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專家引領
專題八《考試命題與復習教學》研修要點
省課程專家 顏峰 陳杰 謝志平
考試，尤其是中考是無法回避的一個話題，圍繞這個話題我們肯定有不少的話要說。新課程改革以來，考試作為評價學生的一個重要方面，發生了很大的變化，隨著對學生進行多元性評價的實施，我們是否還可以用傳統的思想和復習策略來指導學生復習？如何才能改變傳統的觀念，在新課程理念的指導下進行命題，制定相應的復習策略更好地指導學生復習和備考？我們應該如何去重新認識復習考試的作用和目的？
本專題的研修主題為考試命題與復習，馬復老師和他的專家團隊將在本專題中為大家解開以上困惑。
本專題共包含有4個話題。
話題1 復習階段的高效命題
通常來說我們要把總復習分為幾個輪次，那么我們在第一輪復習中的命題，該怎樣涵蓋知識點？如何體現所命制的試題與課標、教材的關聯？
你是否了解《數學課程標準》中要求在初中階段掌握的知識點？
你在指導學生復習的時候是否了解學生容易出現的錯誤并能采取有針對性的措施，從而避免學生在類似的問題上再犯同樣的錯誤？
在第二輪的復習中我們應該如何照顧到不同層次學生的發展需求？“AB卷分層檢測”的意義是什么，如何操作？你有什么困惑和改進的措施。
話題2 中考的二輪復習有哪些有效的教學策略
二輪復習在內容與方法的深度、梯度、綜合度上較之一輪復習給我們提出了更為縱深和精細化的執行要求，這就要求我們老師不能僅依賴于感覺和經驗，而應盡快從復習的時間、內容、資料、方法上，尤其是復習資料和習題的篩選與呈現上，對整個二輪復習做出合理規劃。用老師們的集思廣益，代替蠻干，幫助學生不走或少走彎路；側重教法、學法研究，遵循認知規律，力求課堂復習有新穎的切入點，并本著“厚基礎、強能力”的原則，在適量和優質上做文章；尤其要以探究為核心，避免知識機械的記憶和重復，著力于學生體驗的過程，形成一定的分析、解決問題的基本策略。那么你知道基本策略都有哪些嗎？
話題3 如何上好期中、期末考試前的數學復習課
如何上好數學復習課，提高復習課的效率，這是每位數學教師都非常關注的問題。但是往往有很多老師在復習課教學中會陷入“做試卷——講試卷——再做試卷”的題海怪圈。學生在每節課的做題、講題、再做題中漸漸喪失了學習數學的興趣。我們究竟應該如何提高數學復習課的有效性呢？
話題4 復習考試的作用是為了更好的調整教學
考試改革是基礎教育課程改革的重要組成部分，對課程改革的順利實施有極為重要的影響。《數學課程標準》中明確指出：評價的主要目的是為了全面的了解學生的學習歷程，激勵學生的學習和改進教師的教學。
我們應該怎樣多角度、全方位的關注學生的學習狀態？如何提升學生的學習品質，讓考試成為學生再學習的過程？
希望通過本專題的研修可以解開老師們對于和復習、考試有關的的諸多困惑。

專家解惑
編者按：崔金玲老師在作業中，就一節課（片段）提出了一個問題。部分專家對于這節課（片段）提出自己的意見。歡迎老師們就這一課例發表自己的看法。
矛盾著，收獲著
昌樂縣朱劉街道中學???崔金玲
指導教師祝學昌推薦，理由：崔老師的這節案例很好的體現了以學生為主的探究教學，值得學習。
省課程專家湯華財推薦，理由：董老師大膽放手組織學生提出疑惑并解決問題的做法值得學習，進行探究性學習時間緊是大家在教學中都面臨的問題，關鍵看我們希望得到什么，如果為了趕進度，完成任務，時間肯定不夠；如果能夠站在學生能力培養角度考慮，時間無所謂緊與不緊，關鍵是利用好每一個問題，發揮它應有的價值，促進學生的發展，提升學生的能力。
省課程專家姜仲平推薦，理由：我們說是自主探究，也是在教師的啟發引導下進行的，關鍵是要求我們問題設置到位，合理點撥到位，準確抓住學生的疑點及閃光點時機要到位，崔老師做的很好，一定給大家許多啟發，如果我們時時重視探究能力的培養，所述矛盾必是自然解決。
進入九年級后，為了激發學生學習數學的興趣，也為了符合“自主學習，合作探究”的新課改要求，給每一個學生一個展現自我的機會。我讓學生可以把自己平時練習中遇到的疑難問題抄在黑板上，讓我們共同研究、分析，學生聽后覺得有挑戰性，所以便積極參與。
在一次二次函數的課上，遇到了這樣一道題目：
已知y=2x2-kx-1與x軸的交點的橫坐標一個大于2，一個小于2，試確定k的取值范圍。
課堂上沉靜了，繼而，出現了輕輕的討論。見時機已成熟，我鼓勵大家踴躍發言。
學生A：由已知可得拋物線與x軸有兩個交點，首先是△＞0，一個大于2，一個小于2又怎么來表示呢？
同時，學生B舉手要求發言：“與x軸的兩個交點用（x1，0），（x2，0）表示，x1，x2是方程2x2-kx-1=0的兩個根。這樣上面的條件就變成了一根大于2，一根小于2，我們就可以把二次函數問題變成方程問題來解決了。
經過學生B這一提醒，全班嘩然，都為他豐富的聯想而鼓掌。我充分肯定了兩位學生的學習積極性和敢于發表意見的膽識，總結道：“這道題經過了A、B兩位同學的互補，已經出來了一個思路，有誰能順著這個思路解出來呢？
學生C：“老師，我是這樣想的，我們前面解一元二次方程時曾經遇到兩根異號的問題，能得到不等式x1，x2＜0.我覺得這個問題也應該這樣轉化為這個問題上來解決。但是怎么轉化呢？”學生的疑惑，正是教學的焦點。
突然，學生D站起來說道：“我知道怎么做了，一根大于2，可以得到不等式x1-2＞0，而一根小于2，可以得到不等式x2-2＜0。這樣我們就得到了不等式（x1-2）（x2-2）＜0……”科代表學生E突然站起來說“我知道怎么做了，只需要把這個式子展開，然后利用根與系數的關系把K的代數式代進去，就可以求出取值范圍了。
這的確是一種行之有效的解法,它利用了二次函數與一元二次方程的關系并能對已知條件進行靈活的變換。我熱情地表揚了這位學生。
說句心里話，學生中這種互相找解題方法的能力和速度是我始料不及的。就在大家仔細琢磨的同時，學生F像發現了新大陸似的，風風火火地表達道：“老師，我有一種比較簡單的方法，不知行不?”
學生F： 由已知y=2x2-kx-1與x軸的交點的橫坐標一個大于2，一個小于2，說明拋物線與x軸的交點在（2，0）的兩側，由于拋物線又是開口向上的，所以由圖像可知，當x=2時，y的值是小于0的。也就是得到不等式：8-2k-1 ＜0?????
