資源簡介

課件246張PPT。數學史與中學數學教學數學史與中學數學教學一座寶藏
一條進路
一縷書香
一種視角
一個領域數學史與中學數學教學全日制義務教育《數學課程標準》：
在教學活動中，教師……要創造性地使用教材，積極開發、利用各種教學資源，為學生提供豐富多彩的學習素材。 案例 1 相似三角形的應用案例 1 相似三角形的應用案例 1 相似三角形的應用案例 1 相似三角形的應用案例 1 相似三角形的應用案例 1 相似三角形的應用隧道全長 1036米，
寬1.8米，高1.8米。
設計者：歐帕里諾斯案例 1 相似三角形的應用薩莫斯島上的穿山隧道(前530年)案例 1 相似三角形的應用泰勒斯是如何測量金字塔高度的？Thales (about 624 BC - about 547 BC)案例 1 相似三角形的應用泰勒斯是如何測量輪船離海岸距離的？案例 1 相似三角形的應用《周髀算經》卷上：
取竹空徑一寸，長八尺，捕影而視之，空正掩日，而日應空之孔。由此觀之，率八十寸而得徑一寸。故以勾為首，以髀為股。從髀之日下六萬里而髀無影，從此以上至日則八萬里。若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日。從髀所旁至日所十萬里。以率率之，八十里得徑一里。十萬里得徑千二百五十里。故曰日晷徑千二百五十里。案例 1 相似三角形的應用劉徽《九章算術》序：
以徑寸之筒南望日，日滿筒空，則定筒之長短以為股率，以筒徑為勾率，日去人之數為大股，大股之勾即日徑也。案例 1 相似三角形的應用《周髀算經》測日徑法 案例 1 相似三角形的應用《九章算術》勾股章：
今有句五步、股十二步，問：句中容方幾何？
案例 1 相似三角形的應用《九章算術》勾股章（17）：
今有邑方二百步，各開中門。
出東門一十五步有木。問：
出南門幾何步而見木？案例 1 相似三角形的應用《九章算術》勾股章（18）：
今有邑，東西七里，南北九里，各開中門。出東門一十五里有木。問：出南門幾何步而見木？案例 1 相似三角形的應用《九章算術》勾股章（19）：
今有邑方不知大小，各開中門。出北門三十步有木。出西門七百五十步見木。問：邑方幾何？案例 1 相似三角形的應用《九章算術》勾股章（22）：
今有木去人不知遠近。立四
表，相去各一丈。另左兩表
與所望參相直。從后右表望
之，入前右表三寸。問：木
去人幾何？案例 1 相似三角形的應用《九章算術》勾股章（23）：
今有山居木西，不知其高。山去木五十三里，木高九長五尺。人立木東三里，望木末適與山峰斜平。人目高七尺，問：山高幾何？案例 1 相似三角形的應用《九章算術》勾股章（24）：
今有井徑五尺，不知其深。
立五尺木于井上，從木末
望水岸，入徑四寸。問：
井深幾何？案例 1 相似三角形的應用巴比倫泥版文獻（巴格達博物館藏）：
已知直角三角形ABC中，AB =75，BC = 60，CA = 45。S(ΔACD)= 8, 6；S(CDE) = 5, 11; 2, 24；S(ΔDEF) = 3, 19; 3, 56, 9, 36； S(ΔEFB)= 5, 53; 53, 39, 50, 24。求AD、CD、BD、CE、DE、EF、DF、BE、BF。答案：AD = 27；CD =36；BD = 48；CE =21; 36。 案例 1 相似三角形的應用案例 1 相似三角形的應用16世紀的測量方法案例 2 全等三角形的應用古代的水準儀
在古代埃及和巴比倫，一些測量工具和基本的幾何圖形，往往被看作神圣的符號而被用作護身符。下圖是埃及古墓中出土的測量工具形狀的護身符，其中第二種顯然是測水準的工具。 案例 2 全等三角形的應用古代的水準儀由一個等
