資源簡介

統計與概率
（一）數據的收集。
數據的收集方式有全面調查和抽樣調查；
（二）總體、個體、樣本、樣本容量。
總體是指所要考察對象的全體，組成總體的每一個對象叫做個體；從總體中抽取的一部分用于調查的個體叫樣本。
樣本中所含個體的數目叫樣本容量。
（三）頻數與頻率。頻數是統計各組內含數據的個數。頻率是指每個小組的頻數與數據總數的比值。頻率反映了各組頻數的大小在總數中所占的份量。所有頻數之和等于數據總數，所有頻率之和等于1 。
（四）統計圖的選擇
條形統計圖能夠顯示每組中的具體數據；2、扇形圖能夠顯示部分在總體中所占的百分比；3、折線圖能夠顯數據的變化趨勢；4、直方圖能夠顯數據的分布情況。
（五）數據的特征
1、平均數
　　(1)如果有n個數x1，x2，…，xn，則叫這n個數的平均數．
　　(2)求平均數的常用方法
　　設所給出的n個數據x1，x2，x3，…，xn－1，xn，求它們的平均數．
　　
①基本方法：
②新數據法：當x1，x2，…，xn－1，xn數據較大時，選擇一個與這些數比較接近的數a，
令先計算這組新數據x1′，x2′，…，x′n的平均數
③加權法：若x1出現f1次，x2出現x2次，…，xk出現fk次，且f1＋f2＋…＋fk=n，
則．
　　④新數據加權法：新數據同②，若x1′出現f1次，x′2出現f2次，……出現fk次，
且f1＋f2＋…＋fk=n． ．
2、中位數、眾數、極差
　　(1)中位數：將一組數據按大小依次排列，把處在正中間位置的一個數據(或最中間兩個數據的平均數)叫這組數據的中位數．
　　(2)眾數：在一組數據中，出現次數最多的數據叫這組數據的眾數．
　　(3)極差：一組數據的最大數與最小數據之差．
3、方差、標準差
　　(1)方差：樣本中各數據與樣本平均數的差的平方的平均數叫樣本方差．
　　(2)標準差：樣本方差的算術平方根叫做樣本標準差．
　　(3)求方差的方法
　　①設n個數據x1，x2，…，xn的平均數為，則其方差
　　②當數據比較大時，仿前面選擇一個適當的常數a，得一組新數據，則方差．
　　(4)樣本方差和樣本標準差都是衡量一個樣本波動大小的量，樣本方差或標準差越大，樣本數據波動越大．
4、基本規律
　　(1)反映一組數據的集中程度的統計量主要有平均數、中位數、眾數這三種；而反映一組數據的離散程度的統計量有極差、方差、標準差三種，在對一組數據進行分析時，要考慮到分析的目的，再來選擇合適的統計量來作出合理的分析，為正確的決策提供依據．
　　(2)統計在日常生活中得到最廣泛的應用，在利用統計的結果進行估計總體或利用統計的結果進行決策時要注意決策的目的和決策的實際意義．
（三）概率
　　(1)事件按發生可能性的大小分為不可能事件、必然事件和隨機事件．
　　(2)事件發生的可能性的大小可以用概率來衡量．
　　(3)獲取某一事件發生的概率的大小的方法有實驗法和分析法．
　　(4)概率的計算法為列表法和畫樹狀圖法；在計算概率時，我們關注的是所有機會均等的結果和我們所關注的結果，求出后者與前者的比值，從而求出某一事件的概率；通過用替代物模擬實驗獲取概率，應注意實驗次數對概率的準確性的影響，實驗次數越多，得到的實驗數據與實際就越接近．
二、典型例題剖析
例1、為了了解一批電視機的壽命，從中抽取100臺電視機進行試驗，這個問題中的樣本是（　）
A．這批電視機的壽命 B．抽取的100臺電視機
C．100 D．抽取的100臺電視機的壽命
分析：
　　本題考查的對象是電視機的壽命，故排除B、C，而A說法反映的是電視機總體的壽命，不是樣本電視機的壽命，也應排除．
答案：D
例2、某省有7萬名學生參加畢業會考，要想了解這7萬名學生的數學成績，從中抽取了1000名學生的數學成績進行統計分析，以下說法正確的是（　）
A．這1000名學生是總體的一個樣本 B．每位考生的數學成績是個體
C．7萬名考生是總體 D．1000名考生是樣本容量
分析：
　　總體是7萬名考生的數學成績的全體，故C項錯誤，樣本應是1000名考生的數學成績，所以A項錯誤，而樣本容量只是個數據，不帶單位，則D項也錯．
答案：B
例3、第十屆全國青年歌手大獎賽的12位評委為某位歌手打分的情況如下：(單位：分)