妙！妙！妙，他的一番話令全班同學驚嘆不已。有的同學甚至形容說：這簡直不用一槍一炮就解決了。
學生G：老師，同學F的這種方法有一定局限性，它只適用于知道開口向上或者開口向下的，那請問若是不知道a的正負，該怎么得出答案呢？
經過這樣的參與、討論、比較、歸納、總結，同學們普遍反映這樣的課有趣，富有挑戰性，收獲也很大。但我一看時間，糟了，離下課只差十幾分鐘了。這時一絲懊惱 掠過心頭，真不該放手讓學生去討論。但轉念一想，若一開始就給出正確答案，那課堂氣氛又會變成啥樣？學生的探究能力又如何培養呢？
學生即將畢業，平時學習任務緊，就數學而言，一周五節課，新教材本身課程就緊，留給學生自主探究的時間少，師生在一起討論疑難題的解法的時間就更少了，鼓勵 學生把題目帶到課堂上，一方面能剌激學生的好勝心，充分挖掘學生的內在潛力，學生歡迎；另一方面這樣做卻使正常的教學計劃受到影響,但矛盾也不可避免，利弊該如何權衡呢？
上面是我為發展學生探究能力而設計的一個教學案例，這樣做，雖發展了學生的探究能力，但是使正常的教學進度受到影響。在今天的交流平臺上，希望各位專家和老師給我以及和我有同樣困惑的老師提出寶貴的建議和意見。我們應該怎么辦？
省級專家云鵬：對于專題七的作業“設計一個教學片段﹙案例﹚，說明在常規教學中怎樣培養學生的探究能力”，崔金玲老師巧妙的選了個下面的題目：
已知y=2x2-kx-1與x軸的交點的橫坐標一個大于2，一個小于2，試確定k的取值范圍。
作為切入點，足見其匠心:作為二次函數這一內容，總要進行一個適當的綜合訓練，用以檢驗學生的水平。說“使正常的教學進度受到影響”，是崔老師擔心自己的做法與大家通常的做法有異（僅處理一個題就用了30分鐘，感覺這節課處理的內容少了點），但實際上本節課所涉及的內容若能再處理細致一點的話，遠不是30分鐘所能做好的。
首先，從站在學生能力培養的角度思考，崔老師這節課無疑是精彩的，他的精彩在于通過學生A，B的 發言可以看出學生的基礎知識和基本技能是扎實的，而老師充分地肯定又為面上同學對這一思考問題的思路加深了印象。
其次，從學生C的疑惑中，看出同學們對于這種問題思考思路是清晰的，而學生D的轉化思想是非常難得的，本人以為對于學生D與E的發言僅有“熱情地表揚”還不夠，還應進行提升：通過符號法則解不等式，是否應該點一下，換元的思想是否需要講一講。“始料不及”正是教學相長之所在。學會反思，學會應變是必須的。
再者，學生F的發言老師若能再找一個同學把其中的“妙”說一說就更好了。對于學生G的想法，還是需要老師提升并說明一下比較好，這樣能節省時間。否則，對于進入九年級后的學生來說有點奢侈。
?在本節課中，崔金玲老師不僅引導學生關注了二次函數、方程、不等式等數學知識及數形結合、轉化等數學思想方法，而且為學生提供探究問題的空間，訓練了學生的思維、發展了學生的探究能力。更為重要的是，學生通過自己地努力運用多種方法解決了問題，內心獲得了極大的成就感。這種成就感將激勵著學生們繼續今后的數學學習。達到了如此教學效果，這30分鐘花的值不值呢？
至于這個問題對不同學生的不同要求，相信老師們是能夠把握得很好的。
省級專家呂學江：教師的教學機智，就在于善于挖掘、引發、利用課堂生成的動態資源，助推學生自主探究的熱情，引導學生一題多解的思路，放大挑戰成功的戰果，這樣的用時是值得的，觸類旁通，事半功倍。
省級專家謝志平：遇到這種情況，我的觀點是：放手讓學生探究，把課堂還給學生。學生數學成績的高低絕不會取決于上課時多做了幾個題目，發展學生的數學思維才是根本。遇到一些像這樣能激發學生探究欲望的有研究和探索價值的題目，我們老師千萬不能放過機會。這節課看似一個問題也沒有解決完，但我們能夠看到在這節課中學生的參與程度非常高，思維含量也很大，涉及到方程、不等式、函數等知識，所以收獲會比多做幾個題目還大。
熱點聚焦
熱點之一
關于課題學習的實踐與認識
菏澤市牡丹區東城辦事處初級中學????王在旭
省課程專家姜仲平推薦，理由：課題學習不是在課標其他三個知識板塊之外另行增加的新知識，而是強調了知識的關聯性、整體性和綜合應用性，是一種新穎的學習方式。王老師指明了課題學習的意義，注意了活動中的數學思考的含量，鼓勵學生獨立思考、自主探索、合作交流，加強了對活動評價的指導，確立了教師是活動的組織者、引領者與合作者而不是知識的傳授者的角色定位。源于實踐，認識深刻，推薦學習。
?上午聽了學習了幾位專家的專題講座，我受益匪淺，我對初中課題學習又有了新的認識。下面結合我的工作實際，談談我對課題學習的理解和看法。???
1．首先要明確課題學習的意義，課題學習是數學新課程標準的特色之一，它是一種學生在老師引導下，在已有知識體驗的基礎上，從所熟悉的現實生活中發現、選擇和確定問題，主動應用知識解決問題的學習活動。它要求引導學生自己獨立地用數學對未知進行探討；讓學生在現實情境中體驗和理解數學，經歷數學化的過程。它強調學習活動的現實性、問題性、實踐性、綜合性和探索性，是對課堂學習的的補充和延續。
2．要明確教師在課題學習中的地位和作用。課題學習強調的是以學生為主體，給學生更多的機會，讓他們自主發現，自主探索在學習過程中，從問題的提出、解決問題策略的選擇到結論的得出，都是由學生自己來決定，教師只是活動的組織者、參與者和指導者。所以教師以平等的身份主動參與到課題學習中去。在課題學習中，教師只能在資料信息來源、思路點撥、研究方法等方面進行指導，做好課題學習的組織協調者，創設輕松的活動環境，幫助學生克服困難，樹立信心，保證學生有旺盛的求知欲和持之以恒的探索精神。作為參與者，教師要經常深入學生課題組的活動，了解學生的需求，拉近師生之間的距離，讓學生認可教師為他們中的一員，愿意無拘無束地一起交談和討論，建立一種和諧融洽的關系，同時，教師可以及時了解情況，有的放矢地進行指導，教師從中學到很多新東西，真正實現教學相長。
3．課題學習要注意課時問題。初中六冊教材，共七個課題學習的內容，基本上是每學期一個，當然教材中還有很多的數學活動，也可以加以延伸和拓展為課題學習的題目，例如七年級教材安排了一個課題學習是制作“人口圖”。課時安排是兩課時，只利用這兩課時來完成課題學習的任務是遠遠不夠的，我們可以采用“課外活動、課內交流”形式進行教學,可以在假期前布置，學生可以利用節假日進行自主研究，利用召集的時間進行督促和反饋，小組研討。等到開學初再利用2-3個課時來匯總、匯報和評價及作品的展示。這樣做下來既能保證時間，又能保證效果。
4．要注意對學生的指導。課題學習剛開始時要讓學生明確我們的目的，他們如果不知道為什么要做，則談不上進一步的研究，之后要對學習的過程進行指導，讓他們明確步驟和要求，進而還要做好具體的方法指導，尤其是第一次做一定要有一個優秀的范例，給他們啟示，教師要將學習過程中可能出現的問題加以提示，讓學生盡快地學會這種學習的方法，并且覺得這種學習很有趣，很有價值。
5．重視對學生的評價。由于課題學習更關注解決問題的過程，所以教師在評價時應首先關注學生在小組活動中的表現，關注學生參與活動的積極程度，關注學生在活動在中所表現出的思考水平。讓學生明確，他們的每一個步驟的操作都是有一定價值的，都會獲得評價的，這樣學生就會按部就班，仔細致地進行。教師的任務就是將評價表做細，監督和督促及時，隨時掌握學生的進展，讓評價發揮指引課題學習的功效。以上是我對課題學習的一點看法，不足之處敬請各位批評指正。
課題學習讓我歡喜讓我憂
平度市城關街道辦事處杭州路中學????蔣麗萍????
