資源簡介

算法初步復(fù)習(xí)總結(jié)

算法不僅是數(shù)學(xué)及其應(yīng)用的重要組成部分．也是計算機科學(xué)的重要基礎(chǔ)．在現(xiàn)代社會單,在現(xiàn)代社會里,計算機已經(jīng)成為人們?nèi)粘Ｉ詈凸ぷ鞑豢扇鄙俚墓ぞ撸犚魳贰⒖措娋蕖⑼嬗螒颉⒋蜃帧嬁ㄍó嫛⑻幚頂?shù)據(jù),計算機幾乎滲透到了人們生活的所有領(lǐng)域.那么計算機是怎樣工作的呢?要想弄清楚這個問題,算法的學(xué)習(xí)是一個開始．從數(shù)學(xué)發(fā)E的歷史來看，算法并不是一個全新的概念.比如,在西方數(shù)學(xué)中很早就有了歐幾里得算法,而中國古代數(shù)學(xué)中蘊涵著更為豐富的算法內(nèi)容和思想,割圓術(shù)、秦九韶算法等等都是很經(jīng)典的算法.在算法初步這一章里，要學(xué)習(xí)的是算法的概念和程序框圖,理解算法的基本結(jié)構(gòu)、基本算法語句,了解一些很有意思的重要算法,體會算法的基本思想,發(fā)展有條理的思考與表達的能力,提高邏輯思維能力．
一、基礎(chǔ)知識要點總結(jié)
算法一章的主要內(nèi)容是算法的概念及含義,算法思想、程序框圖及其規(guī)則,算法的三種基本結(jié)構(gòu).用數(shù)學(xué)語言寫出算法并實現(xiàn)與程序框圖的轉(zhuǎn)換;賦值語句、輸入語句和輸出語句,用條件語句描述條件分支結(jié)構(gòu)的算法,用循環(huán)語句描述循環(huán)結(jié)構(gòu)的算法;用輾轉(zhuǎn)楣除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù),用秦九韶算法計算一元多次函數(shù)值,及割圓術(shù)的算法案例.
二、專題總結(jié)．
算法一章分三大節(jié),第一節(jié)是算法與程序框圖,主要介紹了算法、程序框圖、順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)的概念,要求我們寫出的算法必須能解決一類問題,并且能重復(fù)使用,算法的過程要能一步步執(zhí)行,每步執(zhí)行的操作必須確切,不能含混不清,而且經(jīng)過有限步運算后能得出結(jié)果.要能夠正確的畫出框圖.
第二節(jié)是基本算法語句.主要介紹了賦值語句及格式,鍵盤輸入語句、輸出語句、條件語句夕環(huán)語句的概念.要知道這些語句的一般格式,以及它們的作用,能夠?qū)⒑芏喑橄笏惴袄碚撛谟嬎銠C上操作、執(zhí)行,從而能更好地解決問題．
第三節(jié)是算法案例.主要介紹了輾轉(zhuǎn)相除法、更相減損術(shù)、秦九韶算法等概念，能夠利用對比方法，如輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)對比等．
三、學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.通過對解決具體問題過程與步驟的分析(如二元一次方程組求解問題)，體會算法的思想,了解算法的含義.
2.通過模仿、操作、探索,經(jīng)歷通過設(shè)計程序框圖表達解決問題的過程.在具體問題的解決過程中(如三元一次方程組求解等問題),理解程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu):順序、條件分支、循環(huán).
3.經(jīng)歷將具體問題的程序框圖轉(zhuǎn)化為程序語句的過程,理解幾種基本算法語句:輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環(huán)語句,進一步體會算法的基本思想.21世紀教育網(wǎng)
4.通過閱讀中國古代數(shù)學(xué)的算法案例,體會中國古代數(shù)學(xué)對世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻.
四、課程標(biāo)準知識和能力總結(jié)
1.能用數(shù)學(xué)語言寫出算法,并實現(xiàn)與程序框圖的轉(zhuǎn)換,體會對同一個問題而言,算法的多樣性、優(yōu)劣性,以及學(xué)習(xí)算法的必要性,注重觀摩實例,操作簡例,探索應(yīng)用科學(xué)學(xué)習(xí)方法.
