解：∵拋物線頂點在原點，對稱軸為y軸，
∴設拋物線方程為x2＝2py(p≠0)．
又點M(a，－4)在拋物線上，且與焦點F的距離為5.
∴p<0且－＋4＝5.
∴p＝－2，即拋物線方程為x2＝－4y.
將點M(a，－4)代入方程，可知是a＝±4.
12．(15分)拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，點
P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上．
(1)寫出該拋物線的方程及其準線方程；
(2)當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求y1＋y2的值及直線AB的斜率．
解：(1)由已知可設拋物線方程為y2＝2px.
∵點P(1,2)在拋物線上，∴p＝2.
故所求拋物線的方程是y2＝4x，
準線方程是x＝－1.
(2)設直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB，則kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)．
∵PA與PB斜率存在且傾斜角互補，
∴kPA＝－kPB.
又∵A、B點均在拋物線上，
∴y＝4x1，y＝4x2.
∴x1＝，x2＝.
∴＝－.
∴y1＋2＝－(y2＋2)．
∴y1＋y2＝－4.
由兩式相減得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，
∴kAB＝＝＝＝－1.
13．(20分)(2009·湖北高考)過拋物線y2＝2px(p>0)的對稱軸上一點A(a,0)(a>0)的直線與拋物線相交于M、N兩點，自M、N向直線l：x＝－a作垂線，垂足分別為M1、N1.
(1)當a＝時，求證：AM1⊥AN1；
(2)記△AMM1、△AM1N1、△ANN1的面積分別為S1、S2、S3.是否存在λ，使得對任意的a>0，都有S＝λS1S3成立．若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．
解：依題意，可設直線MN的方程為x＝my＋a，M(x1，y1)，N(x2，y2)，則有M1(－a，y1)，N1(－a，y2)．
由消去x可得y2－2mpy－2ap＝0.
從而有
于是x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2a＝2(m2p＋a)．
又由y＝2px1，y＝2px2，
可得x1x2＝＝＝a2.③
圖4
(1)如圖4，當a＝時，點A
即為拋物線的焦點，l為其準線x＝－.
此時M1，N1，并由①可得y1y2＝－p2.
證法1：∵＝(－p，y1)，＝
(－p，y2)，
∴·＝p2＋y1y2＝p2－p2＝0，即AM1⊥AN1.

(2)存在λ＝4，使得對任意的a>0，都有S＝4S1S3成立．證明如下：
證法1：記直線l與x軸的交點為A1，則|OA|＝|OA1|＝a.于是有
S1＝·|MM1|·|A1M1|＝(x1＋a)|y1|，
S2＝·|M1N1|·|AA1|＝a|y1－y2|，
S3＝·|NN1|·|A1N1|＝(x2＋a)|y2|.
∴S＝4S1S3?(a|y1－y2|)2＝(x1＋a)|y1|·(x2＋a)|y2|?a2[(y1＋y2)2－4y1y2]＝[x1x2＋a(x1＋x2)＋a2]|y1y2|.
將①、②、③代入上式化簡可得
a2(4m2p2＋8ap)＝2ap(2am2p＋4a2)?4a2p(m2p＋2a)＝4a2p(m2p＋2a)．
上式恒成立，即對任意a>0，S＝4S1S3成立．
圖5
證法2：如圖5，連結MN1、NM1，則由y1y2＝－2ap，y＝2px1可得
kOM＝＝＝＝＝＝kON1，
所以直線MN1經(jīng)過原點O.
同理可證直線NM1也經(jīng)過原點O.
又|OA|＝|OA1|＝a，設|M1A1|
＝h1，|N1A1|＝h2，|MM1|＝d1，|NN1|＝d2，則S1＝d1h1，S2＝·2a(h1＋h2)＝a(h1＋h2)，S3＝d2h2.