省級專家褚愛華推薦，理由：蔣老師分析的很到位，課題學習作為新課標新增內容，承擔著培養學生研究性學習能力的作用，為學生提供綜合應用所學知識解決問題的素材。我們應該知道不同的知識有不同的認知貢獻，要充分利用好教材資源，達到培養學生的目的。
指導教師紀玉棠推薦，理由：蔣老師結合自己的切身體會談了對課題學習的認識，很不錯。課題學習實際就是綜合運用所學知識解決相關的實際問題，確實值得研究。
課題學習是初中數學課程新設置的一種新型的學習方式。它改變了傳統教學模式中以知識記憶為主的陳舊方法，而且有鮮明的實踐性、過程性、挑戰性、綜合性、開放性等特征。同時對于培養學生研究性學習和探究性學習，以及與人合作交流等品質上有不可忽視的作用。課題學習課之所以有些老師不去上，主要有這幾方面的原因：
一、感到無從操作，雖有部分的活動課內容存在，但缺乏具體的活動方案及案例，使老師感到很難操作；比如《平面圖形的鑲嵌》、《拱橋設計》，這方面知識有限，資源又不是很豐富。
二、從功利上看，數學課題學習對學生的考試不能起到立竿見影的作用，因此只是把數學課題學習的內容中的實習作業作為應用題講一下，缺少真正意義上的探索。
今天聽了專家的指導，我深刻的體會到課題教學的必要性。我們傳統教學形式大多是培養學生模仿驗證的技能，忽視了學生對知識深邃的思考和體驗，忽視了對學生的研究意識的培養。記得一個同事的孩子去澳大利亞上學回來時，我問他在在國內與國外學習中哪種更輕松，他說“在國內，在國外每次都為作業忙的暈頭轉向”，而他們的作業往往都是這種類似課題學習的形式，其實國外很多都是從小學開始就安排了課題學習或者寫研究報告了，而我們今天的課題學習其實就是這樣的一種教學模式，當我們在講探究性學習，當我們在談培養學生的創新思維，當我們在喊還給學生課堂的時候，課題學習不就是一個很好的載體嗎？
課題學習不就是在強調學生的自主探索、合作交流和動手實踐嗎？它讓學生“動”起來，而且我想堅持下去這種探究性的思維也能在課下延伸。
其實這種課題教學只是一種知識的綜合與實踐，是幫助學生積累數學活動經驗一種途徑而已。我們沒必要用陌生的眼光去看它，很多以前接觸的知識點都可以設計成課題學習課，比如紅燈與綠燈的概率問題、中點四邊形問題、身份征證號碼的規律問題等，還可以設計不同的選題讓學生自主選擇課題研究的題目，結合生活實際、愛好特長等，比如銀行存款利息和利稅的調查、購房貸款問題、房子裝修粉刷面積、出租車的收費等等問題。不在于多大的課題，只要心中有課題學習要求的本質，許多知識都可以設計成課題學習類型內容的，所以說老師的課前準備設計是十分重要，它包括必要的資料查找、必要的實情調查及體驗、必要的教具學具的準備、必要的相關知識準備等等，這樣看來完善和積累課題學習資源是很不容易的一件事。
課題學習，一塊美味的“雞肋”
章丘市相公莊鎮相公中學????齊芬????
省課程專家羅壽果推薦，理由：“課題學習，一塊美味的‘雞肋’”非常形象地比喻，齊老師比較準確地指出了課題學習中存在的問題，并提出了解決問題的方法，中肯合理，值得借鑒。
指導教師于慶利推薦，理由：齊老師明確的指出現實課堂教學中關于課題學習中存在的問題，并提出合理的解決問題的方法：改變觀念；思想決定行為。
一提到課題學習，學生的一致反應就是“難”、“沒用”、“浪費時間”。所謂的難，就是因為課題學習需要從所從事的課題研究中發現、選擇和確定問題，再用所學知識解決問題，而我們的學生，經過長期的訓練，已經具備了基本的用知識解決問題的能力，我們的教學也一直都在朝著這個方向努力，可是，“發現”、“選擇”問題，則是難上加難，因為我們的學生大多缺乏善于觀察的眼睛，這是需要創新能力的。所謂的“沒用”，就是因為考試沒法考，我們一直都在談素質教育，誰都不好意思把培養學生的考試能力掛在嘴上，學生也習慣了，從來都不敢說學習是為了考試。可是，這對課題學習感覺“沒用”的態度卻出賣了自己，原來，還是一直都在被考試指揮著，不管承認不承認，還是在進行著應試教育。所謂的“浪費時間”，那當然是，既然“沒用”，再學習豈不是浪費時間？我們的時間多寶貴，好多練習都沒時間做呢！這是學生的觀點。
老師不都這樣認為。但是，在進行課題學習的指導過程中，卻也感到困難重重，一方面是拿不準，覺得不好把握；二是不能明確研究性學習與常規教學之間的區別；第三就是觀念的問題，和學生的看法一樣，覺得沒有“必要”，即使講，也與常規教學一個模式；第四就是也嘗試著去做，卻無法完成任務，時間少，學生的思維難度也大。這就使得課題學習成了“雞肋”，老師們也都徘徊在“要”還是“不要”的兩難境地中。實際上，老師們都知道，“課題學習溝通生活中的數學與課堂上的數學的聯系”，“從教學上、學法上都是日常教學的反饋，與日常教學是順承的”。而在課題學習的過程中，不但增強學生的合作意識，而且能夠培養學生發現問題的能力，“問題是數學的心臟”，這是創新的根本所在，可見課題學習的意義重大。所以我覺得，老師在參與課題學習的過程中：首先就是改變觀念，只要重視，就會用心；第二，認真研究課題學習的要求，把握要準；第三，在課外活動研究中，要關注學生的表現，及時予以評價與鼓勵；對學生提出的任何問題，都不能簡單否定，或許，這正是他們的發現問題的能力在成長。第四，在課內交流時，給學生機會，讓他們都大膽得發表自己的看法，不要怕用時間太多，其實這比做題效果要好得多。美國數學教育家波利亞指出：“學習任何東西，最好的途徑是自己去發現”，所以課題研究性學習更有利于學生深入的認識數學知識的本質特征，對于數學在學生未來的職業和生活中發揮更大的作用具有重要意義。其實，課題學習是一塊美味的“雞肋”，不但要“吃”，還要“吃”得有滋味。
熱點之二：
實施開放式教學，培養學生創新能力
茌平縣杜郎口中學? 宋彬
省課程專家呂學江推薦，理由：理論指導下的實踐事半功倍，實踐總結出的理論根基扎實。宋老師表明，“問題教學喚醒創新意識，自主探究生發創新思維，實踐活動提升創新能力”，文章文筆流暢，論證有理有據。宋老師力求改變傳統教學過于強調接受學習、過于看重書本知識的做法，倡導學生自主探究，交流合作，豐富活動經驗，培養創新思維，符合新課程要求和教學實際。細細讀來收獲頗豐，推薦給老師們參考。
一、通過問題教學，培養學生的創新意識。
傳統教學過分注重知識傳授，老師只要在課堂上講清楚，學生聽明白，就算很好地完成了教學任務，而忽略了學生創新意識的培養。開放式數學教學的目的之一就是打破這種學生完全處于被動狀態的課堂，突出學生主體地位，使學生真正成為學習的主人。開放式教學，要求老師將教學內容化解為一個個具有內在聯系的問題，讓學生通過預習、自主探究與小組交流，經歷對知識的探究與形成過程。由于每個學生認知水平、學習基礎以及理解角度不同，對問題就產生不同的認識，或眾說紛紜，或標新立異，培養學生創新意識。
例如“確定位置”一節，由于學生在現實生活中有多種確定位置的經歷，我就提出以下幾個問題讓學生思考：
1．在教室內如何確定你的位置？
2．如果你是一名導游，如何向客人介紹家鄉的位置？
3．在中國地圖上，你如何確定濟南市的位置？
4．在現實生活中，你認為確定物體的位置有哪些方法？
這些問題的設計是有內在聯系的，學生通過對問題的探究，不但能把握確定位置的方法，又在交流中發展了發散思維，這是培養學生創新意識的起步。
二、通過自主探究、合作交流，培養學生的創新思維。
