資源簡介

目錄
專家引領
談談數學證明
馬 復
1．數學證明的功能與特征
以一些基本概念和基本公設為基礎，根據一些真實（假定）的命題，運用邏輯推理的規則和方法，確定某個數學命題的真實性。
數學證明的作用：確立了命題的真實性（也有證明錯導致結論錯、或只是證明錯）；導致新的發現（七橋問題；圓桌上放棋子）增進理解（多邊形外角和公式——利用內角和、運動的方式；等分圖形面積問題——存在性證明與構造性證明；幾何作圖三大問題）
從歷史上看，數學證明起始于古希臘（前6世紀）對幾何定理的證明（確立了命題的真實性）；《幾何原本》是標志性產物（整理知識、公理化的思想、數學證明的模式）。
2．證明與直觀
數學命題難道不可以“看”出來嗎？x2+y2≥0；若a＞b，c＞d，則a+c＞b+d；三角形兩條中線交于一點……
確有無法“看出”的：三角形三條中線交于一點；所有周長一定的平面封閉圖形中，什么圖形的面積最大；今天是星期四，1010天以后是星期幾？xn-1的因式分解（每個因式中“項”的系數都是1或-1？x105-1就有例外）……
特別是到了無限的情形——自然數與整數個數；復數不可以比較大小；階梯狀的斜坡長度；
何況，直觀也會欺騙我們：有兩個三角形，第一個三角形的最短邊比第二個三角形的最長邊還要長，前者的面積一定不小于后者的面積；一個圓把平面分成兩個部分，兩個圓可以把平面分成四個部分，三個圓呢？四個圓呢？無數個正數相加，其和一定很大……
3．學生的證明經驗——生活中的證明
例證、流行或權威的觀點、（實）驗證、質疑。
4．數學證明學習的意義
理性精神、證明的必要性、證明的過程（四色定理——真的證明了？2次方程求根公式——驗證還是尋求）、證明的基本方法（直接與間接等）（尋求反例——三角形的三邊相等→三角相等，三角相等→三邊相等，對n邊形呢？4邊形的情形：只有正方形——它有外接圓！考慮所有具有外接圓的n邊形？一般地，“對內接于某個圓的n邊形而言，其n個內角相等，則隔邊相等，反之亦然。特別地，當n是奇數時，等角與等邊是等價的；
5．數學證明學習的心理分析——認知水平與思維方式
具體對象與抽象關系——借助圖形做直觀猜測，非邏輯推演；
前提真實與假設合理——分析法、反證法等；
語義與形式——邏輯關系與形式表達。
即使是語言層面的，也有“形式”與“語義”的分別（語言是兩者的統一）：“形式”是外部結構，其發展遵循：從局部到全局、從細節到整體；“語義”是內涵意義，其發展遵循：從全局到局部、從整體到細節，兩者不易統一、同步。
語言也分為內部語言與外部語言——個體從事證明，首先是“思考關系”，這時，用的是內部語言（個人語言），它的作用是進行思考，產生思路，但形式上不規范，也許只有自己能懂（這樣……，結果……，全等了），不一定能夠被別人所理解（陳同學的例子）；需要交流時，則必須使用外部語言（社會語言），它的作用是用“線性”的形式，將前因后果梳理清楚，表達出來，并且能夠被他人理解。
對學生而言，有時是“因為……， 所以……”的句式對了，但條件和結論卻用反了，這屬于“語義”滯后于“形式”，是知識理解與語言表述不同步；也可能相反，關系、意義清晰了，表述卻丟三拉四——跳躍、前后顛倒等，這屬于“形式”滯后于“語義”，也是知識理解與語言表述不同步（幾何證明學習之初，多見此情景，特別是圖形關系復雜一些的，并非思維混亂，而是思維與表達不同步，或者是“個人語言”向“社會語言”轉換時出了問題）。
如果我們的教學一開始就要求“社會語言”，會造成學習上的困難，特別是這其中既有自然語言，又有數學語言（符號）。教學上可以采用“先‘個人語言’，后‘社會語言’的形式”——三種形式的設想。
采用三種形式的另一個原因——數學符號所產生的聯想要遠遠大于自然語言（在數學性質方面），如：“一個數的平方與另一個數的兩倍的和”與“+2b”。但是，在幾何方面，符號語言的形成往往開始于“圖形語言”，所以，可以先讓學生用類似于“個人語言”的非規范“社會語言”（如圖形表示全等），然后再用規范的“社會語言”（如△ABC≌△DEF）。
6．證明的教學——教學生如何構造證明與如何展開證明
證明：存在無限多個（4K+3）型質數。
證明：先證明（4K+1）型數的積仍然是（4K+1）型數（簡單）.
反設命題不成立——只有有限個（4K+3）型質數：P1，P2，…Pn，令M=4P1P2…Pn-1。若某個Pi︱M，則Pi︱1，不可能。所以任何Pi︱M。但M不是偶數，所以M的所有質因數都是（4K+1）型質數，即M是（4K+1）型數，但M=4（P1P2…Pn-1）+3，矛盾！原命題成立。
框架與思路？證明步驟的意義與來源？（為什么要證明一個“引理”，為什么要構造M，為什么要說明Pi不能整除M，M不是偶數……
構思證明的過程：反證法（所以假設只有有限個（4K+3）型質數）——構造一個新數M，使它本身或其某個質因數是一個新的（4K+3）型質數（所以驗證Pi不能整除M）。技巧是M的構造。
例：猜想與反駁——證明的全過程
問一：兩個三角形有相同的面積，這兩個三角形一定全等嗎？為什么？
答案是一致的，但在回答為什么時卻有水平差異——是否知道用反例，用什么反例。
問二：兩個三角形具有相同的面積和相同的周長，這兩個三角形一定全等嗎？為什么？
開始有不同的看法了，交流——有助于理解，問題在于如何說服自己、對方、對手。憑直覺還是推理？反例較難舉？或許可以借助于等底、等高，若困難就先放一放。
問三：兩個直角三角形具有相同的面積和相同的周長，這兩個三角形一定全等嗎？為什么？
更多的人傾向于“全等”的看法。問題在于如何證實自己的猜想——至少證明的欲望非常強烈（用解方程組的方式可以解決這個問題）。
問四：兩個等腰三角形具有相同的面積和相同的周長，這兩個三角形一定全等嗎？為什么？
基于上述活動的經驗，很多人傾向于選擇“全等”——畢竟“直角”換“等腰”很合理。然而事實卻非如此——難以證明，轉而懷疑自己的猜想：難道不一定全等？這不是退卻，而是思維的上升——僅有直覺是不足以說明道理的，邏輯證明是判定猜想正確與否的最終途徑。可以想象，幾乎所有的人都期望獲得“最終”的正確判斷。答案是否定的（37，37，24）與（29，29，40），或者（233，233，210）與（218，218，240）都是反例。
專家解讀
專題四《合情推理與演繹推理的教學》研修要點
省課程專家 顏峰 姜仲平 湯華財
以往，一提起幾何教學，我們首先想到的往往是“證明”——證明兩條直線平行、證明兩個三角形全等……那么你是如何看待“證明能力”與“幾何能力”之間的關系的？
按照新課程的理念，學生的推理能力主要由“合情推理”能力與“演繹論證”能力構成。那么合情推理與演繹推理的區別、聯系與互補作用是怎樣的呢？
長期以來，中學數學教學十分強調推理的嚴謹性，過分強調邏輯推理的重要性而忽視了生動活潑的合情推理，使人們誤認為數學就是一門純粹的演繹科學。事實上，數學發展史中的每一個重要的發現，除演繹推理外，合情推理也起著重要的作用，合情推理與演繹推理是相輔相成的。
