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函數最值 從配方法到求導法
[前言] 函數最值 追根到初三
一位初三老師，在總結函數性質時說:“我們學過正比例函數，反比例函數，一次函數和二次函數，其中，二次函數很特殊，二次函數有最值，而其他3個函數沒有最值，大家清楚吧！”
“清楚！”——回聲雖然響亮，但還有幾個學生沒有應聲.21世紀教育網
一個學生問：“反比例函數也有最值吧？”
另一個學生問：“一次函數為什么沒有最值呢？”
老師回答：“這四個函數，只有二次函數有最值，其他3個函數沒有最值，至于為什么，那要到高中數學中去學習！”
這位初三老師有點偷懶，其實他是完全可以講清楚這個問題的．既然他沒有講，那么我們的高中學生，包括高三的學生，還真的得從這個問題研究起．
一、二次函數最值尋根
初中生研究二次函數的最值，是從配方法開始的.
設a>0，f(x)=ax2+bx+c=[來源:21世紀教育網]
初三學生已知，二次函數f(x)，在a>0時，有最小值；a<0時，有最大值.
到了高中，學生更關心二次函數得到最值的條件，即上述不等式中等號成立的條件：.這個條件——自變量x的取值，稱作二次函數最值對應的“最值點”（以下簡稱“最點”），俗稱函數“最值的根”.
對于高一學生，老師把二次函數的“最值”與二次函數的“單調區間”相捆綁，要求用比較法探索“最點”.
[來源:21世紀教育網]
【例1】 已知a>0，探索二次函數y = ax2+bx+c的單調區間.并指出函數的最值點.21世紀教育網
【解答】 任取 x1則有 y1 – y2 = f (x1) – f (x2) =
(※)21世紀教育網
（1）當x1，x2≤-時，有
由式(※)得 y1 – y2 =a
函數f (x)在上為減函數.
（2）當x1，x2≥-時，有
由式（※）得 y1 – y2 =a
即函數f (x)在上為增函數.
綜合（1）、（2）可知，二次函數y =ax2+bx+c ( a>0 ) 有減區間和增區間.
顯然，二次函數的最值點為，函數有最小值.[來源:21世紀教育網]
【評說】 從這里看到，二次函數的最點，就是兩個“異性”單調區間的交接點.
【練1】 試研究一次函數沒有最點，從而沒有最值.
【解】 任取，則有
（1）時，，函數在R上為增函數.
時，;時，.
（2）時，，函數在R上為減函數.21世紀教育網
時，;時，.
所以，一次函數在R上沒有最點，從而一次函數無最值（既無最大值，也無最小值）.
【說明】 一次函數定義在R上，定義域內找不到這樣的“點”，使得該點兩邊鄰域是異性的兩個單調區間.本例從反面看到：最點是單調區間的“變性”的“轉折點”.
二、從到
高中生將“最點”變形為，并由此得到一個一次函數.
精明的學生發現，這個一次函數與對應的二次函數有某種“關系”，甚至有學生在偷偷地利用這種“關系”.
這種“關系”到了高三才徹底解決：函數正是函數的導函數，即.
函數求“最根”的問題，正好是的導函數的“求根”問題.
導函數的根，就是的駐點.很清楚，二次函數的駐點就是二次函數的最點.
問題變得這么明朗：求的最點，就是求的根.俗說中“最根”，真的與“根”字巧合了.
【例2】 設，在同一坐標系中，分別作得和的圖象（如右）.
試說明的正負性與單調性的對應關系.
【解析】 與相交于.
（1）時，,遞減；
（2）時，,遞增；
（3）時，,得到最小值.
故對應關系為：（1）負區與的減區對應；
（2）正區與的增區對應；
（3）零點與的最值對應.
【練2】 已知二次函數的導函數圖象如右圖的直線，則有21世紀教育網
（1）=（ ），增區間為（ ），減區間為（ ）；
（2）的最（ ）值為（ ）；21世紀教育網
（3）若，求的解析式.[來源:21世紀教育網]
【解答】 從右圖上看到
（1）的根為，故有=1；
（2）時，>0，故的增區間為；
時，<0，故的減區間為；
（3）有最大值，最大值為.
（4）
令，圖上知；[來源:21世紀教育網]
令，得.
故有.
【說明】 注意與并非一一對應，每一個這樣的都對應著一個確定的，反過來，每一個這樣的卻對應著無窮個，它們只是相差一個常數c.這就是本題中，為什么已經知道了的圖象后，還要給出時才能確定的解析式.
三、三次函數的駐點、極點和最點[來源:21世紀教育網]
一次函數沒有駐點，自然沒有最點.21世紀教育網
二次函數有一個駐點，這個駐點就是二次函數的最點.
三次函數呢？[來源:21世紀教育網]
三次函數的導函數是二次函數，這個二次函數根的情況有3種：（1）有2個相異的根，（2）有2個相同的根；（3）無根.
如果三次函數的導函數無根，則無駐點，自然也無最點，也無最值.
如果有根呢？自然一定有駐點.
那么，這些駐點是否為其最點呢？
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【例3】 研究函數的駐點、極點和最點.
【解析】 令，得，為的2個駐點.