腰三角形以及懸掛在頂
點處的鉛垂線組成。測
量時，調整底邊的位置，
如果鉛垂線經過底邊中
點，就表明底邊垂直于
鉛垂線，即底邊是水平
的。這就是“邊邊邊”定
理的應用。 案例 2 全等三角形的應用我們有理由相
信，埃及人在
建造金字塔時
必用到這種測
量工具。 案例 2 全等三角形的應用 在古羅馬土地丈量員的墓碑上，我們也看到了這種水平儀。中世紀和文藝復興時代，這種工具仍被廣泛使用。 案例 2 全等三角形的應用 17世紀意大利數學家Pomodoro的《實用幾何》一書中給出的利用水準儀測量山坡高度的方法案例 2 全等三角形的應用角邊角
希臘幾何學的鼻祖泰勒斯（Thales, 前6世紀）發現了角邊角定理。普羅克拉斯（Proclus, 5世紀）告訴我們：“歐得姆斯在其《幾何史》中將該定理歸于泰勒斯。因為他說，泰勒斯證明了如何求出海上輪船到海岸的距離，其方法中必須用到該定理?！?案例 2 全等三角形的應用 坦納里（P. Tannery, 1843～1904）認為，泰勒斯應該是用右圖所示的方法來求船到海岸的距離的：設A為海岸上的觀察點，作線段AC垂直于AB，取AC的中點D，過C作AC的垂線，在垂線上取點E，使得B、D和E三點共線。利用角邊角定理，CE的長度即為所求的距離。這種方法為后來的羅馬土地丈量員所普遍采用。 案例 2 全等三角形的應用希思（T. L. Heath, 1861-1940）
提出了另一種猜測：如圖，泰
勒斯在海邊的塔或高丘上利用
一種簡單的工具進行測量。直
竿 EF 垂直于地面，在其上有
一固定釘子A，另一橫桿可以繞
A 轉動，但可以固定在任一位置
上。將該細竿調準到指向船的
位置，然后轉動EF（保持與底
面垂直），將細竿對準岸上的
某一點C。則根據角邊角定理，
DC = DB。 案例 2 全等三角形的應用上述測量方法廣泛使用于文藝復興時期。右圖是16世紀意大利
數學家貝里（S. Belli, ?～1575）出版于1565年的測量著作中
的插圖，圖中所示的方法與泰勒斯所用方法相同。有一個故事說，拿破侖軍隊在行軍途中為一河流所阻，一名隨軍工程師用運用泰勒斯的方法迅速測得河流的寬度，因而受到拿破侖的嘉獎。因此，從古希臘開始，角邊角定理在測量中一直扮演者重要角色。案例3 三角比日晷（古埃及、巴比倫、古希臘Anaximander）案例3 三角比Aristarchus（310 B.C.-230B.C.）案例 4 從巴比倫祭司到達芬奇 古代兩河流域的陶碗（圖1）以及中國仰韶文化陶盆（圖2）上的花瓣紋則表明，新石器時代的人們已經知道用圓弧來構造若干對稱圖形了。 案例 4 從巴比倫祭司到達芬奇 大英博物館所藏古巴比倫時期（公元前1800年-公元前1600年）的數學泥版BM 15285（殘缺不全）上，我們看到很多圓弧或圓弧與線段所圍圖形的面積問題，這些問題很可能是當時祭司編制的學校數學練習題。案例 4 從巴比倫祭司到達芬奇案例 4 從巴比倫祭司到達芬奇案例 4 從巴比倫祭司到達芬奇 公元前5世紀，希波克拉底在研究化圓為方問題時，求得了某些特殊弓月形的面積。在圖17中，希波克拉底發現，等腰直角三角形斜邊上的半圓與以直角頂點為圓心、直角邊為半徑的四分之一圓弧所圍成的弓月形面積與等腰直角三角形的面積相等。在圖18中，希波克拉底發現，大圓內接正六邊形相鄰三邊上的小半圓與大圓所圍成的三個弓月形連同其中一個小半圓的面積與等腰梯形面積相等。 