因此培養學生的推理能力就要從兩個方面來做，一是要培養學生的合情推理能力，在學生通過觀察、操作、變換探究出圖形的性質后，還要求學生對發現的性質進行證明，使直觀操作和邏輯推理有機地整合在一起，使推理論證成為學生觀察、實驗、探究得出結論的自然延續，這個過程中就發展了學生的合情推理能力。注意突出圖形性質的探索過程，重視直觀操作和邏輯推理的有機結合，通過多種手段，如觀察度量、實驗操作、圖形變換、邏輯推理等來探索圖形的性質，同時也有助于學生空間觀念的形成，合情推理的方法為學生的探索提供努力的方向；二是要培養學生的演繹推理能力，可以從以下八個方面入手：關注證明的基本過程和基本方法；掌握作為證明基礎的幾個基本幾何事實——公理，并在此基礎上展開對基本幾何圖形性質的證明；掌握綜合法的證明格式和方法；恰當把握證明要求；理解證明的必要性；加強幾何語言的訓練與培養；對幾何概念的教學注重由機械記憶轉為理解與應用；關注圖形變換的思想。你又是怎樣看待這個問題的呢？
最后還要談到的問題是培養學生推理能力要注意些什么？學生幾何學習普遍存在著哪些方面的問題？又有何應對策略呢？
本專題就想對這些方面的問題同大家一起做一初步的探討。
專家解惑
即墨市龍泉中學 于翠翠老師 問：
怎樣把“要學生學”變成“學生自己要學”？
省級專家姜仲平 答：
最要緊的是讓學生體驗成功
把“要學生學”變成“學生自己要學” 是個大問題。我們總喜歡“不要學的學生”曉之以理，動之以情， 效果又總是難盡人意。
我們要給學生一個理由讓他“自己要學”，這個理由就是：讓學生通過學習體會到自己存在的價值。或者說要讓學生感受到學習這件事情本身內在的價值與樂趣，讓學生在學習的過程中有許多展示、證明自我的機會，唯此才能真正激發學生學習的動機；另一點就是要善于激勵學生，是否可以這樣看，學生的成績是用來被鼓勵的。一句話：最要緊的是讓學生體驗成功。
另一個方面，老師應是學習者的化身，要通過不斷的修煉使自己成為學生心中的偶像，如此，“粉絲”必會緊緊地追隨你。讓學生“愛”你吧，這也是“學生自己要學”的一個前提，也是老師教育的智慧。
即墨市田橫鎮揚帆中學 宋魯青老師 問：
有些學生可以把語文英語學得比較好，屬于中上等水平，甚至是上等水平，可在數學方面非常吃力，對于這類學生，該怎樣辦？
省級專家褚愛華解答：宋老師所說的這類學生我也經常遇到，仔細分析一下可以發現，這些孩子并非各科都差，所以首先可以排除智力有問題或不學習，甚至有的還是非常用功的，但是為什么數學成績差呢？我在分析學生數學成績時常分為四種層次，以初中學段數學120分為例，第一層次：數學能力強且學習認真仔細，也包括部分極聰明但不是太嚴謹的孩子，能達到高分（108—120）；第二層次，數學學習能力中等，但非常認真努力、花費在數學學習上精力比較多，能達到中等（96—108）；第三層次，數學學習能力比較低，能認真完成作業，基礎題能掌握，獨立解決問題的能力較差,基本在85分左右，或者在及格邊緣；第四層次，學習能力差，態度不認真，作業不能完成，則通常不及格甚至低分（48）以下。針對不同層次的學生，如何教學？如何幫助他們提升？采取的策略是不一樣的。
宋老師所說的這類學生，應該屬于第三層次，根據我的實踐經驗，這部分學生如果策略得當，能夠達到96分，也有能達到100多分的，但要達到高分難度比較大。首先，他們上課能聽懂，作業基本會做，但是一旦知識前后綜合就解決不了了，往往會放棄去問別人，所以不具備獨立分析解決問題的能力。數學題靈活多變，必須學會思考。針對這部分學生我的做法是，首先幫助他們樹立信心，相信自己一定能學好數學；第二，進行歸因分析，找到他們在數學學習方法上的不足，幫助改進；第三，精選一定數量有思考價值的變式訓練題，往往需要大量重復，然后讓他們獨立嘗試解決，再引導他們去對比分析，做這些工作的時候，我經常會看到學生的驚喜，他們可能從來沒有體會到數學的美妙，體會到解數學題的樂趣。這種訓練，堅持一段時間，會非常有效。學生的數學學習從惡性循環轉化到良性循環是非常困難的，因為數學素養是一點一點積累起來的，但是只要方法得當，一定會看到學生的進步。
山東省青島第四十二中學 齊玲華 答：
曾向即墨28中的老師學習過，有種方法挺好，與您共享：讓學生給學生講題，培養責任感與興趣。
無棣縣小泊頭鎮中學 張連紅的做法介紹：
用心呵護“后進生”
我國著名教育家陶行知先生說過:“你的教鞭下有瓦特,你的冷眼中有牛頓,你的譏笑中有愛迪生”。這說明,我們的教育教學是謹慎的事業,要細心處理好“后進生” 的關系,點石成金,而不要棄材為廢。素質教育是面向全體學生的教育,不僅要面向思想表現好,學習成績好的學生，而且要兼顧不能認真聽課，學習成績較差或是智力上有差距的“后進生”。如何將后進生轉化為合格生，這是一項重要的教學工作。
今年，我在教育后進生時注意以下幾個方面：1、以平等的身份 ；2、以友好的表情；3、以關懷的心理；4、以溫和的語言；5、以寬容的態度。我想，在平時的工作中只要抓住了這幾點，讓后進生從心理上接納了我，后進生的轉化工作會順利許多。
首先，找出原因，制定教育措施。
要想轉化后進生，應該縮短教師與學生之間在空間上和心理上的距離。教師對學生的積極情感，會自覺或不自覺的以某種方式傳遞給學生，從而對學生起著明顯的調節作用，使學生對老師產生一種信賴感。教師的言傳身教比任何方式的接受性都強，效果更好。
在日常的教育教學工作中，我努力查找導致后進生落后的原因，找出解決的方法，力爭使每一個學生都能得到良好的教育。
其次，給不同的學生設置合適的目標。
一個恰當的目標可以激勵學生克服惰性，不斷努力。在本學期，我根據學生的自身特點，給每一個學生都提出適合于他們的目標和志向，這一目標既不太高，也不太低。這樣，學生既有壓力，又有奔頭，用目標管理的方法，激勵后進生迎頭趕上。
再次，還要把握好后進生的心理。
其實“后進生”的心理活動極其微妙，盡管他們身上潛藏著這樣或那樣的毛病，但即使是最差的學生，也不能掩蓋他們那種急欲轉變、渴求上進的美好渴望。他們一方面對過去的事情深感懊悔，一方面對未來的前途又充滿希望。只要教師細心觀察，不難發現“后進生”身上的閃光點。抓住學生的優點多多表揚，安排學生做一些課前的準備工作。
輔導的形式：（1）學生看當天上課內容；（2）做學習與檢測加評講；（3）學生提出疑問；（4）疑點解剖；（5）檢查練習。
輔導策略：1、合理定位，減輕壓力；
2、了解實情，指導方法，大膽鼓勵；
3、建立良好私人感情，分擔憂慮，取得學生的信任；
4、合理地增加學習任務，有目的地進行輔導；
5、課下多增加學生的活動，有目的地分配任務。
讓我們用鍥而不舍的師愛，來挽住一匹匹脫韁的野馬，用自己辛勞的汗水去澆活一朵朵形將枯萎的鮮花吧。因為每一個落后的學生將來都有可能成為優秀的人，就如同一棵小樹一樣，不管它今天多么彎曲，數年之后也可能成為棟梁之材。希望我們能把更多彎曲的小樹變為世界的棟梁！
熱點聚焦
熱點之一：
發展學生空間觀念的一點做法
菏澤市牡丹區十一中????李超????
省級專家褚愛華推薦，理由：李老師結合自己的教學實踐，總結了發展學生空間觀念的一點做法，雖然沒有面面俱到，但卻具有可操作性。文章所提到的結合教學內容讓學生去親身操作，走進生活中去解決問題，以及通過開放題進行變式訓練，都是行之有效的方法。特別是所列舉的測量池塘寬度的七種方法，有新意，若能結合圖示說明會對大家有更多的啟發。?