2.在由自然語言，數(shù)學(xué)語言、程序框圖向形式語言甚至簡單的程序語言過渡的過程中進一步培養(yǎng)自己的抽象概括能力、語言表達能力和邏輯思維能力以及構(gòu)造性解決問題的創(chuàng)新能力.注意循序漸進、由易到難、由簡到繁的學(xué)習(xí)程序,重在原理及基本結(jié)構(gòu)的掌握.注重由算法思想、算理算法過渡到算法語言及簡單的程序語言.學(xué)習(xí)中多觀察、模仿、理解、記憶,然后再實踐操作．
3.體會輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)在求最大公約數(shù)時,更相減損術(shù)的優(yōu)越性.深刻體會數(shù)學(xué)與實際的緊密聯(lián)系,以較高的志趣與熱情投入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中．
五、學(xué)習(xí)警示
算法的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)通過實例進行,在解決具體問題的過程中學(xué)習(xí)一些基本邏輯結(jié)構(gòu)和語句,體會算法的思想,提高邏輯思維能力.為了有條理地、清析地表達算法應(yīng)將解決問題的過程整理成程序框圖,進一步將程序框圖翻譯成計算機語言.但不應(yīng)將此部分內(nèi)容簡單處理成程序語言的學(xué)習(xí)和程序設(shè)計.在高中數(shù)學(xué)課程其他有關(guān)內(nèi)容中應(yīng)滲透算法思想方法,盡可能地運用算法解決相關(guān)問題和上機嘗試.
六、高考導(dǎo)航
高考中應(yīng)重點考查對變量賦值的理解掌握,對循環(huán)結(jié)構(gòu)的靈活運用,閱讀程序框圖說明算理與算法(包括輸出結(jié)果)，根據(jù)要求畫出程序框圖等.如2001年上海高考題第22題,便考查了程序框圖、循環(huán)結(jié)構(gòu)、算法思想，并結(jié)合函數(shù)與數(shù)列,考查較強的邏輯思維能力,這說明,算法知識與其他知識的結(jié)合將是高考的重點,也恰恰體現(xiàn)了算法的普遍性、工具性,當(dāng)然難度不會太大,重在算理、算法及其思想．
算法中的函數(shù)與方程
　　一、算法與函數(shù)
　　函數(shù)中的許多問題，例如：分段函數(shù)求值，高次函數(shù)求值，求函數(shù)的最值等，利用算法思想，通過算法中的選擇結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)等可以簡單的求解．
　　例1 已知函數(shù)，，且．求該函數(shù)的最大值．畫出流程圖，并寫出偽代碼．
分析：所給函數(shù)是二次函數(shù)，但定義域是，即函數(shù)自變量只能取到10之間的整數(shù)，因此要求出其最大值，可以將函數(shù)自變量對應(yīng)的每一個函數(shù)值都求出，從中找出最大值即可．[來源:21世紀教育網(wǎng)]
解：流程圖如圖1所示：
偽代碼如下：
點評：本題中由于所給函數(shù)的自變量的取值是到10之間的整數(shù)，只有有限個，且他們之間都相差1，這一特點正好適合用算法中循環(huán)語句進行算法描述，只需將所有函數(shù)值一一求出，從中找到最大值即可．
　
　例2　在音樂唱片超市里，每張唱片售價25元．顧客如果購買5張以上（含5張）唱片，則按照九折收費；如果顧客購買10張以上（含10張）唱片，則按照八五折收費．請設(shè)計一個完成計費工作的算法，并畫出流程圖．
　　分析：假設(shè)用變量a表示顧客購買的唱片數(shù)，用Ｃ表示顧客要繳納的金額，依題意應(yīng)有
　　解：算法步驟如下：
　　第一步：輸入a；
　　第二步：若a<5，則；否則，執(zhí)行第三步；
　　第三步：若a<10，則；否則；21世紀教育網(wǎng)
　　第四步：輸出Ｃ；
　　流程圖如圖2．
　　二、算法與方程
