資源簡介

目錄
專家引領(lǐng)
概率與統(tǒng)計教學(xué)研究的背景資料
馬 復(fù)
1．傳統(tǒng)課程對概率與統(tǒng)計的關(guān)注不夠——課程安排中或者沒有設(shè)置、或者僅僅是一次性的幾個課時；教學(xué)過程要么或者是法則型或者處方型的計算活動，要么是數(shù)學(xué)化地引入概率統(tǒng)計。于是，這個層次上的學(xué)生仍然持有他們先前的對隨機現(xiàn)象所固有的觀念和概念，而很難有機會改進他們的統(tǒng)計直覺。
事實上，對于隨機現(xiàn)象（來自于歐洲的說法，包括概率和統(tǒng)計）的認識既有數(shù)學(xué)上的困難、也有理念和心理上的復(fù)雜性。
Garfield認為，影響概率與統(tǒng)計教學(xué)研究的主要因素包括：概率統(tǒng)計在課程結(jié)構(gòu)中的作用；教學(xué)與研究之間的連接；數(shù)學(xué)教師的準備；目前評價學(xué)習(xí)的方法。
1．哲學(xué)方面的影響——唯理論與經(jīng)驗主義
前者如笛卡兒等，認為知識的獲得是一種純粹的推理過程——發(fā)現(xiàn)并演繹那些早已存在的絕對真理。知識就是演繹、就是揭示客觀存在的真理，不是建立在感覺基礎(chǔ)之上的。后者如洛克等，認為知識是建立在對事物的感覺、觀察后做出的推斷的基礎(chǔ)上的。人們不能真正地認識事物，只能了解事物。即知識從感覺開始、然后歸納、建立理論。不同的認識論傳統(tǒng)，導(dǎo)致了對隨機現(xiàn)象的不同研究傳統(tǒng)，而這些差異被帶入相應(yīng)的研究與教學(xué)之中，就可能產(chǎn)生在觀念層面上的不同。
2．概率自身的發(fā)展：什么是可承認的依據(jù)？這一觀念的發(fā)展對隨機研究的影響是很明顯的?！案怕省背３１煌瑫r理解為“可信的程度”（經(jīng)驗的意義）和“隨機事件發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值”（統(tǒng)計的意義）。
這里就有兩種觀點：經(jīng)典數(shù)學(xué)的——從某個起點（公理）出發(fā)，演繹出全部的結(jié)論。它是以事物的外在原因為依據(jù)，遵從“結(jié)論應(yīng)當(dāng)由一定的原因推導(dǎo)而來”，屬于傳統(tǒng)科學(xué)的“由‘初動因’推導(dǎo)出全部結(jié)論”的范疇；
經(jīng)驗的——依據(jù)現(xiàn)實數(shù)據(jù)或樣本實驗，推出全部結(jié)論。它是以事物的內(nèi)在原因為依據(jù)，即從許多類似的情形中得出歸納的依據(jù)，屬于“看法”的范圍；屬于新型科學(xué)的“從所獲得的信息中歸納出結(jié)論”的范疇。
3．幾個基本說法：古典概率——事件發(fā)生的每一個結(jié)果的可能性是相同的、事件發(fā)生的結(jié)果總數(shù)是有限的（等概率分布的隨機模型）；事實上，“事件發(fā)生的結(jié)果總數(shù)是有限的”通常比較容易證明，而“事件發(fā)生的每一個結(jié)果的可能性是相同的”則難以證明（如無法證明：拋一枚硬幣，落下后其正面或反面朝上的概率是相等的），它根本上就是一種感覺。
“大數(shù)定律”（當(dāng)n越來越大時，白球出現(xiàn)的頻率越來越接近它在盒中的比率）是其基礎(chǔ)，但“大數(shù)定律”是一個經(jīng)驗規(guī)律。
頻率概率——某一事件可以在相同條件下重復(fù)任意次（不要求事件發(fā)生具備等可能性，如“擲一枚不均勻的骰子”）。它是一種實用性定義，雖不確切，但合理。不同的人在做實驗時，雖然可能得到不同的估計值，但那是“偶然性”所致，而非方法本身所致。
主觀概率——主體對事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量判斷。通常在各種“一次性事件”中使用較多。如：投資、火星上是否有生命、2006年1月1日北京是否會下雨等。
在許多情形下，“古典概率”與“頻率概率”有比較一致的結(jié)論（擲硬幣、擲骰子、轉(zhuǎn)圓盤等），另一些問題，“頻率概率”有明顯優(yōu)勢（擲瓶蓋、擲不均勻骰子等），事實上，模擬實驗都依賴于“頻率概率”。
4．對有關(guān)隨機現(xiàn)象的問題，人們是如何思考的、怎樣影響人們的思維；人們的錯誤通常產(chǎn)生于：對（原始）概念的誤解、概率直覺（運用樸素統(tǒng)計觀念估計事件發(fā)生的可能性）偏差、思維過程中的謬誤、推理過程（在不確定情形中）的偏差。
概率直覺——對典型性和有效性的理解。
典型性：
認為一個樣本既反映了總體的特征，又有一定的偶然性（作為一個獨立的個體）。
在一個有著6個孩子的家庭里，孩子性別排列狀況中的男、女、女、男、女、男似乎較男、男、男、男、男、男可能性更大。
忽視樣本大小對典型性的影響：擲3枚硬幣出現(xiàn)2枚“幣值”朝上的可能性，和擲300枚硬幣出現(xiàn)200枚“幣值”朝上的可能性相同（事實上，極端情形——全出現(xiàn)“幣值”朝上，在小樣本時比大樣本出現(xiàn)的可能性更大）。
否定最近的結(jié)果（賭徒謬論），理由是保持平衡：連續(xù)擲幾次小點數(shù)，則下次很可能擲出大點數(shù)；
有效性：當(dāng)人們估計某些自己認為很容易猜測的事件結(jié)果時，常常是運用了有效的直覺判斷。而這一類判斷經(jīng)常由于個人經(jīng)驗的局限性、不同人見解的差異性等因素導(dǎo)致很大的偏差。
一些經(jīng)典問題：Monty難題（汽車問題） 與下面這個問題很類似：一只瓶中有2個白球、2個黑球，從中依次取出兩個球，且不放回第一只球，那么：若已知第一只球是白色的，第二只球也是白色的概率是多少（）？若已知第二只球是白色的，第一只球也是白色的概率是多少（）？（想象：先摸出的那只球不看，再顯示第二只球是白色的，則第一只球是白色的概率就顯然了）
一個袋子里有3張卡片，其中一張卡片兩面都是綠顏色的，一張卡片兩面都是藍顏色的，第三張卡片的一面是綠顏色、一面是藍顏色的。你從中摸出一張，看到一面是藍顏色的，那么，另一面也是藍顏色的概率是多少？ （區(qū)別：卡與卡的面）
Monty難題：當(dāng)空門被打開后，獲獎的可能性就“自動”上升到，還是呢？不換還能夠贏的唯一可能就是原先猜到了汽車，而這一可能性就只有。所以換了以后獲勝的可能性是。
其他誤解：某地區(qū)所有初中畢業(yè)生（幾萬名）的數(shù)學(xué)中考平均成績是100分。隨機抽取10個考生的成績作為樣本，而已知第一個考生的成績是60分，此時，你怎樣看待整個樣本組的平均分？
⑴ 平均分還是100——樣本反映總體情況，但如此小的樣本能夠反映總體情況嗎？
⑵ （9×100+60）÷10=96——權(quán)重的影響：不能簡單地將對“把所有樣本值相加，再除以樣本量”這一算法的熟練使用看作為對平均數(shù)學(xué)習(xí)的理解。
⑶ 如果是預(yù)測余下9個考生的平均成績，那么應(yīng)估計其值略高于100分，以補償那個特別低的60分？
專題五《統(tǒng)計》的研修要點
省課程專家 顏峰 呂學(xué)江
初中學(xué)段數(shù)據(jù)隨機性與統(tǒng)計過程學(xué)習(xí)的總體目標：經(jīng)歷收集、整理、描述與分析數(shù)據(jù)，作出決策和預(yù)測的過程，體會抽樣的必要性以及用樣本估計總體的思想，進一步學(xué)習(xí)描述數(shù)據(jù)的方法。其核心是幫助學(xué)生通過活動逐漸建立起統(tǒng)計觀念，形成尊重事實、用數(shù)據(jù)說話的科學(xué)態(tài)度。
要使學(xué)生形成統(tǒng)計觀念，最有效的方法是讓學(xué)生真正投入到統(tǒng)計和試驗的全過程，經(jīng)歷收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)，作出決策或預(yù)測的過程，領(lǐng)悟用樣本估計總體的思想方法，豐富對有關(guān)概念、公式、圖表所蘊涵的統(tǒng)計背景的積累。
統(tǒng)計知識相對獨立，統(tǒng)計方法與代數(shù)運算、幾何推理不同，我們實際教學(xué)中可能會覺得陌生，存在困惑。
建議老師們從以下角度入手，把握本專題的學(xué)習(xí)要點：
新課標對統(tǒng)計教學(xué)的內(nèi)容和要求做了哪些調(diào)整？
統(tǒng)計觀念主要表現(xiàn)在哪些方面？
如何幫助學(xué)生正確理解個體、總體、樣本、極差、方差、標準差等概念？
中考數(shù)學(xué)命題指導(dǎo)思想的變化對統(tǒng)計教學(xué)有什么啟示？
如何對學(xué)生進行學(xué)習(xí)指導(dǎo)？如何對學(xué)生學(xué)習(xí)效果進行評價？
……
在本專題中，國家課程專家馬復(fù)教授和他的團隊會給我們精辟的講解，精心的梳理，精細的指導(dǎo)，精彩的課例，精選的素材，請老師們認真觀看視頻，仔細回味反思，積極與同事交流，你就能釋疑解惑，你就會受益匪淺。
專家解惑
指導(dǎo)教師 張敬華 問：
素質(zhì)教育強調(diào)要關(guān)注每一個學(xué)生的發(fā)展，請問在一個近50名學(xué)生的班級中老師如何能做好？
省級專家姜仲平 答：
無論班額大小學(xué)生總是會有差異的，這是伴隨班級教學(xué)高效同時與生俱有的一個問題。大家都在根據(jù)當(dāng)?shù)氐那闆r作著積極的探索。素質(zhì)教育強調(diào)要關(guān)注每一個學(xué)生的發(fā)展，就是要實現(xiàn)所有學(xué)生的共同發(fā)展，而非相同的發(fā)展。張老師要我談?wù)?，很是惶恐，惟以一點不成熟的看法來拋磚引玉。
要讓不同層次的學(xué)生總有自己的事情做，比如學(xué)習(xí)優(yōu)秀的學(xué)生，要為他們提供“自助餐”，加大“營養(yǎng)” 提供量，保證他們“長得更快”，學(xué)得更好，不用講就會的提供機會教給他們自學(xué)；對學(xué)習(xí)中等的學(xué)生，可以在班內(nèi)開展小組互助合作，在組內(nèi)的互助促進下，幫助中等學(xué)生晉升為優(yōu)秀生；對學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生，指導(dǎo)更要細微，幫助更要具體，我們不要滿堂灌，也不是一味要少講，教師要會講！善講！要通過學(xué)生學(xué)習(xí)過程及成果的展示、互相答疑、尤其是教師的強調(diào)與點撥、以及反復(fù)的訓(xùn)練，推動他們早日“脫貧”奔“小康”。 總之，不能讓任何一名學(xué)生成為我們教學(xué)行為的旁觀者，而應(yīng)是學(xué)習(xí)過程積極的參與者，目標只有一個，那就是改變學(xué)生的學(xué)習(xí)風(fēng)格，要人人都在盡力做事情。
在作業(yè)的布置上，自然是要分層，這里就不贅述了。
說來說去，就是要讓學(xué)生人人做自己能做好的事，這樣才能激起他們的學(xué)習(xí)愿望，有何辦法？說到這里記得蘇霍姆林斯基《給老師的建議》中提到了一個讓學(xué)生閱讀的好辦法；不過有了愿望，學(xué)習(xí)困難的學(xué)生還是“怎一個愁字了得”，教師要協(xié)助他們尋找適合自己的方法與技巧；另外，既然學(xué)生是有差異的，那就不要追求統(tǒng)一的標準，只追求讓我們的學(xué)生能獲得與自己期望相當(dāng)?shù)慕Y(jié)果就好；最后一點，要讓每一位學(xué)生總保持一份希望，希望能再獲得這樣的學(xué)習(xí)、展示、實現(xiàn)自我的機遇，如此學(xué)生與教師就能實現(xiàn)“共贏”。
絮叨這些，仍覺詞不達意，一管之見，貽笑大方。
惠民縣石廟鎮(zhèn)第一中學(xué) 張德椂 問：
合情推理與演繹推理的關(guān)系怎樣？如何把兩者有機結(jié)合起來？
平度市云山中學(xué) 宋吉金 回復(fù)：
所謂合情推理就是從具體的事實經(jīng)驗出發(fā)，通過觀察、實驗、類比、聯(lián)想、歸納、猜想等手段而進行的一種推理。合情推理需要從觀察、實驗入手，通過類比而產(chǎn)生聯(lián)想，或通過歸納而作出猜想．聯(lián)想或猜想是最終的形式。
省級專家 褚愛華 答：