案例 4 從巴比倫祭司到達芬奇“鹽窖”形 “鞋匠刀”形 阿基米德發現，鞋匠刀形的面積恰好等于以圖中大圓的半弦為直徑的圓面積。鹽窖形的面積恰好等于以大半圓直徑中垂線介于大半圓和中間小半圓之間的線段為直徑的圓面積。 案例 4 從巴比倫祭司到達芬奇達芬奇筆記本中的數學問題案例 4 從巴比倫祭司到達芬奇達芬奇筆記本中的數學問題案例 4 從巴比倫祭司到達芬奇 拿破侖遠征埃及途中提出的數學問題——用圓將一個圓四等分案例 4 從巴比倫祭司到達芬奇Reuleaux三角形“海豚形”案例 4 從巴比倫祭司到達芬奇 “蘑菇”形 “海豚形”Reuleaux三角形案例 5 一元二次方程求根公式巴比論：泥版數學文獻
泥版數學文獻中含有三種類型的一元二次方程：
x2 + bx = c；x2 = bx + c ；x2 + c = bx
巴比倫人已經分別知道求根公式案例 5 一元二次方程求根公式巴比倫泥版問題1：“【正方形】面積與邊長之和為3/4，【求邊長。】”
解法：“置投影（projection）1，半之，得1/2。1/2和1/2相乘，得1/4。將1/4與3/4相加，得1，從中減去1/2，即得邊長為1/2。”案例 5 一元二次方程求根公式H?yrup之解釋：
案例 5 一元二次方程求根公式巴比倫泥版問題：一個正方形面積減去它的邊長，差為870。求邊長。相當于求解 。
解法： “取1的一半，得1/2，以1/2乘1/2，得1/4；將1/4加到870，得870 1/4。這是29 1/2的平方。把1/2加到29 1/2，結果得30，即為正方形的邊長?！卑咐?5 一元二次方程求根公式《幾何原本》
在長度為b的線段AB的延 長線上求一點D，使 AD（b+ x）與BD（x）構成的矩形面積為c。 歐幾里得的作圖法b/2b/2b/2xx案例 5 一元二次方程求根公式釋律佗羅 (Sridhara,10世紀)
方程ax2 + bx = c的解法：
方程兩邊乘以 4 倍的二次項系數，再加上一次項系數的平方。(然后開方。)案例 5 一元二次方程求根公式
Al-Kitāb al-mukhta Jar fī Hisāb
al-jabr wa-l-muqābala Al-Khwarizmi (780?-850?)案例 5 一元二次方程求根公式花拉子米《代數學》案例 5 一元二次方程求根公式韋達
x2+ax=b (令 x = u+ z )
? u2+(2z+a) u+(z2+az+b)=0
(令2z + a =0)
? u2-1/4 (a2-4b)=0
?

? F. Viète （1540-1603）案例 6 等比數列求和公式泥版MS 1844（約公元前2050年）上記載如下問題的解法：七兄弟分財產，最小的得2，后一個比前一個多得1/6，問所分財產共有多少？七兄弟所得構成一個首項為2、公比為7/6、項數為6的等比數列。案例 6 等比數列求和公式 泥版M 7857（古巴比倫時期）上，人們發現了一個等比數列問題。正面是一個首項為99、公比為9的等比數列：99，891，8019，72171，649539。反面是：
649539 大麥
72171 麥穗
8019 螞蟻
891 鳥
99 人案例 6 等比數列求和公式萊因得紙草書（約公元前1650年）萊因得紙草上的等比數列問題 案例 6 等比數列求和公式埃及乘法12?7案例 6 等比數列求和公式《幾何原本》第 9 卷命題 35案例 6 等比數列求和公式References
[1] T. L. Heath (1921). A History of Greek Mathematics. London: Oxford University Press.