（1）時，>0，函數遞增；
（2）時，<0，函數遞減；
（3）時，>0，函數遞增.
故在有極大值，在上有極小值.
故，是的2個極點，前者為極大點，后者為極小點.
又時，，故函數既無最大值，也無最小值.從而無最點.
【說明】 這是三次函數有2個駐點，且都為極點的例子.而三次函數無駐點或有駐點但不是極點的例子如下（練3）.
【練3】 研究下列三次函數的駐點、極點、最點和單調區間.
（1） （2）
【解析】 （1）,函數無駐點，無極點，無最點. 是上的增函數.
（2）,
有2個重合的駐點.
（1）當時，，函數遞增，
（2）當時，，函數也遞增.
因此，駐點不能分出兩個“相異”的單調區間，故不是的極點，無極點，當然也無最點.
是R上的增函數.
【說明】 函數相重合的兩駐點不成為極點，可理解為它們消去了“中間”的一個“相異”的單調區間后，將兩邊的“同性”的單調區進行了鏈接而成為一個單調區間.
經過以上的討論得知，定義在R上的三次函數，不管它有無駐點或極點，它是不會有最點的.
四、極點何時為最點
不重合的2個駐點可以分別成為極點.那么，在什么條件下極點成為最點呢？
駐點是極點的必要不充分條件，那么極點是最點的什么條件呢？
我們研究，極點何時成為最點.
【例4】 已知的導函數，試探究的極點和最點.
【解析】 .
有3個相異的根：它們都是的極點.21世紀教育網
易知原函數 （R）21世紀教育網
易知為的減區間，為的增區間，為的減區間，為的增區間.
的4個單調區間依次成“減——增——減——增”的順序，使得首、尾兩個區間的單調性相異，從而使得在“兩次探底”中得到最（?。c.
比較三個極值的大?。?br/>得的最小值為，對應兩個最小點和1.
【說明】 定義在一個開區間上的可導函數如果有n個極點：x1當n為奇數時，有最點存在.最點在依次為奇數的極點中產生，通過奇數位上的極值比大小可得.
當n為偶數時，函數無最點.
【練4】 求函數的最值.
【解析】 函數是定義在一個開區間上的可導函數,
令
得的唯一駐點即為最點.
時，，函數遞增,
時，，函數遞減,21世紀教育網
故有最大值.
【說明】 本函數是二次函數的復合函數，用配方法求最值也很簡便.
,等號成立條件是.
五、最值尋根的導數判定
若定義在一個開區間上的函數有導函數存在，那么是否有最值的問題可轉化為的導函數是否有最根的問題來研究：
（1）若導函數無根，即，則無最值；
（2）若導函數有唯一的根，即，則有最值.此時，導函數的根即是函數最根.21世紀教育網
（3）若導函數有多個的根，則應從多個駐點中依次判定極點、最點的存在性.
【例5】 在以下四個函數中，有最值存在的函數是
A. B. C. D.
【解析】 對于A，定義區間雖有兩個，但都有，無最值；[來源:21世紀教育網]
對于B，，函數有重合的兩駐點，無最值；
對于C，，無最值；
對于D，.
當時，令，得，有最值=1.
本題答案為D.
【練5】 判斷以下函數，是否有最值，如果有，求出最值.
（1） （2）
【解析】 （1）， 無最值.
（2）.
當時，，由，得.
有最值，.
當時，，是增函數.
當時，，是減函數.
故是的最大值.
六、最根與高考題[來源:21世紀教育網]
導數應用于高考，一般都在研究函數的單調性和函數最值問題，對可導函數來講，這兩個問題互相捆綁著，于是導數問題的“根本”則變成“最根”問題.
【例6】 已知可導函數在R上恒有，且不為常數，試研究的單調區間和函數最值.
【解析】 由可知
時，，函數為減函數;
時，，函數為增函數;
由此可知，是的唯一的根，故為最根.故有減區間，增區間，有最大值.
【說明】 本題是在研究“抽象函數”——無具體解析式的一類函數的性質，只在滿足性質條件下，通過“最根”的判定而確定了的單調區間和最值.21世紀教育網
有些不等式的證明，還可以通過構造函數，研究這個函數的“最值”而確認不等式是否成立.
【練6】 已知函數，.
（1）求函數的最大值；
（2）設，證明：.
【解析】 （1），
故有唯一的最根，
故的最大值為.
（2），.
設，
則.
當時，，因此在內為減函數.
當時，，因此在上為增函數.
從而，當時，有最小值，21世紀教育網
因為，，所以，即.
【說明】 問題（2）的解決，是用“最根”證明不等式.
七、余興 荒唐錯誤 打從何來21世紀教育網
學生小新讀完上文，很感興趣，他模仿著【練4】的題型，只是變了幾個系數，結果成了下面的問題.
【例7】 研究函數有無最值.
【小新解答】 .
令，得的唯一駐點為“最點”.
因此有最值.
【討論】 是最值嗎？若為最大值，我們可以找到比它更大的；如果是最小值，我們可以找到比它更小的.
解答錯了！錯在哪里？作為思考題留給讀者.
【提示】 本函數的定義域不是“一個”開區間.

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