關(guān)于張老師的問題，宋老師在跟帖中進行了回答，我想再深入談一點自己的看法?！皫缀蔚耐评砼c證明”是初中生普遍認為難學(xué)，任課教師認為難教的。任課教師在教學(xué)的過程中倘若稍有不注意，就會導(dǎo)致學(xué)生的成績兩極分化，以致喪失學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心。很多學(xué)生對幾何證明題，不知從何做起，甚至部分知道了答案，但不知道怎么得出，敘述不清楚，說不出理由，對邏輯推理的過程幾乎不會寫。
老師們遇到這樣的現(xiàn)象是正常的。傳統(tǒng)幾何教學(xué)過多的強調(diào)演繹推理，新課標對初中幾何《證明》作了較大調(diào)整。雖然新課程理念要求推理的過程不能過繁，一切從簡，但要求做到擺事實、講道理的論證方法，方能完整。從目前新課程的實施情況看，教師對于學(xué)生何時需要嚴格按照公理體系、用綜合法的表述方式進行證明，感到無法把握。這是大家普遍關(guān)注的問題，解決這一問題的關(guān)鍵是對新課標的理解與把握。
數(shù)學(xué)新課程標準將初中數(shù)學(xué)課程中的“幾何”拓展為“空間與圖形”，修改稿又改為“圖形與幾何”。第三學(xué)段現(xiàn)分為三個部分：（1）圖形的性質(zhì)；（2）圖形的運動；（3）圖形與坐標三部分。其中，第（1）部分大體整合了《標準（實驗稿）》的第（1）、（4）部分的內(nèi)容，以利于在探索、發(fā)現(xiàn)、確認、證明圖形性質(zhì)過程的過程中，體現(xiàn)兩種推理（合情推理與演繹推理）相輔相成的關(guān)系；體現(xiàn)《標準（修改稿）》在總體目標中提出的增強學(xué)生“發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析和解決問題”的能力的要求。
我們能夠發(fā)現(xiàn)新課標的對幾何知識的要求是不過分強調(diào)公理化體系，由純粹的演繹推理轉(zhuǎn)向較少的演繹推理，更多地強調(diào)從具體情境為前提出發(fā)進行合情推理，強調(diào)引導(dǎo)學(xué)生觀察、操作、實驗、探索并進行合情推理，體現(xiàn)幾何 “過程性”的教育價值。強調(diào)學(xué)生經(jīng)歷自主探索和合作交流的過程，形成積極的學(xué)習(xí)態(tài)度和情感。
把握好幾何直觀、合情推理與演繹推理是證明教學(xué)的關(guān)鍵。幾何直觀是指利用圖形描述幾何或者其他數(shù)學(xué)問題、探索解決問題的思路、預(yù)測結(jié)果。在許多情況下，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中發(fā)揮著不可替代的作用，并且貫穿在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中。合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推測某些結(jié)果，是由特殊到一般的過程。演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）出發(fā)，按照規(guī)定的法則（包括邏輯和運算）驗證結(jié)論，是由一般到特殊的過程。在解決問題的過程中，合情推力有助于探索解決問題的思路、發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于驗證結(jié)論的正確性。
新教材在七年級強調(diào)合情推理的教學(xué)，至八年級逐漸滲透演繹推理能力的培養(yǎng)，這是符合學(xué)生年齡特點和學(xué)生的認知發(fā)展水平要求的，在教學(xué)中教師要把握好滲透的度，使演繹推理成為合情推理的自然延續(xù)。無疑，如果過早要求學(xué)生用綜合法的表述方式進行證明，造成學(xué)習(xí)困難，而淡化了對學(xué)生推理意識的訓(xùn)練，則欲速而不達，影響學(xué)生思維能力的發(fā)展。
山東省萊西市第四中學(xué) 沈海萍 問：
在實際教學(xué)過程中，我經(jīng)常遇到這樣的問題：學(xué)生一看到稍微復(fù)雜的題目或圖形，就把這個題目放過不解了，有的學(xué)生甚至連題目都不看以為這個題肯定很難，學(xué)生的“畏懼”思想怎樣處理和解決？懇請專家們指點，謝謝！
省級專家謝志平 答：
個人認為，出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因有二：一是學(xué)生的知識儲備不足；二是對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)沒有信心，畏難情緒使然。
解決的辦法：一是加大學(xué)生的數(shù)學(xué)知識儲備。抓住數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)進行教學(xué)，使學(xué)生知其然，更知其所以然。二是重視對學(xué)生的解題指導(dǎo)。把老師的解法是如何想出來的展示出來，尤其是對那些根本不知從哪里想起的學(xué)生。三是加強解題后的自我反省。題不在多，有思則靈。讓學(xué)生自覺對問題的本質(zhì)進行重新解剖，反思解題過程的成敗得失，思考還可能存在的新思路、尋找更好的解法等等。四是設(shè)計不同梯度的練習(xí)，加強解題指導(dǎo)。讓學(xué)生從數(shù)學(xué)解題中體驗到成功的快樂，并利用老師及時的不遺余力的表揚跟進，強化學(xué)生的成功體驗。五是設(shè)置有趣味的數(shù)學(xué)題，逐步體驗數(shù)學(xué)的好玩。數(shù)學(xué)大師陳省身說過“數(shù)學(xué)好玩”。
薛城區(qū)遠程教育學(xué)校 劉翾
我們應(yīng)用的是北師版教材，我想提的問題是：對于教材內(nèi)容，怎樣處理才能真正實現(xiàn)“課前無預(yù)習(xí)、課后無作業(yè)”，而又不使學(xué)生的成績受到影響？謝謝！
省級專家呂學(xué)江 答：
我覺得，“課前無預(yù)習(xí)、課后無作業(yè)”而又保證質(zhì)量，可以是一種教學(xué)理想或追求的極致，雖在專家報告的例證中也聽到過甚至實際存在，但只是個案，沒有一般性也就上升不到教學(xué)方法、教育理論。我反倒認為，課前預(yù)習(xí)、課后作業(yè)對于提高學(xué)生成績還是非常必要的。
其一課前預(yù)習(xí)，這對指導(dǎo)學(xué)生主動了解學(xué)習(xí)內(nèi)容，認同學(xué)習(xí)目標，較順利進入課堂自主學(xué)習(xí)是重要前提。預(yù)習(xí)任務(wù)因?qū)W情而定，應(yīng)具體明確、易操作、能驗收，課前一天布置或印發(fā)，讓學(xué)生獨立思考并形成初步解答，上課時交流、展示。能預(yù)習(xí)是一種習(xí)慣，需要老師長期培養(yǎng)；會預(yù)習(xí)是一種能力，需要老師精心指導(dǎo)。做好預(yù)習(xí)，用足課前，不失為應(yīng)對課時減少、緩解課上壓力、延長課堂教學(xué)時空、提高學(xué)習(xí)成績的好方法。
其二課后作業(yè)，曾聞上海幾十個特級教師談到提高教學(xué)質(zhì)量的“高招”時，有一觀點驚人的一致，那就是“得作業(yè)者得天下”。課后作業(yè)是課堂學(xué)習(xí)的延續(xù)與補充，是學(xué)生鞏固與自評學(xué)習(xí)效果的手段，是教師因材施教、個別輔導(dǎo)的途徑，也是師生溝通互動的載體。甚至有些時候，家長對一個老師的認識及評價往往是通過孩子的作業(yè)本來推斷這個老師是認真的、負責(zé)的、辛苦的，遷移到認定老師對他的孩子好，會支持你?，F(xiàn)實中我們常埋怨學(xué)生做題丟三落四，不規(guī)范不完整，書寫不認真，是不是與課后作業(yè)要求不嚴、老師批改不仔細有關(guān)？
一家之言，權(quán)作拋磚引玉，供評點，供取舍。
回音壁
編者按：
上一期簡報，即墨市龍泉中學(xué)于翠翠老師問：怎樣把“要學(xué)生學(xué)”變成“學(xué)生自己要學(xué)”？省級專家姜仲平以《最要緊的是讓學(xué)生體驗成功》為題做了回答。老師們紛紛跟帖，發(fā)表對此問題的看法。現(xiàn)部分摘錄如下：
平陰縣刁山坡中學(xué) 張國慶
我們學(xué)?，F(xiàn)在實行小組合作模式的教學(xué)，很能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，效果很好。
山東省青島第二十一中學(xué) 周雪皎
學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與理解能力有差別，學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)態(tài)度也有差別，想要不同的孩子取得相同的成功是不可能的，但是要讓孩子學(xué)會盡力而為，想辦法爭取達到自己最大的成功。
乳山市南黃鎮(zhèn)初級中學(xué) 孫珉堂
興趣是動力，愛好是最強的力量。在課上，有些學(xué)生從沒有體驗成功的快樂，又何來學(xué)習(xí)的動力呢？挨批、罰站，每次測驗總是幾十分，極大的傷害了這些學(xué)生的自尊心和自信心。讓學(xué)生體驗成功的快樂，從一丁點開始，積少成多，學(xué)生就會走上自己要學(xué)的路。
山東省青島第二十一中學(xué) 周雪皎
非常贊成專家對學(xué)困生的輔導(dǎo)策略：合理定位，了解實情，落實基礎(chǔ)，穩(wěn)步提高。
東營市勝利第四中學(xué) 項在國
通過學(xué)習(xí)，感覺到促進后進生轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是讓學(xué)生轉(zhuǎn)變數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方式，使學(xué)生獨立解決問題，體驗到解決問題的快樂。轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式要循序漸進，堅持不懈。
眾說紛紜
山東省青島第五十一中學(xué) 趙之櫻希望談一談關(guān)于數(shù)學(xué)競賽的話題。
由一則關(guān)于要不要競賽的話題想到的
省級專家 云鵬
關(guān)于競賽，受大的環(huán)境的制約，為了糾偏，不搞（或者說臨時不搞）是可以理解的。競賽不是目的，培養(yǎng)人才才是根本。
當(dāng)然，通過競賽這個抓手進行人才培養(yǎng)，無疑是既有效又能體現(xiàn)老師價值的一個好辦法。作為一線老師，在上面不搞競賽的大背景下若還想在這個方面有所作為的話其實可以變通：如利用班級板報，定期的來個能力挑戰(zhàn)（當(dāng)然要有回音，關(guān)鍵是要持之以恒）；班級的比賽；校級的比賽等等。有勇氣改變你能改變的，能寬容你所不能改變的，這是境界。
事實上，在培養(yǎng)優(yōu)秀數(shù)學(xué)人才上我們可以有很多方式來實現(xiàn)，僅就我們的主戰(zhàn)場——課堂，來談?wù)勥@個問題。在課堂上我們會看到，明明學(xué)生提出了一個很有見地的問題，有時我們的老師或是考慮到要完成本節(jié)課的任務(wù)，或是考慮到不屬于課標要求，而想法搪塞過去；還有就是教師自身功力不到（或臨時出現(xiàn)盲區(qū)）自己還沒有發(fā)現(xiàn)它潛在的價值；姑且不說應(yīng)試教育這個頑疾，你不考，我就不教（因為這已是極個別現(xiàn)象）。在課堂上我們還會發(fā)現(xiàn)，老師所講的內(nèi)容本來是一個培養(yǎng)能力的好素材，但有的老師卻“刪繁就簡”，在“雙基訓(xùn)練”上做起了文章，當(dāng)然這種急功近利的短視行為近年來已經(jīng)少了很多。
之所以把這個問題拿出來說，是因為教師通過對高水平學(xué)生的輔導(dǎo)，既能為我們國家儲備高、精、尖人才盡一份力，同時還能在較短的時間內(nèi)提升自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)。雖不能說這是作為一個人民教師的義不容辭的責(zé)任，但它的確很值得我們?nèi)プ觯?