[2] C. S. Roero (1994). Egyptian Mathematics. In I. Grattan-Guiness ed., Encyclopaedia of the History and Philosophy of Mathematical Sciences. London: Rourledge. 30-45
[3] 汪曉勤, 韓祥臨 (2002). 中學數學中的數學史, 北京: 科學出版社
[4] 汪曉勤等 (2003). HPM視角下的等比數列教學，中學教研（數學）, (7)
[5] 汪曉勤(2006). 幾何視角下的等比數列求和公式. 中學數學教學參考, (2)案例 7 橢圓的方程N. Guisnée《代數在幾何上的應用》 (1705年)案例 7 橢圓的方程《圓錐曲線解析》(1707)M. de L’Hospital 1661-1704案例 7 橢圓的方程 斯蒂爾《圓錐曲線論》(1745)案例 7 橢圓的方程 賴特（J. M. F. Wright）《圓錐曲線之代數體系》（1836），案例 7 橢圓的方程羅賓遜（H. N. Robinson, 1806-1867）
《圓錐曲線與解析幾何》 （1862）案例 7 橢圓的方程查爾斯·戴維斯（C. Davies, 1798-1876）《解析幾何基礎》（1867），案例 7 橢圓的方程查理·斯密（C. Smith, 1844-1916）《圓錐曲線初論》（1890） ，案例 7 橢圓的方程References
[1] Guisnée, N. Application de l'Algebre à la Geometrie. J. Boudot et J. Quillau, 1705. 71-72
[2] L’Hospital, M. de. Traité Analytique des Sections Coniques. Paris: Montalant, 1720. 22-25
[3] Robinson, H. N. Conic Sections & Analytical Geometry. New York: Ivison, Phinney & Co., 1862. 140-141
[4] Steell, R. A Treatise of Conic Sections. London: St John’s Gate, 1745. 17
[5] Wright, J. M. F. An Algebraic System of Conic Sections & Other Curves. London: Black & Amstrong, 1836. 94-95
[6] Davies, C. Elements of Analytic Geometry. New York: A. S. Barnes & Co., 1867. 95-96
[7] Smith, C. An Elementary Treatise on Conic Sections. London: Macmillan & Co., 1890. 112-113案例8 和角公式 托勒密（2世紀）案例8 和角公式 托勒密（2世紀）案例8 和角公式帕普斯（Pappus, 3世紀末）《數學匯編》 案例8 和角公式帕普斯（Pappus, 3世紀末）《數學匯編》 案例8 和角公式阿布·韋發(Abu’l-Wefa, 940-998)案例8 和角公式克拉維斯（C. Clavius, 1537-1612）《星盤》(1593) 案例8 和角公式阿布·韋發的啟示案例8 和角公式阿布·韋發的啟示案例8 和角公式面積變換法之一 案例8 和角公式面積變換法之二 11數學史與中學數學教學 一座寶藏
一條進路
一縷書香
一種視角
一個領域2 一條進路在數學教學中，我們總是在不斷地回答“為什么”。
為什么等腰三角形兩底角相等？（驢橋定理）
為什么 是無理數？（不可公度量的發現）
為什么 ？（均值不等式）
為什么正整數和（正）偶數是一樣多的？（實無窮）
為什么函數 是奇函數？2 一條進路為什么要將圓周分成360度？（即，為什么在角度制里，要將圓周的1/360作為度量角的單位？）為什么 ？