∵MM1∥NN1∥AA1，
∴△OA1M1∽△NN1M1，△OA1N1∽△MM1N1，
∴＝，＝，
即a(h1＋h2)＝h1d2＝h2d1. ④
而λ＝＝
＝4·· ⑤
將④代入⑤，即得λ＝4，故對任意a>0，S＝4S1S3成立．
課時作業(yè)43　直線與圓錐曲線的位置關系

時間：45分鐘　　　　分值：100分
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．已知橢圓C：＋＝1，過點(1,0)作直線l，使l被C所截得的弦長為，則滿足條件的直線l共有 (　　)
A．1條　　　　　　　　　 B．2條
C．3條 D．4條
解析：過點(1,0)垂直于x軸的直線被C截得的弦長恰好是，所以僅有一條符合條件．
答案：A
2．已知雙曲線C：x2－＝1，過點(1,1)作直線l，使l與C只有一個交點，滿足這個條件的直線l共有 (　　)
A．1條　　　 B．2條
C．3條　　　 D．4條
解析：數(shù)形結合可知過點(1,1)當斜率不存在時和與兩條漸近線平行時所在的直線都符合．除此之外還應考慮設直線方程y＝kx＋(1－k)與雙曲線聯(lián)立消元利用判別式為0可求得k＝也符合．所以有4條．
答案：D
3．過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F作一條直線l交拋物線于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點，則等于 (　　)
A．－4 B．4
C．－p2 D．p2
解析：特殊值法．設l的方程為x＝，則x1＝x2＝.
∴y1＝－y2＝p.∴＝＝－4.
答案：A
4．(2010·河南六市一模)已知AB為半圓的直徑，P為半圓上一點，以A、B為焦點且過點P做橢圓，當點P在半圓上移動時，橢圓的離心率有 (　　)
A．最大值 B．最小值
C．最大值 D．最小值
解析：橢圓的離心率e＝≥＝，故選D.
答案：D
5．(2009·福建質檢)若點P到A(1,0)的距離與到直線x＝－1的距離相等，且點P到直線l：x－y＝0的距離等于，則滿足條件的點P的個數(shù)是 (　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：P點軌跡方程為y2＝4x，設P(t2,2t)，則P點到x－y＝0的距離為，令＝，解得：4t2－8t±5＝0，∴t＝－或t＝，共2個．故選B.
答案：B
6．(2010·洛陽模擬)直線y＝x與雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)左右兩支分別交于M、N兩點，與雙曲線C的右準線交于P點，F(xiàn)是雙曲線C的右焦點，O是坐標原點，若|FO|
＝|MO|，則等于 (　　)
A.　　　 B.
C.　　　 D.
圖1
解析：由于|FO|＝|MO|，c＝，xM＝－，yM＝－，xN＝，把M的坐標代入雙曲線方程得－＝1,4a4－8a2c2＋c4＝0，e4－8e2＋4＝0，e2＝4±2，又直線y＝x與雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)左右兩支分別交于M、N兩點，則>，e2＝1＋2>4，則e2＝4＋2，＝＝＝＝，故選B.
答案：B
二、填空題(每小題5分，共20分)
7．(2009·湖南郴州三模)已知拋物線y＝ax2(a≠0)的焦點為F，準線l與對稱軸交于R點，過已知拋物線上一點P(1,2)作PQ⊥l于Q，則(ⅰ)拋物線的焦點坐標是__________；(ⅱ)梯形PQRF的面積是__________．
解析：拋物線上一點P(1,2)，求得a＝2.焦點坐標為；梯形PQRF的面積是.故填(ⅰ)；(ⅱ).
答案：(ⅰ)　(ⅱ)
8．直線y＝kx－2與拋物線y2＝8x交于不同的兩點P、Q，若PQ中點的橫坐標為2，則|PQ|＝__________.
解析：將y＝kx－2代入y2＝8x
?k2x2－4(k＋2)x＋4＝0(*)
易知k≠0，
Δ＝16(k＋2)2－16k2＝64(k＋1)>0，
∴k>－1，且k≠0.
由韋達定理，＝2，∴k2－k－2＝0，
即(k－2)(k＋1)＝0，∴k＝2或k＝－1(舍)．
此時方程(*)化為：
x2－4x＋1＝0，x1＋x2＝4，x1·x2＝1，
∴|PQ|＝·|x1－x2|
＝·
＝·＝2.