關(guān)于這個話題，還有些老師跟帖：
大高鎮(zhèn)第二中學(xué) 張愛霞
數(shù)學(xué)競賽確實能提高有能力學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，可以搞搞。
茌平縣實驗中學(xué) 路倩
數(shù)學(xué)競賽該有，能激發(fā)部分學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。
東營市勝利第五十九中學(xué) 崔成利
數(shù)學(xué)競賽應(yīng)該搞，它對有能力的學(xué)生是個促進。
陽谷縣西湖中學(xué) 秦懷峰
數(shù)學(xué)競賽應(yīng)該搞，這對某些有資質(zhì)的學(xué)生是種歷練。
濟陽縣垛石鎮(zhèn)中學(xué) 郭振華
我支持繼續(xù)搞數(shù)學(xué)競賽。
曹縣莊寨鎮(zhèn)中學(xué) 撒留占
搞競賽弊大于利！真是糊涂。
熱點聚焦
熱點之一
怎樣發(fā)展學(xué)生合情推理能力？
即墨市新興中學(xué)????劉進玉
省級專家云鵬推薦，理由：同意指導(dǎo)教師邱軍的點評。如果3，4條再加以充實，就更好了。
指導(dǎo)教師邱 軍推薦，理由：劉老師的文章來源于自己的教學(xué)實踐，有內(nèi)容歸類，有舉例說明，分析透徹，條理清晰。既有日常教學(xué)實踐的逐步積累提煉，又有站在整個初中教學(xué)角度上的綜合整理。
合情推理一個很重要的特點就是“提出猜想”，合情推理的思維嚴密性雖然沒有演繹推理過程那么細致入微、嚴謹。但是它那極強的“感受性思維”，“可能性思維” 的大跨越式“猜想”卻非常好地彌補了演繹推理過程中那層層疊嶂和迷霧，它可堪稱為演繹推理“瞭望鏡”。合情推理的實質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)---猜想”。
我在教學(xué)過程中發(fā)展學(xué)生合情推理能力主要有以下幾方面。
?1．開展好實踐活動：加強教學(xué)中的學(xué)生觀察活動、實驗活動、素材收集與整理活動、猜想活動、發(fā)展合情推理能力。如：在準備校運動會時，大家喜歡什么樣顏色的太 陽帽？最喜歡什么色的？老師可以安排學(xué)生對全班同學(xué)進行調(diào)查，然后把調(diào)查所得到的結(jié)果整理成數(shù)據(jù)，并進行比較，再根據(jù)處理后的數(shù)據(jù)作出決策。這個過程就是 合情推理，這樣做出的決策定能使大多數(shù)同學(xué)滿意。
2．開展“意識性思維”的教學(xué)對話活動：教學(xué)中當(dāng)一部分優(yōu)等生形成認識、獲得思路后，教師一定要舍得投入時間讓學(xué)生說出自己的一些想法，強化好“說想法活動”譬如：老師可以追問：“你是怎樣想到的？你是抓住了那一些關(guān)鍵點？是什么地方、哪些條件給你了啟發(fā)？通過觀察你意識到了什么？你是如何猜想到這一規(guī)律或結(jié)論 的？……”這樣的一些對話活動，從很大程度上是在培養(yǎng)學(xué)生的“意識性思維”，“猜測性思維”，長期堅持，老師們就會發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維火星大增，思維就像是 “長上了眼睛一般”。例如：垂徑定理的教學(xué)，可以讓學(xué)生結(jié)合圓的軸對稱性，探索發(fā)現(xiàn)垂徑定理及其多條推論；然后老師再與學(xué)生進行“意識性思維”的教學(xué)對話活動，以增進學(xué)生合情推理的意識和水平。
3．多提供基礎(chǔ)規(guī)律性的探索和合情推理與思維方式的培養(yǎng)活動：如：開展規(guī)律探索題的學(xué)生大比武活動；適量給學(xué)生一些動態(tài)的、變化的、設(shè)計層次分明、梯度合理的題目；
4．加強數(shù)學(xué)操作活動的教學(xué)，讓學(xué)生通過折疊、剪紙、捏橡皮泥等活動激發(fā)合情推理興趣，促進個性化思維的發(fā)展。
5．充分用好“數(shù)與代數(shù)”“空間與圖形”“統(tǒng)計與概率”“實踐與綜合應(yīng)用”四個領(lǐng)域的教學(xué)內(nèi)容，切實改變過去認為只有幾何證明題才能培養(yǎng)學(xué)生的推理能力的現(xiàn) 象。如：在空間與圖形這部分內(nèi)容中，在研究圖形性質(zhì)時，通過“看”“擺”“拼”“折”“畫”等活動，感知圖形的性質(zhì)，得出一些描述性的結(jié)論。在統(tǒng)計與概率 的教學(xué)中，我們要讓學(xué)生經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)，然后做出推斷和決策，這些都是是屬于合情推理能力發(fā)展有效做法。
合情推理是創(chuàng)新思維的火花，觀察、實踐、操作探究、猜想、是合情推理的前期準備，只要我們不斷總結(jié)反思，我想我們的教學(xué)必定會達到 “隨風(fēng)潛入夜，潤物細無聲”的藝術(shù)境界；使學(xué)生成為合情推理的行家里手。
發(fā)展演繹推理能力
諸城市龍源學(xué)校????范常青????
省課程專家謝志平推薦，理由：推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。利用合情推理發(fā)現(xiàn)問題，然后利用演繹推理去證明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，這是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程。本文結(jié)合實例給出了很好的說明。
指導(dǎo)教師王建光推薦，理由：精心設(shè)計例習(xí)題，以習(xí)題為載體，利用一題多變等變式訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生念的“合理推理”，進而培養(yǎng)學(xué)生的“演繹推理”。舉例典型。讀后受益匪淺。
??? 數(shù)學(xué)家波利亞說過：“數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性工作成果是論證推理，即證明，但是這個證明是通過合情推理，通過猜想而發(fā)現(xiàn)的。”合情推理即合乎情理的推理，它依賴于形象思維與直覺思維，思維過程跳躍性強，推理的結(jié)果有待驗證。因此教師要關(guān)注學(xué)生通過觀察、實驗、猜想、歸納出的結(jié)論。這就是學(xué)生的合情推理，其實質(zhì)就是“發(fā)現(xiàn)”，學(xué)生合情推理能力的培養(yǎng)有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神。
?我在授課中有意識的設(shè)計一些綜合性強，重在考察學(xué)生的發(fā)散思維，演繹推理能力的題型。首先指導(dǎo)學(xué)生認真觀察、動手實驗、大膽猜想，然后在此基礎(chǔ)上作出合理的推理論證。如運用下面的例題和發(fā)散練習(xí)：
? 典型例題：如圖已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，把一塊含30°角的直角三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上(直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF)，將直角三角板DEF繞D點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)。
(1)在圖1中，DE交AB于M，DF交BC于N。
?①觀察圖形，你能猜想DM和DN的數(shù)量關(guān)系嗎？說明你的理由；
　②在這一旋轉(zhuǎn)過程中，直角三角板DEF與△ABC的重疊部分為四邊形DMBN，請說明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明是如何變化的？若不發(fā)生變化，求出其面積；
分析: 學(xué)生通過觀察，思考，甚至有學(xué)生找來三角板動手做起了實驗，很快就有學(xué)生發(fā)現(xiàn)了結(jié)論。（DM=DN,S四邊形DMBN=1/2S△ABC）
在學(xué)生半信半疑中，我指導(dǎo)學(xué)生對于自己發(fā)現(xiàn)的結(jié)論展開證明，并提示學(xué)生證明線段相等一般可考慮三角形全等。
(2)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置，延長AB交DE于M，延長BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；
分析：繼續(xù)實驗，學(xué)生很快就發(fā)現(xiàn)了結(jié)論，并在證明問題（1）的過程中積累了經(jīng)驗，很快找到了兩個三角形全等。學(xué)生嘗到了成功的快樂，鞏固了對三角形全等的掌握，并初步感知了矩形的特征。這樣通過步步深入，把較復(fù)雜的問題變得“跳一跳，夠得著”?了，學(xué)生的發(fā)散思維。演繹推理的能力得到了發(fā)展。
(3)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖3的位置，延長FD交BC于N，延長ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立？請寫出結(jié)論，不用證明。
?
小結(jié)：此題的呈現(xiàn)形式是動態(tài)的、變化的，題目設(shè)計有層次，有梯度。在教學(xué)中我首先指導(dǎo)學(xué)生尋找題中的突破口，通過動手去操作，認真觀察，并給學(xué)生以大膽猜想、大膽推測的空間，激發(fā)學(xué)生去自主思考、合作探究，達到共同提高的結(jié)果。這節(jié)課學(xué)生學(xué)得輕松快樂，而且記得牢。
緊接著我有安排了課后小組合作探究題目，讓學(xué)生進一步體會在作出合情推理的基礎(chǔ)上，通過自主探究、小組合作，發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力。題目如下
（2009臨沂中考題）數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點．，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平行線CF于點F，求證：AE=EF．
經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點M，連接ME，則AM=EC，易證△AME≌△ECF，所以AE=EF．
在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進一步的研究：
（1）小穎提出：如圖2，如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上（除B，C外）的任意一點”，其它條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立，你認為小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；
（2）小華提出：如圖3，點E是BC的延長線上（除C點外）的任意一點，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF”仍然成立．你認為小華的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由．
　總之，合情推理是創(chuàng)新思維的火花，操作探究是創(chuàng)新的基本技能，我們在教學(xué)中要充分挖掘新教材教學(xué)資源，用火花去點燃學(xué)生的學(xué)習(xí)激情，用技能去武裝學(xué)生的頭腦。使教學(xué)過程成為師生交流、共同發(fā)展提高的互動過程，數(shù)學(xué)課堂真正成為師生富有個性化的展示舞臺和創(chuàng)造天地。
發(fā)展學(xué)生合情推理能力的主要活動形式
鄒平縣實驗中學(xué)????劉政榮????
省課程專家羅壽果推薦，理由：劉老師結(jié)合自己的教學(xué)實踐，談出對學(xué)生合情推理能力的培養(yǎng)，很到位。特別是“做個有心的老師”，值得學(xué)習(xí)。
指導(dǎo)教師牛方云推薦，理由：劉老師結(jié)合自己的教學(xué)實踐，對如何培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力談了具體的做法，很實用。
只要是個有心的老師，不難發(fā)現(xiàn)現(xiàn)在新課標的教材處處存在培養(yǎng)發(fā)展學(xué)生合理推理能力的例子，這也是新課標對教師理念的新要求。在平時教學(xué)中注意運用以下幾種方法發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，下面簡要說明一下：
一、勤動手
在現(xiàn)在教材中這樣的例子比比皆是，例如學(xué)習(xí)線段的中點、角的平分線時，讓學(xué)生通過自己畫一條線段然后通過對折的方法，獲得線段中點的數(shù)量關(guān)系，同樣，學(xué)生把自己所畫的角進行折疊，使得角的兩邊重合，從而認識角的平分線以及數(shù)量關(guān)系。等腰三角形的性質(zhì)的得出可以讓學(xué)生進行折紙，利用等腰三角形的對稱性總結(jié)出性質(zhì)。在研究生活中的軸對稱這一章時，特別應(yīng)該讓學(xué)生動手進行嘗試。這些操作都比較簡單易行，學(xué)生樂于嘗試，容易接受，勤于動手，經(jīng)歷、體驗這是發(fā)展學(xué)生合情推理能力前提和基礎(chǔ)。
二、勤觀察
善于觀察、善于發(fā)現(xiàn)，這是發(fā)展學(xué)生合情推理能力的重要手段。在學(xué)習(xí)比較線段的大小，可以利用直尺進行度量；角的比較可以利用量角器進行測量； 在學(xué)習(xí)圓心角和圓周角的關(guān)系時，讓學(xué)生利用量角器進行度量，從而得出兩者之間的數(shù)量關(guān)系。通過觀察思考不難得到結(jié)論，這就是合情推理的基本方法之一。
三、勤歸納
歸納是合情推理提升的前提，例如在探索數(shù)學(xué)式子的規(guī)律，探索圖形的規(guī)律，學(xué)習(xí)中應(yīng)該注意的問題都可以讓學(xué)生進行歸納和反思。作為教師，可以大膽放手，讓學(xué)生自己試一試，在學(xué)生嘗試的過程中出現(xiàn)的問題可以先讓他們自己想辦法解決，對于解決不了的問題，可以集思廣益，發(fā)動大家一起解決，讓大家一起經(jīng)歷探索問題，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)歸納的整個過程，這正是科學(xué)探索理應(yīng)經(jīng)歷的過程，在這個過程中，讓學(xué)生體驗得到結(jié)果的全過程和獲得結(jié)論的樂趣。