為什么平面直角坐標系將平面所分成的四個部分叫“象限”？
為什么將冪指數稱為“對數”？
為什么某些函數被稱為“奇函數”和“偶函數”？
為什么稱未知數為“元”？2 一條進路為什么要將圓周分成360度？
1年＝360天；
60 進制
迦勒底人將黃道圓分成12宮，每一宮分成30等分。
2 一條進路古希臘天文學家Hypsicles (c. 180 B.C.) 將黃道圓分成360等分
托勒密（Ptolemy, 125 A.D.）在《天文大成》中使用60進小數，將圓周分成360度，每1度分成60小部分（分），每一小部分再分為60個小部分（秒），等等。2 一條進路 2 一條進路為什么巴比倫人選擇60進制（以60為底）？
Theon（4世紀）：60是能被1、2、3、4、5整除
的最小正整數。
諾伊格鮑爾（O. Neugebauer,
1899-1990）：可以將度量三
等分。
康托：巴比倫人知道一年有
360天；2 一條進路60是一年中的月數與行星（金、木、水、火、土）個數的乘積；
蘇美爾人將等邊三角形看作是基本幾何圖形，而等邊三角形內角為60度，因此若將60十等分，則就成為基本的角度單位，圓周含60個角度單位，故巴比倫人選擇60為底；
人除左手拇指為2節外，另四指各有3節，共12節；分別用右手五指數這12部分，得60。
蘇美爾文明融合了兩種文明，其中一個文明采用12進制，另一文明采用5進制。2 一條進路 許凱（N. Chuquet, 1445～1488）《算學三部》
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 … 1048576
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 20
4對應的數16自乘，等于8對應的256；
7對應的128乘以9對應的512，等于16對應的65536。2 一條進路 施雷伯（H. Schreyber, 1495～1525）《藝術新作》（1521）
0 1 2 3 4 5 … 16
1 2 4 8 16 32 … 65536
第二個數列中兩數的乘積對應于第一個數列中兩數的和。
第二個數列中三數的乘積對應于第一個數列中三數的和。
第二個數列中平方數的開方對應于第一個數列中偶數除以2。
第二個數列中某數開立方對應于第一個數列中某數除以3。2 一條進路斯蒂菲爾（M. Stifel, 1487～1567）《整數算術》（1544）
0 1 2 3 4 5 6 7 8 …
1 2 4 8 16 32 64 128 256 …
等差數列中的加法對應于等比數列中的乘法；
等差數列中的減法對應于等比數列中的除法；
等差數列中的簡單乘法對應于等比數列中的乘方；
等差數列中的除法對應于等比數列中的開方。2 一條進路克拉維斯(C. Clavius, 1538-1612)《實用算術概論》(1583)
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 …
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
32自乘，得10上面的1024，而10等于32下面的5的兩倍；
8乘以256等于11上面的2048，而11等于8和256下面3和8之和。 2 一條進路納皮爾（J. Napier, 1550～1617）2 一條進路薛鳳祚（?～1680）《比例對數表》(1653)《數理精蘊》：“對數比例，乃西士若往·訥白爾所作。以借數與真數對列成表，故名對數表?！浞ㄒ约哟?，以減代除，以加倍代自乘，故折半即開平方。以三因代再乘，故三歸即開立方。推之至于諸乘方，莫不皆以假數相乘而得真數。蓋為乘除之數甚繁，而以假數代之甚易也?！?數學史與中學數學教學 一座寶藏
一條進路
一縷書香
一種視角
一個領域3 一縷書香 薩頓
Isis (1913)
《科學史引論》(1927-1947)
《數學史研究》 (1936)
《科學史研究》（1936）
《科學史與新人文主義》（19??）G. Sarton（1884-1956）3 一縷書香薩頓
