資源簡介

第十三章 《實數》教材分析
北京八中 王悅
一、本章主要內容及地位、作用：
本章主要內容包括算術平方根，平方根，立方根以及實數的有關概念和運算。通過本章的學習，學生對數的認識將從有理數的范圍擴大到實數范圍。
本章的內容不多，篇幅不大。但本章的概念教學內容任務較重。數學知識的抽象性較強。同時，本章內容也是學生今后學習二次根式，一元二次方程以及解三角形等知識的基礎。因此在中學學習中占有重要的地位。
二、本章知識結構框圖：
1．本章知識的內在結構如下圖所示：
　
2．本章知識的展開順序如下圖所示：
從本章知識結構圖可見,由于乘方與開方互為逆運算，所以開平方和開立方運算是以平方和立方運算為基礎的，因此平方根和立方根的概念離不開平方和立方的概念,無理數的引入使得數的范圍由有理數擴大到了實數.
三、本章課程學習目標
1．了解算術平方根、平方根、立方根的概念，會用根號表示數的平方根、立方根；
2．了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求某些非負數的平方根,會用立方運算求某些數的立方根，會用計算器求平方根和立方根.
3．了解無理數和實數的概念，理解實數與數軸上的點一一對應，有序實數對與平面上的點一一對應；了解數的范圍由有理數擴大到實數后，概念、運算等的一致性及其發展變化.
4．能用有理數估計一個無理數的大致范圍．
四、本章中考要求：
1．基本要求：了解無理數和實數概念,了解平方根、立方根及算術平方根的概念,會用根號表示非負數的平方根、算術平方根及一個數的立方根,知道實數與數軸上的點的一一對應關系,會求實數的相反數和絕對值.
2．略高要求：會用有理數估計一個無理數的大致范圍,會用平方運算求某些非負數的平方根, 會用立方運算求某些數的立方根,會用計算器求平方根和立方根,會進行簡單的實數運算.
五、本章重點、難點：
1．本章的重點是算術平方根和平方根的概念和求法，它們是理解立方根的概念和求法、實數的意義和運算的直接基礎．
2．本章的難點是平方根和實數概念的建立與認識．
六、本章課時安排:
本章教學時間約需8課時，具體分配如下（僅供參考）：
13．1　平方根　　　?????? 3課時
13．2 ?立方根 2課時
13．3　實數?　　　　　　　　　2課時
數學活動
小結????????????? ?1課時　
七、本章教材內容分析：
§13.1平方根
1.算術平方根、平方根概念的教學．
(1)傳統教材：先講平方根，再學算術平方根.
新教材: 先講算術平方根，再學平方根.
平方根概念的建立與應用.
(1)在具體數學問題的背景下,抽象出平方根的概念.
(2)在對概念的理解的過程中,突出結果的個數,形式,使學生掌握算術 平方根,平方根的符號表示.
(3)落實一個基本功：讓學生熟練掌握1到20的平方，便于求常用數的平方根。
（4）及時對算術平方根，平方根概念作出聯系，區別的歸納。
例1.求下列各數的算術平方根
（1）100 （2）0.0001 （3） （4）
注意①指出書寫形式：切忌100==10或
②（2）（3）（4）題目中認清被開方數.
例2.求下列各數的平方根
（1）0.25 （2）361 （3） （4）
例3.求下列各式的值
（1） （2） （3） （4）
注意：①書寫形式
②每個題在做時，先讀，再說出各符號的含義，最后再求值。
例4.判斷題
-2是4的平方根；4的平方根是-2. （ ）
（2）是的算術平方根. （ ）
（3）沒有算術平方根. （ ）
（4）一個數若有平方根，則它的平方根是一正一負的兩數.（ ）
（5）無論a取何值，一定沒有平方根. （ ）
（6）一個正數的平方根的平方，等于這個數的本身. ( )
3.歸納平方根的性質
（1）一個正數的平方根有兩個，且它們互為相反數.