傳統教學過分注重教師的主導作用，概念也好，定理也好，只是教師講學生聽，這樣被動接受束縛了學生的創新思維的發展。教育家葉圣陶曾說：“上課是老師與學生共同學習的過程，而共同學習的方式就如平常集體備課那樣討論，老師的作用只是組織者。上課對學生來說就是報告和討論，不再是一味的聽講，老師是指導與評價，不再是一味的講授。”在課堂教學中，我按下面的三個步驟組織學生討論、交流，進行開放式教學。
1．獨立想一想。自主探究、合作交流的開放式教學，前提是學生的獨立思考。由于每個學生的思考都對問題有著不同的著眼點，每個學生的思考與理解都與原有的知識水平、生活經驗和學習習慣有關，因而每個學生的理解感悟會不同，自主探究過程就會出現不同的思考方式及不同觀點，這是非常可喜的，老師一定要珍惜、放大。
2．小組議一議。在學生在獨立思考的基礎上，再加上四人一組進行信息溝通，與他人想法一致的，就不要重復了，對他人觀點不理解，可以請求解釋，不同意他人觀點的，則發表自己的見解或進行辯論，從而達到對問題的理解。
3．全班評一評。小組派代表在全班交流，可在座位講也可上講臺，若對他組的觀點不同時只講意見，各組交流補充，老師追問引導，共同達到對問題的理解與應用。
開放的課堂，探究合作的方式，給學生創設了自主學習、積極發言的機會，許多中下游學生說：“以前老師總是點成績好的同學發言，我們的參與機會很少，有時不懂的也不敢問。老師問我們懂不懂，我們就跟著說懂。現在分組討論交流，我們的參與機會就多了，也敢展示自己的觀點了，不懂的也能問了。”優等生說的也有道理：“以前老師一節課能提問20多次，問得我們心神不寧，現在課堂上安排討論，我會了可以教別人，不懂的地方可以問別人，有不同的觀點可以隨時站起來展示，大大提高了我們參與課堂的積極性。”這樣真正做到了凡學生通過預習、交流能發現的知識，老師決不代替；凡是學生能夠獨立解決的問題，教師決不講解。在課堂上，真正解放學生的頭腦、雙手、眼睛、嘴巴，把課堂的空間和時間還給學生，挖掘學生的潛能，發展了學生的創新思維。
三、通過實踐活動，培養學生的創新能力。
傳統教學過分強調知識體系，從理論到理論，從證明到結論，忽略了數學知識在實際生活中的應用，這種理論與實際相脫節的教學，制約了學生創新能力的培養。開放式教學，特別注重學生的實踐活動，注重鍛煉學生的實際操作能力。我說的創新能力并不是要求學生一定要有新發現、新創造，注重的是通過學生的動手實踐，把所學知識和實際生活結合起來，使學生意識到數學與現實生活的聯系，從而培養學生應用數學知識解決實際問題的能力。
1．指導學生通過實際操作獲得知識。
例如在認識100萬的教學中，讓學生利用玉米（若干粒）、天平等材料估計100萬粒玉米的質量。學生通過討論交流，設計出了自己的解決方案：
方案A：用天平動手測出100粒玉米的質量，然后通過計算估計100萬粒玉米的質量。
方案B：先數出300粒玉米并100粒一組，用天平測出每組質量再求平均值，在此基礎上估計100萬粒玉米的質量。
開放式教學就是這樣指導學生在實際操作中創造性的學習知識。通過學生的動手操作，加深了學生對100萬的感性認識，提高了學生的學習興趣。
2．通過數學實踐活動引導學生將所學知識應用于生活實際。
例如在學習了“確定一次函數的表達式”后，我給學生設計了一個這樣的問題：學校的課桌凳的高度都是按一定的關系科學設計的，小明對學校新買的一批課桌凳進行了研究，發現它們可以根據人的身高調節高度，于是他測量了一套課桌凳上相對應的四檔高度得到如下的數據：
檔/高度
一檔
二檔
三檔
四檔
xcm
37.0
40.0
42.0
45.0
ycm
70.0
74.8
78.0
82.8
（1）小明通過數據的探究，發現桌高y是凳高x的一次函數，請你寫出y與x的函數表達式。
（2）你坐的課桌凳是否配套，你有辦法進行驗證嗎？說出你的想法。
這樣的題目不僅考察了學生一次函數表達式的確定方法，又培養了學生的動手操作能力，對培養學生自主學習的能力和創新學習能力都有明顯的促進作用。
數學實踐活動是數學開放式教學的一個重要組成部分，經過幾年來的探索，我認識到，數學教學只有通過理論知識生活實際相結合，突出學生的實際操作與實踐活動，學生才能夠更快更好的理解數學知識、應用數學知識、發展創新能力。
一路同行，暢想未來
菏澤市牡丹區二十二中????劉志?
省課程專家謝志平推薦，理由：以美國的艾倫·柯林斯的一句話來總結“課題學習”的教學，“它雖然是一種費時的教學，但如果我們的目標是培養學生能創造性地解決問題和發現理論，那么這是我們所擁有的唯一方法。”劉老師結合自己教學談了對課題學習教學的認識、給出了課題學習要注意的幾點建議，值得推薦。
指導教師桑賢亭推薦，理由：劉老師結合教學實踐闡述課題學習中自己獨到的見解，增加學生學數學的興趣，使更多學生想學數學、想用數學、會用數學。
新的數學課程改變了過去教學只是學科內容清單的做法，增加了一個"綜合與實踐"的獨特領域，其主要呈現形式就是"課題學習"。這個過程學生學到的不僅僅是解決問題，還有提出問題、分析解決的能力。這一點是以往傳統教學的薄弱之處。現在通過課題學習的方式來補充這方面能力的培養，對于倡導創新與實踐能力的培養是很重要的。下面結合本人就"課題學習"的一些認識與實踐，談一談我的見解：
一、對數學課題學習的認識
1．開展數學課題學習的必要性
目前學生在數學學習中存在的問題有：實踐能力、動手操作能力差；創新精神與創造性較差；對數學學習的自信心、自覺性、積極態度等發展不足。而課題學習是一種新型的學習方式，強調的是以學生為主體，具有鮮明的實踐性、綜合性、開放性。展開課題學習研究，更有利于提高學生的實踐與綜合應用能力、轉變學生的學習方式、促進學生的合作交流。
2．數學課題學習的可行性
就課題學習而言，學生是活動的主體，而教師需要根據學生的要求給予適當的指導。我們應該結合學生的需要和興趣，尊重學生新穎的思維方式，給他們較多的自由，讓他們自主、獨立地活動，真正成為活動的主人。這也是新課程改革的教學理念之一，所以數學課題學習勢在必行。
二、課題學習在具體教學操作中的探索
實施課題學習教學中應考慮的幾點：
1．選擇好“課題學習”內容。北師大版義務教育課程標準實驗教科書《數學》（七—九年級）共有8個“課題學習”，按排如下：
七年級上冊：制作一個盡可能大的無蓋長方體形盒子；
七年級下冊：制作人口圖；
八年級上冊：平面圖形的鑲嵌；
八年級下冊：制作視力表；吸煙有害健康；
九年級上冊：猜想、證明與拓廣；
九年級下冊：拱橋設計；設計遮陽篷。
2．設計“課題學習”方案。研究方案是“課題學習”實施研究的指南，是取得成果的保證。同時，也使學生對整個探究活動有一個比較完整、清晰的了解。在選好“課題學習”的內容后，①分組：這是學生自由組合，成立課題學習小組，一般由4—6人組成，并確定組長。②各組分組討論：本組解決問題的具體方案、步驟、人員分工，計劃活動時間等，由組長負責并制出初步方案。③分工合作、解決問題。④撰寫研究報告。⑤展示成果，相互評價。
三、實施課題學習過程中的幾點體會
1．讓學生成為課題學習的主人。
2．課題學習不能急功近利，重在過程。
3．課題學習要精細化。
通過課題學習，讓更多的學生知道數學可用，數學能用，由此發展到我想用數學，我會用數學。
教師在提高自己參與課題學習指導水平方面，需要什么幫助？
萊西市店埠鎮中心中學????史淑英????