則下列結論不正確的是（　）
A．這組數據的眾數為98.5 B．這組數據的中位數為98.2
C．這組數據的中位數為98.1和98.3 D．去掉一個最高分99.2，去掉一個最低分96.5，
這位歌手的最后平均得分為98.12分
分析：
　　本題中98.5出現次數最多是眾數，故A項正確；將這組數據按從小到大排列，由于12個數據，屬偶數個數，則正中間兩個數的平均數為中位數；取第6，7兩數的平均數即，所以B項也正確；去掉一個最低分，去掉一個最高分，所計算的平均分為98.12分，則D項正確，故C項錯誤．
答案：C
例4、某中學為了了解全校的耗電情況，抽查了10天中全校每天的耗電量．數據如下表(單位：度)
度數
90
93
102
113
114
120
天數
1
1
2
3
1
2
　　(1)寫出上表中數據的眾數和平均數．
　　(2)由上題獲得的數據，估計該校某月的耗電量(按30天計)
　　(3)若當地每度電的定價是0.5元，寫出該校應付電費y(元)與天數x(x取正整數，單位：天)之間的函數關系式．
解：
　　(1)顯然113出現了3次，是出現次數最多的數，故113是眾數．
　　平均數為．
　　(2)根據平均數估計某月共耗電量為：108×30=3240(度)．
　　(3)y=0.5×180x　　即y=54x(x為正整數)．
例5、某校從甲、乙兩名優秀選手中選1名選手參加全市中學生田徑百米比賽．該校預先對這兩名選手測試了8次，測試成績如下表：
　
1
2
3
4
5
6
7
8
選手甲的成績(秒)
12.1
12.2
13
12.5
13.1
12.5
12.4
12.2
選手乙的成績(秒)
12
12.4
12.8
13
12.2
12.8
12.3
12.5
　　根據測試成績，請你運用所學過的統計知識做出判斷，派哪一位選手參加比賽更好？為什么？
分析：
　　方差的大小能反映一組數據波動大小，本題應用樣本方差的大小來衡量甲、乙兩名優秀選手百米比賽成績的穩定性．
解：
例6、已知一組數據x1，x2，x3，x4，x5的平均數是2，方差是．那么另一組數據3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2的平均數和方差分別是（　）
分析：
　　如果一組數據比原數據分別大(或小)相同的數，則這兩組數據的方差相同；如果一組新數據是原數據的n倍，則新數據方差是原數據方差的n2倍．
解：
　　因為本題中新數據比原數據的3倍小2，則其平均數為3×2－2=4，方差為故選D．
例7、為了了解初三畢業生的體能情況，某校抽取了一部分初三畢業生進行一分鐘跳繩次數測試，將所得數據整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖)，圖中從左到右各小組的小長方形的面積之比是：2︰4︰17︰15︰9︰3．
　　第二小組的頻數為12．
　　(1)填空：第二小組的頻率是__________，在這個問題中，樣本容量是__________．
　　(2)若次數在110以上(含110次)為達標，試估計該校初三畢業生的達標率約是多少？
　　(3)在這次測試中，學生跳繩次數的中位數落在哪個小組內？請說明理由．
解：
　　(1)第二小組的頻率為．
　　樣本容量＝頻數÷頻率=12÷0.08=150．
　　(2)因為次數在110以上(含110)為達標，故除第一、二兩小組不達標以外，其余幾個小組均達標，所以達標率為．
　　(3)依次可求得第一、二、三、四小組頻數依次為6，12，51，45，前三組頻數之和為69，前四組頻數之和為114，所以中位數落在第四小組內．
例8、下圖(1)是某班學生外出乘車、步行、騎車的人數分布直方圖和扇形分布圖．
　　(1)求該班有多少名學生？
　　(2)補上步行分布直方圖的空缺部分．
　　(3)在扇形統計圖中，求騎車人數所占的圓心角度數．
　　(4)若全年級有500人，估計該年級的步行人數．
分析：
　　從直方圖與扇形圖可以發現該班乘車有20人，占總人數的50%，由此可以求出該班的總人數；補充圖中步行的直方圖，必須求出該班步行的人數，而求圓心角的度數可以用騎車所占的百分比乘以360°．估計全年級的步行人數可以用樣本估計總體的方法，用全年級的總人數乘以20%即可．