指導教師李貴菊推薦，理由：觀點明確，有自己的見解。
數學是一門非常抽象的學科，絕大部分教學內容都缺乏趣味性，一般都很難引起學生的興趣。在過去的幾何教學中，往往過多過早地強調計算，把直觀的幾何問題作為單純的計算問題，忽視對學生空間觀念和空間想象力的發展。新課標指出:“幾何知識的教學,要通過觀察，測量，動手操作等實際活動，加深對幾何形體的認識，逐步發展學生的空間觀念。”
在豐富的圖形世界、視圖投影、旋轉、對稱、三角形和四邊形等章節中，都能發展學生的空間觀念。我在講授這些知識時，突出了“以學生的發展為本”的理念，引導學生經歷必要的、具有一定探究性的學習過程，通過想一想、試一試、做一做等活動，增強探究活動的有效性，同時注意留給學生寬松的活動時間和空間，這樣可以調動多種感官參與活動，把學生的思維從二維空間推到三維空間使他們親身經歷探索知識的全過程，在他們獲取知識的同時，也發展了自己的空間觀念。
例如，在“截一個幾何體”這一節教學時，課前我發動學生自己想辦法做模具。然后拿刀只能切一下，看得到的截面是什么圖形？正方體的截面有多少種情況？第二天，在課堂上，同學們爭先恐后的拿出自己的“作品”與同伴交流。隨后，在比較的過程中，讓他們互相交流體會。就這樣他們把自己的生活空間作為研究的幾何空間，借助生活實例中的幾何模型去分析問題、研究問題和解決問題。在學習知識的同時，也培養了學生們的空間想象力。
此外，利用開放題，也可以發展學生的空間觀念。由于開放題具有層次性、多樣性的特點，這就要求學生的思維空間必須廣泛。開放題涉及的知識是學生已具備的，但解題策略是非常規的，這就要求學生在解決問題過程中構建自己的思路和策略，把自己已有的知識、技能重新組合，以形成解決當前問題一種綜合技能。
例如，在復習課上我出示了這樣一道題：一次數學活動課，老師組織學生到野外測量池塘的寬度。請同學們根據所學知識設計幾種測量方案，要求畫出測量示意圖，并簡要說明測量方法和計算依據。這是學生比較熟悉的實際測量問題，為了給學生一種輕松的學習氛圍和直觀的感受。我借助了多媒體教學，并采用小組合作交流的方式進行。很快學生們就得到了以下幾種測量方案：（1）利用構造全等三角形；（2）利用構造相似三角形；（3）利用三角形或梯形的中位線定理；（4）利用平行四邊形；（5）利用軸對稱；（6）利用直角三角形中，30度的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半；（7）利用三角函數。
這道題為學生提供了廣闊的探究、發展空間。在探索本題的解決策略中，沒有固定的、現有的模式可循，學生充分調動自己的知識儲備，多角度、多方位、多層次地進行探索，把問題進一步引申、拓廣。這也就培養和鍛煉了學生的空間思維能力。
如何有效地發展學生的空間觀念
即墨市金口中學???黑玉峰
省課程專家呂學江推薦，理由：知識把握準確，教學安排精心。黑老師注意梳理和擷取教材中發展學生空間觀念的相關素材，合理的開發或重組教學內容，設置學生身邊的感興趣的問題情境，通過動手操作、觀察想象、探究交流，借助幾何畫板強大的作圖與展示功能，力求最大限度的發展學生的空間觀念，表征著教師高水平的理解與思考。
指導教師陳慶祥推薦，理由：“對數學的學習，我們都不可越俎代庖，學生自己動手去操作研究，并不是浪費時間，而是更加快速的理解和牢固的掌握知識的一個行之有效的途徑”。如果通過研修老師達成共識，我想這肯定是我們最大的一個收獲。
現在的初中數學教材中幾何部分的知識除了原來所研究的平面圖形外，還增加了一些基本的空間圖形，這不僅有利于學生空間觀念的培養和發展，而且可以為學生高中空間幾何的學習奠定良好的基礎。
我所用的北師大版的數學教材中，涉及到發展學生空間觀念的知識很多。除了豐富的圖形世界、圖形的投影兩章外，螞蟻怎樣走最近、圖形的平移和旋轉、軸對稱和中心對稱等知識中也可以發展學生的空間觀念。此外，在《圓》這一章中，我們通過讓學生親手制作圓錐體以及進行相關計算也能發展學生的空間觀念。
對于初中生來說，在小學部分基本就沒有接觸過立體圖形方面的知識，因此空間觀念相對薄弱。所以，在接觸第一章《豐富的圖形世界》的時候，一定不能急于求成。我在教學生認識幾何圖形時，并不單純的讓學生看著課本的圖片，然后憑借生活中的經驗、記憶來進行理解與觀察，還借助于我和學生課前準備的各種立體圖形（如球體、圓柱體，棱柱，椎體等）實物，讓學生親自去觸摸、去觀察。我引導學生通過觀察、交流自己總結得出這些立體圖形的概念，對于不正確或不完整的地方我們共同研討彌補，這樣學生對概念的掌握效果非常好，并且第一節課就充分激發了學生學習空間幾何的興趣。對于圖形性質的學習，我也是采用了同樣的方法，效果很好。對于截面圖的處理，學生都是根據相應的幾何體的性質制作了不同的模型，然后我們現場動手進行切截，學生在動手操作的過程中不僅掌握了知識，而且對于學生自主探究能力和習慣的養成有很大的幫助。這個過程中，我還制作了相應的幾何畫板，直觀效果與展示速度得以提升。學生在愉快的氣氛中熟練的掌握了知識，學習興趣也大大提高。
有第一章的學習經歷，學生對于后面所遇到的幾何知識的學習都表現的很積極，在學習螞蟻怎樣走最近的時候，大多數都提前的準備了長方體、正方體、圓柱體的模型。自己動手、探究交流，課堂進行得很順利。所以，對于這部分容易漏掉情況的、相對不簡單的知識來說，我的學生學習效果還是很好的。
旋轉、對稱、投影等知識的處理，我一般采用幾何畫板制作相應的演示過程，同學生們先一起猜測會出現的結果，讓后觀看演示過程，隨后我們在親手操作、觀察，最終自主總結、得出結論。在這個過程中，我還嘗試讓學生當“小老師“將給同學聽，學生們為了講好課，課前都做了精心的準備，學習效果非常好。
發展學生的空間觀念，還需要給學生充分的自主學習、探究和交流的時間和空間，讓他們盡情的去發揮，并適時的給他們以鼓勵和支持。學生的潛力都是無窮的，不管是空間觀念的發展，還是代數運算、幾何推理能力的提高，教師都不可越俎代庖，學生自己動手去操作研究，并不是浪費時間，而是正確理解和牢固掌握知識的一個行之有效的途徑。
如何才能更好的發展學生的空間觀念
曹縣磐石街道辦事處回民中學????陳桂蓮??
省課程專家陳杰推薦,理由:陳桂蓮老師對如何發展空間觀念的提出了自己的作法，值得大家關注。其實，空間觀念之空間，不僅是指三維空間，也包括二維空間、一維空間。空間觀念的培養，須從多角度培養，并且涵蓋初中幾何學習的全過程。
?發展學生的空間觀念，不僅有助于學生獲得后續學習必需的知識和必要的技能，而且對培養學生的創新精神和實踐能力起著不可替代的作用。在我們的日常教學活動中，要使我們的教學內容盡量貼近學生實際，循序漸進、潛移默化的發展學生的空間觀念，直覺思維和創造性思維。通過自己的教學實踐，就發展學生的空間問題談點自己的一些看法和觀點。
一、關于空間觀念
空間觀念主要表現：能夠由實物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物的形狀，進行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉化……這是一個包括觀察、想象、比較、綜合、抽象分析，不斷由低到高向前發展的認識客觀事物的過程，是建立在對周圍環境直接感知基礎上的對空間與平面相互關系的理解與把握。
? 二、借助多媒體教學手段，發展學生的空間觀念。
多媒體教學有助于學生從中抽象出認識幾何圖形；同時圖形的動態演示，連續變化所形成的眾多畫面變換，可以在學生大腦中形成圖形空間變化的印象，幫助建立空間觀念，找到不變的位置關系和數量關系，從而發現圖形的性質。由于多媒體教學直觀、生動、形象，有利于激發學生的興趣，充分調動學生的積極性。
三、學生親自動手操作，讓他們在觀察、操作、想象、交流等活動中認識圖形，強化空間觀念。
在學習“長方體和正方體的展開圖”時，我提前讓學生準備長方形紙盒和正方形紙盒。讓每位學生把正方體剪開得到展開圖，并且通過多次剪得到不同的展開圖，從而讓學生認識到了不同的剪法得到了不同的展開圖，然后再把展開圖恢復成立體圖，通過學生的親自動手操作，引導學生逐步熟悉了正方體的各個面在展開圖中的位置。接著又通過剪長方體紙盒，得到長方體的展開圖，從中觀察發現長方體相對的面在展開圖上的位置。這樣學生既認識了圖形形成了空間概念又提高了自己的學習興趣。
四、培養學生的直覺思維。
如看到題目的條件或題里的圖形，能很快說出它的特點，隱藏的意思等的能力，培養學生的綜合分析問題的能力和直觀表達能力 。根據學生的心理特征和認識規律，采用直觀手段，讓學生在實踐操作中逐步發展空間想象能力。 豐富學生的數學語言表達能力 ，發展空間想象能力觀念。
五、實現有效交流，豐富學生的空間想象。
在教學中要特別重視學生間經驗的積累與交流，在新知識的探究中，學生有了自己的想法與成果后，相互間分享研究資源，從而又產生了思維的碰撞，解決他們的困惑，更清楚地明確他們對空間的想法，空間觀念就在合作解決問題、廣泛交流的過程中不斷生成，不斷發展，不斷提升。在教授長方體和正方體時，為了讓學生對他們有一個感性認識,我就提前布置學生制作一個棱長是2厘米的正方體。在課堂上，我由讓學生把不同的正方體表面展開圖貼在黑板上。學生在充分動手剪、折的操作活動及廣泛交流中，對幾何圖形的特征有了更充分的認識，從而豐富了空間感知，逐步形成了空間想象能力。