省課程專家陳杰推薦，理由：史老師所提的問題，有一定的代表性，值得進一步思考，探索。有的問題，涉及多方面的內容，不是一句話兩句話就能說清楚的。歡迎老師們就這個問題提出自己的看法。
指導教師肖海英推薦，理由：史老師的困惑很有代表性，請各位專家能幫助一起解答。
教師在提高自己參與課題學習指導水平方面，需要什么幫助？
《新課程標準》指出“動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式。學生是學習的主人，教師是學習的組織者、引導者與合作者。”探究性學習，是學生主動運用所學知識解決數學問題的一種有意義的學習，是以學生動手、動腦、主動探索、實踐和相互交流為主要學習方式的研究活動。其主要呈現形式之一是 “課題學習”。
課題學習應在教師地指導下進行，作為一名農村教師，我對開展課題學習心存困惑，現將自己在開展課題學習方面存在的問題和個人的思考列出，希望各位老師不吝賜教。
?一、數學教師如何做一名研究者？
美國數學教育家波利亞指出：“學習任何東西，最好的途徑是自己去發現”。課題學習中學生就是研究者，通過親身體驗，養成科學精神和科學態度，掌握基本的科學方法，提高綜合解決問題的能力。教師要指導學生開展學習，前提是教師本身具有一定的研究能力，因為只有一名研究型的教師才能結合自身的研究過程對學生的學習過程給出針對性的建議、方法，由此數學教師如何才能成為一名研究者就首當其沖的成為困擾我的第一個問題。
?二、教師如何選擇課題和對課題進行分析？
若要學生在教師的指導下順利開展學習，那么有效的課題就顯的非常重要。日常教學中我們選擇課題的范圍有三種：第一是新授課部分；第二是教材的拓展部分；第三是課后習題部分。如何結合學生的情況選擇出適合他們的課題呢？課題學習的主體是學生，課題太難學生參與度不高，學生不僅體驗不到充滿思考、質疑、調查、探索、實驗等的學習活動，而且還會打消學生學習的積極性，不利于以后課題學習的再開展；課題選擇太容易，學生內心輕敵，不屑于調查研究，再開展課題學習，學生也不會給予足夠重視。
?當教師選定一個課題之后還要對課題進行分析，要考慮學生已有知識的儲備是否夠用。若知識儲備不夠，是給學生補充所需新知識呢？還是放棄所選的課題呢？對課題學習的分析還應該包括該課題能培養學生何種能力，以及是否會對學生的思維方式有所啟示等。
?三、課題實施階段
課題學習中學生是主體，教師為主導，教師與學生這兩方面只有扮演好各自的角色，才能達到最佳學習效果。
教師如何讓學生參與到課題學習中？
課題學習中學生能力要想得到提升，學生要想有所收獲，前提是學生要積極的參與到課題學習中來，獲得一些研究問題的方法和經驗，發展思維能力，加深理解相關的數學知識。通過獲得成功的體驗和克服困難的經歷，增強應用數學的自信心。教師應如何幫助課題學習中參與程度不高的學生積極地參與其中成為一個難點。
教師如何指導學生與學生間的合作學習？
學生與學生間的交流和溝通不僅僅使得信息能共享，最重要的是能給參與的雙方或者多方思考問題的方式帶來啟示。倘若學生之間不能很好的交流，教師又該求助什么策略呢？
教師自身如何參與到課題學習中？
課題學習中教師應是學生學習的促進者、組織者和指導者。可常常是學生在討論，教師無事可干，不知如何參與到學生的話題中，起不到真正的促進和指導的作用。另外學生討論的內容在教師的預想之內，教師很容易給學生以恰當的指導；可當學生的討論內容是教師之前不曾想到的，教師的指導作用還是發揮不出來。如何才能實現教師在學生的討論中起到點播、導向作用的理想狀態呢？
?四、課題學習的評價
有效的評價使得學生對自己有正確清晰的認識：既能看到評價中被肯定和贊賞自己的方面，日后可以繼續保持和發揚，有助于提高學生的自信心；又能正視自己的不足，適度的否定的評價，往往能引起學生一定的焦慮感，知恥而后勇，進一步激發學生參與課題學習的欲望。學生若以平和的心態接受評價，便能逐步形成其在評價中開闊的胸襟與客觀的視角。
?我認為對課程學習的評價應該從過程性評價和結果性評價兩方面展開：
過程性評價應該包含學生的參與程度，學生的傾聽能力，學生的表達能力，學生的思維能力等方面。
結果性評價主要是學生的反思能力,杜威在《我們怎樣思維》中提到“反省思維是一種優良的思維方法，這種思考方式在于把問題反復思量，作周密而連貫的考慮。” 一個人如果經常反思就能調整和修改解決問題的辦法，會使得這些辦法更為有效。學生不僅需要反思課題學習的內容，更重要的還要反思課題學習的過程，在這個過程中自己能力有何提高，自己有何成功之處和獲得的失敗教訓等等。
以上是我的一些粗略的想法，還很不成熟。在思考和實施過程中存在的一些疑問，還希望各位老師能給予幫助，謝謝！
如何對學生從事課題學習的全過程進行評價
即墨市開發區中學 張瑞芹
省課程專家鄭立平推薦，理由：課題學習是新課標和新教材的創新特色，正日益受到重視，張老師充分結合自己的教學實踐，從多個角度多個層面論述了對學生參與活動的全過程評價的操作方法，注重發揮評價的激勵作用，保護學生的自尊心和自信心。其中的許多剖析視角獨特、觀點新穎，給我們以思考和啟迪。
指導教師臧燕楓推薦，理由：分層次、多角度的分析了在課題學習中如何進行評價，分析合理，值得學習。
評價的目的是全面考察學生的課題學習狀況，激勵學生的學習熱情，促進學生的全面發展。評價的形式應多樣化，從多角度多層面進行教學評價，充分關注學生的個性差異，發揮評價的激勵作用，保護學生的自尊心和自信心。
（一）關注學生在小組活動過程中的表現。
對學生數學過程的評價，包括參與數學活動的程度、自信心、合作交流的意識，以及獨立思考的習慣、數學思考的發展水平等方面。如在北師大版七上課題學習《制作一個盡可能大的無蓋長方形盒子》，我在課堂上對學生提出的問題給予積極的評價，增強學生提出問題的信心，提高質疑問題的積極性。讓每個學生在課堂上都有權發表自己的看法，都有機會展示自己的作品。對學生的見解用激勵的語言與之交流，讓每個學生都有成就感，以激發學生學習積極性。對學生在小組活動過程中的評價要看：
是否積極思考，探索解決問題的方法；
是否樂于與小組其他成員進行合作，愿意與同伴交流各自的想法；
是否有解決問題的自信心，能夠不回避遇到的困難;
是否能夠通過動手操作和獨立思考獲得解決問題的思路；
是否理解他人的思路，并在與同伴交流中獲益等，要對學生的動手操作能力、口頭表達能力等作出綜合的評價。
（二）對合作學習小組進行整體評價，即評價合作學習的質量與效果。
評出最佳合作小組獎,這要看小組內所有的學生是否都積極的參與活動；是否通過討論的方式共享他人的觀點和想法；是否小組內每個成員能有效的行使自己的角色，表現好的組被評為“最佳合作小組”，以激發學生的學習積極性。
（三）重視對學生發現問題、解決實際問題能力的評價。
如在北師大版九上課題學習《猜想、證明與拓廣》中，對學生在小組活動過程中的評價主要看：
是否結合具體情境發現并提出數學問題；
是否嘗試從不同角度分析和解決問題；
是否對解決問題的過程進行反思，獲得解決問題的經驗等。由于問題具有開放性，所以對不同學生可提出不同的評價標準，是全體學生都有所提高、有所發展。
以上是自己教學中的一點做法，有不當之處敬請各位專家及老師們批評指正。
熱點之三：
例談在常規教學中怎樣培養學生的探究能力
文登第二中學????畢建永
省課程專家云鵬推薦，理由：挺小的一個問題，因為及時引出了幾個與本章知識有聯系的探究性問題，而使作業出彩。一個成功使用教材的典型。若再讓學生自己提出個問題，似乎還行。
指導教師徐方圓推薦，理由：這組由課本例題引申改編的題目設計非常合理，由易到難，循序漸進，重要的是在習題的引導下學生思路逐漸開闊確實能夠很好的培養學生的探究能力。
在魯教版六年級上冊第五章一元一次方程第三節“月歷中的方程”中，有這樣一道探究性問題，原題如下：
?在某張月歷上圈出一個豎列上相鄰的三個日期，如果三個數的和是60，請說出這三天分別是幾號？
一
二
三
四
五
六
日
?
