資源簡介

高一數學同步拔高 §1。2函數及其表示
基礎知識清單
考點一 映射的概念
了解對應 大千世界的對應共分四類，分別是：一對一 多對一 一對多 多對多
映射：設A和B是兩個非空集合，如果按照某種對應關系f，對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都存在唯一的一個元素y與之對應，那么，就稱對應f：A→B為集合A到集合B的一個映射(mapping). 映射是特殊的對應，簡稱“對一”的對應。包括：一對一 多對一
考點二 函數的概念
1．函數：設A和B是兩個非空的數集，如果按照某種確定的對應關系f，對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都存在唯一確定的數y與之對應，那么，就稱對應f：A→B為集合A到集合B的一個函數。記作y=f(x),xA.其中x叫自變量，x的取值范圍A叫函數的定義域；與x的值相對應的y的值 函數值，函數值的集合叫做函數的值域。 函數是特殊的映射，是非空數集A到非空數集B的映射。
2．函數的三要素：定義域 、值域、對應關系。這是判斷兩個函數是否為同一函數的依據。
3．區間的概念：設a,bR ,且a①(a,b) = { x | a < x < b } ②[a,b] = { x | a ≤ x ≤ b } ③[a,b) = { x | a ≤ x < b } ④(a,b] = { x | a < x ≤ b }
⑤(a, +∞) = { x | x > a}⑥[a,+∞) = { x | x ≥ a}⑦(-∞,b) = { x | x < b}⑧(-∞,b] = { x | x ≤ b}⑨(-∞,+∞) = R
考點三 函數的表示方法
函數的三種表示方法 列表法 圖象法 解析法
分段函數：定義域的不同部分，有不同的對應法則的函數。注意兩點：①分段函數是一個函數，不要誤認為是幾個函數。②分段函數的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集。
能力知識清單
考點一 求定義域的幾種情況
①若f(x)是整式，則函數的定義域是實數集R；
②若f(x)是分式，則函數的定義域是使分母不等于0的實數集；
③若f(x)是二次根式，則函數的定義域是使根號內的式子大于或等于0的實數集合；
④若f(x)是對數函數，真數應大于零。
⑤.因為零的零次冪沒有意義，所以底數和指數不能同時為零。
⑥若f(x)是由幾個部分的數學式子構成的，則函數的定義域是使各部分式子都有意義的實數集合；
⑦若f(x)是由實際問題抽象出來的函數，則函數的定義域應符合實際問題
考點二 映射個數公式
Card(A)=m,card(B)=n, m,n,則從A到B的映射個數為。簡單說成“前指后底”。
方法技巧清單
方法一 函數定義域的求法
1．（2009江西卷文）函數的定義域為 （ ）
A．　　　B．　　　C．　　　　D．
解析 由得或,故選D.
2．（2009江西卷理）函數的定義域為 ( )
A．　　　B．　　　C．　　　　D．
解析 由.故選C
3.（2009福建卷文）下列函數中，與函數 有相同定義域的是 ( )
A . B. C. D.
解析 由可得定義域是的定義域；的定義域是≠0；的定義域是定義域是。故選A.
4.（2007年上海）函數的定義域是 ． 答案
5.求下列函數的定義域。①y=.②y=.③y=
6.已知函數f(x)的定義域為，求函數F(x)=f(3x-1)-f(3x+1)的定義域。
方法二 函數概念的考察
下列各組函數中表示同一函數的是（ ）A.y=和 B.y=ln和
C. D.
2（2010江西理數）9．給出下列三個命題：
①函數與是同一函數；②若函數與的圖像關于直線對稱，則函數與的圖像也關于直線對稱；
③若奇函數對定義域內任意x都有，則為周期函數。
其中真命題是A. ①② B. ①③ C.②③ D. ②
解析：考查相同函數、函數對稱性的判斷、周期性知識。考慮定義域不同，①錯誤；排除A、B，驗證③, ,又通過奇函數得，所以f（x）是周期為2的周期函數，選C。