答案：2
9．若曲線y2＝|x|＋1與直線y＝kx＋b沒有公共點，則k、b分別應滿足的條件是__________．
圖2
解析：數(shù)形結合：
y2＝依題設與圖象可知k＝0且－1答案：k＝0且－110．(2010·河南調考)橢圓＋＝1(a>b>0)的中心、右焦點、右頂點及右準線與x軸的交點依次為O、F、G、H，則的最大值為__________．
解析：＝＝＝－e2＋e＝－2＋≤，故填.
答案：
三、解答題(共50分)
11．(15分)已知雙曲線的中心在坐標原點，焦點在x軸上，實軸長為2.一條斜率為1的直線l過右焦點F與雙曲線交于A、B兩點，以AB為直徑的圓與右準線交于M、N兩點．
(1)若雙曲線的離心率為2，求圓的半徑；
(2)設AB的中點為H，若·＝－，求雙曲線的方程．
解：(1)設雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)．由已知2a＝2，∴a＝1，又e＝＝2，∴c＝2.
∴雙曲線方程為x2－＝1，右焦點F(2,0)，直線l：y＝x－2，代入x2－＝1，得2x2＋4x－7＝0.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－2，x1x2＝－，
∴|AB|＝＝6，∴r＝3.
(2)設雙曲線方程為x2－＝1，由題意得直線l：y＝x－c，將其代入雙曲線方程并整理得(c2－2)x2＋2cx－2c2＋1＝0，∴xH＝(x1＋x2)＝，yH＝xH－c＝.
設半徑為R，與所成的角為θ，
則R2cosθ＝－.∵cos＝，R＝＝＝2，∴cos＝.
∴cosθ＝2cos2－1＝，代入R2cosθ＝－，可得：c2＝3.∴x2－＝1為所求．
12．(15分)(2009·遼寧高考)已知，橢圓C經(jīng)過點A，兩個焦點為(－1,0)，(1,0)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)E，F(xiàn)是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值．
解：(1)由題意，c＝1，可設橢圓方程為＋＝1.
因為A在橢圓上，所以＋＝1，
解得b2＝3，b2＝－(舍去)．所以橢圓方程為＋＝1.
(2)設直線AE方程為y＝k(x－1)＋，代入＋＝1得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋42－12＝0.
設E(xE，yE)，F(xiàn)(xF，yF)．因為點A在橢圓上，
所以xE＝，yE＝kxE＋－k.
又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以－k代k，可得xF＝，yF＝－kxF＋＋k.
所以直線EF的斜率
kEF＝＝＝.
即直線EF的斜率為定值，其值為.
13．(20分)在直角坐標系xOy中，橢圓C1：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，F(xiàn)2也是拋物線C2：y2＝4x的焦點，點M為C1與C2在第一象限的交點，且|MF2|＝.
(1)求C1的方程；
(2)平面上的點N滿足＝＋，直線l∥MN，且與C1交于A、B兩點，若·＝0，求直線l的方程．
解：(1)由C2：y2＝4x知F2(1,0)．
設M(x1，y1)，M在C2上，
因為|MF2|＝，所以x1＋1＝，得x1＝，y1＝.
M在C1上，且橢圓C1的半焦距c＝1，
于是
消去b2并整理得9a4－37a2＋4＝0.
解得a＝2.
故橢圓C1的方程為＋＝1.
(2)由＋＝知四邊形MF1NF2是平行四邊形，其中心為坐標原點O，因為l∥MN，所以l與OM的斜率相同．故l的斜率k＝＝.
設l的方程為y＝(x－m)．由消去y并化簡得9x2－16mx＋8m2－4＝0.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝，x1x2＝.
因為⊥，所以x1x2＋y1y2＝0.
x1x2＋y1y2＝x1x2＋6(x1－m)(x2－m)
＝7x1x2－6m(x1＋x2)＋6m2
＝7·－6m·＋6m2＝(14m2－28)＝0.
所以m＝±.
此時Δ＝(16m)2－4×9(8m2－4)>0，
故所求直線l的方程為y＝x－2，或y＝x＋2.