（2）負數沒有平方根.
（3）0的平方根是0.
借助課本頁習題11歸納重要結論:

4.初步了解無限不循環小數.
(1)讓學生經歷用夾逼的辦法估計的大小，感受是無限不循環小數.
(2)在具體實例中,了解無限不循環小數的特征.
(3) 會使用計算器求數的平方根.(利用計算器求平方根,較多感受無理數的近似值)
(4) 會用有理數估計無理數的大小.
例5．
(1)
(2)
5. 理解平方與開平方互為逆運算，明確三級運算中的互逆關系．
§13.2立方根
1.在實際背景下引出立方根的概念
立方根是從已知立方體的體積求邊長的實際背景下引出的.學習立方根的意義在于,它有著廣泛的應用.空間形體是三維的,有關體積的計算,常涉及開立方的問題.
在類比思想的引導下,學習立方根的概念與性質.
例如:概念教學可以從問題入手:
什么數有平方根,只有非負數才有立方根嗎?
平方根如何表示,猜想一下立方根可以怎樣表示?
回顧平方根的特征,能試著總結一下立方根的特征嗎?
它們有什么異同?
求一個數的立方根的運算與什么運算互為逆運算?
會用計算器求立方根．
例6.求下列各數的立方根.
-8 (2)-0.001 (3)
注:①強調書寫格式,切忌
②認準被開方數.
例7.求下列各式的值
(1) (2) (3) (4) (5)
注:
①讀準各式的符號;并用文字語言說明各式的含義.
②借助課本頁習題9歸納重要結論:
; ;
③結合立方根的重要結論,與平方根中的重要結論相比較.
例8.解方程
(2) (3)
注:借助平方根,立方根的定義解高次方程,一方面鞏固了定義,另一方面讓學生體會到轉化思想的應用,即高次化低次;難化易;不會化會.
例9.求下列代數式的值.
若 求 .
若 求
若 有意義, 求
若 ,求
若 的算術平方根,是的立方根,求.
注:①重視對非負數算術根的非負性的認識與應用.
②對平方根,立方根中主要結論的應用.
了解n次方根
(1) 類比平方根,立方根定義,給出n次方根定義.
(2) 滲透分類討論思想.對n為奇數,或偶數進行分類討論.
(3) 滲透從特殊到一般的思想,理解n次方根的性質.
認識開n次方與n次方互為逆運算.
例10.計算
§13.3實數
認識無理數
在數的開方的基礎上，引進無理數的概念.
理解無理數的意義，強調無限不循環小數與無限循環小數的區別，以便更好的理解有理數和無理數是兩類不同的數.
在理解無理數含義的基礎上，完成了數的范圍的又一次擴充,從有理數到實數.對今后學習數學有重要的意義.在中學階段，多數數學問題是在實數范圍內研究的.
類比有理數的分類，認識實數的分類
3.適當介紹勾股定理，嘗試著讓學生在數軸上找的一些無理點.（將數學活動1提前。）意義在于感受無理數的存在性，認識更多的無理數。
在實際操作的基礎上，讓學生體會實數與數軸上的點的一一對應關系 .及平面直角坐標系中的點與有序實數對的一一對應關系.
認識實數中的幾個問題
相反數、絕對值、倒數的概念,實數比較大小的方法,以及實數的有關運算.
實數的相反數,絕對值的意義與有理數范圍內的意義相同.但會遇到添，去括號法則.
對于數軸上的任意兩個點,右邊的點表示的實數總比左邊的點表示的實數大,但實數比較大小的方法在教學中應不斷總結.同時應讓學生理解實數與數軸上的點一一對應關系.
實數的運算中,有理數的運算律和運算性質在實數范圍內仍成立.
有關實數計算的教學,需要掌控好尺度.
關于二次根式的運算,以后還會進一步的學習,教學時注意掌握現有計算的難度.