這是我的一點粗淺認識，不足之處，忘專家指正。
小小正方體作用大
——借用正方體發展學生的空間觀念
文登初級實驗中學????曲娜
省課程專家謝志平推薦，理由：曲老師把正方體在發展空間觀念上的作用可謂利用到了極致，匠心獨具，值得大家學習。
指導教師徐方圓推薦，理由：曲老師是一位智慧型創新性的好老師，能從多角度多方位考慮問題，小小的立方體曲老師采取截、畫、剪三種方法使它在發展學生空間觀念中發揮了超乎想象的作用，值得學習，值得推薦。
我們生存的宇宙是立體空間，我們接觸到的物體都占有空間的一部分。從兒童時代起，我們就觀察、玩各種玩具，認識各種各樣的物體現狀。然后離開具體的物體，開始辨認畫在紙上的物體。后來又通過學習幾何知識，認識了許多幾何圖形。可見，我們學生的腦海中早已有了模糊的空間觀念。而幾何教學重心之一是發展學生的空間觀念和幾何直觀。那如何發展學生的空間觀念呢？
一、截正方體
孔企平教授曾說：“空間觀念的形成，只靠觀察是不夠的，教師還必須引導學生進行操作實驗活動”。學習“正方體的截面圖”時，我讓每個同學提前準備好自己做的蘿卜、土豆等能切的正方體模型和平面刀。課堂上讓學生自己切，鼓勵學生從切截活動中去驗證自己的猜想，并相互交流、探究截面的變化規律，用自身的創造活動去感受數學，感受空間觀念。學生很容易總結出截面分別是三、四、五、六邊形。我又提出讓學生試一試，用一個平面去截一個正方體能不能得到一個七邊形。最后我再讓他們想象出七面體、八面體……n面體的截面是多少？學生不難答出來。在學生探索后，為拓寬學生視野，打開學生的思路，我借助多媒體輔助教學，利用課件直觀演示，讓學生有一種親臨操作的喜悅和美的享受油然而生，從而全面促進了學生空間觀念的形成。
二、畫正方體
新課標指出：“幾何知識的教學，要通過觀察，測量，動手操作等實際活動，加深對幾何形體的認識，逐步發展學生的空間觀念，由實物的形狀想像出幾何圖形，再由幾何圖形想像出實物的形狀”。學習“從不同的方向看”時，我用正方體粉筆盒做教具，搭出各種立體圖形，引導學生觀察三視圖的畫圖技巧。然后讓每個學生用自己準備的正方體紙盒小組合作，搭出各種立體圖形。我給出要求讓學生自己動手探究，既培養了學生的學習興趣，也培養了學生的直觀思維。讓同學經歷從不同方向看物體的活動過程，會畫物體的三視圖，是從空間物體到平面圖形；反之，再由物體的三視圖想象出幾何體的立體圖形，讓學生自己想想猜猜，再量量擺擺，是從物體的三視圖到空間立體圖形。這樣，學生初步體驗了二維與三維空間是相互轉換的關系，又進一步讓學生在想像、聯想中發展了空間觀念。
三、剪正方體
著名數學家波利亞說過：“學習任何知識的最佳途徑是由學生自己去發現。因為這種發現，理解最深，也最容易掌握其中的內在規律和聯系”。學習 “探索正方體的展開圖”時，我讓每個學生準備正方體的紙盒做教具，讓學生用剪刀親自把小正方體沿著棱剪開，學生剪完一個發現和自己想象的圖形不一樣，又會積極想辦法截出自己猜想的截面形狀，當剪出的展開圖總是與想像有差別時，點燃了學生的思維火花，激發了學生探究的欲望。最后通過學生們的努力，我們把各種展開圖一一展示在黑板上，并總結出規律，共有四種模型“一·四·一”型；“二·三·一”型（或“一·三·二”型）；“二·二·二”型；“三·三”型。接著同學們迫不及待的把自己剪好的圖形折疊回去，通過對比觀察自己的剪法哪里不同，很自然的實踐了圖形的折疊，回歸到了原來的正方體。學生又一次體驗了二維與三維空間相互轉換關系。這樣借助空間想象的翅膀，放飛學生的思維，使學生的空間觀念得到了發展，得到了升華。
熱點之二：
由蜘蛛“表演”引入平面直角坐標系
文登市七里湯中學????叢海芹????
省課程專家謝志平推薦，理由：創造一個好的教學情境，確實可以起到引人入勝和畫龍點睛的作用。本文以笛卡爾的一個有趣故事引入，不僅可以激發學生的興趣，更能使學生養成注重觀察的習慣。
指導教師徐方圓推薦，理由：叢老師總是那么有創意，一個有趣的故事解決了一個最重要的問題——平面直角坐標系從何而來？為什么要學習平面直角坐標系？它在現實生活中有什么作用？學生對很多知識只知其然，而不知其所以然，從老師的這個設計值得稱贊。
記得我曾經看過一個講座節目，題目是“詩化的數學”，當時我的心的確被觸動了，數學一直以來就被看作是單調枯燥乏味的象征，如何詩化又談何容易呢？剛看到平面直角坐標系這一內容的時候，對于如何引入我也沒有什么想法，但心里總是疙疙瘩瘩，無意間翻了一本書看到了一個的故事，算是對我數學的教學的一點詩化吧。
恩格斯曾說：“數學中的轉折點是笛卡爾的變數。有了變數，運動進入了數學，有了變數，辨證法進入了數學，有了變數，微分和積分也就立刻成為必要了。”而平面直角坐標系正是笛卡爾的一項重大的成就，正是借著一個有趣的故事我為我的學生引入了平面直角坐標系的內容。故事是這樣的：有一天，笛卡爾生病臥床，但他頭腦一直沒有休息，在反復思考一個問題：幾何圖形是直觀的，而代數方程則比較抽象，能不能用幾何圖形來表示方程呢？這里，關鍵是如何把組成幾何的圖形的點和滿足方程的每一組“數”掛上鉤。他就拼命琢磨。通過什么樣的辦法、才能把“點”和“數”聯系起來。突然，他看見屋頂角上的一只蜘蛛，拉著絲垂了下來，一會兒，蜘蛛又順著絲爬上去，在上邊左右拉絲。蜘蛛的“表演”，使笛卡爾思路豁然開朗。他想，可以把蜘蛛看做一個點，它在屋子里可以上、下、左、右運動，能不能把蜘蛛的每個位置用一組數確定下來呢？用一組數（a， b）可以表示平面上的一個點，平面上的一個點也可以用一組二個有順序的數來表示。于是在蜘蛛的啟示下，笛卡爾創建了直角坐標系。再講完了這個故事之后，首先我順勢讓學生回憶了一下數軸的知識。用簡單的話語迅速的讓學生回憶學過的數軸知識，讓學生知道數軸的三要素：原點、正方向和單位長度，在數軸上確定點用一個實數表示就可以了；然后對剛講過的故事中如何確定蜘蛛的位置，給學生提了幾個問題目的是讓他們明白要在平面內確定一個點需要一對有序實數對，為后面坐標的引入作鋪墊；最后以班級中學生座位的確定來距離，在班級中建立直角坐標平面，請學生確定自己所在的位置的坐標。這樣下來我覺得課題引入還算比較自然。
智慧分享
中學教材中教學可以發展空間觀念的內容
章丘市龍山街道辦事處黨家中學????黨金勝
省課程專家云鵬推薦，理由：黨金勝老師的作業從七個方面就中學教材中教學可以發展空間觀念的內容進行了闡述，從中可以看出黨金勝老師對教材有比較深入的研究，他的可貴之處還在于處理與應用環節很實用。雖然敘述比較平實，但能給老師們以啟迪。
指導老師遲麥英推薦，理由：黨老師列舉了課本中培養學生空間觀念的例子值得其他老師借鑒與學習。
1.七年級上最后部分課題學習：
制作一個盡可能大的無蓋長方體形狀的盒子
處理與應用：這應當是初中階段實施新課程來學生老師第一次接觸到的課題學習，課題在本出對學生的空間觀念開始有滲透，最有效的方式是讓學生采取動手做的方式，當然自己動手制作一個或兩個之后，學生在自主探索與合作交流的氛圍就能很容易形成自己的空間觀念，掌握這個問題的解決方法，同時也讓學生充分的體會了數形結合思想，無形中進一步淡化了學生的代數、幾何的劃分。
2．七年級下第二章第一節余角與補角：在介紹互補互余的定義時，這兩個概念對于互余角、互補角在位置上沒有進行限制；而且在課后的習題中相關的題目也需要學生具有一定的空間想象能力。處理與應用：
（1）在新知識講解過程中可以利用三角尺，與平面上的角進行比較，通過不斷變換三角尺的位置，在進一步強化新知的同時讓學生空間觀念的認識再進一步。
（2）練習題的處理中對于臺球桌、山坡上的樹學生是由生活經驗回憶的，接受起來比較容易。
3.七年級下第五章第一節認識三角形在開始讓學生通過觀察房頂的框架圖導出三角形P 139猜一猜。處理與應用：
（1）采用讓學生對生活經驗進行回憶、教具模型演示、描述的方法，抽象出三角形。因為此處雖然比較簡單但實際上對學生的空間想象能力的鍛煉應當也同樣是最有效的，而且實際問題的數學模型的轉化是必需的。
（2）P 139猜一猜的處理中更需要老師的講解、描述與教具的必要反復演示相結合，才能讓學生較容易的掌握。
4.七年級下第七章生活中的軸對稱
整章都滲透著由實物到圖形的抽象，教師應當根據不同的問題采用不同方法發展學生的空間觀念。
5.八年級上冊第一章勾股定理
第一節練習：折斷的旗桿，
例1 ：飛機飛過男孩頭頂。
第二節例1：零件的形狀。
第三節：螞蟻怎樣走最近中的圓柱的側面展開圖。
課后練習：水池中的蘆葦問題。
章節練習：買竹竿進電梯。
可以說本章雖然是勾股定理，是平面幾何的知識但可以看出對于學生空間觀念的要求一點都不低，而且有一定高度，是處理一些題目的關鍵入門。
處理與應用：建議在本章中也是根據不同的題目采用不同的方法進行引導，必要時可以利用手中的身邊的物品作為教具進行講解。例如：利用粉筆盒模擬池塘、電梯空間；利用卷起的紙模擬圓柱等。既能激發學生的興趣，又利于學生能力的鍛煉。
6.八年級下冊第四章第七節測量旗桿的高度。
處理與應用：讓學生走出教室，測一測旗桿、樹木、房屋等物體，設置不同的情景，采用分組合作的方法，使學生親身體驗效果較好。
7.九年級下冊第三章圓錐的側面積。
處理與應用：自制幾個不同大小扇形教具，根據不同替補進行演示講解。
例談初中幾何解題教學
青島育才中學????許丹????