6
13
20
27
?
7
14
21
28
1
8
15
22
29
2
9
16
23
30
3
10
17
24
31
4
11
18
25
?
5
12
19
26
?
思考：
（1）如果小穎說出三個數的和是75，你能求出這三天分別是幾號？
（2）如果小穎說出三個數的和是21，你能求出這三天分別是幾號？
以上問題學生解決起來并不困難，如果到此為止，那就失去了引導學生進一步探索問題的最佳時機。學生會覺得數學太沒意思了，沒有吸引力。為此，我借著學生剛剛解決一個問題的興奮勁，及時引出如下探究性問題：
在如圖所示的月歷中，用一個3×3的正方形的方框，在月歷中圈出任意3×3個數. 觀察這九個數的特征，探究下面的問題：
?(1)如果從左下角到右上角的對角線上的3個數字的和為45，那么這九個數的和是_______；在這九個日期中，最后一天是幾號_____；
a
b
c
d
e
f
g
h
j
(2)設圈出的這九個數的總和是y，最小的數是x，那么與用x的代數式來表示y的式子是__________________；
（3）在這個月歷中，能否圈出總和是171
的九個數？如果能，請指出這九天中最后一天
是幾號? 如果不能，請說明理由并推測在下個月
的月歷中能否圈出？在圈出的數中,最后一天是星期幾？
這種引申性改編，讓學生既感到新問題很熟悉，有解決的可能，從而樹立起解決問題的信心；同時，新老問題又有一定差別，具有一定挑戰性，進而激發起學生探究問題的積極性。通過這種用習題引導學生探究，不僅提高課堂效率，而且培養了學生思考、探究問題的能力。
培養學生探究能力的教學案例
鄆城縣鄆城鎮東城中學????張蘭英?
省課程專家謝志平推薦，理由：張老師結合實例說明：課題學習內容能夠給學生提供探究式課堂學習的平臺，讓學生通過主動探究、自主學習、親身體驗、合作交流，主動地獲取數學知識，讓學生經歷獲取知識的過程、獲得獲取知識的方法。值得大家閱讀。?
指導教師李福玲推薦理由：設計說明：通過由淺人深的問題引起學生深人的思考，并且能促使學生“發現問題，作出思考，提出猜想，進行驗證，拓展應用”等探究性的學習活動，并教給學生探究性學習的方法，能使學生體驗到主動探究成功后的喜悅，增強學生學習的動力和信心。這樣設計探究學習活動，是為了更有利于學生主體性的發揮。在探究活動中強調合作，促進了學生在思維品質、人格特征以及解題方法等方面的優勢互補，使學生興趣盎然地投人探究新知的學習活動。
新的《數學課程標準》中提出：數學就是要教給學生能借助已有的知識去獲取新知的能力，并使學習成為一種思維活動。學生只有通過動手實踐、自主探索得來的知識，理解才會更深刻，掌握才會更牢固。因此，在數學教學中必須加強學生自主探究能力的培養。下面結合一教學案例，就如何培養學生的自主探究能力談點粗淺的認識。
??例題：已知△ABC 中，AB＝AC，D為BC邊所在直線上任一點， DE垂直AB于E，DF垂直AC于F．試求DE與DF滿足的關系。
一、問題情境，導入新課
本題沒有提供圖形，點D、E、F的位置在哪里？ DE與DF滿足怎樣的關系？如何來證明呢？
二、動手操作，深入探究
讓學生動手畫圖，交流畫法，展示學生的圖形 。
?
?
1．引導學生正確分類。
(1)你認為點D的位置可能有幾種情況？（三種：點D在B、C之間或與B、C之一重合或在BC的延長線上）
(2)等腰三角形有幾種類型？（銳角、直角、鈍角等腰三角形）你認為哪一種情形最特殊？（等腰直角三角形）
2．從特例人手，逐類考查。
在等腰直角三角形中（圖1）：
(1)當點D與B、C之一重合時，DE與DF應滿足什么關系？請進行合理猜想。（等于腰長，很容易驗證。）
(2)當點D在B、C之間時，上述猜想還成立嗎？你能就此種情形驗證你的猜想嗎？(成立)
3．從特殊向一般轉化，探究普遍規律。
(1)從特殊到一般地推廣，若將等腰直角三角形改為銳角等腰三角形或鈍角等腰三角形，上述猜想是否仍舊成立？若不成立，是否有類似的結論？請作出合理猜想。（DE與DF之
和等于腰上的高線長）。(圖2、圖3)
(2)如何驗證（1）中的猜想？（用截短法、
加長法或面積法）
(3)當點D在BC的延長線上時，DE與
DF又將滿足什么樣的關系？如何證明？(圖4)?
三、合作交流、概括總結
1．在問題的解決過程中，我們是怎樣人手的？為什么要這樣分類？【讓學生以五人為一小組，進行組內合作，充分發表自己的見解，形成集體意見。】
此題需要根據點D在等腰三角形底邊上的位置和三角形的形狀分類；在無圖形的幾何問題中往往需分情形分類討論。
2．在證明過程中我們主要運用了哪兩種方法？哪一種方法更加優越？【讓學生組間交流、討論】
在證明過程中主要運用了，截短法、加長法或面積法，面積法較簡單。
3．本題可以概括出怎樣的一般性的結論？
等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和（之差）等于腰上的高線長。
四、反思提高、形成數學思想
在解決此題過程中運用了哪些數學思想方法？（整體思想、分類討論的思想、從特殊到一般的思想等。）
五、類比遷移、拓展應用
應用本題的解題方法和結論，嘗試解決下列問題：
問題：如圖5，在矩形ABCD中，AC、BD交于O，P為AD上任一點， PE垂直AC于點E，PF垂直BD于點F．
1．若AB＝3，BC=4．求PE十PF的值．
2．若AB＝a，BC=b．求PE＋PF的值．
3．若AB＋BC＝8．求PE＋PF的最大值．
思考：本題和上述例題有怎樣的聯系？（題中包含例題中的基本圖形，如圖6）
【設計說明】通過由淺人深的問題引起學生深人的思考，并且能促使學生“發現問題，作出思考，提出猜想，進行驗證，拓展應用”等探究性的學習活動，并教給學生探究性學習的方法，能使學生體驗到主動探究成功后的喜悅，增強學生學習的動力和信心。這樣設計探究學習活動，是為了更有利于學生主體性的發揮。在探究活動中強調合作，促進了學生在思維品質、人格特征以及解題方法等方面的優勢互補，使學生興趣盎然地投人探究新知的學習活動。
“精打細算”——怎樣買合算？
章丘市實驗中學????李霞???