四、弄清圖形變換
例如利用平移、翻折、對稱和旋轉(zhuǎn)來學(xué)習(xí)三角形的全等的知識，利用圓的軸對稱性讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)垂徑定理及推論，利用圓的旋轉(zhuǎn)對稱性發(fā)現(xiàn)圓中弧、弦、圓心角之間的關(guān)系。讓學(xué)生認識幾何的變換方式，研究的方法，變換中的各量之間的關(guān)系。弄清圖形變換，才能合情結(jié)論的得出。
五、注重課題和活動的學(xué)習(xí)
在平時教學(xué)中，一定要注意課題和活動的學(xué)習(xí)，這是學(xué)生合情推理的重要方式。在學(xué)習(xí)相似三角形時，可以讓學(xué)生測量學(xué)校旗桿的高度，根據(jù)自己的實際操作過程寫出計劃，體現(xiàn)具體的活動過程，自己的測量方法、理論依據(jù)。讓學(xué)生經(jīng)歷“做數(shù)學(xué)”的全過程，體驗結(jié)論的得出。
六、反思升華
沒有反思也就沒有進步和提升，注意給學(xué)生一定反思的時間和機會。解決問題之后的反思能夠引發(fā)學(xué)生的思考，讓學(xué)生重申自己解決問題的全過程。由現(xiàn)有的條件再得出哪些結(jié)論的問題，能夠引發(fā)學(xué)生的其他聯(lián)想，從而培養(yǎng)學(xué)生的合理推理能力。
?現(xiàn)在學(xué)生的生活豐富多彩，知識無處不在，“世間洞明皆學(xué)問，人情練達既文章”，只要善于發(fā)現(xiàn)、善于觀察，運用所學(xué)得出自己結(jié)論，從合情到合理，循序漸進不斷學(xué)習(xí)發(fā)展，功夫不付有心人，學(xué)生的合情推理等能力一定會不斷提高。
發(fā)展學(xué)生合情推理能力的主要活動形式
東營市東營區(qū)第一中學(xué)????生金東
省課程專家姜仲平推薦，理由：能幫助發(fā)展學(xué)生合情推理能力的素材很多，這種能力的發(fā)展不是教師教出來的，那怎樣促進學(xué)生去悟？如何在教學(xué)中予以重視？要創(chuàng)設(shè)給學(xué)生思考、探索、猜想、交流、發(fā)現(xiàn)、驗證的活動與機會，要借助多種手段與方法，引導(dǎo)學(xué)生“經(jīng)歷觀察，實驗，猜想，證明等數(shù)學(xué)過程，生老師做了很多的嘗試與探究，拿來與大家共賞。
指導(dǎo)教師張建營推薦，理由：教師“教會”的，是學(xué)生自己“悟”出來的。很值得老師們學(xué)習(xí)的一點。
數(shù)學(xué)教學(xué)中對學(xué)生進行合情推理能力的培養(yǎng)，老師能提高課堂效率，增加課堂教學(xué)的趣味性，學(xué)生能使學(xué)生學(xué)到知識，而且學(xué)生能夠掌握新的思想方法。
一、在講課中通過類比得到結(jié)論。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)遵循“既教證明，又教猜想”，即“通過合情推理提出猜想，利用演繹推理證明猜想的正確或錯誤”.我認為合情推理能力的發(fā)展不同于一般知識與技能的獲得，它是一個緩慢的過程.而且有著自身的特點和規(guī)律：它不是教師“教會”的，而是學(xué)生自己“悟”出來的。
二、教師應(yīng)該根據(jù)教材內(nèi)容依據(jù)“發(fā)現(xiàn)---猜想—驗證”即先猜后證培養(yǎng)學(xué)生合情推理的能力。它不僅能夠提高課堂教學(xué)質(zhì)量，更重要的是有助于學(xué)生創(chuàng)新意識的培養(yǎng)和創(chuàng)新能力的提高。例如：“三角形內(nèi)角和定理”教材中沒有證明過程，而是讓學(xué)生用剪紙拼接實驗來加以說明，合情推理的實質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)---猜想”，先猜后證。
三、讓學(xué)生“經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力”。人們通常是應(yīng)用合情推理提出猜想，再運用演繹推理來證明猜想，二者的結(jié)合構(gòu)成了推理的完整過程，合情推理的實質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)”，它是發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新意識的重要途徑，但傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程注重演繹推理而忽視合情推理。因此，我在教學(xué)中努力制造機會讓學(xué)生先進行猜想。
讓學(xué)生經(jīng)歷“折紙—猜想—計算”的過程，再引入乘方的概念。整堂課氣氛非常活躍，學(xué)生驚訝之余，既提高了學(xué)習(xí)興趣又鍛煉了推理能力。其實在初中教學(xué)中有很多教學(xué)內(nèi)容都可以鍛煉學(xué)生的合情推理能力，如梯形的中位線與三角形的中位線，平行線的判定，三角形的內(nèi)角和定理，多邊形的內(nèi)角和定理等等。
教學(xué)中對問題情景不符合合情推理的,但能過設(shè)計合情推理的素材,采用恰當(dāng)?shù)牟僮?觀察、實驗、計算、折疊、旋轉(zhuǎn)等)設(shè)計問題串，歸納或類比的方式得到一般數(shù)學(xué)命題結(jié)論。
四、讓學(xué)生從熟悉的實際出發(fā)，讓學(xué)生動手做一做，試一試，想一想，認識圖形的主要特征與圖形變換的基本性質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力。例如：直角三角形三邊存在的關(guān)系，在此刻通過上述過程歸納出猜想，發(fā)現(xiàn)三角形三邊關(guān)系。在學(xué)生動手做一做，試一試，想一想的過程中發(fā)展學(xué)生的合情推理能力。
熱點之二：
四邊形性質(zhì)教學(xué)中邊探索邊證明好
即墨市店集中學(xué) 王淑華
省級專家湯華財推薦，理由：王老師結(jié)合自己的教學(xué)實際，從學(xué)生的角度恰如其分地說明了四邊形性質(zhì)教學(xué)中邊探索邊證明好的理由，這樣有利于保證了知識體系的完整性，以及學(xué)生的認可，分散難點，從而保障教學(xué)效果。
陳慶祥推薦，理由：從自身出發(fā)談了自己的觀點，這是大部分老師所贊同的觀點。其實這里面有理解上的問題：比如講解平行四邊形的性質(zhì)時，我們不妨可以從數(shù)學(xué)變化的角度讓學(xué)生用自己制作的學(xué)具動手操作、探究猜想出平行四邊形的對邊、對角、對角線的特征分別會是什么，然后再去逐一說明，既發(fā)展了合情推理能力又訓(xùn)練了演繹推理的技巧，也不失為一種好的辦法。
四邊形的性質(zhì)及證明在北師大版八上數(shù)學(xué)中就開始學(xué)習(xí)四邊形了。在多年的教學(xué)中，我摸索出了自己覺得比較適用的方法——邊探索邊證明法。
在這個問題上有兩種觀點：合并教學(xué)——邊探索、邊證明；分開教學(xué)——全部探索完以后再證明。我非常贊成邊探索邊證明的方法。理由有三個方面：
1．四邊形的性質(zhì)是要推導(dǎo)出來的，這樣做的好處是使知識前后銜接緊湊，更主要的原因是讓學(xué)生從心里“接受”，才能相信，并且在大腦中形了完整的知識體系。在這個前提下，師用自己設(shè)計的方案讓生證明或是師完成等等方式進行證明，從而給出相關(guān)的性質(zhì)結(jié)論，就能使學(xué)生很快接受并形成很深刻的印象。證明過程也是在理解的接受過程，這樣有利于很好地掌握相關(guān)的性質(zhì)。而全部探索后證明，容易使學(xué)生把重點放在證明上而非掌握四邊形的性質(zhì)，喧賓奪主，不能很好地完成四邊形性質(zhì)的教學(xué)終極目標。
2．《八上》的證明要求不是特別深，學(xué)生只是了解基本的證明思路和方法即可，而性質(zhì)的證明涉及到了全等、等量代換、平行的性質(zhì)和判定、前性質(zhì)為后性質(zhì)服務(wù)等多方面復(fù)雜的內(nèi)容，學(xué)生著力證明，難點是綜合性太強，而前面的大綱要求中不需要這樣太概括的證明題目，所以學(xué)生在沒有弄明白新的內(nèi)容的基礎(chǔ)上就開始應(yīng)用，效果就不明顯了。
3．?dāng)?shù)學(xué)上講究“循序漸進”原則，邊探索邊證明有利于邊學(xué)邊鞏固，把難點分散開來進行，教學(xué)效果會更好些，老師才能更好地在課堂上有限的時間內(nèi)完成或超額完成自己的教學(xué)任務(wù)。而先探索后證明的方法是把難點全部集中，不利于學(xué)生的學(xué)習(xí)，也違背了教學(xué)的基本規(guī)律。
所以綜上所述，我從自身的教學(xué)體會覺得：邊推理邊證明的方法比較好！
四邊形的性質(zhì)和探索，選擇“合并教學(xué)”
濟南燕山學(xué)校（中學(xué)部）????張曉燕????
省課程專家陳杰推薦，理由：張老師對合與分的分析，值得關(guān)注。影響合與分須的因素很多，如學(xué)生的心智發(fā)展水平——學(xué)生邏輯思維發(fā)展水平與年齡有關(guān)。全合，證明的教學(xué)時間就要提前。全分，很多老師難便于把握教學(xué)要點和目標要求，甚至測試命題照搬“舊”題，導(dǎo)致第一次教實驗幾何時，就要求證明，學(xué)生年齡小，學(xué)習(xí)難度過大，人為造成一部分“后進生”。而等到證明時，又有相當(dāng)一部分的學(xué)生感到再重復(fù)教學(xué)，索然無味！我的觀點是先分后合，證明適度提前。
指導(dǎo)教師劉家華推薦，理由：現(xiàn)行的北師教材是把兩者分開來進行的，不過很多老師都提倡合并教學(xué)。張老師的幾點擔(dān)憂確實值得我們關(guān)注。
指導(dǎo)教師吳志城推薦，理由：張老師從學(xué)生的認知規(guī)律和心理需求、學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)等方面，進行了分析合并教學(xué)的依據(jù)，也闡述了三點擔(dān)憂，很有教學(xué)實踐的體驗，贊同您的觀點和作法，我在教學(xué)中是調(diào)整了教材課程章節(jié)順序，進行了整合，把證明部分的章節(jié)相應(yīng)地提前，排在了性質(zhì)章節(jié)的后面，這樣的嘗試，已經(jīng)有兩年的推廣嘗試了，愿我們繼續(xù)交流。
每每教學(xué)進度到了四邊形性質(zhì)這部分，孩子們都掩蓋不住內(nèi)心的興奮，一種大展身手的激動使得課堂都活躍了更多。以我對他們的了解，或許他們已不滿足只停留在認識四邊形的層次，而終于獲得了深入探索其性質(zhì)的許可，終于得到了“突破、提高”帶來的心理成就感。所以，這部分的內(nèi)容總被我特別重視，課堂的設(shè)計和實施不能讓孩子們失望。
談到關(guān)于四邊形性質(zhì)的探索與證明，相比較而言，還是偏愛邊探索邊證明的合并教學(xué)方式。四邊形性質(zhì)探索是非常系統(tǒng)也應(yīng)該是很條理的一個學(xué)習(xí)專題，從平行四邊形到特殊的平行四邊形（矩形、菱形、正方形），而每一種圖形的研究又從邊到角又到對角線，層層遞進。顯然，四邊形性質(zhì)的知識點繁多又瑣碎，同時還要進一步解決性質(zhì)的應(yīng)用問題，發(fā)展學(xué)生的推理能力。從這樣一個教學(xué)現(xiàn)實出發(fā)，作合并教學(xué)的選擇，還是有以下原因的：
首先，考慮到學(xué)生的認知規(guī)律和心理需求。
如果我們熱熱鬧鬧的研究，就沒有緊跟的證明訓(xùn)練了，就如同話說半句就沒了下文一樣。孩子們在整個探究過程中勢必要閃現(xiàn)出很多思路和方法，從他們的心理考慮，有迫切的要求想要將個人的想法加以驗證，此時配合加入性質(zhì)的推理證明是探求活動的延續(xù)和升華，多么合情合理。孩子們將感知到的數(shù)學(xué)知識，在運用所掌握的數(shù)學(xué)方法驗證，四邊形的性質(zhì)更能夠被強化。
其實，考慮到學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展。
雖然我們用大量的實物教具還有多媒體演示等等給學(xué)生直觀的感知，讓孩子們通過圖形的觀察、操作、變換探究出四邊形的性質(zhì)發(fā)展了學(xué)生的空間觀念，而對學(xué)生的訓(xùn)練遠不止這些，引導(dǎo)學(xué)生對產(chǎn)生的想法證明，用嚴密的幾何語言進行推理。如若不是，又談什么幾何的推理魅力？又談什么幾何的邏輯嚴謹？這是對學(xué)生更高的要求，促進他們數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展。
雖說提倡合并教學(xué)，但我還有幾點擔(dān)憂：
第一、課堂時間很有限，我們又要學(xué)生動手操作探究四邊形的性質(zhì)，同時還要嘗試用嚴密的數(shù)學(xué)語言闡明自己的觀點進行證明，在時間上能夠用嗎？
自主觀察操作研究，需要時間研究透徹；用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言進行推理證明，更需要時間才能統(tǒng)一認識。如果有哪個環(huán)節(jié)稍有狀況，很可能就完不成預(yù)期的內(nèi)容。這樣的教學(xué)容量真得很大，必須合理安排時間，緊湊進行。
第二、同時對數(shù)學(xué)感知能力和邏輯推理能力的培養(yǎng)，對于層次較好的學(xué)生估計不成問題，但是學(xué)生有個體差異，我擔(dān)心的是那些程度稍弱一點的孩子，怎么能讓他們也跟上節(jié)奏？
因為在曾經(jīng)的教學(xué)中就出現(xiàn)過這樣的情況：部分學(xué)生在課堂良好氣氛的帶動下很容易發(fā)現(xiàn)四邊形的性質(zhì)，但是他們的認識卻不深刻，或許他們是聽別人的意見聽到的，總之似是而非。而后又要進行推理驗證，他們根本就無從下手。所以，實際教學(xué)還要多關(guān)注那些學(xué)習(xí)有困難的孩子，可以建立研究小組，互相帶動提高。
第三、在對四邊形的性質(zhì)進行驗證的時候，他們能嚴密的進行推理證明嗎？
有的孩子說：“我知道怎么證明，卻不知道怎么寫，頭腦里一片混亂”。想得出，但寫不出的現(xiàn)實的卻存在。其實我們想想，這個環(huán)節(jié)對學(xué)生真是個不小的挑戰(zhàn)，他們既要探尋證明方法，又要組織證明的邏輯語言，還要書寫的條理規(guī)范。想突破這個難點，設(shè)想可以采取分組研究、師生共同交流、板演展示等等來規(guī)范數(shù)學(xué)語言，條理分析過程。也可以給出不完善的證明過程共同糾錯，達成共識，強化幾何推理思路和過程的培養(yǎng)。
以上的幾點想法希望得到各位專家老師的指導(dǎo)。
四邊形性質(zhì)的探索與證明的教學(xué)策略
膠南市寶山鎮(zhèn)中心中學(xué)????管紅葉????