解：(1)20÷50%=40(人)
　　(2)見下圖
　(3)．
　 (4)估計該年級步行人數=500×20%=100(人)．
例9、某中學七年級有6個班，要從中選2個班代表學校參加某項活動，七(1)班必須參加，另外再從七(2)班至七(6)班選出1個班，七(4)班有學生建議用如下的方法：從裝有編號為1，2，3的三個白球A袋中摸出一個球，再從裝有編號為1，2，3的三個紅球袋中摸出一個球(兩袋中球的大小、形狀與質量完全一樣)，摸出的兩個球上的數字之和是幾，就選幾班．你認為這種方法公平嗎？說明理由．
分析：方法公平與否，可以通過比較每一種情況所出現的概率來說明．
解：方法不公平．
　　用樹狀分析圖來說明．
　　所以七(2)班被選中的概率為；七(3)班被選中的概率為；七(4)班被選中的概率為；七(5)班被選中的概率為；七(6)班被選中的概率為．
例10．某校九年級學生共900人，為了解這個年級學生的體能，從中隨機抽取
部分學生進行1分鐘的跳繩測試，并指定甲、乙、丙、丁四名同學對這次
測試結果的數據作出整理，下圖是這四名同學提供的部分信息：
甲：將全體測試數據分成6組繪成直方圖（如圖）；
乙：跳繩次數不少于106次的同學占96%；
丙：第①、②兩組頻率之和為0.12，且第②組與第⑥組頻數都是12；
丁：第②、③、④組的頻數之比為4:17:15．
根據這四名同學提供的材料，請解答如下問題：
（1）這次跳繩測試共抽取多少名學生？各組有多少人？
（2）如果跳繩次數不少于135次為優秀，根據這次抽查的結果，估計全年級達到跳繩優秀的人數為多少？
（3）以每組的組中值（每組的中點對應的數據）作為這組跳繩次數的代表，估計這批學生1分鐘跳繩次數的平均值．
解：（1） 第①組頻率為：
∴第②組頻率為：
又∵第②組的頻數是12
∴這次跳繩測試共抽取學生人數為：（人）
∴第①組人數為： 150×0.04=6（人）；
第②組人數為：12人
又∵②、③、④組的頻數之比為4:17:15
∴第③組的人數為：×17=51（人）
第④組的人數為：×15=45（人）
又∵第⑥組的人數為12人
∴第⑤組的人數為150-（6+12+51+45+12）=24（人）
（2）∵跳繩次數不少于135次為優秀。
∴只有⑤、⑥組為優秀。而⑤組有24人、⑥組有12人。
∴利用頻率估計概率可得： ×900=216（人）
∴估計全年級約有216人跳繩達到優秀。
（3）利用加權平均數可得：
≈127次
∴這批學生1分鐘跳繩次數的平均值約為127次。
例11.已知某種水果的批發單價與批發量的函數關系如圖（1）所示．
（1）請說明圖中①、②兩段函數圖象的實際意義．
（2）寫出批發該種水果的資金金額w（元）與批發量m（kg）之間的函數關系式；在下圖的坐標系中畫出該函數圖象；指出金額在什么范圍內，以同樣的資金可以批發到較多數量的該種水果．
（3）經調查，某經銷商銷售該種水果的日最高銷量與零售價之間的函數關系如圖（2）所示，該經銷商擬每日售出60kg以上該種水果，且當日零售價不變，請你幫助該經銷商設計進貨和銷售的方案，使得當日獲得的利潤最大．
（1）解：圖①表示批發量不少于20kg且不多于60kg的該種水果，
可按5元/kg批發；圖②表示批發量高于60kg的該種水果，可按4元/kg批發．
5n (20≦n≦60)
（2）解：由題意得：w=
4n (n≧60)
由圖可知資金金額滿足240＜w≤300時，
以同樣的資金可批發到較多數量的該種水果．
（3）解法一：
設當日零售價為x元，
由圖可得日最高銷量w=320-40n
當n＞60時，x＜6.5
由題意，銷售利潤為
y=(x-4)(320-40n)= -40(x-6)2+160
當x＝6時，，此時n＝80
即經銷商應批發80kg該種水果，日零售價定為6元/kg，
當日可獲得最大利潤160元．
解法二：
設日最高銷售量為xkg（x＞60）
則由圖②日零售價p滿足：，于是
銷售利潤
當x＝80時，，此時p＝6
即經銷商應批發80kg該種水果，日零售價定為6元/kg，
當日可獲得最大利潤160元．

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