資源簡介

[科目] 數(shù)學(xué)
[年級] 高中
[章節(jié)]
[關(guān)鍵詞] 排列/組合/綜合[來源:21世紀(jì)教育網(wǎng)]
[標(biāo)題] 排列組合綜合問題
[內(nèi)容]

教學(xué)目標(biāo) [來源:21世紀(jì)教育網(wǎng)]
通過教學(xué)，學(xué)生在進(jìn)一步加深對排列、組合意義理解的基礎(chǔ)上，掌握有關(guān)排列、組合綜合題
的基本解法，提高分析問題和解決問題的能力，學(xué)會分類討論的思想．
教學(xué)重點與難點
重點：排列、組合綜合題的解法．
難點：正確的分類、分步． [來源:21世紀(jì)教育網(wǎng)]
教學(xué)用具 21世紀(jì)教育網(wǎng)
投影儀．
教學(xué)過程設(shè)計
（一）引入
師：現(xiàn)在我們大家已經(jīng)學(xué)習(xí)和掌握了一些排列問題和組合問題的求解方法．今天我們要在復(fù)
習(xí)、鞏固已掌握的方法的基礎(chǔ)上，來學(xué)習(xí)和討論排列、組合綜合題的一般解法．
先請一位同學(xué)幫我們把解排列問題和組合問題的一般方法及注意事項說一下吧!
生：解排列問題和組合問題的一般方法直接法、間接法、捆綁法、插空法等．求解過程中要
注意做到“不重”與“不漏”．
師：回答的不錯!解排列問題和組合問題時，當(dāng)問題分成互斥各類時，根據(jù)加法原理，可用
分類法；當(dāng)問題考慮先后次序時，根據(jù)乘法原理，可用位置法；這兩種方法又稱作直接法．
當(dāng)問題的反面簡單明了時，可通過求差排除采用間接法求解；另外，排列中“相鄰”問題可
以用“捆綁法”；“分離”問題可能用“插空法”等．
解排列問題和組合問題，一定要防止“重復(fù)”與“遺漏”．
（教師邊講，邊板書）
互斥分類——分類法
先后有序——位置法
反面明了——排除法
相鄰排列——捆綁法
分離排列——插空法
（二）舉例
師：我下面我們來分析和解決一些例題．
（打出片子——例1）
例1 有12個人，按照下列要求分配，求不同的分法種數(shù)．
（1）分為兩組，一組7人，一組5人；
（2）分為甲、乙兩組，甲組7人，乙組5人；
（3）分為甲、乙兩組，一組7人，一組5人；
（4）分為甲、乙兩組，每組6人； [來源:21世紀(jì)教育網(wǎng)]
（5）分為兩組，每組6人；
（6）分為三組，一組5人，一組4人，一組3人；
（7）分為甲、乙、丙三組，甲組5人，乙組4人，丙組3人；
（8）分為甲、乙、丙三組，一組5人，一組4人，一組3人；
（9）分為甲、乙、丙三組，每組4人；
（10）分為三組，每組4人．
（教師慢速連續(xù)讀一遍例1，同時要求學(xué)生審清題意，仔細(xì)分析，周密考慮，獨立地求解．
這是一個層次分明的排列、組合題，涉及非平均分配、平均分配和排列組合綜合．各小題之
間有區(qū)別、有聯(lián)系，便于學(xué)生分析、比較、歸納，有利于學(xué)生加深理解，提高能力）
師：請一位同學(xué)說一下各題的答案（只需要列式）．
生：（1），（2），（3）都是；（4），（5）都是；（6），（7），（8）
都是；（9），（10）都是
師：從這個同學(xué)的解答中，我們可以看出他對問題的考慮分先后次序，用位置法求解是掌握
了的．但是還請大家審清題意，看（3）與（1），（2）；（5）與（4）；（8）與（6），
（7）；（10）與（9）是否分別相同，有沒有出現(xiàn)“重復(fù)”和“遺漏”的問題． 21世紀(jì)教育網(wǎng)21世紀(jì)教育網(wǎng)
（找班里水平較高的一位學(xué)生回答）
生：（3）和（1），（2）；（5）和（4）；（8）和（6），（7）；（10）和（9）并不相
同．（3），（5），（8），（10）的答案都錯了，既出現(xiàn)了“重復(fù)”也出現(xiàn)了“遺漏”的問題．（3）的答案是；（5）是；（8）是（10）是
（教師在學(xué)生回答時板書各題答案） 21世紀(jì)教育網(wǎng)
師：回答的正確，請說出具體的分析．
生：（3）把12人分成甲、乙兩組，一組7人，一組5人，但并沒有指明甲、乙誰是7人，誰是5人，所以要考慮甲、乙的順序，再乘以；（8）也是同一道理．（5）把12人分成兩組，
每組6人，如果是分成甲組、乙組，那么共有種不同分法，但是（5）只要求平均分成兩組，這樣甲、乙組兩元素的所有不同排列順序，甲乙、乙甲共P22個就是同一種分組了，所以（5）的答案是；（10）的道理相同．
師：分析的很好!我們大家必須認(rèn)識到，題目中具體指明甲、乙與沒有具體指明是有區(qū)別的
．如果在解題過程中不加以區(qū)別，就會出現(xiàn)“重復(fù)”和“遺漏”的問題，這是解決排列、組
合題時要特別注意的． 21世紀(jì)教育網(wǎng)
例1中，（1），（2），（6），（7）都是非平均分配問題，雖然（1），（6）都沒有指出
組名，而（2），（7）給出了組名，但是在非平均分配中是一樣的．這是因為（2），（7）不僅給出了組名，而且還指明了誰是幾個人，這一點上又與（3），（8）有差異．（3），（8）給了組名卻沒有指明誰是幾個人．
題中（4），（5），（9），（10）都屬于平均分配問題，在平均分配中，如果沒有給出組
名，一定要除以組數(shù)的階乘!