省課程專家呂學(xué)江推薦，理由：新課程強調(diào)教師是課程資源的創(chuàng)造者與開發(fā)者，教學(xué)活動在源于教材、基于學(xué)情的基礎(chǔ)上應(yīng)有自己的話語權(quán)。管老師對于四邊形性質(zhì)的探索與證明的教學(xué)策略，是建立在反復(fù)實踐論證和精準地把握學(xué)生認知規(guī)律的基礎(chǔ)之上，具體明確，說理充分，認同度高，指導(dǎo)性強，凸顯他的理解與思考，表征他的敬業(yè)與熱情。至于合與分的選擇，既無法固定也不可能統(tǒng)一，我想一線老師們最有發(fā)言權(quán)。在你們的教學(xué)實踐中，無論經(jīng)驗還是教訓(xùn)，都是一筆原生態(tài)的財富，以此為話題說出你的得與失，與大家分享。
對于四邊形性質(zhì)的探索與證明，統(tǒng)一選取合并教學(xué)（邊探索、邊證明）或分開教學(xué)（全部探索完以后再證明），是不可取的，要根據(jù)內(nèi)容選擇不同的教學(xué)方法。
在平行四邊形性質(zhì)的教學(xué)中，我們需引導(dǎo)學(xué)生把握四邊形研究的基本方法——圍繞著“角與距”、“數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系”來研究。一猜邊，二猜角，三猜對角線，使學(xué)生獲得明晰的研究思路，對后繼知識的學(xué)習(xí)有良好的遷移。然后再集中證明，這樣對證明方法的收獲也更集中，故采用分開教學(xué)。
在菱形性質(zhì)教學(xué)中，我們更重要的任務(wù)是在平行四邊形研究的基礎(chǔ)上，通過“類比和對比”的思想方法探索菱形性質(zhì)。也需要比較集中的探索來加強對“類比和對比”的思想方法的感知與認同，故以采用分開教學(xué)為主。對于部分獨立思考能力較強的同學(xué)，可采用合并教學(xué)。
在梯形性質(zhì)的教學(xué)中，由于基本研究方法學(xué)生熟知會用，他們能展開猜想并能通過類比和對比，利用已探索的結(jié)論進行證明。一探一證，這是大多數(shù)同學(xué)能夠做到的，故合并教學(xué)為主。對于接受較慢的同學(xué)，仍可使用分開教學(xué)。
正方形性質(zhì)的教學(xué)中，同學(xué)們已經(jīng)全面了解前述四邊形的內(nèi)在聯(lián)系，根據(jù)學(xué)生的認知規(guī)律，他們能打開思維之門對正方形性質(zhì)進行探索與證明，故可選取合并教學(xué)的方式。
綜上，對于四邊形性質(zhì)的探索與證明：
平行四邊形性質(zhì)——采用分開教學(xué)；
菱形性質(zhì)——分開教學(xué)為主，合并教學(xué)為輔；
矩形性質(zhì)——合并教學(xué)為主，分開教學(xué)為輔；
正方形性質(zhì)——采用合并教學(xué)；
梯形、直角梯形和等腰梯形——合并教學(xué)為主。
在使用合并教學(xué)的后三種情況中，我們可以結(jié)合我們的教學(xué)方法，逐步放開課堂，讓學(xué)生自主探索自主證明，每一次猜想以及探索與證明，都可成為一個或一組學(xué)生展示自己思維的機會，從而優(yōu)化他們的思維品質(zhì)，增加課堂容量。
學(xué)生們學(xué)習(xí)幾何，總是在獲得類似知識的合情推理和演繹推理的經(jīng)驗后，才能獨立承擔(dān)探索和證明任務(wù)。選擇教學(xué)形式要看學(xué)生獲得經(jīng)驗的具體程度，要符合學(xué)生的認知規(guī)律。幾何研究最基本的思路就是在對一個命題進行合情推理后采用演繹推理進行證明，并利用“類比和對比”的思想對其類似命題進行進一步猜想與驗證，完善研究體系。幾何圖形的性質(zhì)探索，無一不是圍繞著“角與距”、“數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系”來研究的，選擇教學(xué)形式要圍繞這一主線；同時，平行四邊形和梯形兩類圖形之間性質(zhì)或相同或類似，選擇教學(xué)形式還要注重知識之間的內(nèi)在聯(lián)系。
觀點爭鳴
“四邊形性質(zhì)的探索與證明”教學(xué)方式辯論會
廣饒縣稻莊鎮(zhèn)實驗中學(xué)????張良鵬????
省課程專家姜仲平推薦，理由：風(fēng)趣不失嚴謹，反正都有道理，用好已有資源，合情攜手演繹。
指導(dǎo)教師任百義推薦，理由：張老師幽默風(fēng)趣，形式新穎，論述有理有據(jù)，從學(xué)生的認知方面入手，抓住了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)。
指導(dǎo)教師李培祥推薦，理由：作業(yè)形式新穎，有創(chuàng)新，以辯論的形式來認識問題，分析問題，形成自己獨特的見解，體現(xiàn)了一名優(yōu)秀教師的豐采。
主持人：四邊形這一部分的教學(xué)，是學(xué)生學(xué)習(xí)上的難點，有著較強的條理性，分為平行四邊形，特殊平行四邊形（矩形、菱形、正方形），梯形。本章將逐步完善學(xué)生的證明體系，培養(yǎng)學(xué)生合情推理和初步的演繹推理能力。在教學(xué)時，每名老師有不同的教學(xué)思路與方法，有的老師采取合并教學(xué)（邊探索、邊證明），有的老師采取分開教學(xué)（全部探索完以后再證明）。今天就由正方（合并教學(xué)觀點）與反方（分開教學(xué)觀點）進行一次小辯論。下面先請正方闡述其主要觀點。
正方：推理與證明是數(shù)學(xué)的基本思維過程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常用的思維方式，在解決問題過程中，合情推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，探索和提供思路的作用，有利于創(chuàng)新意識的培養(yǎng)。但合情推理的結(jié)論不一定正確，有待證明，演繹推理恰恰能幫助我們證明結(jié)論正確性。合情推理和演繹推理之間聯(lián)系緊密相輔相成。針對四邊形性質(zhì)的探索與證明的教學(xué)，我方認為采用合并教學(xué)（邊探索邊證明）好些。理由如下： 1、學(xué)生經(jīng)過探索，利用合情推理得到了一些想法，但這些想法是否正確，強烈的好奇心驅(qū)使著他們想盡快地的得到驗證，這時我們邊探索邊證明，利于幫助學(xué)生先感知再證明，加深對問題的理解與掌握；2、在合并教學(xué)中可以繼續(xù)幫助學(xué)生鞏固合情推理和演繹推理能力的培養(yǎng)，學(xué)生大膽猜測進而實驗探索進行著合情推理過程，之后我們的完整的證明過程又展現(xiàn)著演繹推理，培養(yǎng)學(xué)生的證明過程；3、四邊形的學(xué)習(xí)中平行四邊形掌握的程度直接影響學(xué)生在特殊平行四邊形（矩形、菱形、正方形）和梯形的學(xué)習(xí)，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)平行四邊形時經(jīng)歷著概念，性質(zhì)和判定的猜想----歸納----證明的過程，用掌握學(xué)習(xí)到的方法進而類比學(xué)習(xí)特殊平行四邊形（矩形，菱形，正方形）和梯形，將會得到事半功倍的效果。所以合并教學(xué)應(yīng)該提倡。
主持人：剛才正方較好的闡述了自己的觀點與依據(jù)，下面再請反方進行闡述。
反方：根據(jù)初中數(shù)學(xué)新課程標準關(guān)于空間與圖形的教學(xué)適當(dāng)降低知識難度，力求符合學(xué)生心理發(fā)展和學(xué)習(xí)規(guī)律的要求，我方認為采用分開教學(xué)效果好。理由如下：1、分開教學(xué)在探索部分主要讓學(xué)生參與性質(zhì)的探索，通過學(xué)生動手探索、感知、猜想性質(zhì)結(jié)論，在探索過程中注重的是學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力，注重培養(yǎng)合情推理的能力。這部分教材以學(xué)生熟悉的問題情境引入知識，在動手、探索和解決問題的過程中發(fā)現(xiàn)并提出性質(zhì)，這更有利于學(xué)生接受新知，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力。2、合情推理能力是初中階段學(xué)生必須培養(yǎng)的一種能力，這種分開式教學(xué)就很好的解決了這樣的問題。而證明是探索活動的延續(xù)和發(fā)展。引導(dǎo)學(xué)生合情推理探索出性質(zhì)后，再進行證明，有利于學(xué)生對證明的全面理解。在合情推理的基礎(chǔ)上進行證明也是學(xué)生必備的基本能力。把利用四邊形的有關(guān)性質(zhì)進行證明單獨學(xué)習(xí)，充分給學(xué)生提供了對有關(guān)性質(zhì)理解和梳理的時間和空間，學(xué)生在已有的知識儲備下，也能更好的進行證明部分的學(xué)習(xí)。
總的來說，這樣設(shè)計既可對前面學(xué)習(xí)進行回顧，同時對知識進行延伸，有利于學(xué)生的學(xué)習(xí)，充分考慮到了學(xué)生學(xué)習(xí)螺旋上升的過程，符合學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律。這樣的設(shè)計更加貼近學(xué)生。因此，我方支持分開教學(xué)的觀點。
主持人：剛才正反兩方對于合并教學(xué)及分開教學(xué)進行了較為透徹的分析，兩方的觀點各有道理。你們能結(jié)合對方的不足再進行闡述一下嗎？
正方：分開教學(xué)中規(guī)范的證明過程出現(xiàn)較晚造成學(xué)生學(xué)習(xí)的困難。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中往往會出現(xiàn)推理過程書寫不合規(guī)范的情況，推理不是很嚴密。也不能把自己的思維及時表達出來，會影響學(xué)生思維的質(zhì)量。所以，我方認為還是采用合并教學(xué)好。
反方：初中學(xué)生對于合情推理中的探索過程的測量、折疊、剪切、旋轉(zhuǎn)等等猜想活動比較得心應(yīng)手，但邏輯證明能力相對較弱，合并教學(xué)就會使學(xué)生學(xué)習(xí)負擔(dān)加重。鑒于此，我方認為還是采用分開教學(xué)好。
主持人：剛才正反兩方對四邊形性質(zhì)的探索與證明的教學(xué)方式進行了充分論證與說明，都非常有道理。在具體的教學(xué)過程中，我認為要依據(jù)教材還要創(chuàng)造性使用教材，最終根據(jù)具體的學(xué)情而定選擇適合于學(xué)生學(xué)習(xí)的教學(xué)方法。
數(shù)學(xué)易“合”不易“分”
菏澤市牡丹區(qū)李莊中學(xué)????閆乃杰
省級專家褚愛華推薦：目前，新課標實驗教材有很多種不同的版本，各有特色，但是也有不盡相同的問題。閆老師通過今天的研討話題進一步思考了有關(guān)教材的很多問題，提出了自己的觀點。對此，你是否同意？教師如何駕馭和整合、使用教材，確實還有很多問題需要我們?nèi)ニ伎肌Ｎ覀兿裙餐瑏矸窒黹Z老師的見解。
指導(dǎo)教師孫道斌推薦，理由：好一個易“合”不易“分”!深切體會,真情告白，值得一讀。
看到這個作業(yè)，我心中浮現(xiàn)了好多想法，但因為自己的理論基礎(chǔ)薄弱，好多年又不寫文章了，不知道能不能把自己的想法表達出來。
我?，F(xiàn)在用的是北師大版的數(shù)學(xué)教材，對于這套教材的編寫，使用過程中發(fā)現(xiàn)了一些問題。課本中不光“關(guān)于四邊形性質(zhì)的探索與證明”存在分與和的問題，我覺得整套教材都存在分與和的問題。新課程標準強調(diào)發(fā)展學(xué)生的能力，為此，分散了所謂的“難點”，把數(shù)學(xué)知識弄的支離破碎，嚴重破壞了原有的知識系統(tǒng)，數(shù)學(xué)不同于其他學(xué)科，我認為，如今的教材，數(shù)學(xué)知識分的太零碎，這樣學(xué)生未必就能掌握的太好。
學(xué)生的推理能力包括合情推理和演繹推理能力，好像和在一起就無法發(fā)展學(xué)生的合情推理能力了，以四邊形性質(zhì)的探索與證明為例，合并教學(xué)（邊探索、邊證明）不是同樣可以發(fā)展學(xué)生的兩種推理能力嗎？比如我們學(xué)習(xí)平行四邊形時，先展示出生活中的平行四邊形，讓學(xué)生仔細觀察、思考、總結(jié)它是邊、角、對角線的性質(zhì)，自己總結(jié)出來，教師適時引導(dǎo)、糾正、鼓勵。接著下一節(jié)課就引導(dǎo)學(xué)生逐步推理驗證自己的猜想是否正確，這樣正好及時得到印證，何必要各半年甚至一年后再讓學(xué)生證明呢？
我覺得，演繹推理沒有某些專家想象的那么可怕，合情推理也遠沒有大家想的那么神秘，原來的教師也不是不注重學(xué)生的合情推理，原來教材中也有安排學(xué)生，“看一看，仔細想一想，思考思考”。好像現(xiàn)在的中考題中出現(xiàn)了“自己探索一下，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？”“這是開放性試題”等等字眼，就算注重發(fā)展學(xué)生的合情推理能力了，我覺得未必。
說了上面這么多，我做為一位一線的數(shù)學(xué)教師，就是強烈感覺到，如今的數(shù)學(xué)教材“分的太狠”“急需整合”。理由如下：
1．分散了難點，分散了知識系統(tǒng)，分散了學(xué)生的注意力。就像一塊老堿地，三天下一次雨，五天下一次雨，次次都下不透，遠不如下一次透雨對莊稼有利。
2．探索與證明分開，學(xué)習(xí)探索時，學(xué)生感覺，幾何就是猜想，不管是對還是錯。學(xué)習(xí)證明是，學(xué)生又感覺這些不是都學(xué)過了嗎。其實，合情推理與演繹推理不能骨肉分離，而是開花與結(jié)果的關(guān)系。合情推理能力，不是教師教的，也不是學(xué)生學(xué)的，是學(xué)生“悟”出來的。
3．實際上，我感覺很多教師在進行合情推理教學(xué)的同時，大都補充上了演繹推理的內(nèi)容，造成初三學(xué)證明時學(xué)生感覺是復(fù)習(xí)。
這里我有一個例子：我校兩位教師同時講授初一數(shù)學(xué)中的幾何部分，一位教師認真按照課標要求，只要求學(xué)生對知識感性認識。另一位教師，擅自提高了要求，讓學(xué)生使著書寫證明過程，并讓學(xué)生說這些規(guī)范的幾何語言?？荚嚦煽儾谎远?。后者高出很多分，最可怕的是前者班里的學(xué)生感覺幾何沒什么內(nèi)容，一塌糊涂。
合起來吧，數(shù)學(xué)不易太分！！我的觀點可能落后，但是我自己真實的觀點，請批評指正,謝謝！?。?