在科學和人文之間只有一座橋梁，那就是科學史。建造這座橋梁是我們這個時代的主要文化需要。 3 一縷書香同樣，在數學和人文之間也只有一座橋梁，那就是數學史。3 一縷書香 “人生之意義在于研究日、月、天。”
放棄財產、追求真理、身陷囹圄、鐵窗下仍在研究化圓為方問題的古希臘數學家阿那克薩哥拉Anaxagoras (499B.C.-428B.C.)16世紀法國數學家拉繆斯，少時家貧，祖父是燒炭的，父親是個卑微的農夫。12歲時，拉繆斯作為一位富家子弟的仆人進入巴黎的Navarre學院，白天伺候主人，黑夜挑燈苦學，9年后竟獲碩士學位！他的碩士論文是《亞里士多德所說的一切都是錯的》！3 一縷書香Peter Ramus （1515-1572）3 一縷書香 每天只花4小時睡覺、2小時吃飯休息、18小時學習學習、做研究的16世紀英國數學家約翰·第John Dee（1527 – 1609）3 一縷書香 為了研究數學，常常三天三夜不出房門的韋達F. Viète (1540- 1603)3 一縷書香 吾先正有言：“一物不知，儒者之恥?！苯翊艘患乙咽鳎瑸槠鋵W者，皆暗中摸索耳。既遇此書，又遇子不驕不吝，欲相指授，豈可畏勞玩日，當吾世而失之！嗚呼，吾避難，難自長大；吾迎難，難自消微。必成之。 Matteo Ricci (1552-1610)
Seu Kuang-ke (1562-1633) 3 一縷書香 在墨水結冰的冬夜，依然勤學不怠的索菲· 熱爾曼Sophie Germain（1776-1831）3 一縷書香 如果你要成為一名真正的追求真理的人，那么你在一生中必須對一切事情至少都懷疑一次。
——笛卡兒《方法論》3 一縷書香華里司
人活著既然注定要含辛茹苦，那么，我希望用求知的快樂給人生的酒杯加點糖。 W. Wallace (1768-1843) 3 一縷書香法布爾:牛頓二項式定理J. H. Fabre (1823-1915)3 一縷書香 “自任國會議員以來，他學習并幾乎精通了《幾何原本》前6卷。他開始學習這門嚴密的學科，為的是提高他的能力，特別是邏輯和語言的能力。因此他酷愛《幾何原本》，每次巡行，他總是隨身攜帶它；直到能夠輕而易舉地證明前六卷中的所有命題為止。他常常學到深更半夜，枕邊燭光搖曳，而同事們的鼾聲卻已此起彼伏、不絕于耳。” (1860年總統候選人簡介)A. Lincohn (1809-1865)3 一縷書香托馬斯·霍布斯
（Thomas Hobbes,
1588～1679）
40歲時才開始學習
幾何。3 一縷書香 美國著名爵士樂作曲家和演奏家亞提蕭（Artie Shaw）
數學學習以某種奇怪的方式給了我所知道的唯一實實在在的安全感，所以我感受到了在我整個生命里從未曾有過的那種精神上的快樂。 數學史與中學數學教學 一座寶藏
一條進路
一縷書香
一種視角
一個領域4 一種視角Furinghetti: 將數學史用于數學教學的過程4 一種視角 設計發生教學法時影考慮的因素：
學生的學習（心理學領域）
概念的歷史（數學史領域）
數學教材
課程標準
案例1 一元二次方程的概念案例1 一元二次方程的概念例 1 矩形面積為12，寬為長的3/4。問該矩形的長、寬各為多少？（埃及紙草書）
例 2 已知矩形面積為60，長比寬多7。問該矩形的長為多少？列出矩形的長所滿足的方程。
例 3 已知矩形面積為60，長比寬多7。長寬之和為17，問該矩形的長為多少？列出矩形的長所滿足的方程。 （巴比倫泥版 ）案例1 一元二次方程的概念案例1 一元二次方程的概念例 4 長為30英尺的梯子豎直靠在墻上，當梯子的頂端沿墻向下滑動6英尺時，底端離墻滑動多遠？
例 5 在例 3 中，如果梯子的頂端沿墻再一次向下滑動6英尺，那么底端將再一次滑動多遠？試列出底端再一次滑動的距離所滿足的方程。案例1 一元二次方程的概念例 6 如圖，有一所正方形的學校，南門和北門各開在南、北面圍墻的正中間。在北門的正北方20米處有一顆大榕樹。一個學生從南門出來，朝正南方走14米，然后轉向西走1775米，恰好見到學校北面的大榕樹。問這所學校每一面圍墻的長度是多少？試列出方程。案例1 一元二次方程的概念案例1 一元二次方程的概念（展示圖片）現在大家看到的是