如果12個人分成三組，其中一組2人，另外兩組都是5人，求所有不同的分法種數(shù)．這里有不平均（一組2人），又有平均（兩組都是是5人）．怎么辦?
生：分兩步完成．第一步：12個人中選2人的方法數(shù)C212；第二步：剩下的10個人平均分成兩組，每組5人的方法數(shù)，根據(jù)乘法原理得到，共有種不同的分法．
師：很好!大家已經(jīng)理解了不平均分配的、平均分配，以及部分平均分配的計算，部分平均
分配問題先考慮不平均分配，剩下的仍是平均分配，平均分配要商除．這樣分配問題已徹底
解決了．
請看例題2．
（打出片子——例2）
（1）6男2女排成一排，2女相鄰； （2）6男2女排成一排，2女不能相鄰； （3）4男4女排成一排，同性者相鄰； （4）4男4女排成一排，同性者不能相鄰．
（教師讀題、巡視）
師：請一位同學(xué)說出（1），（2）的答案．
生甲：N1＝；N2＝
師：完全正確!他是用捆綁法解決“相鄰”問題的，把2女“捆綁”在一起看成一組，與6男共7組，組外排列為，女生組內(nèi)排列為，得2女相鄰排法數(shù)N1＝；（2）是用捆 綁法結(jié)合排除法來解得，從總體排列中排除N1得2女不相鄰的排法數(shù)N2＝
（教師的復(fù)述是為了使水平較差學(xué)生明白解題思路，了解分析方法，真正理解解法）
師：（2）的不相鄰的分離排列還有沒有其它解法?
生乙：可以用插空法直接求解．6男先排實位，再在7個空位中排2女，共有N2＝種不同排法．
（板書（1），（2）算式）
師：對于（2）的兩種解法思路不同，但殊途同歸，結(jié)果一樣，都是正確的．兩種解法解決
分離問題是否都很方便呢?試想，如果“5男3女排成一排，3女都不能相鄰“與一樣嗎?大家動手計算一下． 21世紀(jì)教育網(wǎng)
生：前者是36 000，后者是14 400，不一樣，肯定有問題． [來源:21世紀(jì)教育網(wǎng)]
師：是什么?
生：3女相鄰．
師：3女相鄰的反面是什么?
生：是3女不都相鄰，其中有2女相鄰，不是3女都不相鄰．
師：這一例題說明什么?
生：不相鄰的分離排列還是用插空法要穩(wěn)妥一些．
師：請大家下課后想一想，用捆綁法結(jié)合排除法能否解決上述問題，如果能解決，應(yīng)該怎么
做?我們繼續(xù)分析和解決（3），（4）兩小題．
N3＝； N4＝． 21世紀(jì)教育網(wǎng)
（板書（3），（4）的算式） 21世紀(jì)教育網(wǎng)
師：非常正確!（4）吸取了（2）的教訓(xùn)，沒有用，并且沒有簡單的用
插空，而是考慮到了男、女都要排實位，否則會出現(xiàn)．
（板書）
（女男男女男女男女）兩男或兩女相鄰的問題．這時同性不相鄰必須男女都排好，即男奇數(shù)
位，女偶數(shù)位，或者對調(diào)．
（通過對例2的討論和分析，能夠幫助學(xué)生對于分離排列、排除法以及插空法有更清楚的認(rèn)
識，只有這樣學(xué)生才會找到合理的解法，提高分析和解決問題的能力．） [來源:21世紀(jì)教育網(wǎng)]
師：我們再來看一個例題．
（打出片子——例3）
例3 某乒乓球隊有8男7女共15名隊員，現(xiàn)進(jìn)行混合雙打練習(xí)，兩邊都必須是1男1女，共有多少種不同的搭配方法?