因材施教是關(guān)鍵
聊城東昌完全中學(xué)????李博???
省課程專家羅壽果推薦，理由：李老師結(jié)合自己的教學(xué)實踐，說出了自己的真情實感，到底是選擇“合并教學(xué)”還是“分開教學(xué)”，因材施教，適合學(xué)生發(fā)展的就是好的。相信李老師一定會成為一個學(xué)生喜歡的優(yōu)秀教師。
指導(dǎo)教師彭士超推薦，理由：真情實感 說出了自己的經(jīng)驗。
作為從教時間不超過三年的新教師，對教材的把握、了解的深度廣度遠遠不夠，所以非常感謝有這樣一個研修的機會能夠和廣大優(yōu)秀教師們交流探討，專家和指導(dǎo)老師的點評指導(dǎo)也令筆者有醍醐灌頂之感。
教學(xué)中，老師們經(jīng)常用到合并教學(xué)或分開教學(xué)兩種方式，這兩者有利有弊，合并教學(xué)的優(yōu)勢在與邏輯性強，學(xué)生反復(fù)經(jīng)歷猜想-驗證-證明的過程，夯實基礎(chǔ)；劣勢在于不能照顧到接受能力較差的學(xué)生。而分開教學(xué)的優(yōu)勢和劣勢正好與合并教學(xué)相反，對邏輯思維能力的培養(yǎng)較弱但容易讓大部分學(xué)生接受，接受后再進一步培養(yǎng)其邏輯思維能力。
個人認為，在選擇教法的時候應(yīng)“因材施教”。對于四邊形性質(zhì)的探索與證明這部分，在教學(xué)的時候采取合并教學(xué)與分開教學(xué)相結(jié)合的方式效果會更好一點。
比如平行四邊形部分，其性質(zhì)的探索與證明，就是要研究其“角”“邊”“對角線”之間的數(shù)量與位置關(guān)系，先引導(dǎo)猜想“角”再猜想“邊”最后是“對角線”，使學(xué)生逐步摸出一條明確的思路，然后教師再集中證明。期間，摸索部分可以采取小組討論的形式，證明部分則師生合作共同完成，這樣既培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性，又培養(yǎng)了其獨立思考的能力。
再比如矩形和正方形部分，大部分學(xué)生對這兩種圖形的掌握已經(jīng)相當(dāng)牢固，根據(jù)認知規(guī)律，學(xué)生已具備接受及獨立探索的能力，所以可以采用邊探索邊證明的方式進行教學(xué)。
以上僅是個人教學(xué)工作中的一些淺見，由于本人從教時間不長，還存在各種不足，真誠期待各位專家及指導(dǎo)老師指正。
智慧分享
結(jié)合勾股定理教學(xué)，談學(xué)生推理與證明能力的培養(yǎng)
謝志平
合情推理與演繹推理是中學(xué)階段兩種重要的推理方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推測某些結(jié)果，是從特殊到一般的推理，所以結(jié)論不一定可靠，但是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的推理一般都離不開合情推理。演繹推理則是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）出發(fā)，按照規(guī)定的法則證明（包括邏輯和運算）結(jié)論，是從一般到特殊的推理，所以結(jié)論一定是可靠的。中學(xué)數(shù)學(xué)的每一個領(lǐng)域都有培養(yǎng)學(xué)生推理能力的任務(wù)，也都在實現(xiàn)著這一價值，不是只體現(xiàn)在幾何證明中，雖然不可否認的是幾何證明確實在發(fā)展學(xué)生合情推理與演繹推重方面起著重要的作用。下面我結(jié)合詹紅霞老師的勾股定理的教學(xué)設(shè)計來談一談如何培養(yǎng)學(xué)生推理與證明能力。
勾股定理是在學(xué)生已經(jīng)掌握了直角三角形有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上進行學(xué)習(xí)的。在教材中起到承上啟下的作用，為下面學(xué)習(xí)勾股定理的逆定理作了鋪墊，為以后學(xué)習(xí)“四邊形”和“解直角三角形”奠定基礎(chǔ)。勾股定理的探索和證明蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想和科學(xué)研究方法，是培養(yǎng)學(xué)生具有良好思維品質(zhì)的載體。勾股定理以其簡潔優(yōu)美的形式，豐富深刻的內(nèi)涵刻畫了自然界的和諧統(tǒng)一，是數(shù)與形結(jié)合的優(yōu)美典范。所以在教學(xué)中突出合情推理與演繹推理二者的結(jié)合。
學(xué)生經(jīng)過一年半的幾何學(xué)習(xí)，幾何圖形的觀察、幾何證明的理性思維能力已初步形成。但是學(xué)生生活經(jīng)驗積累較少，缺乏嚴謹?shù)倪壿嬐评砟芰ΑＫ栽谔剿鞴垂啥ɡ頃r，主要通過直觀的圖形，利用合情推理觀察歸納獲得結(jié)論；再利用學(xué)生樂于接受的拼圖法去驗證勾股定理?！安僮鳎伎肌钡姆绞椒习四昙墝W(xué)生認知水平，適應(yīng)其思維發(fā)展規(guī)律及心理特征。
附：詹紅霞老師的教學(xué)設(shè)計
教學(xué)過程
問題與情景
設(shè)計意圖
課前探究知識儲備
請各個學(xué)習(xí)小組從網(wǎng)絡(luò)或書籍上，盡可能多的尋找和了解驗證勾股定理的方法，并填寫探究報告。
《勾股定理證明方法探究報告》
方法種類及歷史背景
驗證定理的具體過程
知識運用及思想方法
查有關(guān)勾股定理的資料，這樣可使學(xué)生在上這節(jié)課前就對勾股定理歷史背景有一定的了解。同時培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力及歸類總結(jié)能力。有了課前充足的知識儲備，學(xué)生充滿自信地迎接新知識的挑戰(zhàn)。
設(shè)置懸念引出課題
請同學(xué)們觀看視頻和圖片。
提問：為什么我國科學(xué)家向太空發(fā)射勾股圖試圖與外星人溝通？
為什么把這個圖案作為2002年在北京召開第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會徽？——引出課題《勾股定理》
“問題是思維的起點”，用一段生動有趣的動畫，點燃學(xué)生的求知欲，以景激情，以情激思，引領(lǐng)學(xué)生進入學(xué)習(xí)情境，使學(xué)生帶著疑問進行教學(xué)。同時為探索勾股定理提供背景材料，進而引出課題。
畫圖實踐大膽猜想
沿著先人的足跡，開始勾股定理的探索之旅。
活動一：畢達哥拉斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家。相傳在2500年以前，他在朋友家做客時，發(fā)現(xiàn)朋友家用地磚鋪成的地面反映了直角三角形的三邊的某種數(shù)量關(guān)系。
（1）同學(xué)們，請你也來觀察下圖中的地面，看看能發(fā)現(xiàn)些什么？
地面 圖18.1-1
（2）你能找出圖18.1-1中正方形A、B、C面積之間的關(guān)系嗎？
（3）圖中正方形A、B、C所圍等腰直角三角形三邊之間有什么特殊關(guān)系?