省課程專家姜仲平推薦，理由：教育需要有心人，教師的成長首先源于教師對教育的執著，許老師多角度對幾何思維的培養策略予以精辟的分析，對幾何解題教學獨到的見解以及認真的態度無不透出她教育的智慧，推薦學習。
指導教師徐靖推薦，理由：許老師的這篇文章從四個方面闡述了幾何題的教學，實例性強，很佩服許老師平日教學中如此用心積累，希望會對老師們有所啟發，推薦！
初中平面幾何是初中數學教學過程的重要組成部分。它既是空間幾何學習的基礎，又是學生養成邏輯推理能力和空間想象能力的最初體現。幾何學習一方面是以一定思維發展水平為前提，另一方面幾何學習又能大力促進思維發展。因此，幾何解題教學不再是單純地教給學生每道題的解法而是應該教會學生如何根據題目去尋找合理的解題途徑，促進學生的幾何思維。
一、自主探索定理，數學思維從這開始
早在公元前300年，歐幾里得編寫了《幾何原本》，此書從原始定義出發列出5條公理，通過邏輯推理，演繹出一系列定理和推論，從而建立了第一個公理化體系。而這種研究問題的方法被稱為歐幾里得方法。 1687年牛頓在撰寫《自然哲學的數學原理》時，也曾受過這種方法的啟迪，有人說進化論乃至美國的獨立宣言都深受歐幾里得的方法影響。我們所用的北師大版教材選用了6條命題為公理，其它的所有定理都需要學生自主探索。本套教材的知識是螺旋上升的，如在講到八年級下冊時，我們又要重新證明七年級已經學過的定理。本以為學生重拾舊知會覺得無聊，學過的定理為什么還要證？可是并非如此，學生探究的積極性非常高。如：三角形內角和定理，這條定理學生甚至在小學就知道，但這并沒有減少學生的學習積極性，學生在證明該定理時想出來很多方法，作為老師也體會到了這種研究問題方法的價值。下面介紹一下學生的幾種方法：
方法1（如圖1）:延長BC到D，過C作CE∥BA
方法2（如圖2）：過點A作PQ∥BC
方法3（如圖3）：在BC邊找一點P作PQ∥AC，PR∥AB
方法4（如圖4）：在△ABC內找一點P過點P分別作MN∥AB，ST∥AC，QR∥BC
方法5（如圖5）：在△ABC外找一點P過點P分別作MN∥AB，ST∥AC，QR∥BC
圖1 圖2 圖3
圖4 圖5
這條定理證明方法雖多，其實是一種思路，就是把三角形的三個角湊成一個平角。學生自主探索定理的整個過程充分體現了初中生的思維活躍，而他們也正處于形象思維向邏輯思維過度的重要時期。傳統的數學教學認為數學活動是從下定義開始的，數學研究是從定義出發的，這種觀點只注意到數學概念及其定義是更深入地進行數學思維的基礎，而忽略了概念和定義本身已經是思維的結果。通過對于三角形內角和180°這條定理的探索，我們現在體會到：遠在定理產生以前就已經存在著一種生動的思維過程了。
二、充分利用題目條件，解題思路注重變通
數學教學中存在兩種思維活動，即教師的思維活動和學生的思維活動。教師的思維過程主要展現思路的尋找過程，從而調控和指導學生的思維過程。對于幾何問題我們可以先從已知條件出發，根據已學過的定義、公理、定理，逐步推出要證的結論．
記得九年級一次考試有這樣一道選擇題：如圖1，已知在正方形ABCD中，點E、點F分別為BC，CD邊中點，正方形邊長為2，連接DE，BF，形成如圖所示的陰影，試求陰影的面積。
這是一個稍有難度的題目，考試結果全班54名學生只有9人做對了。應該說這道題不至于難到這種程度，可為什么該題目的準確率如此低呢？這足以說明大部分學生對該題沒有思路，無從下手，學過的定理、定義更是不知如何用？其實這是一個典型從條件入手的題。在講授該題時，我設計了這樣的問題：已知點E、點F分別為BC，CD邊中點，這是一個突破口，由這個條件你能得到什么結論呢？
學生1：根據三角形中位線定理知道EF∥BD，EF=1/2AB.
學生2：若BF與DE相交于點O，連接BD，EF（如圖2），則可以證明出△EOF～△BOD.
學生3：這兩個三角形的相似比是1：2. 分析到這，課堂變得安靜了，學生沒有了思路。幾秒鐘的思考過后，我問：“回到已知點E、點F分別為BC，CD邊中點，你除了想到中位線，你還能證明出其它結論嗎？
學生4：△BFE和△EFC的面積相等。我趕緊鼓勵到：太棒了！他換了一個思路。由這個思路你還能得到什么結論呢？
學生5：如果△BOE和△EOF分別以BO，FO為底，那么他們的高是相同的，這樣這兩個三角形的面積比就是BO與FO的比，這恰恰是三角形△BOD與△EOF的相似比1：2.
學生6：設△EOF的面積是x，則可列式x+2x+3x=1/2×2×1,x=1/6. 所以空白部分的面積=8x=4/3，陰影面積=2×2-4/3=8/3.
通過這道題的解題說明，一個條件由一個思路可以證明出幾個結論，但不能說明這個條件就用完了，依然是這個條件用另一個思路，還能證明出其它結論。的確，有些幾何問題初看似乎難于思考，但只要我們善于抓住問題特點，充分利用已知條件，就總會出奇制勝。
三、從結論出發，證明過程注重精煉
從待證的結論出發，逐步逆推至使結論成立所需的條件正是題中的已知條件；或者在從結論著眼的同時結合題目已知條件，當需要和條件吻合時，問題也就解決了。這種方法是證明題常用的方法，它可以培養學生的逆向思維。對于某些問題，從結論往回推，倒過來思考或許會使問題簡單化，使解決它變得輕而易舉，甚至因此而有所發現，這也是逆向思維的魅力。
如圖1，在△ABC中，AB=AC，將△ABC繞點A逆時針旋轉,旋轉角為，試證明B1D=CD1.