例11.把下列各數分別填入相應的集合中.
,,-3.1415926，, , ,, 0.303003000···, -0.050505···;
正有理數 正無理數
負有理數 負無理數
例12.填空
.的絕對值 .
若則= .
若則= .
在數軸上表示的點與原點的距離是 ;在數軸上與原點距離是的點表示的數是 ;在數軸上與表示的點距離為3的點表示的實數為 ;
大于小于2的整數是 .
實數滿足,則的取值范圍 .
例13.比較下列各組實數的大小.
與2.23 (2)與 (3)與
與 (5) 3， 4，
例14.計算
注:區分運算符號與性質符號；在運算中,再滲透實數的有關概念.
例15.求下列代數式的值.
若實數滿足,求的值.
若且,求的值.
注: ①在問題解決的過程中,注意非負性;配方知識的應用.
②小結非負實數:,,.
例16.化簡下列各式
(1) 若化簡
(2)
(3)
注:①含絕對值號的代數式的化簡是重點也是難點.應遵循逐步滲透,不斷加深的原則.
②此處字母的取值范圍為全體實數.
③分類的標準應按正實數,負實數,零分類考慮.掌握好分類標準,不斷加強分類討論的意識.
④有關實數的化簡,在二次根式的學習中還會涉及到,此處不宜太難,應給學生留有繼續學習的空間.
幾點教學建議：
1.加強與實際的聯系
抽象的概念,借助簡單實際背景給出.這種編寫的特點,分解了學習中的難點,感受了數學的實用性,易于學生接受,也體會到了數學的抽象性.
2.加強知識間的聯系
本章內容屬于“數與代數”領域，有關數的內容，學生已經系統學過有理數，對有理數的概念和運算等有了較深刻的認識.因而本章很多內容可以類比有理數的相關內容得出.另外平方根,立方根在內容上也有很多類似之處.教學中注意利用類比的方法,既有助于加強知識間的相互聯系,同時通過新舊知識的類比,可使學生的學習形成正遷移.思想的教育重于知識,及時進行知識的總結有利于提高學生的學習能力.
類型
項目
平方根
立方根
被開方數
非負數
任意實數
符號表示
性質
一個正數有兩個平方根，且互為相反數；
零的平方根為零；
負數沒有平方根；
一個正數有一個正的立方根；
一個負數有一個負的立方根；
零的立方根是零；
重要結論
3.留給學生探索交流的空間
本章編寫時注意借助實際背景,讓學生通過觀察、思考、討論等探究活動歸納得出結論．教材中多次設置探究欄目,這些欄目多以填空形式出現.教學中適當給出時間,讓學生多實踐,引導學生從具體問題發現特征,在交流討論中歸納出結論.體會從特殊到一般的過程,有利于發展學生的思維能力,可有效地改變學生學習的方式.
4.適當發揮計算器的作用，加強估算能力的培養
估算是一種具有實際應用價值的運算能力．本章安排了利用計算器求數的平方根,立方根,以及利用有理數估計無理數的大致范圍等內容.這個環節的設置將有利于幫助學生感受無理數無限不循環的特點,更好的認識無理數.教學中,可結合具體情況,利用多種途徑培養學生的運算能力.
5.把握好教學要求
本章對于某些內容采用提前滲透,逐步提高的編寫方式:
(1)本章將點的坐標擴展到實數范圍,建立點與有序實數對的一一對應關系,為后續學習函數的圖像,函數與方程,不等式的關系等打下了基礎.
本章通過一個例題學習實數的簡單運算.(p85,例2）
為說明有理數的運算法則和運算性質等在實數范圍內仍成立.而關于實數的運算在后面的二次根式一章中還要繼續研究,此處不必過難.
為了讓學生更好地理解數軸上表示無理數的點的存在性,本章涉及到了勾股定理.這個內容后面還會專門再學,此處僅讓學生了解即可.
