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例析求函數值域的方法
求函數的值域常和求函數的最值問題緊密相關，是高中數學的重點和難點，雖然沒有固定的方法和模式，但常用的方法有：
一、直接法：從自變量的范圍出發，推出的取值范圍。
例1：求函數的值域。
解：∵，∴，
∴函數的值域為。
二、配方法：配方法式求“二次函數類”值域的基本方法。形如的函數的值域問題，均可使用配方法。
例2：求函數（）的值域。
解：，
∵，∴，∴
∴，∴
∴函數（）的值域為。
三、反函數法：利用函數和它的反函數的定義域與值域的互逆關系，通過求反函數的定義域，得到原函數的值域。
例3：求函數的值域。
解：由解得，
∵，∴，∴
∴函數的值域為。
四、分離常數(變量)法：分子、分母是一次函數得有理函數，可用分離常數法，此類問題一般也可以利用反函數法。
分離常數:例4：求函數的值域。
解：∵，
∵，∴，
∴函數的值域為。
分離常數總結:y=≠
分離變量:例5:求 的最小值
解:
五、換元法：運用代數代換，獎所給函數化成值域容易確定的另一函數，從而求得原函數的值域，形如（、、、均為常數，且）的函數常用此法求解。
例6：求函數的值域。
解：令（），則，
∴
∵當，即時，，無最小值。
∴函數的值域為。
※三角代換
例7：求的值域
解：令
六、判別式法：把函數轉化成關于的二次方程；通過方程有實數根，判別式，從而求得原函數的值域，形如（、不同時為零）的函數的值域，常用此方法求解。
例8：求函數的值域。
解：由變形得，
當時，此方程無解；
當時，∵，∴，
解得，又，∴
∴函數的值域為
七、函數的單調性法：確定函數在定義域（或某個定義域的子集）上的單調性，求出函數的值域。
例9：求函數的值域。
解：∵當增大時，隨的增大而減少，隨的增大而增大，
∴函數在定義域上是增函數。
∴，
∴函數的值域為。
八、利用有界性：利用某些函數有界性求得原函數的值域。
例10：求函數的值域。
解：由函數的解析式可以知道，函數的定義域為，對函數進行變形可得
，
∵，∴（，），
∴，∴，
∴函數的值域為
九、圖像法（數形結合法）：函數圖像是掌握函數的重要手段，利用數形結合的方法，根據函數圖像求得函數值域，是一種求值域的重要方法。
例11：求函數的值域。
解：∵ ，
∴的圖像如圖所示，
由圖像知：函數的值域為
十、基本不等式法
十一、導數法
十三、最值法：對于閉區間上的連續函數，利用函數的最大值、最小值求函數的值域的方法。
例12：求函數，的值域。
十四、構造法：根據函數的結構特征，賦予幾何圖形，數形結合。
　　例18：求函數的值域。
　　點撥：將原函數變形，構造平面圖形，由幾何知識，確定出函數的值域。
　　解：原函數變形為
　　作一個長為4、寬為3的矩形ABCD，再切割成12個單位
正方形。設HK=,則EK=2,KF=2,AK=,
KC= 。
　　由三角形三邊關系知，AK+KC≥AC=5。當A、K、C三點共
線時取等號。
　　∴原函數的知域為｛y|y≥5｝。

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