這道題我們可以從結論出發，要證明兩條線段相等，我們會想到哪些方法？
學生1：三角形全等，等角對等邊．
學生2：線段垂直平分線，角平分線。這時大部分學生說出用三角形全等來做。
學生3：應該證△B1DE≌△CD1E．我接著問:“條件夠嗎？
學生4:不夠，只有∠B1=∠C, ∠DEB1=∠D1EB．
學生5：可以證明B1E=CE．連接AE，證明△AB1E≌△AC1E．這時全班笑了，還是少一個條件。那么咱們怎么辦？全等的方法還行得通嗎？
學生6：可以證明△ABD≌△AC1D1，則AD=AD1，因為AC=AB1，即：B1D=CD1.
學生7：和這個思路相同，我們也可以證明△AB1D1≌△ACD，則AD=AD1，AB1=AC. 因為AB1=AC，所以B1D=CD1.
學生8：其實我們選擇證△B1DA≌△CD1E也可以，可以連接B1C（如圖2）,證明△B1EC是等腰三角形，從而證B1E=CE.
學生異口同聲地說：“麻煩。”的確，學生在證明時，往往都會繞彎路，就這道題還有的同學證明兩次全等，不僅書寫篇幅長，更是浪費了很多時間。雖然條條大路通羅馬，但我們需要找到最近的一條路。我想推理能力的培養應不拘泥于形式，不局限于幾何部分，而是結合數學書中適宜的內容自然地進行。只有這樣，才能發展學生的理性思維，使學生的思維水平得到應有的發展。
四、幾何動點問題，注重基本圖形
動點問題是中考壓軸題目，也是學生眼里的難題，下面介紹的是一道相對來說中等難度的動點題。
如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，
AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．點M，
N分別在邊AD，BC上運動，并保持
MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足
分別為E，F．
（1）求梯形ABCD的面積；
（2）求四邊形MEFN面積的最大值；
（3）試判斷四邊形MEFN能否為正方形，若能，求出正方形MEFN的面積；若不能，請說明理由．
這個題目的解題關鍵是學生是否對于此題出現的基本圖形等腰梯形有清楚的認識。題目雖3個問，但是重要的是解第一個問，根據已知我們應馬上想到做等腰梯形的高，從而利用相似求出答案。
幾何和圖形有著密不可分的關系，而教師也會常常利用圖形的呈現使學生了解幾何概念、定理等。有研究表明，學生在解幾何問題時，回憶其所應用到的幾何定理時，同時也會聯想定理所對應的圖形。從具體到抽象，由感性到理性，是我們傳授知識的重要原則。因此，我們要求學生對定理圖形不能只停留在實體的形象上，而是讓學生在看到復雜圖形時能形成或喚起表象，這對我們解決問題起著很大作用。

初中幾何教學中如何激發學生的興趣
即墨市第二十八中學 崔帥
省課程專家顏峰(副組長)推薦，理由：興趣是最好的老師，要讓學生有興趣，就要讓學生體驗成功，崔教師靈活的教法、智慧的教學值得學習。
指導教師邱 軍推薦，理由：文章介紹了教師在實際教學中的四個做法，看出崔老師是一位能悉心鉆研、不斷學習總結的高素質教師，做法有理論高度，也有實踐層面，給老師們很好的啟發，生活中的簡單圖形入手培養學生興趣，直觀實踐結合激發學生興趣，動手探索感悟方法獲自信，變式練習掌握規律融匯貫通，謝謝崔老師為大家提供了高水平、可借鑒的做法。
初中學生初學幾何，定會感到新奇，再加上日常生活中各種幾何圖形隨處可見，這樣的新奇感能使他們對學習幾何產生強烈的興趣，從而產生學習的動力，現介紹我在初中幾何教學中的一些做法。
1．根據幾何圖形的各自特點，形象設計，使之有趣生動，第一堂課幾何課的簡單誘導：先確定幾何研究的對象，平面圖形，舉實例圖形，仔細觀察。首先確定使學生發現我們生活在圖形的世界中，兒時玩的積木，大多可根據各自圖形找到它們的名稱，我們生活在三維的世界中，隨時看到和接觸到的物體都是立體的，如石頭、植物呈現不規則的奇形怪狀，有較為規則的，如自然界存在的橙子、蘋果、西瓜，有人類創造的如：中國傳統建筑、鐘樓、埃及金字塔、易拉罐、蛋筒冰淇淋。我們的教室、住房都是規規矩矩的長方體或正方體；各種現代化的立交橋是由直線、圓等圖形組合而成的。即使是我們用的小小鉛筆，都是圓柱體或者是一個六棱柱。教室里懸掛的日光燈管，那也是一個圓柱體，使學生了解一些常見的幾何圖形，從而得出在這個大千世界中的各種圖形都可以分解成最簡單的面、線、點組成，從而引導學生幾何就是從這些最簡單的圖形入手的，激發學生學習幾何的興趣。
2．直觀教學和實踐教學是教學中的一個重要環節。
通過觀察實物圖形如實心球、校舍建筑，一些石膏制作的幾何體，找出圖形相似的實物，從中揭示圖形的組成，還有讓學生自己動手剪一些三角形紙片，折疊三角形的三個內角，得出三角形三個內角和定理，剪一個直角三角形紙片，使兩銳角的頂點與斜邊上的中點重合，得出直角三角形兩個銳角互余，剪一個等腰三角形紙片，把兩個底角重合在一起，得出等腰三角形兩底角相等，利用歐拉公式數出一些多面體的頂點數、棱數和面數，從而激發學生學習幾何的興趣，還可讓學生制作一些多面體，如圓柱體、三角錐、正方體等，還可讓學生利用三視圖法畫一些立體圖形，從而使學生了解幾何的基本圖形是點和線組成。總之，讓學生在這些活動中增長知識，掌握理論。
3.發展學生的主觀能動性，誘導學生在學習幾何的過程，進行探索。
利用課外閱讀材料、“七巧板”的制作，揭示幾何圖形的奧秘。
用分割圖形方法探索“多邊形內角和定理”，通過從具體到抽象，從特殊到一般的推導，很順利地得出多邊形內角和定理為：n邊形的內角和等于（n-2）· 180°，使學生在克服困難中完成學習任務，學到方法，獲得自信，提高學習積極性。
4．注重練習的多樣性和解題方法的多樣化，一個幾何題目往往有著不同的解題方法，可采用一些一圖多用、一圖多變、一題多解的方法，從而使學生真正理解幾何的多變、多樣化。
一題多解既是鞏固基礎知識與訓練基本技能的一種有效手段，探求一題多解，可使初中幾何獲得理解的效果。從而使學生在并不感到繁復的前提下，逐步深化，緊緊扣住心弦，掌握幾何題型的多變，并使學生達到“樂學—學懂—更樂學”的良性循環，使學生能主動挖掘題意，掌握幾何問題的規律。使學生學習幾何的動機更加持久，興趣更加強烈，從而使之對幾何這一門學科的興趣更加深濃。使幾何難這一切工作問題能迎刃而解，嘗到解幾何題的成功喜悅。
自制教具，讓學生在動手觀察中發展空間思維能力
平度西關中學????姜增珍
省課程專家呂學江推薦，理由：空間觀念是指根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體；能夠想象出空間物體的方位和相互之間的位置關系；根據語言描述或通過想象畫出圖形等。發展學生空間觀念教材資源豐富，觀察、操作、探究、想象途徑多樣，而姜老師只選取七年級《豐富的圖形世界》一章，創新教具，開發資源，匠心獨具，用心良苦，做了許多有益的探索，積累了成熟的經驗，我們看到了一個教師的執著和投入。再梳理思路，補充圖片，擴大戰果，呈現給大家分享。
初中七年級教材《豐富的圖形世界》一章中的內容，能夠很好的發展學生的空間思維能力。我在教學中以讓學生在觀察、操作、想象、交流等大量的活動中積累經驗為目的，自己制作了多個教具，幫助學生觀察、想象，取得了明顯的學習效果。
一、制作《點動成線、線動成面、面動成體演示器》。
我用EDL發光二極管，通過編程把點、線、面整和在一起，可以把點動成線、線動成面、面動成體單獨演示，也可以連續演示，EDL發光二極管的光電效應很有直觀也很有吸引力。同時這個小發明能對啟迪學生的創造力，并且簡單易行，沒有太高的技術含量及太高的成本。
二、用彩色卡紙制作各種卡片讓學生演示《展開與折疊》。
人們對色彩是很敏感的，初中學生也不例外，我用彩色的卡紙和學生一起制作正方體的側面展開圖，讓學生在動手操作中，弄清楚了正方體側面展開的十一種情況、各種展開圖的對面是誰、一個正方體要裁幾刀可以側面展開等問題。
三、制作《截一個幾何體鏤空演示體》。