（教師朗讀一遍例3后巡視） 21世紀(jì)教育網(wǎng)
師：請同學(xué)說一下答案．
生：N＝（板書此式）． [來源:21世紀(jì)教育網(wǎng)]
師：怎么分析的呢?
生：每一種搭配都需要2男2女，先把4名隊員選出來，有種選法，然后考慮4人的排法，故乘以 21世紀(jì)教育網(wǎng)
師：選出的4名隊員做全排列，那么（板書）男A男B、女A女B行嗎?
生：不行，有“重復(fù)”了，應(yīng)該乘以什么呢?
師：這就需要我們再把問題想想清楚了，當(dāng)選出2男2女隊員進(jìn)行混合雙打時，有幾種搭配方法呢? 21世紀(jì)教育網(wǎng)
（板書）男——男女
①Aa Bb21世紀(jì)教育網(wǎng)
②Ab Ba
③Ba Ab
④Bb Aa
以上四種嗎?[來源:21世紀(jì)教育網(wǎng)]
生：不是!③與②，④與①屬于同一種，只有2種搭配，應(yīng)該乘以2．
師：這就對了．N=，還可以用下面的思路：先在8男中選2男各據(jù)一側(cè)，是排列問題，有種方法；再在7女中選2女與之搭配，是組合問題，有種方法，一共有N=種搭配方法．
（板書）
解法1：N=
解法2：N=
師：最后看例4
（打出片子——例4）
例4 高二（1）班要從7名運動員中選出4名組成4×100米接力隊，參加校運會，其中甲、乙二人都不跑中間兩棒的安排方法有多少種?
（教師讀題，引導(dǎo)分析）
師：從7人中選4人分別安排第一、二、三、四棒這四個不同任務(wù)，一定與組合和排列有關(guān)，
對甲、乙有特殊要求，這就有了不同情況，要分類相加了．先不考慮誰跑哪棒，就說4人的
選擇有幾類情況呢?
生：三類，第一類，沒有甲乙，有種選法；第二類，有甲沒乙或有乙沒甲，有種選
法；第三類，既有甲也有乙，有種選法．
師：如果把上述三類選法數(shù)相加再乘以行不行?
生：不行，對于上面三類不同選法，并不能都有P44種安排方法．考慮甲、乙二人都不跑中
間兩棒，應(yīng)有不同的安排方法數(shù)是：N=．
師：第二項中的是什么意思呢? [來源:21世紀(jì)教育網(wǎng)]
生：第二類中甲、乙兩人只有1人選中時，甲（乙）的排法數(shù)量是，其他三人的排法數(shù)是． 21世紀(jì)教育網(wǎng)
師：很好，這個排列組合綜合題在求解中的分類十分重要，大家要認(rèn)真體會，了解其思路和
方法．
（三）小結(jié)
我們通過對4個例題的分析和討論，總結(jié)了分配問題，分離排列問題的解法，以及排列、組
合綜合題的解法．
解排列、組合綜合題，一般應(yīng)遵循：先組后排的原則．
解題時一定要注意不重復(fù)、不遺漏．
（四）作業(yè)
1.四名優(yōu)秀生保送到三所學(xué)樣去，每所學(xué)樣至少得1名，則不同的保送方案總數(shù)是 種．（
）
2.有印著0，1，3，5，7，9的六張卡片，如果允許9當(dāng)作6用，那么從中任意以組成多少個不同的三位數(shù)?（） [來源:21世紀(jì)教育網(wǎng)]
課堂教學(xué)設(shè)計說明
關(guān)于排列組合的應(yīng)用題，由于其內(nèi)容獨特，自成體系；種類繁多，題目多變；解法別致，思
維抽象；條件隱晦，難以捉摸；得數(shù)較大，不易檢驗．所以這一課歷來是學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點．為了降低解題的難度，在教會學(xué)生基本方法的同時，一定要使學(xué)生學(xué)會轉(zhuǎn)化，分類的思想方法，將復(fù)雜的排列、組合綜合題轉(zhuǎn)化為若干個簡單的排列、組合問題．基于這一點，在例題的選排上，特別安排了例1，在復(fù)習(xí)鞏固前面所學(xué)基本解法的基礎(chǔ)上，總結(jié)了分配問題的解法，并引出了簡單的排列組合綜合問題．通過例2來討論排列中常見的相鄰排列和分離排列問題，以及排除法、插空法等解法在應(yīng)用中需注意的事項．例3、例4是典型的排列、組合綜
合題，分別側(cè)重了分步和分類兩個難點．
教學(xué)方法上，以問答形式，通過討論分析，引導(dǎo)學(xué)生正確思維，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問
題的能力．操作過程中也要根據(jù)學(xué)生的具體情況，采取多變的方式．學(xué)生配合的好，就以學(xué)
生為主，學(xué)生回答問題不盡如人意時，就需要教師在提高語言、方式等方面多做文章，或以
教師的講授為主． 21世紀(jì)教育網(wǎng)


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