省課程專家羅壽果推薦，理由：李教師真是個有心人，她設計的這堂課題研究課，來源于義務教育課程標準實驗教科書《數學》（北師大版，八年級下冊）的第98頁的一道探索性題目。在這里，李老師帶領學生去發現生活中的數學問題，去體驗解決問題的樂趣，感受學習數學的價值，這正是課題學習的魅力所在，值得推薦學習。
指導教師孫洋推薦，理由：認知沖突的設置合理，由淺到深，由易到難，引領學生循序漸進的探索、解決問題，讓學生體驗解決問題的快樂，體會數學的應用價值。值得我們學習。
?教育家陶行之先生認為“數學即生活”，加強數學與現實的聯系，是新課標的要求。讓學生逐步學會從數學的角度看待和處理日常生活中的現象和問題，從數學的角度運用所學的知識尋求解決問題的策略，只有這樣才能發展學生的探究意識，體會數學的價值，增強學習興趣。下面是怎樣買合算？的教學片段：
義務教育課程標準實驗教科書《數學》（北師大版，八年級下冊）的第98頁有這樣一個問題——“怎樣買合算”，這個問題是在學生學習了分式的計算后，教材設計的一個“跳一跳，夠得著”的探索性題目，通過這次研究性學習活動培養了學生的應用意識。
教學實錄：
師：同學們今天你當你們家的采購員，我們去超市購物如呵？
生（齊）：太好了，去哪個超市？（七嘴八舌）
師：先別忙著問去哪個超市，先解決我提出的問題，再去也不遲（學生期盼）。
師（接著）：如果讓你去買雞蛋，你怎么買？（沉思片刻）
生：我一次買10元錢的，不用找錢。
生：我一次買30個數，因為我媽規定每天每人吃兩個，5天正好30個。
生3：我每次買5斤，我們家冰箱就 盛5斤雞蛋。（同學們踴躍發言）
生4（冷不丁）：現在全球金融危機，花一樣錢得買到盡量多的東西才好，可怎么買呢？（出現第一次認知沖突，課堂一下靜下來）
同學們積極地思考，但又無從下手，于是老師出示實例。
師(適時)：甲、乙 兩個人同時在同一糧店購買糧食，第一次，第二次購糧的單價分別是x元每千克，y元每千克，甲每次購100千克 ，乙每次購糧用去100元.
（1）甲兩次購買糧食共需付款多少元？ 求甲兩次均價Q1;
（2）乙兩次購買糧食共多少千克？求乙兩次均價Q2．
?同學們迅速地計算。
生5：老師，我算出來了，甲兩次付糧款100（x+y）元，甲兩次均價Q1=（x+y）／2．
甲兩次購糧（x／100+y／100）千克，乙兩次均價Q2=2xy／x+y．
?師出示第3個問題，怎樣買合算？（出現第二次認知充實）
生6：老師，可比較Q1與Q2大小。前面我們學習過可通過作差比較兩個數的大小。
若a－b﹥0，則a﹥b．
若a－b=0，則a=b．
若a－b﹤0，則a﹤b．
同學們紛紛動手，計算Q1與Q2的差，不一會結果出來了。
生7：老師，Q1－Q2=（x+y）／2－2xy／x+y= （x－y）2／2（x+y），可結果不是一個數，而是字母，與零的關系不確定，怎么辦？（出現第三次認知沖突）
師(適時)：我們學過如a2，|a|，這些數有哪些性質？
生8：老師，我明白了，它們都是非負數！
上面Q1-Q2的結果：當x=y時，（x-y）2=0，Q1=Q2．
?當x﹥y時，（x-y）2﹥0，Q1﹥Q2．
當x﹤y時，（x-y）2﹥0，Q1﹥Q2．
生9：老師，我補充一下，只要x≠y，一定有（x-y）2﹥0，
Q1﹥Q2．
所以，當x=y時，（x-y）2=0，Q1=Q2．
當x≠y時，（x-y）2﹥0，Q1﹥Q2．
同學們得出一至結論：兩次單價相同時，兩種買法一樣合算，
當兩次單價不相同時，買一定錢數合算。
生（紛紛）：我告訴我爸，汽車加油時，每次還時加一定錢數的油合算——通過對這問題的探討，我感受到：有效的數學學習來自學生的親自參與，學生在獨立思考與合作交流中，展現自我，發展自我，又互相幫助，互相提高。正如數學課程標準中所說，“人人學有價值的數學，人人能獲的必需的數學”，正是在這樣的學習、探索中，應用數學，同時也推動了數學的發展。另外，這幾個認知沖突的設置，由淺到深，由易到難，使學生循序漸進的探索、解決問題，并進行應用。
總之，在中學數學教學中，教師應做有心人，帶領學生發現生活中的數學問題，體驗解決問題的快樂，體會數學的應用價值。一句話“生活如此精彩，數學無處不在，不想不知道，數學真奇妙！”????
研修感言
遠程研修 ，想說分手不容易
青島 周艷霞
假期里，女兒一再要求去海邊玩。可是忙碌的我卻忽視了女兒最簡單的要求，離海這么近，卻無暇去看望她！
今天晚飯后，老公，女兒，我還有我的小狗嘟嘟，我們幸福地出發了！調皮的女兒不時地朝我眨眨眼睛“幸福吧？”
一路上，紫薇花開的芳香也敵不過大海的氣息，很快的，大海就在我們的面前了。曾經年少癡狂的我妄想有一天要征服大海，可是，長大以后才知道，我連一片浪花也撿不到！
久違的的大海，真想擁抱你！我們歡快地向海里跑去，可是大海只是象征性地舔了舔我們的腳丫，然后羞怯地褪去了！原來大海也是有記憶的！ 仔細一想陌生的不是大海，而是我的心仍然牽掛著——遠程研修，雖然今天的基本工作已經完成，但是我已經遠遠不滿足于此，還有好幾篇作業沒批改。
時間過得真快，轉眼，遠程研修已接近尾聲！ 心中是那么地不舍，已經習慣了的要割掉豈不痛徹心骨？
大海，我永遠不可能征服你，但是我已經很滿足了，因為沙灘上曾經留下我的足跡；遠程研修，我很慶幸這個平臺，我曾經出現過。
不忍說再見，是因為不想離開！遠程研修，我一定還會回來的！也許那時，面朝大海——春暖花開！
也有風雨也有情
指導教師 祝學昌
時間如梭，炎炎烈日下我們走過了第六個研修日，大家一起忙碌著、快樂著、享受著盛夏的厚禮，感動著研修的辛苦與收獲。
在這六天的培訓中，我們感受到了老師們團結向上，相互勉勵，求知若渴，不斷進取的精神。老師們看視頻，相互交流，認真做作業，網上相互點評，雖苦雖累，但忙得不亦樂乎。飛濺的汗水滴出動人的花朵；攀登的腳步凝成動人的音樂；日漸充實的心靈匯成我們心中共同的歌。
可能是上蒼也被這群忘我的修行者所感動，不再隱忍用灼熱的太陽炙烤我們，一場及時雨驅走了幾天來的悶熱，秋風也趕節氣的習習吹起，炎熱的夏季有了一份清涼；坐在電腦前，聆聽著專家的講座，欣賞著老師的美文，批閱著老師們的作業，交流著研修的心得，好不愜意！你我相伴研修路，也有風雨也有情！
苦中求樂，累中有收獲
指導教師 王玉成
幾天下來，回頭看看走過的路，感動著每個人的辛勤、每一天的奮斗，灑下的每一滴汗水；感謝著每一句的指導、每一份的鼓勵。抬頭望望前面的路，那里有太多的期盼，那里有無限的風光。
研修的日子雖然辛苦勞累，但一份耕耘一份收獲，研修學習帶給我許多的思考和反思，解決了很多的迷茫和困惑，專家也給我們提出了很必多寶貴的意見和建議。
研修中觀看視頻中那些精彩的課例，會讓我重新去審視自己的教學，取長補短，增強了我的信心，催我奮發、激我奮進。
研修中，我深刻地認識到構建和諧的師生關系是我們搞好教學的的重要因素之一。每個人都需要得到他人的認可，尤其是正處于發展中的學生，教師的一個眼神、一個細微的動作、一句鼓勵的話語都是對他們最好的獎賞。教學需要教師全身心的真情投入，需要在完善教學活動和完善個性兩個方面共同努力。
研修的日子里我思考著，成長著，收獲著，快樂著，享受著！我曾累過但我沒有放棄過。當我回首往事的時候，我會記起我曾經擁有的這段美好時光。
我不是傳說
——青島經濟技術開發區五中“遠程研修”之歌
劉士祥 供稿
我不是傳說，
我是孔子愛唱的歌，
我是緩緩流淌的河。
我不是傳說，
用心燃起智慧的火，
拈纖纖網線讓彼此心靈穿梭。
我不是傳說，
將先進的理念傳播，
為十萬教師的臉頰畫上笑渦。
我不是傳說，
攬萬股清泉，
使滄浪之水無濁，蕩出學海清波。
我不是傳說，
幫你掙脫精神的枷鎖，
偕友人切磋琢磨。
我不是傳說，
筑一個溫暖的巢窠，
聽百鳥和鳴，看日起月落。
如果你已深深愛上我，
那不是過錯，
因為，