在《豐富的圖形世界》一章中，把一個正方體“截一個幾何體”是個難點，學生用平面截正方體截出三角形、矩形、平行四邊形、梯形基本沒有困難，但是要截出一個五邊形、六邊形、正六邊形，學生操作、想象都很困難，我們原來用蘿卜、土豆等正方體讓學生切，在各個棱上取點困難，效果不好。我制作的這個鏤空演示體就很好的解決了這個困難，演示器一種是棱上帶外置鉤，一種是內置嵌槽，學生可以用線繩或是橡皮筋勾嵌在所取的點處，這樣一個多邊形就可以形象的呈現在面前，同時學生也知道為什么截不出七邊形的原因了。
四、制作《正方體組合、分離塊》演示“從不同的方向看”。
“從不同方向看”有機的把三維空間和二維空間進行轉換，一個立體的圖形可以從不同的側面看成主視、俯視、左視的平面圖。教師在講臺上搭成立體塊講解，大多學生不可能看到俯視圖，都到前面不方便，老師若整體扳倒所搭的立體塊就“散架子”了。我制作的這個《正方體組合、分離塊》各個側面裝有特制的磁鐵，找準N、S極后，各個小快就緊緊吸附在一起，再加上我把各個對面用了不同的顏色，學生自動就看清楚了主視圖、左視圖。教師把整體翻轉過來學生就看清楚了主視圖。由于磁鐵的作用各個小塊不散開，若要用各個小塊搭幾何體，分開用就可以，簡便適用。
精彩回眸
空間觀念的培養絕非立體幾何的專利
濟寧學院附屬中學 丁傳亮
關鍵詞：觀 承 思 悟 變換
摘要：如果說“思”是一個結繭的過程，則“悟”就是一個脫繭而出的階段。記得前一階段我在網上看到這樣一句話“學我者生，似我者死”，對于專家的報告如果僅僅是拿來主義，那么要么是東施效顰，不倫不類，要么囫圇吞棗，食不知味。我認為對于專家的報告必須結合自己的教學實際，有機生成自己的教育教學理論，并指導自己的教學實踐。悟變則生，照搬則死。仔細想想，空間觀念的培養何處不在？
正文：通過2個多小時視頻，我們聆聽了幾位專家老師關于空間觀念與幾何直觀的教學的精彩分析。對此，自己在認真學習的基礎上，結合自己的教學實踐深刻反思。下面結合專家的經典評析談談自己學習的體會和對這一問題的認識。拋磚引玉，不對之處，敬請批評指正。
一、觀
上午，我們有幸觀看了王麗老師、趙琳琳老師、楊靜老師和濟南歷城二中的一位老師為我們展示的四堂課的教學片斷，嚴格的說應該是欣賞了。一個多小時的教學實況和案例賞析，只覺得時間過得太快了。自己深深被各位老師與其學生的精彩表演所吸引，王麗等老師的情境創設極具趣味性、感染力，引人入勝；老師的教態極具親和力，使學生倍感親切，親其師方可信其道；過程設計處處體現新理念，體現了學生的主體地位；趙琳琳先進的現代教學手段的運用，使變化的魚，召之即來，揮之即去，師生儼然是魔術師。一個多小時，始終聚精會神，唯恐漏掉一絲一毫，老師的精彩表演，就象海水不停地沖擊礁石卷起朵朵浪花。四節精彩的教學片段也充分說明我們山東的教改已走向中國的前端乃至頂峰。因為本文主要想談談空間觀念的發展，所以將興奮的心情和精彩的視頻暫時精心收藏，留待以后慢慢欣賞。
二、承
欣賞完老師的教學片斷，馬復教授和其他三位老師又對新課標關于空間圖形的知識給我們居高臨下的指導。在專家老師的報告中，對空間圖形認識的，專家老師定位是：通過對空間圖形的觀察，能識別一些簡單的空間形體，并能對他們進行簡單的分解與組合，感知他們的展開與折疊、切與截、從不同方向觀察的結果以及視圖與投影。
關于空間觀念，專家老師闡述空間觀念主要表現：“能夠由實物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物的形狀，進行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉化”。
對于空間觀念在分析和抽象層次上的表現，專家老師告訴我們“能從較復雜的圖形中分解出基本的的圖形”，“能描述實物或幾何圖形的運動和變化；能采用適當的方式描述物體間的相互關系”等等。
三、思
我在自己認真反思的基礎上，查閱了網上與此相關的數百個信息。發現似乎總是有一種呼聲，空間觀念就是幾何圖形的專利。再次查閱自己的筆記，發現專家老師這樣告訴我們：“許許多多的發明創造都是以實物呈現的，首先呈現在設計者頭腦中的是設計物的實物形態，但表現出來的往往是其平面圖形——設計圖紙，然后工人師傅根據圖紙制作出相應的模型（實物形態），再根據模型修改設計，直到最終完善成型。在這一充滿豐富想象和創造的探求過程中，人的思維是必要不斷的在二維空間和三維空間之間轉換，空間觀念在這一過程中起著至關重要的作用”。其實我們的教學過程中，不是也到處充滿著由空間圖形抽象出平面圖形的實例嗎？所以，我的觀點，空間觀念絕非單靠第一章豐富的圖形世界和九年級視圖投影培養。
四、悟
如果說“思”是一個結繭的過程，則“悟”就是一個脫繭而出的階段。記得前一階段我在網上看到這樣一句話“學我者生，似我者死”，對于專家的報告如果僅僅是拿來主義，那么要么是東施效顰，不倫不類，要么囫圇吞棗，食不知味。我認為對于專家的報告必須結合自己的教學實際，有機生成自己的教育教學理論，并指導自己的教學實踐。悟變則生，照搬則死。仔細想想，空間觀念的培養何處不在？思維的浪花千萬朵，下面僅僅采擷幾朵供大家斧正。
1．聯系生活發展空間觀念
記得在講正方形這節課時，不少老師都是這樣引入的，觀察生活中圖形，你能看到哪些熟悉的圖形？我們生活的世界是三維空間，生活中的都是立體圖形，如瓷磚等，而我們抽象出來的都是平面圖形如正方形，這里實際上就是一次發展空間觀念的好機會。然后老師得到正方形后往往會再問你能再舉一些正方形的例子嗎？再次由二維到三維的轉換，再次發展了學生的空間觀念。其實從我們開始學習最簡單的直線到角、平行線、三角形、平行四邊形、圓等何處離開過三維、二維的相互轉換。數學離不開生活，生活離不開空間觀念。
2．創設情境發展空間觀念
記得我們濟寧學院附中一次開公開課，講了一節直線和圓的位置關系，老師創設了這樣一個情境。同學們你們看過日出嗎？我們一起欣賞一幅日出的動畫。請思考，如果將太陽抽象為圓，接觸的海平面抽象為線，你能畫出共有幾種不同的情況？上午，歷城二中的老師在講確定圓的條件時，創設了這樣一個情境，馬王堆出土了一塊破碎的圓盤殘片，你能幫考古專家畫出這個殘片所在的圓嗎？要解決這個問題，首先就要從實物圖抽象出平面圖形。在這里就是由實物抽象出平面圖形的過程，再次發展了學生的空間觀念。
3．借助教具發展空間觀念
為了直觀形象，我們常常自作一些教具，我校一位老師在講四邊形的不穩定性用木條制作了一個活動的四邊形教具，直觀形象的說明了問題。在這里又是一次空間觀念的體現。
4．數學的應用離不開空間觀念
數學離不開應用，而應用常常要與生活中圖形聯系。如解直角三形的知識廣泛應用于測量等實際問題，我們一般會將實際問題轉化為數學模型和運用數形結合的思想方法．在這里測量也好、計算也好都離不開實物到平面圖形的轉化。還有勾股定理的應用等，基本都是空間觀念的體現。
5．在數學活動中發展空間觀念
我們用的初中教材魯教版課題學習中有 “有趣的七巧板”是一次實踐活動。利用七巧板拼圖是我國一種傳統的數學游戲。教材安排這次實踐活動，可以使學生在有趣的活動中感悟平面圖形的特點，培養學習興趣，發展空間觀念。在這節課的教學中通過拼圖形，發展了學生的空間觀念。
6．巧借變換發展學生的空間觀念
上午的報告中，馬復教授告訴我們，圖形變換包含平移、軸對稱、旋轉、相似（位似）四種變換，無論是全等變換還是相似變換，實質上就是圖形的位置或大小的變換，還有實物圖與幾何平面圖形的轉換。另外變換也絕非幾何所特有，反比例函數、二次函數的圖象在其圖形變化的過程中，處處有平移、軸對稱或旋轉的身影。
總之，發展學生的空間觀念，要貫穿于我們整個初中教學的始終，這不僅僅是為高中立體幾何打基礎，這也是培養學生分析問題、解決生活實際問題的能力的有效手段。
研修感言
指導教師 楊傳厚
火火的八月火火的人，火火的激情火火的心；如火的平臺如火的網，如火的專家來引領；如火的學員細聆聽，如火的研修進行中。。。
明集鎮初級中學 項龍江
今天的收獲真的有點意外了。沒有想到在交流學習平臺上能學習到由老師的聽課心得，真的很詳細、深刻、到位，雖然我沒有聽這節課，但卻有身臨其境之感受！由老師的文采非常出彩——由衷的佩服！我又學習了一種寫聽課心得（反思）的新格式和手法！謝謝！
乳山市南黃鎮初級中學 孫珉堂