方法三 分段函數的考察
1.（2009天津卷文）設函數則不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
答案 A解析 由已知，函數先增后減再增當，令
解得。當，故 ，解得
【考點定位】本試題考查分段函數的單調性問題的運用。以及一元二次不等式的求解。
2．（2009天津卷理）已知函數若則實數
的取值范圍是 A B C D
【考點定位】本小題考查分段函數的單調性問題的運用。以及一元二次不等式的求解。
解析：由題知在上是增函數，由題得，解得，故選擇C。
3．（2009北京文）已知函數若，則 .
.w 解析 5.u.c本題主要考查分段函數和簡單的已知函數值求的值. 屬于基礎知識、基本運算的考查.
由，無解，故應填.
4.（2009北京理）若函數 則不等式的解集為____________.
解析 本題主要考查分段函數和簡單絕對值不等式的解法. 屬于基礎知識、基本運算的考查.
（1）由.（2）由.
∴不等式的解集為，∴應填.
5（2010天津文數）（10）設函數，則的值域是
（A） （B） （C）（D）
【解析】本題主要考查函數分類函數值域的基本求法，屬于難題。
依題意知，
6（2010天津理數）（8）若函數f(x)=,若f(a)>f(-a),則實數a的取值范圍是（A）（-1，0）∪（0，1） （B）（-∞，-1）∪（1,+∞）
（C）（-1，0）∪（1,+∞） （D）（-∞，-1）∪（0,1）
【答案】C【解析】本題主要考查函數的對數的單調性、對數的基本運算及分類討論思想，屬于中等題。
由分段函數的表達式知，需要對a的正負進行分類討論。
【溫馨提示】分類函數不等式一般通過分類討論的方式求解，解對數不等式既要注意真數大于0，同事要注意底數在（0，1）上時，不等號的方向不要寫錯。
7．（2010湖北文數）3.已知函數，則
A.4 B. C.-4 D-
】【解析】根據分段函數可得，則，所以B正確.
方法四 求函數的解析式
求下列函數的解析式
已知
②
已知f(x)是二次函數，若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x).
已知f(x)滿足求f(x).
方法五 函數圖像的考察
1. (2009山東卷理)函數的圖像大致為 ( ).
解析 函數有意義,需使,其定義域為,排除C,D,又因為,所以當時函數為減函數,故選A.
【命題立意】:本題考查了函數的圖象以及函數的定義域、值域、單調性等性質.本題的難點在于給出的函數比較復雜,需要對其先變形,再在定義域內對其進行考察其余的性質.
2.（2009廣東卷理）已知甲、乙兩車由同一起點同時出發,并沿同一路線（假定為直線）行駛．甲車、乙車的速度曲線分別為（如圖2所示）．那么對于圖中給定的，下列判斷中一定正確的是 （ ）
A. 在時刻，甲車在乙車前面 B. 時刻后，甲車在乙車后面
C. 在時刻，兩車的位置相同 D. 時刻后，乙車在甲車前面
解析 由圖像可知，曲線比在0～、0～與軸所圍成圖形面積大，
則在、時刻，甲車均在乙車前面，選A.
3.（2009江西卷文）如圖所示，一質點在平面上沿曲線運動，
速度大小不 變，其在軸上的投影點的運動速度的圖象
大致為 ( )
A B C D
解析 由圖可知，當質點在兩個封閉曲線上運動時，投影點的速度先由正到0、到負數，再到0，到正，故錯誤；質點在終點的速度是由大到小接近0，故錯誤；質點在開始時沿直線運動，故投影點的速度為常數，因此是錯誤的，故選.
4（2010山東理數）(11)函數y=2x -的圖像大致是
【答案】A
【解析】因為當x=2或4時，2x -=0，所以排除B、C；當x=-2時，2x -=，故排除D，所以選A。
【命題意圖】本題考查函數的圖象，考查同學們對函數基礎知識的把握程度以及數形結合的思維能力。
5（2010安徽文數）設,二次函數的圖像可能是
【解析】當時，、同號，（C）（D）兩圖中，故，選項（D）符合
【方法技巧】根據二次函數圖像開口向上或向下，分或兩種情況分類考慮.另外還要注意c值是拋物線與y軸交點的縱坐標，還要注意對稱軸的位置或定點坐標的位置等.
（2010山東文數）（11）函數的圖像大致是
答案：A
方法六 映射概念的考察
設:是集合A到集合B的映射，如果B=，則A∩B=（ ）
A. B. C. 或 D. 或
2集合M=，N=映射f:滿足f(a)+(b)+f(c)=0,那么映射f: 的個數是（ ）
A.4 B.5 C. 6 D. 7
3集合M=到集合N=一共有 個不同的映射。
方法七函數值域和最值的求法
1（2010重慶文數）（4）函數的值域是
（A） （B）（C） （D）
解析：
2（2010山東文數）(3)函數的值域為
A. B. C. D.
答案：A

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