　　中外歷史上曾經(jīng)有無數(shù)多位數(shù)學(xué)家作了大量的工作，探求得到了各種方程的求根公式，這些公式實際上就是一種算法，對于某些沒有求根公式的方程，也借助現(xiàn)代計算技術(shù)的發(fā)展得到了一些典型的算法，如：二分法、牛頓法等等．

例3 寫出用二分法求方程的近似解（誤差不超過0.01）的流程圖．
分析：這是一個五次方程，對于這類高次方程，我們沒有求根公式，要求其近似解，可以利用二分法．令，由于，，所以取初始區(qū)間為，然后根據(jù)二分法的步驟進行算法設(shè)計．
解：流程圖如下：
21世紀教育網(wǎng)
點評：由于用二分法求方程的近似解是用越來越小的區(qū)間逐次逼近，因此可以利用循環(huán)結(jié)構(gòu)控制這一過程，在逼近過程中每次都要對是否滿足精確度進行判斷，所以可以利用選擇結(jié)構(gòu)實現(xiàn)．
《算法初步》復(fù)習(xí)指導(dǎo)
大的比例．隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的飛速發(fā)展，算法在科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中發(fā)揮著越來越大的作用，并日益融入社會生活的許多方面，算法思想已經(jīng)成為現(xiàn)代人應(yīng)具備的一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)，下面我們從以下幾方面對算法知識進行復(fù)習(xí)．
一、重點、難點分析
　　一般地講，算法是人們解決問題的固定步驟和方法．在本模塊中，我們應(yīng)重點掌握的是在數(shù)值計算方面的算法．
　　2007年高考新課程標(biāo)準數(shù)學(xué)考試大綱對《算法初步》的要求是：
　　（1）算法的含義、流程圖：①了解算法的含義，了解算法的思想；②理解流程圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)．
　　（2）基本算法語句：理解幾種基本算法語句——輸入語句、輸出語句、賦值語句、選擇語句、循環(huán)語句的含義．
　　注意的是，考綱對算法的含義和算法的思想的要求是“了解”，而對流程圖和基本算法語句的要求是“理解”．由此可見，復(fù)習(xí)中應(yīng)把重點放在流程圖和基本算法語句上，要對這兩方面的內(nèi)容重點掌握、多加練習(xí)．
　　表達算法的方法有自然語言、流程圖和基本算法語句三種．自然語言描述算法只是學(xué)習(xí)算法的一個過渡，流程圖和基本算法語句才是學(xué)習(xí)的重點，同時也是難點，尤其是選擇結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)，在復(fù)習(xí)中是重中之重．
　　1．理解基本邏輯結(jié)構(gòu)
　　順序結(jié)構(gòu)、選擇結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)是算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)．在畫流程圖時，首先要進行邏輯結(jié)構(gòu)的選擇，若求只含有一個關(guān)系式的解析式的函數(shù)的函數(shù)值時，只用順序結(jié)構(gòu)就能解決，順序結(jié)構(gòu)是任何一個算法中必不可少的結(jié)構(gòu)．選擇結(jié)構(gòu)主要用在一些需要依據(jù)選擇進行判斷的算法中，如分段函數(shù)的求值、數(shù)據(jù)的大小關(guān)系比較等問題．循環(huán)結(jié)構(gòu)主要用在一些有規(guī)律的重復(fù)計算的算法中，如累加求和、累乘求積等問題．用循環(huán)結(jié)構(gòu)表達算法，關(guān)鍵要做好以下三點：①確定循環(huán)變量和初始值；②確定算法中反復(fù)執(zhí)行的部分，即循環(huán)體；③確定循環(huán)的終止選擇．