出示畢達哥拉斯做客故事，提出問題。學(xué)生獨立思考，觀察隱藏的規(guī)律，提出猜想：等腰直角三角形三邊滿足關(guān)系。
教學(xué)活動從“數(shù)小方格”開始，起點低、趣味性濃，照顧了各個知識層面的學(xué)生，有利于實現(xiàn)“每一個學(xué)生的發(fā)展”。這樣的設(shè)計能讓學(xué)生在輕松的偉人故事中積極參與對數(shù)學(xué)問題的討論和探索?？此破降瓱o奇的現(xiàn)象有時卻隱藏著深刻的道理。激勵學(xué)生用心觀察，帶領(lǐng)學(xué)生情緒激昂的繼續(xù)探索。
（觀察歸納，發(fā)展合情推理能力）
畫圖實踐大膽猜想
由等腰直角三角形中的發(fā)現(xiàn)，進一步提問：是否其余的直角三角形也有這個性質(zhì)呢？學(xué)生們展開
活動二：在方格紙上，畫一個頂點都在格點上的直角三角形；并分別以這個直角三角形的各邊為一邊向三角形外作正方形，（四人小組每組成員所畫圖形相同，派小組代表前臺投影展示）
（1）以斜邊為邊的正方形面積可以怎樣求？
（2）三個正方形面積有何關(guān)系？
（3）直角三角形三邊長有何關(guān)系？
（4）請大膽提出你的猜想。
學(xué)生在網(wǎng)格紙上按要求畫圖，然后回答給出的問題。
分以下幾步引領(lǐng)：
1．先讓學(xué)生獨立畫圖，要求小組內(nèi)同學(xué)所畫圖形相同，便于組內(nèi)交流。
2．小組內(nèi)共同探索計算A、B、C的面積，求以斜邊為邊的正方形面積是難點，此處正是學(xué)生互相學(xué)習(xí)，充分交流的好時機，在此要給學(xué)生探索的時間與空間。
3．小組代表前臺投影展示本組猜想結(jié)果，學(xué)生有了畫圖的親身體驗，對猜想結(jié)果印象深刻。每組所畫圖形不同，但探究猜想結(jié)果相同。
（歸納猜想，發(fā)展合情推理能力）
進一步追問：
是否任意直角三角形三邊都滿足此關(guān)系？
用幾何畫板直觀演示。將探究活動進一步深化，從而擴展到更一般的情況。利用幾何畫板的高效性、動態(tài)性反映這一過程，形象直觀，學(xué)生的印象也更深刻。
（借助幾何畫板進一步培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力）
由學(xué)生歸納，得出命題：如果直角三角形的兩直角邊長分別為，，斜邊長為，那么
盡管學(xué)生可能講的不完全正確，但對于培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)語言進行抽象、概括的能力是有益的，同時讓學(xué)生經(jīng)歷前人發(fā)現(xiàn)這一結(jié)論時大致相同的思考過程，讓學(xué)生在長知識的同時，也長了智慧。
學(xué)生經(jīng)歷特殊到一般的合情推理過程。
動手拼圖定理證明
設(shè)問：這是個真命題嗎？
活動三：現(xiàn)有四個全等的直角三角形，兩直角邊為、，斜邊為，請同學(xué)們動手拼一拼。
（1）請用盡可能多的方法拼成一個正方形；
（2）請從你拼的圖形中驗證；
分以下幾步展開活動：
1．先讓學(xué)生拼圖游戲；
2．讓學(xué)生從拼圖中通過面積找到；
3．小組代表前臺展示本組驗證過程。
本環(huán)節(jié)使學(xué)生認識到證明的必要性。通過學(xué)生動手拼圖的探究和交流，發(fā)現(xiàn)利用代數(shù)觀點證明幾何問題的思路，同時證明過程體現(xiàn)步步有據(jù)。
學(xué)生體驗由一般到特殊的演繹推理過程。
繼續(xù)追問：
你還有別的方法來驗證這個結(jié)論嗎？（請把你探究報告中了解的方法與大家一起分享）
介紹課本提到的趙爽弦圖。趙爽用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一樹立了一個典范。這種證法不是最簡單的，但向?qū)W生滲透證明思想對以后的學(xué)習(xí)是很重要的。有了課前探究報告中的知識儲備，在老師帶領(lǐng)下學(xué)生非常積極的展示了畢達哥拉斯證法、美國總統(tǒng)證法。
動手拼圖定理證明
學(xué)生們不僅建構(gòu)自己對知識的了解，而且在欣賞自己作品的同時感到成功的喜悅。勾股定理的證法有三百多中，學(xué)生查閱到的比較集中的方法有十多種。此處沒有全部展開，讓學(xué)生把更多方法寫到探究報告中。
探古博今感知勾股
被證明為正確的命題稱為定理
勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為、，斜邊長為，那么。
分以下幾步介紹勾股定理
1．請學(xué)生講述自已知道的有關(guān)勾股定理的小故事
2．呼應(yīng)課前引入的懸念
3．展示圖片介紹勾股定理的歷史背景及應(yīng)用
學(xué)生講解搜集的資料，豐富了學(xué)生的背景知識，體現(xiàn)自主的學(xué)習(xí)方式。此后介紹我國古代數(shù)學(xué)家關(guān)于勾股定理的研究，呼應(yīng)課前引入的懸念，對學(xué)生進行愛國主義教育，激勵學(xué)生強烈的民族自豪感和奮發(fā)向上的學(xué)習(xí)精神。欣賞豐富多彩的數(shù)學(xué)文化，展示不同文化背景下的勾股定理的應(yīng)用，共同為全人類的偉大發(fā)現(xiàn)而驕傲。
學(xué)以致用體會美境
課件展示練習(xí)：
（1）求下圖中字母所代表的正方形的面積。
（2）求下列圖中表示邊的未知數(shù)x、y的值。
（3）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，則正方形A，B，C，D的面積之和為__ _cm2。
（4）幾何畫板演示運動的勾股樹。
練習(xí)設(shè)計上立足于鞏固，著眼于發(fā)展，同時兼顧差異，滿足部分同學(xué)渴望發(fā)展的要求。第1題第2題是基礎(chǔ)訓(xùn)練，第3題變式為中考試題，由中考試題引出美麗勾股樹，最后用幾何畫板演示運動的勾股樹，讓學(xué)生驚嘆奇妙的數(shù)學(xué)之美。數(shù)學(xué)教學(xué)變得生機勃勃，我們的學(xué)生就會喜歡數(shù)學(xué)，熱愛數(shù)學(xué)。
總結(jié)升華
完善報告
1.總結(jié)收獲：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，大家有什么收獲？有什么疑問？你還有什么想要繼續(xù)探索的問題？
2.結(jié)束寄語：
牛頓——從蘋果落地最終確立了萬有引力定律
我們——從朝夕相處的三角板發(fā)現(xiàn)了勾股定理
雖然兩者尚不可同日而語
但探索和發(fā)現(xiàn)——終有價值
也許就在身邊
也許就在眼前
還隱藏著無窮的“萬有引力定律”和“勾股定理”……
祝愿同學(xué)們——
修得一個用數(shù)學(xué)思維思考世界的頭腦
練就一雙用數(shù)學(xué)視角觀察世界的眼睛
開啟新的探索——
發(fā)現(xiàn)平凡中的不平凡之謎……
不只是對課堂內(nèi)容的簡單回顧，還是對所用數(shù)學(xué)思想、方法的總結(jié)。強調(diào)本節(jié)課的重點內(nèi)容，注重知識體系的形成，培養(yǎng)學(xué)生回顧反思的良好習(xí)慣。通過結(jié)束寄語激勵學(xué)生修得一個用數(shù)學(xué)思維思考世界的頭腦，練就一雙用數(shù)學(xué)視角觀察世界的眼睛，發(fā)現(xiàn)平凡中的不平凡之謎……
總結(jié)升華
完善報告
3.拓展型作業(yè)：
把今天數(shù)學(xué)課的感受寫進探究報告中，并發(fā)揮你的聰明才智，去探索、研究勾股定理，你又有什么新的發(fā)現(xiàn)？
下節(jié)課展示交流探究報告。
作業(yè)這樣設(shè)計是為了把課前探究報告完善，課內(nèi)知識向課外知識延伸，打開學(xué)生思路，給學(xué)生提供更為廣闊的空間，引領(lǐng)學(xué)生繼續(xù)探索，從而讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人。另外也為下節(jié)課的教學(xué)奠定基礎(chǔ)。
精彩回眸
由研修話題引發(fā)的思考
?濟南第五十一中學(xué) 楊繼明
今天這個話題，我們應(yīng)該拓展開來講，不僅僅局限于四邊形性質(zhì)的探索與證明的教學(xué)方式問題。
觀點1：從直觀幾何到論證幾何不能武斷為螺旋上升
北師版課標教材空間與圖形領(lǐng)域是引發(fā)爭論最多的部分，其爭論的焦點是何時引入證明的問題，我認為教材問題的根源是對螺旋上升的原則運用的過于形式化和表面化，沒有充分認清直觀幾何與論證幾何的辯證關(guān)系。在幾何發(fā)展史中，直觀先于論證，論證統(tǒng)領(lǐng)直觀，但不是說歐基里德之后幾何才有證明，直觀的背后一直存在著理性的思考。而且應(yīng)該警覺的是，經(jīng)過教育學(xué)加工的幾何，直觀幾何與論證幾何是同一事物的兩個不同的側(cè)面，而不要簡單的看成是兩個不同的層次，有高層次的直觀，也有低層次的論證，所以從直觀幾何到論證幾何不能簡單的武斷為螺旋上升。這兩個不同的側(cè)面應(yīng)該是犬牙交錯的雙螺旋，他們的起點可以不同，但決不能相隔太遠，它們應(yīng)該相輔相成，共同發(fā)展。從這個觀點上看，論證幾何的起點至少要提前到八年級上學(xué)期，才能更加有效的促進學(xué)生合情推理和邏輯推理的共同發(fā)展。
觀點2：“四邊形”在初中幾何中的地位和作用發(fā)生了重大改變
在現(xiàn)行的六個主要版本的初中數(shù)學(xué)教材中，四邊形的教學(xué)內(nèi)容除人教版外都有不同程度的分章學(xué)習(xí)現(xiàn)象（見表1），雖然在不同版本中的具體表現(xiàn)略有不同，但“關(guān)于四邊形性質(zhì)的探索與證明的關(guān)系的問題”還是相當(dāng)具有普遍意義的。
版本
四邊形首次出現(xiàn)
實驗幾何到論證幾何 的轉(zhuǎn)折
四邊形二次出現(xiàn)
華師
八上第16章平行四邊形的認識
16.1平行四邊形的性質(zhì)
16.2矩形、菱形與正方形的性質(zhì)
16.3梯形的性質(zhì)
八下第19章 全等三角形
19.1命題與定理
19.2全等三角形的判定
19.4逆命題與逆定理
八下第20章 平行四邊形的判定
20.1平行四邊形的判定20.2矩形的判定20.3菱形的判定20.4正方形的判定
北師
八上第4章四邊形性質(zhì)探索
4.1平行四邊形的性質(zhì)4.2平行四邊形的判別4.3菱形4.4矩形、正方形
八下第6章證明（一）
6.1你能肯定嗎6.2定義與命題
6.3為什么它們平行
九上第3章證明（三）
3.1平行四邊形
3.2特殊平行四邊形
冀教
八下第22章四邊形
22.1平行四邊形的性質(zhì)
22.2平行四邊形的識別
22.4矩形22.5菱形正方形
八下第24章命題與證明（1）
24.1命題 24.2命題的證明
24.3平行線的判定定理
24.4平行線的性質(zhì)定理
九上第32章命題與證明（2）
32.2平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理及其證明；32.3矩形、菱形的性質(zhì)定理和判定定理及其證明
魯教
七下第九章四邊形性質(zhì)探索
1.平行四邊形的性質(zhì)2.平行四邊形的判定3.菱形4.矩形、正方形
八上第三章 證明（一）
1.定義與命題2.證明的必要性
3.公理與定理
八下第八章 證明（三）
1.平行四邊形2.特殊平行四邊形
3.等腰梯形 4.中位線定理
浙教
八下第5章 平行四邊形
5.3平行四邊形的性質(zhì)5.5平行四邊形的判定5.7逆命題和逆定理
八下第4章 命題與證明
4.1定義與命題 4.2證明
4.3反例與證明 4.4反證法
八下第6章 特殊平行四邊形
6.1矩形 6.2菱形 6.3正方形 6.4梯形
人教
八上第13章 全等三角形
13.1全等三角形 13.2三角形全等的條件 閱讀與思考為什么要證明
八下第19章　四邊形
19.1平行四邊形 19.2特殊的平行四邊形 實驗與探究 巧拼正方形
幾何知識的學(xué)習(xí)，一般有兩條主線：明線是幾何知識的展開與學(xué)習(xí)；暗線是空間觀念的發(fā)展和推理論證能力的提高．而推理論證能力的提高向來是幾何教學(xué)的主要難點之一，與原大綱相比，新課程標準大大降低了對幾何論證難度的要求，主要表現(xiàn)在如下三個方面：
一是對證明的定位有較大改變，要求“理解證明的必要性；體會證明的過程要步步有據(jù)，感受幾何的演繹體系對數(shù)學(xué)發(fā)展和人類文明的價值” 。并不追求掌握大量的結(jié)論和證明的技巧；二是減少了作為“證明依據(jù)”的條目，只需要掌握和平行線、全等三角形相關(guān)的4條基本原理；三是大大減少了需要證明的命題，歸結(jié)為8個條目，特別是消減了相似形和圓的有關(guān)證明。
上述的安排，直接使“四邊形”在初中幾何中的地位和作用發(fā)生了重大改變，它成了在三角形之后唯一一個需要證明的較復(fù)雜幾何模型。需要特別指出的是：全等變換是歐式幾何的本質(zhì)特征，全等三角形理論是歐式幾何的基本工具，在此基礎(chǔ)上，對“四邊形”的研究具有“問題解決”的特征，四邊形要在發(fā)展空間觀念和提高推理論證能力上擔(dān)負起更多的責(zé)任，這是我們對“四邊形地位與作用”的基本認識。也是把四邊形分章安排的原始動因之一。
各版本教材在充分理解課程標準意圖的基礎(chǔ)之上，追尋人類幾何學(xué)史的發(fā)展邏輯，借鑒最新的課程理論和學(xué)習(xí)理論，對初中幾何體系做出了創(chuàng)造性安排。有兩個關(guān)鍵詞可以體現(xiàn)這種安排：
①螺旋上升；
②實驗幾何到論證幾何。
這兩個關(guān)鍵詞恰好是四邊形分章學(xué)習(xí)的直接依據(jù)。這一點在北師、冀教、魯教三個版本中體現(xiàn)最為明顯，他們都是對四邊形先進行了全面的、但淺層的、感性的認識，然后經(jīng)歷一個消化吸收階段后，再安排深層的理性認識，這是符合人類認知規(guī)律的科學(xué)安排；華師和浙教兩個版本在遵循上述原則的基礎(chǔ)上，可能還有自己更多的考慮：華師版主要看到了圖形性質(zhì)定理與判定定理的區(qū)別以及學(xué)生在集中學(xué)習(xí)這些定理時所遇到的困難；浙教版主要看到了四邊形體系的復(fù)雜性，從而先集中學(xué)習(xí)平行四邊形，過一個階段后再學(xué)特殊平行四邊形。各版本教材的苦心安排，為全體學(xué)生順利學(xué)習(xí)四邊形，達到課程標準對幾何學(xué)習(xí)的培養(yǎng)目標提供了可能性。
