資源簡介

函數關系的建立的案例
一、案例背景分析
建立函數關系式，是將實際問題抽象成數學問題的第一步，也是函數應用極其重要的關鍵的一步。教材中著重研究分析了兩類問題：一類是根據幾何圖形的性質建立函數關系，這類問題往往學生容易接受，較易上手。另一類問題是需要通過閱讀理解分析出函數關系，這類問題往往需要學生具有較高的理解分析能力，需要加強訓練。
在本節中，學生經常會遇到二次函數、分段函數等，所以需要熟練掌握列表達式的能力，并能正確求得函數的定義域。
二、案例過程：
當我們要用數學方法解決實際問題時，首先要把問題中的有關變量及其關系用數學的形式表示出來。通常，這個過程叫做建模。而實踐中的大量問題是變量之間的關系問題，因此建立變量之間的函數關系是很重要的。
例1 如圖，一動點P自邊長為1的正方形ABCD的頂點出發， [來源:21世紀教育網]
沿正方形的邊界運動一周，再回到A點。若點P運動的路程21世紀教育網
為x，點P到頂點A的距離為y。求A、P 兩點間的距離y
與點P的路程式 x之間的函數關系式。
（1）首先要求學生進行閱讀、理解題意，分析條件和要求的結論，然后去嘗試建模。[來源:21世紀教育網]
（2）小組進行討論，并且給出建模的函數。
第一小組：
第二小組：這個結論不對，因為當點P在AB邊上時，y=x
教師：第二小組同學講得對。但是還不完整。
第三小組：根據點P的不同位置，A、P兩點間的距離變化分段表示。21世紀教育網[來源:21世紀教育網]
（1）當點P在AB邊上，即0≤x≤1，時，AP=x，∴y=x;[來源:21世紀教育網]
(2)當點P在BC邊上，即1定理得.
∴;[21世紀教育網]
(3)當點P在 CD邊上,即2∴;
(4)當點P在AD邊上,即3教師：我們同學通過自己的自主實踐，通過與同學的相互討論、合作，逐步完善結論，從而使問題得到解決。你們積極主動地參與，發現并主動獲取知識，能有效地進行自主合作，從而提高了解決問題的能力。
三、教學反思
本堂課提供了基本內容的實際背景，反映數學的應用價值，力求通過自主合作使學生體驗數學在解決實際問題中的作用、數學與日常生活的聯系，促進學生逐步形成和發展數學應用意識，提高實踐能力。但是在把實際問題轉化為數學問題的過程中，學生不能建立恰當的函數模型并求解，不會對函數模型的評價分析，怎樣使學生掌握數學建模的一般過程。同時，通過把實際問題抽象為數學問題，逐步把數學知識應用到生產生活的實際中去，形成應用數學的意識，培養學生發現問題、分析問題、解決問題的能力。在本堂課中沒有達到預先設計的效果，主要是設計、引導、啟發的不到位，這點需要在以后的教學中加以改進。[來源:21世紀教育網]21世紀教育網

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