　　循環(huán)結(jié)構(gòu)又分為當(dāng)型（Ｗhile型）和直到型（Until型）兩種．當(dāng)型循環(huán)在每次執(zhí)行循環(huán)體前對控制循環(huán)的選擇進行判斷，當(dāng)選擇滿足時執(zhí)行循環(huán)體，不滿足則停止；直到型循環(huán)在執(zhí)行了一次循環(huán)體之后，對控制循環(huán)的選擇進行判斷，當(dāng)選擇不滿足時執(zhí)行循環(huán)體，滿足則停止．兩種循環(huán)只是實現(xiàn)循環(huán)的不同方法，它們是可以互相轉(zhuǎn)換的．對同一個問題如果分別用當(dāng)型循環(huán)和直到型循環(huán)來處理的話，那么兩者判斷的條件恰好相反．
　　2．理解基本算法語句
　　偽代碼是表達算法的簡單而實用的好方法，要注意各語句的作用，準確理解賦值語句，靈活表達選擇語句，注意While語句和For語句的區(qū)別．
　　（1）輸入、輸出語句和賦值語句基本對應(yīng)于算法中的順序結(jié)構(gòu)，這是任何一個偽代碼都用到的語句，利用輸入、輸出語句和賦值語句設(shè)計偽代碼時應(yīng)明確：需輸入信息時用Read語句，需輸出信息時用Print語句．當(dāng)變量需要的數(shù)據(jù)較少或給變量賦予表達式時，用賦值語句即可，當(dāng)變量需要輸入多組數(shù)據(jù)且程序重復(fù)使用時，使用輸入語句較好．當(dāng)然，賦值語句還具有將一個變量的值賦給另一個變量，前一個變量的值保持不變的功能．21世紀教育網(wǎng)
　　（2）選擇語句是表達算法中的選擇結(jié)構(gòu)，因為算法的流程根據(jù)選擇是否成立有不同的流向，就需要對選擇作出判斷，所以偽代碼中要用到選擇語句．在某些較復(fù)雜的算法中，有時需要對按選擇要求執(zhí)行的某一語句（特別是Else后的語句）繼續(xù)按照另一選擇進行判斷，這時可以再利用一選擇語句完成這一要求，這就需要選擇語句的嵌套．
　　（3）循環(huán)語句是用來實現(xiàn)循環(huán)結(jié)構(gòu)的，在本章我們主要需要掌握For語句與While語句．
　　兩種循環(huán)語句的區(qū)別：“For循環(huán)”一般用于循環(huán)次數(shù)已知時；“While循環(huán)”是“前測試”的當(dāng)型循環(huán)，即先判斷，后執(zhí)行，若初始條件不成立，則一次也不執(zhí)行循環(huán)體中的內(nèi)容，任何一種需要重復(fù)處理的問題都可以用這種循環(huán)來實現(xiàn)．
　　注：①循環(huán)有時還可通過Goto語句實現(xiàn)，但Goto語句破壞了語句順序執(zhí)行的正常狀況，因此，一般不提倡使用；②注意計數(shù)變量的取值范圍，以免出現(xiàn)多一次或少一次循環(huán)的錯誤．
　　3．掌握一些常見的算法類型
　　對一些常見的算法，尤其是算法中特有的方法要熟練掌握，通過重點理解分析，做到舉一反三．其中最常見的算法有：①累加（乘）算法；②二分法；③分段函數(shù)求值算法；④遞推算法；⑤求兩數(shù)最大公約數(shù)的算法（輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)）；⑥秦九韶算法等，這些算法的每一類都有其規(guī)律，可通過重點分析典型例題的方法，進行模仿、類比，從而掌握其一般規(guī)律．
　　4．掌握運算符號含義
　　在算法中，有一些運算符號具有確定的含義，如賦值時常用等，這些式子在偽代碼中非常重要，應(yīng)切實理解；又如，我們經(jīng)常用mod（a，b）表示a除以b所得的余數(shù)，用表示不超過x的最大整數(shù)．
　　注：偽代碼沒有統(tǒng)一的格式，只要書寫簡便、容易理解、表達清楚即可，但在學(xué)習(xí)本章時，建議使用符號相對統(tǒng)一，以免引起混淆．如用賦值語句“”表示給變量x賦值5，就不要再用“”或“”等其他形式來表示了．

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