從表1可以看出，各版本教材在對四邊形進行分章學(xué)習(xí)的同時，幾乎都在兩章之間安排了一個在幾何中承上啟下的章節(jié)，即“實驗幾何到論證幾何的轉(zhuǎn)折”這個章節(jié)．這一章很像數(shù)學(xué)史上歐幾里德幾何產(chǎn)生前后的狀況，歐式幾何利用幾條基本原理把前人發(fā)現(xiàn)的幾何知識串聯(lián)起來，組成一個嚴密的演繹體系．本章對認識證明的必要性，了解作為證明基礎(chǔ)的定義、命題、定理等非常重要，體現(xiàn)了《課標》“要把證明作為探索活動的自然延續(xù)和必要發(fā)展”這一課程理念.本章的安排，策應(yīng)了四邊形的分章學(xué)習(xí)，四邊形的分章學(xué)習(xí)也使這個轉(zhuǎn)折章節(jié)獲得了一個最佳位置，使幾何體系具有了靈魂和內(nèi)在邏輯．
闡明觀點：在各版本的安排中，我個人比較推崇浙教版先集中學(xué)習(xí)平行四邊形，過一個階段后再學(xué)特殊平行四邊形的方式．即我支持兩種教學(xué)方式的適當(dāng)整合，把四邊形分階段后探索一塊證明一塊。
觀點3：四邊形分章學(xué)習(xí)引發(fā)的問題及其對策
綜上所述，在新課程標準的理念和要求之下，對四邊形的分章學(xué)習(xí)有其一定的必然性，但分章學(xué)習(xí)引發(fā)的最大問題是二次學(xué)習(xí)時學(xué)生已經(jīng)忘記了首次學(xué)習(xí)時的內(nèi)容，這一點在北師版教材中體現(xiàn)的特別明顯，怎樣做才能更好的發(fā)揮教科書的設(shè)計思想，圓滿完成教學(xué)任務(wù)呢？
對策分析：
1. 四邊形首次學(xué)習(xí)時堅持做中學(xué)、不要用輸灌和推理論證代替學(xué)生的操作和體驗
一般認為，四邊形兩個章節(jié)的學(xué)習(xí)方法和教學(xué)目的都是不相同的．首次學(xué)習(xí)，即經(jīng)驗學(xué)習(xí)階段，應(yīng)強調(diào)數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累和直觀感受的獲得，堅持做中學(xué)，利用模型制作、測量、簡單說理等手段獲得有關(guān)四邊形的基本結(jié)論，最好讓學(xué)生達到這些“結(jié)論”非這樣不可的程度，千萬不要用教師的輸灌和推理論證代替學(xué)生的操作和體驗．直觀體驗的親身性和明晰性，是二次學(xué)習(xí)時順利回憶和強化理解的源泉．
2. 有意識的提前復(fù)習(xí)，與遺忘現(xiàn)象作斗爭
遺忘現(xiàn)象是自然規(guī)律，及時復(fù)習(xí)是增加記憶與理解的重要手段．由于學(xué)生的學(xué)習(xí)任務(wù)比較繁重，教師的教學(xué)習(xí)慣一般是當(dāng)時教什么，就布置什么內(nèi)容的作業(yè)，實際上這一習(xí)慣可以適當(dāng)改變一下，作業(yè)中既應(yīng)該有鞏固性習(xí)題，也應(yīng)該適時布置一些復(fù)習(xí)性習(xí)題，特別是需要銜接的那些知識，應(yīng)該有意識的提前復(fù)習(xí)．比如四邊形二次學(xué)習(xí)的前幾周或前幾天，讓學(xué)生有計劃的回憶四邊形首次學(xué)習(xí)的內(nèi)容，這樣就可以在少浪費課時的情況下，得到良好的教學(xué)效果．
3. 強化“實驗幾何到論證幾何”轉(zhuǎn)折章節(jié)的學(xué)習(xí)，提升對幾何的整體認識
在各版本教材中，轉(zhuǎn)折章節(jié)都是在前面對幾何結(jié)論已經(jīng)有了一定的直觀認識的基礎(chǔ)上編排的，基本屬于幾何證明階段的第一步，主要介紹幾何證明中的一些基本概念，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)證明的興趣和掌握綜合證法的信心.需要闡明的是：本章的任務(wù)有局部和全局之分，從局部來看，這一章安排的知識并不是很難，大部分學(xué)生都能比較順利的掌握；但是從幾何教學(xué)的全局來看，轉(zhuǎn)折章節(jié)要擔(dān)負起理解幾何精神、對幾何有一個整體認識的重任.轉(zhuǎn)折章節(jié)全局觀下的任務(wù)是否可以包括：了解幾何的演繹體系，盡可能把知識進行串聯(lián)，優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)；了解幾何的主要研究對象，主要工具和方法；有意識滲透一點邏輯學(xué)的基本知識，合乎邏輯的思考和展開論證等任務(wù).即強化“實驗幾何到論證幾何”轉(zhuǎn)折章節(jié)的學(xué)習(xí)，提升對幾何的整體認識.在這里，我們有很多機會讓學(xué)生自然地回顧四邊形首次學(xué)習(xí)的那些命題和逆命題.本章的充分甚至過度學(xué)習(xí)，可以使我們在更高的觀點上學(xué)習(xí)和掌握四邊形二次學(xué)習(xí)的相關(guān)內(nèi)容，這樣處理的效果應(yīng)該優(yōu)于把四邊形一股腦全學(xué)完的效果．
最后，再次提醒我們的老師，學(xué)生在幾何知識的學(xué)習(xí)過程中，遇到的困難要超乎我們的武斷和想象，與代數(shù)相比，學(xué)生更不能自發(fā)的學(xué)好幾何，幾何的學(xué)習(xí)，更加依賴于教師自身對幾何的理解和教學(xué)藝術(shù)．所以，當(dāng)我們遇到教材編排方面的困惑時，應(yīng)該研讀課程標準的要求，領(lǐng)會教材的編寫意圖，搭建教材和學(xué)生之間的橋梁，以幫助學(xué)生順利達成課程目標，而不能僅限于困惑和埋怨。
研修感言
培訓(xùn)有感
曹縣實驗中學(xué) 鄭素敏
的確暑期教師遠程研修是現(xiàn)代教育手段下，促進教師學(xué)習(xí)和專業(yè)成長的有效平臺，加強了教師間、教師與專家之間思想與思想、方法與方法的交流。通過幾天學(xué)習(xí)特別是帶著問題學(xué)習(xí)，建立自己的學(xué)習(xí)資源庫，通過研修切實解決影響教育教學(xué)的突出問題。深深體會到研修對實現(xiàn)個人的專業(yè)成長的重要性。
我們一定在網(wǎng)絡(luò)寬闊的海洋里去汲取同伴們、專家團隊們新生成的、有價值的知識。珍惜這次學(xué)習(xí)機會，認真學(xué)習(xí)，積極思考，主動交流，深入鉆研，不斷地提高自身素質(zhì)和教育教學(xué)能力,努力提高自己的教學(xué)水平。
研修學(xué)習(xí)有感
曹城街道辦事處中學(xué) 高會生
我們已經(jīng)學(xué)習(xí)三天了，老師們都學(xué)習(xí)的非常認真。我們學(xué)校的老師每天上午8點準時到學(xué)校集合，在自己的教研組集中收看視頻，并進行研討交流，各自發(fā)表自己的學(xué)習(xí)心得，不管是老教師還是中青年教師都能認真的進行學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)積極性非常高漲。收獲很大，同時，我每次都能及時的完成自己的作業(yè)，學(xué)習(xí)效果不錯，領(lǐng)導(dǎo)給我們提供這樣的學(xué)習(xí)平臺真是是太好了，在以后的幾天里我會更加努力學(xué)習(xí)的。
學(xué)員心聲
乳山市怡園中學(xué) 東 靜
通過學(xué)習(xí)，感覺自己的業(yè)務(wù)能力在逐漸的提升，以后有這樣的學(xué)習(xí)機會一定還參加，使自己成為一個理論與實踐相結(jié)合的老師。
平陰縣第四中學(xué) 柏麗華
今天下午一直在閱讀我們的數(shù)學(xué)課程簡報。真的太好了，三個小時一動沒動。專家們的精辟論述、培訓(xùn)老師們的精彩點評、被推薦的精彩之作，都深深地吸引著我，尤其是我們濟南數(shù)學(xué)六班和謝經(jīng)湯老師每期都榜上有名，我為是濟南數(shù)學(xué)六班的一員而自豪！感謝各位專家，感謝謝經(jīng)湯老師和趙鵬老師，你們辛苦了！
青島市嶗山區(qū)第三中學(xué) 周建
看完簡報，收獲很大。專家和同行們對如何提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)習(xí)主動性的論述，很受啟發(fā)。尤其是褚愛華老師對學(xué)生數(shù)學(xué)水平劃分的四個層次，以及針對這些學(xué)生的轉(zhuǎn)化方法，獲益匪淺。
平度市郭莊鎮(zhèn)郭莊中學(xué) 陳希德
迫不及待的打開簡報，當(dāng)一篇篇帶著熱氣的文章?lián)涿娑鴣頃r，整個人像被融化了。太深刻了，太巧妙了，太有才了，太形象了， 太有說服力了，太令人驚嘆了……
平陰縣店子中學(xué) 杜廣軍
在農(nóng)村中學(xué)任教一十六載，每次大的教育改革，都是令我激動不已，如2001年開始的新課程改革、教師的集中培訓(xùn)，動用了大量的人力、財力，教師們更是四處奔波，去各地學(xué)習(xí)，那時看見電腦就覺得很稀罕。今年的遠程教育培訓(xùn)，更是體現(xiàn)了我們國家經(jīng)濟的巨大發(fā)展，10年來，我們農(nóng)村中學(xué)也有了校園網(wǎng)，教師們也是個個有電腦，雖遠隔千里，但同行們就像在一個班里，你說我學(xué)，共同提高，還有省級專家予以輔導(dǎo)，呵呵，快哉！！
膠南市第六中學(xué) 魏宗寶
火熱的八月，我們聚在網(wǎng)際的兩端，在研修的舞臺上，用那跳動的鍵盤，寬廣的網(wǎng)絡(luò)，記錄著我們揮灑的熱情，共同飽覽研修道路上的美麗風(fēng)景，收獲幸福，收獲友誼，收獲快樂，收獲希望。
膠南市瑯琊鎮(zhèn)中心中學(xué) 吳云華
讓我們把握現(xiàn)在：從現(xiàn)在開始，認認真真地完成每一份自己的作業(yè)；從現(xiàn)在開始，認認真真地做好每一項自己的工作；從現(xiàn)在開始，讓我們不斷地從成功走向成功。
即墨市通濟中學(xué) 周春麗
通過閱讀其他老師對教學(xué)的觀點和方法，使我對教材處理，課堂教學(xué)和學(xué)生思維興趣的培養(yǎng)等方面都有了新的認識和提高，這些收獲，只憑借自己埋頭教學(xué)是無法得到的。所以作為一名一線上的教師，一定要多走出去看看學(xué)學(xué)，豐富自己的教學(xué)方法，在以后的教學(xué)中更好的服務(wù)與學(xué)生，也能更好的提高教學(xué)質(zhì)量。
每日之星

學(xué)員每日之星
評選標準：作業(yè)被指導(dǎo)教師推薦，并且積極參加交流討論，得到大家認可。
利津縣鹽窩鎮(zhèn)中心學(xué)校 王建民 評論數(shù)140
鄒平縣實驗中學(xué) 張海英 評論數(shù)122
菏澤市牡丹區(qū)二十一中學(xué) 田 云 評論數(shù)111
膠南市第四中學(xué) 王教福 評論數(shù)101
文登市葛家中心校 呂世友 評論數(shù)96
文登初級實驗中學(xué) 姚歌麗 評論數(shù)92
山東省青島第四十七中學(xué) 徐 坤 評論數(shù)84
山東省青島第五十九中學(xué) 李 穎 評論數(shù)81
膠州市第十五中學(xué) 王 芳 評論數(shù)79
山東省青島第五十中學(xué) 趙 英 評論數(shù)75
菏澤市牡丹區(qū)李莊中學(xué) 閆乃杰 評論數(shù)73

指導(dǎo)教師每日之星
指導(dǎo)教師
評論數(shù)
推薦數(shù)
張懷山
798
23
王厚濤
831
18
吳志城
580
20
姚桂菊
533
22
謝經(jīng)湯
541
21
王世明
448
24
祝學(xué)昌
484
22
吳學(xué)峰
481
22
李樹良
479
22
陳玉華
577
17

班級關(guān)注度統(tǒng)計
班 級
學(xué)員數(shù)
作業(yè)數(shù)
資源數(shù)
關(guān)注度
青島市初中數(shù)學(xué)15班
92
364
0
214
青島市初中數(shù)學(xué)1班
89
356
3
163
青島市初中數(shù)學(xué)17班
93
372
1
153
青島市初中數(shù)學(xué)22班
96
380
0
150
青島市初中數(shù)學(xué)18班
92
364
0
147
菏澤市初中數(shù)學(xué)7班
80
308
1
145
青島市初中數(shù)學(xué)24班
93
372
0
145
青島市初中數(shù)學(xué)25班
90
356
2
142
青島市初中數(shù)學(xué)13班
94
375
0
139
青島市初中數(shù)學(xué)14班
93
369
2
138

優(yōu)秀班級簡報鏈接
青島市4班 簡報第6期 —— 真情告白！
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-4195
濱州1班 簡報
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-4116
威海數(shù)學(xué)2班 簡報第5 期
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-4153
東營數(shù)學(xué)1班簡報 享受研修每一天
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-3707
濟南數(shù)學(xué)一班 簡報第五期
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-4046
青島7班 簡報
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-3896
濰坊4班 簡報第6期 盛夏的收獲
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-4132
青島13班 簡報第四期
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-3920
青島14班 簡報第四期
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-3519
青島15班 簡報第八期 曬曬我們的成果
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-3863
濟南5班 簡報第四期
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-3617
棗莊數(shù)學(xué)1班 簡報第四期
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-4101
棗莊數(shù)學(xué)2班 簡報第四期
http://cz2010.qlteacher.com/Article/view/25971
濰坊7班 簡報第四期
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-4235
菏澤9班 簡報第8期 研修紀實
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-3836
菏澤6班 簡報第5期 點燃夢想，收獲希望
http://cz2010.qlteacher.com/ClassBriefing/view-3633

展開更多......

收起↑