課時作業(yè)44　軌跡問題

時間：45分鐘　　　　分值：100分
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．設橢圓C1的離心率為，焦點在x軸上且長軸長為26.若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標準方程為 (　　)
A.－＝1　　　　　 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：在橢圓C1中，由得橢圓C1的焦點為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，曲線C2是以F1、F2為焦點，實軸長為8的雙曲線，故C2的標準方程為：－＝1，故選A.
答案：A
2．若△ABC的兩個頂點B、C的坐標分別是(－1,0)和(2,0)，而頂點A在直線y＝x上移動，則△ABC的重心G的軌跡方程是 (　　)
A．y＝＋1(y≠0) B．y＝－1(y≠0)
C．y＝x－(y≠0) D．y＝x＋(y≠0)
解析：設A(x0，x0)，G(x，y)，
則，消去x0得y＝x－.
答案：C
3．已知圓C的方程為x2＋y2－10x＝0，則與y軸相切且與圓C外切的動圓圓心P的軌跡方程為 (　　)
A．y2＝20x
B．y2＝20x(x<0)
C．y2＝20x(x>0)和y＝0
D．y2＝20x(x≥0)和y＝0(x<0)
解析：設點P的坐標為(x，y)，半徑為R.
∵動圓P與y軸相切，∴R＝|x|.
∵動圓與定圓C：(x－5)2＋y2＝25外切，
∴|PC|＝R＋5，即|PC|＝|x|＋5.
當點P在y軸上或右側，即x≥0時，|PC|＝x＋5，
即點P的軌跡是以(5,0)為焦點的拋物線，
故方程為y2＝20x.
當點P在y軸左側，即x<0時，|PC|＝－x＋5，
此時，點P的軌跡是x軸負半軸，即y＝0(x<0)，
∴點P的軌跡方程為y2＝20x(x≥0)和y＝0(x<0)．
答案：D
4．設x1，x2∈R，常數(shù)a>0，定義運算“*”：x1]x*a))的軌跡是 (　　)
A．圓 B．橢圓的一部分
C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分
解析：
則P(x,2)，設P(x1，y1)，
即，消去x得y＝4ax1(x1≥0，y1≥0)．
故點P的軌跡為拋物線的一部分．故選D.
答案：D
5．(2009·武漢四月調研)已知點A(1,0)和圓C：x2＋y2＝4上一點R，動點P滿足＝2，則點P的軌跡方程為 (　　)
A．(x－)2＋y2＝1 B．(x＋)2＋y2＝1
C．x2＋(y－)2＝1 D．x2＋(y＋)2＝1
解析：設P(x，y)，R(x1，y1)，∴＝(1－x1，－y1)，＝(x－1，y)．又∵＝2
∴∴
∴(3－2x)2＋4y2＝4，即(x－)2＋y2＝1，故選A.
答案：A
6．已知F1、F2分別是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，P為雙曲線上一點，過F1作∠F1PF2的平分線的垂線，垂足為H，則點H的軌跡為 (　　)
A．橢圓 B．雙曲線
C．圓 D．拋物線
圖1
解析：如圖1，過F1作∠F1PF2的平分線的垂線，垂足為H.交PF2的延長線于G，則PF1＝PG，F(xiàn)1H＝GH，而PF1－PF2＝PG－PF2＝F2G＝2a，
∴G點的軌跡是以F2為圓心，以2a為半徑的圓．
因為F1為定點，G為動點，F(xiàn)1G的中點H亦為動點．設H點的坐標為(x，y)，G(x1，y1)．
則，即，
而(x1－c)2＋y＝4a2，∴(2x＋c－c)2＋(2y)2＝4a2即x2＋y2＝a2為圓，故選C.
答案：C
二、填空題(每小題5分，共20分)
7．曲線x2＋4y2＝4關于點M(3,5)對稱的曲線方程為______．
解析：代入法(或相關點法)．
答案：(x－6)2＋4(y－10)2＝4
8．已知圓C1：x2＋y2＋4x＋3＝0，及圓C2：x2＋y2－4x＝0，動圓M與圓C1和圓C2分別相切，則動圓圓心M的軌跡方程為__________．
解析：①若⊙M與⊙C1與⊙C2外切，
則|MC2|－|MC1|＝1，
若⊙M與⊙C1和⊙C2內切，則|MC1|－|MC2|＝1，
此時軌跡方程為4x2－y2＝1.