我們的教學,應用一種發展的,動態的觀點來看待,不能要求處處一步到位.本章教學中類比思想,分類討論思想較突出.思想的教學,不一定都體現在題目中,在概念的教學中的滲透,是會遷移到對題目的解決中.希望學生在學習新知識的過程中,更好的感悟數學思想.隨著時間的推移,具體的知識也許會在學生的頭腦中遺忘,但解決問題的思想還在,將是基礎教育實效性的體現.
九．相關練習
填空
的算術平方根是 .
的算術平方根是 .
(1) . (2)= .
的平方根是 .
如果的一個平方根是-3,則是 .
已知,則= .
當 時,有最大值,最大值是 .
的算術平方根是 .
倒數等于它本身的數是 ;相反數等于它本身的數是 .
立方根等于它本身的數是 ;絕對值等于它本身的數是 .
平方根等于它本身的數是 ;算術平方根等于它本身的數是 .
已知互為相反數,互為倒數,,則的值 .
若互為相反數,互為倒數,表示到原點距離為1的有理數,則 .
下列命題中正確的有 (填序號)
(1)若那么; (2)兩數的和大于等于這兩數的差;
(3)若那么; (4)若 則;
(5)
(6)一個數越大,這個數的倒數越小;
(7)有理數加有理數一定是有理數;
(8)無理數加無理數一定是無理數;
(9)無理數乘無理數一定是無理數;
(10)若為整數,且,則的最小值是-12.
對于任意兩個實數對和,規定:當且僅當且時,= ,定義計算:=;若,則 ; .
一個實數的兩個平方根是,則這個實數是 .
在數軸上點和點之間表示整數的點有 個.
A B
0
若則的值等于 .
已知 : .
已知:= .
二選擇題
下列各式中,無意義的一個是 ( )
A. B. C. D.
的平方根是 ( )
B. C. D. 4
的立方根 ( )
A. 3 B.-3 C. D. -27
若式子有意義,則的取值范圍是 ( ).
B. C. D. 以上答案都不對.
若與互為相反數，則a等于 （ ）
A.1 B.-1 C. D.
下列各組數中互為倒數的是 （ ）
（-1）°與-1 B.-2和 C. D.
若，a、b互為相反數，則下列各對數中互為相反數的一對是
（ ）
B.與C.與 D.與
已知實數a，b在數軸上對應點如圖，則（ ）
A.2b+a B.-2b-a C.a D.b

a 0 b
太陽內部高溫核聚變反應釋放的輻射能功率3.8*千瓦，到達地球的僅20億分之一，到達地球的輻射能功率為 ( )千瓦
A.1.9× B.2.0× C.7.6× D.1.9×
數軸上A,B兩點實數a，b，則下列選擇正確的是 （ ）
B. C. D.
B A
b -1 0 a
下列說法中，正確的是 （ ）
A.3的平方根是 B.5的算術平方根是
C.-7的平方根是 D.a的算術平方根是
若，則x，，的大小關系是 （ ）
B. C. D.
三、解答題
已知一個三角形的三邊之長為a、b、c，且滿足 ，又已知c=41, b=40, 求a.
計算
(1)
(2)
(3)
已知，求的值
已知a、b、c滿足，求的值.
若，且求的值.
設a、b、c都是實數，且滿足，，求代數式的值。
答案
填空
6 ; 2. 3 ; 3.(1)160;(2)0.06 ; 4.; 5.81; 6.; 7.,3; 8.2; 9.,0,,0,非負數，0，0； 10.-4; 11.2或0;12.(1),(4),(5),(7); 13.1,-2; 14.; 15.4; 16.1996; 17.0.04858; 18.-23600
二.選擇
1.C; 2.A; 3.B; 4.A; 5.B; 6.B; 7.C; 8.B; 9.A; 10.C; 11.B; 12.C
三.解答題.
1.9; 2.(1) ,(2)-36,(3)-15; 3.-18; 4.; 5.49或1; 6.

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