我不是傳說！
研修平臺連著你和我
青島開發區六中 薛東華
你在平臺的那一側
引領我們
遨游知識的海洋
如重返學堤時代
每一次心靈的碰撞
總能激起創作的浪花
久違了
這種如醉如癡
撿起繽紛“貝殼”的感覺
我們在平臺的這一側
盡情展開想象
在每一塊未開墾的領地里
潑灑我們的筆墨
奏響我們的樂章
不管知音有多少
畢竟
我們付出蓬勃的激情
灑下耕耘的汗水
學員心聲
萊西市院上鎮中心中學 郝淑艷
遠程研修平臺上的老師都在努力地學習，積極地發表文章和評論，甚至有些老師在晚上十一二點都在網上學習這些老師的學習精神真是值得我努力學習。
平度市明村鎮明村中學 杜愛敏
研修為我們搭起一個交流的平臺，可以領略到名師的風采，傾聽到專家的精辟指點，是我們不斷完善，不斷提高的機會，值得珍惜。
青島三十九中 劉志軍
感覺自己現在很像一名學生，每天上課，自習，做作業，每天寫完作業后與同學交流；心情上也像學生盼著更多的同學看到自己努力的成果，盼著自己辛苦寫出的作業能被專家點評；此時此刻，我是那么的理解我們的學生，讓我們認真去對待學生的每一份作業，每一次回答，每一個問題，多給學生一點鼓勵與關懷。
乳山市怡園中學 東靜
就象指導教師劉志強老師說的：“說不上是一種期待，還是已經形成了習慣。課程簡報，看完才能入眠”。的確，我沒有做到像劉老師那樣敬業，直到看完簡報后才入眠。我只是每天打開電腦，首先要做的就是打開課程簡報，看看專家們精心制作的簡報，感覺這一天都充滿了學習的渴望。
山東省青島第二十一中學 周雪皎
課程簡報形式多樣，無論是專家的解讀，還是老師們的精彩篇章，篇篇讀來如清風拂面，真的是一份精神大餐，感謝大家的辛勤勞動。
乳山市乳山寨鎮初級中學 張永勝
課程簡報，學員的心靈港灣，精神寄托，有什么話都可以在這里說，有什么疑難都可以在這里擺出來，特別是每一位專家和指導教師夜以繼日的工作值得我們敬佩，你們辛苦了！
威海工業新區苘山中學 王紅艷
課題學習一直是我們教學中的薄弱環節，在教學中經常覺得很高深，無從下手，從今天專家的講評中，對他逐步有了了解，希望在以后的教學中逐步放手研究。
薛城區遠程教育學校 劉翾
說實話，這幾天的學習過程中，兒子總埋怨說放假還不如上班的時候有時間搭理他，因為每天的看視頻、聽講解、讀簡報、閱文章等各項學習活動我都不想錯過，所以每天都忙忙碌碌直到深夜。但心里很踏實，因為多少年來這難得的一次學習機會我沒有浪費。
平度市云山鎮鐵嶺莊中學 王永昌
專家的精辟見解、優秀教師設計的實用教案、匯集全省老師智慧的難點解答、熱點討論。我認識了你遠程研修，我的熱情被你豐富的內涵燃起來。我祝愿，能在遠程研修的感悟中日漸豐盈、馳騁奔放、神思遐往……
平陰縣孔村中學 李慶恩
課題學習,讓學生經歷、理解社會實際問題“數學化”的過程，社會實際問題的“數學化”過程也就是說，把一個生產、生活中的實際問題，經過適當的刻畫、加工、抽象表達成一個數學問題,它溝通生活中的數學與課堂上的數學的聯系。
即墨市普東中學 劉方軍
課題學習是學生們缺乏的必修課，值得我們老師研究和討論.看到專家們辛辛苦苦、精心制作的簡報,我對課題學習的設置的目的更加明確。

每日之星

學員每日之星
評選標準：作業被指導教師推薦，并且積極參加交流討論，得到大家認可。
學 校
姓 名
評論數
陽信縣實驗中學???
許洪國
226
山東省青島第四十七中學???
劉立雁??
202
山東省青島第四十七中學???
荊北芳??
194
菏澤市牡丹區二十二中???
劉 志
171
山東省青島第三十八中學???
張付英
157
膠南市博文中學???
丁 芳
157
成武縣九女鎮初級中學??
徐汝倫??
152
濱州市濱城區梁才辦事處梁才中學
楊玉珍
150
膠南市第六中學????
蘇 妮
147
定陶縣實驗中學????
李 紅
144
巨野縣龍固鎮第一中學????
張常玉
132
即墨市金口中學???
黑玉峰?
131
山東師范大學第二附屬中學????
孟慶玲?
125

指導教師每日之星
指導教師
評論數
推薦數
王厚濤
2566
41
張懷山
2198
47
孔慶龍
1645
45
李傳華
1434
41
吳志城
1365
47
李樹良
1353
46
陳秀雪
1194
46
姚桂菊
1295
45
祝學昌
1217
46
王世明
1305
42

班級關注度統計
班 級
學員數
作業數
資源數
關注度
青島市初中數學15班
92
639
0
728
菏澤市初中數學7班
80
543
2
441
青島市初中數學1班
89
623
6
439
青島市初中數學18班
92
639
1
399
青島市初中數學16班
94
654
1
363
青島市初中數學22班
96
667
0
357
青島市初中數學17班
93
645
1
354
濰坊市初中數學7班
99
672
2
350
棗莊市初中數學2班
95
593
3
335
青島市初中數學11班
94
656
0
329

優秀班級簡報鏈接
菏澤數學9班簡報13期 我行就行
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-6463
濟南1班第8期
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-6517
濟南2班第10期
http://file.qlteacher.com/upload/cz2010/files/1008/08/073504530.doc
威海數學2班簡報第8期：摒棄浮華
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-6981
濟南5班第8期
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-6631
濟南6班第8期
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-6907
濟南7班第9期
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-6375
青島17班第11期
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-6398
青島19班第8期
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-6262
青島21班第7期
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-6935
青島初中數學23班簡報——雨后彩虹更艷麗
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青島初中數學24班簡報
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青島初中數學6班第6期
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棗莊數學2班簡報 第八期
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-6685
青島初中數學2班第10期
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-6201
青島初中數學1班第7期
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-6651

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