“專家引領、專家解惑、百家爭鳴、熱點聚焦”學習欄目的認讀，收獲頗豐，同時解惑了心中的幾個問題，對一些知識的理解又增進了一個層面，真好。要想使教學過程最優化，必須先解決“教的最優化”，作為一名教師就必須不斷地提高自己的業務水準，堅持不斷的學習和反思，來增加“內存”，提升自我。
平陰縣店子中學 張桂蓮
曾經參加過不少的培訓，但這次培訓讓我感動，感動的不止專家、指導老師們兢兢業業的工作態度，還有參加培訓老師們的夜以繼日的學習熱情。它比以前的培訓更真實，更現實，更符合一線教師的口胃。聆聽專家老師的講解 就象干涸的苗木得到了雨露的澆灌，感謝教育廳給我們提供的這次學習的機會，感謝所有專家老師、指導老師付出的艱辛，我們所有的學員都會珍惜這次來之不易的學習機會，努力提高我們的教學素質、業務水平。
青州市海岱學校 崔玉菁
兩天的學習，讓我浮躁的心得以靜謐，自己學習、同事討論、看專家點評，特別是簡報上上的專家引領，對我觸動很大。自己教學時忙忙碌碌，靜不下心來想，知識有限也想不到，通過學習，感受頗深。
臨朐縣冶源鎮初級中學 劉俊明
這次遠程培訓使我認識到把教師局限在一個固定的范圍內，他的知識面也會受到影響，于是網絡給我們搭建了一個快捷高效的平臺。感謝專家和我的同仁們的精彩點評，它使我受益匪淺。愿我們共同努力，共同提高。
學員心聲
平陰縣孔村中學 王道俊
這個暑假，我過的很充實，很快樂，每天我都來這里閱讀簡報，學習，使我有很大收獲。能夠有機會學習就是一種人生幸福。
在8月5日的在線研討，更是我們學習的良機！我在期待！
菏澤市牡丹區二十一中學 郭紅梅
這個假期，我過的很充實，每天我都來這里閱讀簡報，使我有很大收獲。真正的感覺到了我在教學中的不足，和其他教師的差距，我要珍惜這次機會，為我今后的教學大基礎。
即墨市龍泉中學 于翠翠
期待8月5日的在線研討~~
乳山市怡園中學 東靜
雖然已經學習兩天了，但是由于自己思想上的不重視，感覺收獲不大，但是看了第三期的簡報，專家的敬業精神和對問題深入透徹的剖析，及欣賞了專家推薦的優秀作業后，感觸很深，下定決心從現在開始一定認真對待這次學習，爭取學習結束時，自己能有最大的收獲。
即墨市通濟中學 林云崗
隨著研修的進行越來越感覺到自己所欠缺的東西太多了，劉姥姥進了大觀園肯定也是這種感覺，珍惜機會，努力加油吧，別讓自己真成了數學大家庭中的“劉姥姥”。
青島市嶗山區第五中學 顏雪梅
在數學教學過程中，我們要將數學教學拓寬到生活的空間，充分借助學生已有的經驗，利用適宜的情景，運用正確的方法，讓學生產生深刻的體驗，從而豐富學生的想象力，讓學生的空間觀念在我們搭建的觀察平臺中得到最好發展。每位老師都會盡力做的。
諸城市龍源學校 夏術清
遠程研修，給我們創造了學習交流的機會，這種方式徹底改變了以往假期培訓班的冗長和無聊，讓大范圍的老師們實際的交流一下，非常好。我覺得，交流的問題最好是每個人的真實感受，如觀點、困惑等，不在字數多少，至于教學設計之類的內容不必太多，因為誰手中的好設計都很多，實際意義不大。
高區神道口中學 萬彩玲
這樣的培訓形式感覺很好，每天上網似乎都感覺到了一個大家庭里面，有班主任的留言，有同學的文章，有指導老師的點評，雖然是一個人在電腦前，但是感覺一點不孤單，感覺有很多人和你一起在學習。
澤市牡丹區沙土鎮新興中學 李翠環
把我對平時工作中的一些不懂和疑惑解決了，尤其是劉志軍老師提的那個問題，我也有同感。現在有了專家的解答，我就能夠清醒的知道在教學中應該怎么做了。謝謝專家的解答。
山東省青島第五十九中學 馬虹橋
有了仰望，有了研修的切磋，有了門外的啟叩，就會打開數學殿堂之門。 我們堅信這次遠程培訓，能夠帶給我們終身的記憶；也堅信通過研討與交流會創造多彩的教育。
諸城市龍都街道呂標初中 王維軍
幾何學中圖形的變換包括“保距”“保角”兩種。聽了馬教授的報告使我豁然開朗，同時還明白了很多道理。通過幾何學的教學，使學生不斷形成空間觀念。在學生不斷形成幾何空間觀念的過程中發展了思維培養了能力，特別是創新能力的培養，起到了潛移默化的作用。
每日之星

學員每日之星
評選標準：作業被指導教師推薦，并且積極參加交流討論，得到大家認可。
即墨市南泉中學 馬宗仁 評論數125
商河縣玉皇廟中學 王德線 評論數94
山東省青島第四十一中學 劉 鵬 評論數92
章丘市明水街道辦事處繡江中學 馬素強 評論數84
山東省青島第五十一中學 趙之櫻 評論數83
文登市七里湯中學 張 紅 評論數83
萊西市望城街道辦事處中心中學 蘇廣文 評論數83
即墨市通濟中學 林云崗 評論數82
定陶縣南王店中學 甘永軍 評論數81
曹城街道辦事處中學 崔繼貞 評論數75
臨朐縣五井鎮五井第二初級中學 馬 羚 評論數74
昌樂縣唐吾鎮中學 陳榮華 評論數74
章丘市實驗中學 韓慶師 評論數72
膠州市第十八中學 劉妍君 評論數72
諸城市相州鎮相州初中 王金亮 評論數72
平度市馬戈莊鎮馬戈莊中學 劉志財 評論數71

指導教師每日之星
指導教師
評論數
推薦數
張懷山
541
17
王厚濤
574
12
謝經湯
364
18
吳志城
358
17
姚桂菊
341
17
孔慶龍
371
15
吳學峰
346
16
王世明
273
18
陳秀雪
302
16
陳玉華
381
12

班級關注度統計
班級
學員數
作業數
資源數
關注度
青島市初中數學15班
92
274
0
132
青島市初中數學1班
89
267
2
111
菏澤市初中數學7班
80
228
1
102
青島市初中數學22班
96
285
0
99
青島市初中數學13班
94
281
0
97
青島市初中數學25班
90
267
2
97
青島市初中數學2班
97
290
0
96
青島市初中數學10班
94
277
1
96
青島市初中數學24班
93
279
0
96
濰坊市初中數學7班
99
284
1
95
優秀班級簡報鏈接
青島24班 第四期 我們在前進
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-2389
東營1班簡報
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-3239
濟南初中數學一班 簡報第四期
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-2989
威海一班 在研修中成長
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-3280
威海二班 破繭
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-3268
威海三班 接天蓮葉無窮碧，映日荷花別樣紅
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-3256
濟南初中數學六班 簡報第四期
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-3401 棗莊市數學1班 簡報 第三期
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-3227

通知

關于征集第二次“在線研討話題”的通知
各位學員：
大家好！8月5日進行第一次在線研討，研討話題已由專家團隊確定，并進行了公告。
8月10日將進行第二次“網上在線研討”。為使“研修話題”更加貼近老師們的需求，真正解決大家在教學實踐中遇到的問題、困惑,尤其是急需解決的熱點問題。現向全體學員征集“研修話題”，應征話題在本期及以后幾期《課程簡報》后面跟帖即可。我們將精選后的話題及提供話題學員的名單刊登在《課程簡報》上，第二次“網上在線研討”話題將從入選《課程簡報》的話題中選用。
作為“2010年初中教師新課程遠程研修”整個團隊中的一員，您的支持將給我們整個團隊不斷向前發展提供不竭的動力。
期待您的參與！
省課程團隊
2010年8月3日

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