②若⊙M與⊙C1內切，與⊙C2外切，或與⊙C1外切，與⊙C2內切，則||MC1|－|MC2||＝3，
圓心M的軌跡方程為x2－y2＝1.
答案：4x2－y2＝1或x2－y2＝1
9．自拋物線y2＝2x上任意一點P向其準線l引垂線，垂足為Q，連結頂點O與P的直線和連結焦點F與Q的直線交于R點，則R點的軌跡方程是__________．
解析：設P(x1，y1)、R(x，y)，則Q(－，y1)、F(，0)，
∴OP的方程為y＝x， ①
FQ的方程為y＝－y1(x－)． ②
由①②，得x1＝，y1＝，
代入y2＝2x，可得y2＝－2x2＋x.
答案：y2＝－2x2＋x
10．長為4的線段兩端點A、B分別在直線y＝2x和y＝－2x上滑動，則線段AB中點M的軌跡方程是__________．
解析：設M(x，y)，A(x1,2x1)，則B(2x－x1,2y－2x1)．由|AB|＝4，得：(2x－2x1)2＋(2y－4x1)2＝16，①又∵B在y＝－2x上，∴2y－2x1＝－2(2x－x1) ∴x1＝，代入①即得答案．
答案：＋x2＝1
三、解答題(共50分)
圖2
11．(15分)如圖2，橢圓Q：＋＝1(a>b>0)的右焦點為F(c,0)，過點F的一動直線m繞點F轉動，并且交橢圓于A、B兩點，P為線段AB的中點．求點P的軌跡H的方程．
解：設橢圓Q：＋＝1上的點A(x1，y1)、B(x2，y2)，又設P點坐標為P(x，y)，則

故AB不垂直x軸時，x1≠x2，
由①－②得b2(x1－x2)2x＋a2(y1－y2)2y＝0，
∴＝－＝，
∴b2x2＋a2y2－b2cx＝0(*)
當AB垂直于x軸時，點P即為點F，滿足方程(*)．
故所求點P的軌跡H的方程為b2x2＋a2y2－b2cx＝0.
12．(15分)A、B分別是直線y＝x和y＝－x上的動點．O是坐標原點，且|OA|·|OB|＝a2＋b2(a，b為實值，b≠0)．求線段AB的中點P的軌跡方程．
解：設P、A、B三點的坐標分別為(x，y)、(x1，y1)、(x2，y2)則x＝①
y＝ ②
y1＝x1 ③
y2＝－x2 ④
又|OA||OB|＝|x1||x2|＝|x1x2|，且|OA||OB|＝a2＋b2，∴|x1x2|＝a2⑤
將③④代入②得y＝(x1－x2)，即y＝⑥
①2－⑥2得x2－y2＝x1x2，即x2－y2＝±a2.
∴所求軌跡方程為－＝±1.
13．(20分)(2009·寧夏/海南高考)已知橢圓C的中心為直角坐標系xOy的原點，焦點在x軸上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若P為橢圓C上的動點，M為過P且垂直于x軸的直線上的點，＝λ，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．
解：(1)設橢圓長半軸長及半焦距分別為a、c，
由已知得解得a＝4，c＝3，
所以橢圓C的方程為＋＝1.
(2)設M(x，y)，其中x∈[－4,4]．由已知＝λ2及點P在橢圓C上可得＝λ2，
整理得(16λ2－9)x2＋16λ2y2＝112，其中x∈[－4,4]．
(ⅰ)λ＝時，化簡得9y2＝112，
所以點M的軌跡方程為y＝±(－4≤x≤4)，軌跡是兩條平行于x軸的線段．
(ⅱ)λ≠時，方程變形為＋＝1，其中x∈[－4,4]．
當0<λ<時，點M的軌跡為中心在原點、實軸在y軸上的雙曲線滿足－4≤x≤4的部分；
當<λ<1時，點M的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓滿足－4≤x≤4的部分；
當λ≥1時，點M的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓．

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