中世紀歐洲最偉大的一位數學家，
他叫斐波納契。他在1225年寫成
一本書，叫《花朵》（聽起來不
像數學書名）。在該書中，斐波
納契提出了如下問題——斐波納契案例1 一元二次方程的概念 例7、如圖2，在等腰三
角形ABC中，已知AB=AC
=10，BC=12。AD是底邊
BC上的高。在AB、AC上
各求一點 E、F，在BC上
求兩點G和H，使AEGHF
是等邊五邊形。案例1 一元二次方程的概念在教師的引導下，基于已有的知識和經驗，學生從例2、3、5、6、7中分別得到各不相同的一元二次方程，如下表所示。 案例1 一元二次方程的概念案例1 一元二次方程的概念 練習1、兩個正方形面積之和為1000。一個正方形邊長是另一正方形邊長的減去10。求這兩個正方形的邊長。（巴比倫泥版上的問題）
練習2、在某公園內一塊邊長為50米的正方形空地上建造一個正方形魚池，要求水池旁邊有供人觀賞行走的通道，且水池占地面積為空地面積的60%。請完成你的設計。案例1 一元二次方程的概念案例1 一元二次方程的概念 本教學設計在以下幾個方面貫徹了新課程的思想、理念、目標和要求。
1、包含濃郁的歷史文化氣息，體現數學是人類的一種文化。讓學生體會數學的悠久歷史，數學與人類文明的密切相關性，數學文化的多元性。
2、教學活動建立在學生已有的知識經驗基礎之上，在引出新知識的同時也鞏固了舊知識（如開平方、軸對稱、勾股定理、圖形的相似性等）。案例1 一元二次方程的概念本教學設計在以下幾個方面貫徹了新課程的思想、理念、目標和要求。
3、增強學生的應用意識，讓學生體會數學與現實生活的聯系。
4、使學生經歷從實際問題中建立數學模型的過程，感受一元二次方程作為一種數學模型的重要性。
5、使學生經歷數學知識的形成過程。案例1 一元二次方程的概念6、利用背景知識以及古人的問題情境，激發學生的好奇心與學習興趣，促進自主學習。
7、使學生體會到不同數學知識之間的密切聯系。
8、創造學生的學習動機，為后面一元二次方程解法的教學埋下了伏筆。
案例2 相似三角形的應用 例 1、古塔測高
如圖所示，有一座落在平地上的古塔，不知高度，測得影長為11.3米。
現將一長為0.8米的竹竿直立，使其影子的末端與塔影的末端重合，測得竹竿的影長為0.2米。求塔高。案例2 相似三角形的應用 這個例子根據古希臘哲學家泰勒斯測量金字塔高度的傳說以及歐幾里得《光學》中測量物體高度問題改編而成，原型為杭州西湖北岸寶石山上的保俶塔。教師在講完這個例子后，可向學生介紹泰勒斯測量金字塔高度的故事，讓學生明白，歷史上人們對相似三角形性質的認識和應用很早，我們今天的方法早在兩千五百多年前就以經為泰勒斯所用。真是“太陽底下沒有新鮮事”！
案例2 相似三角形的應用例2、隔河測距
如圖所示，在A和B兩點之間有一條河。在BA延長線上取一點C，作BC的垂線AD和CE，點D位于BE上。測得AC = 5米，CE = 3.3米，AD = 3米。求A、B之間的距離。案例2 相似三角形的應用 這個問題根據海倫《Dioptra》中的間接測量問題改編而成。比古塔測高問題稍為復雜一些，因為，根據相似三角形性質所得到的比例中，有兩項含有未知數，不能直接求得AB。意大利HPM學者Chung Ip Fung等曾將與上述問題類似的問題與中國劉徽（3世紀）的海島測高問題同用于教學設計，目的是讓學生了解數學文化的多元性。案例2 相似三角形的應用 例3、校園占地
如圖，有一所正方形的學校，西門和北門各開在西、北面圍墻的正中間。在北門的正北方30米處有一顆大榕樹。一個學生從西門出來，朝正西方走750米，恰好見到學校北面的大榕樹。問這所學校占地多少？案例2 相似三角形的應用 這個問題是根據《九章算術》勾股章中的“邑方”問題改編而成的，原題為：“今有邑方不知大小，各開中門。出北門三十步有木。出西門七百五十步見木。問：邑方幾何？”本問題比前面兩個問題稍難，需通過開方求解。教師告訴學生，中國在漢代就有這類問題，漢代的測量技術已十分高超；中國古代的幾何學與測量密切相關。案例2 相似三角形的應用例4、勾股定理的推廣（分組討論，合作探究）
我們知道，在直角三角形ABC三邊上作三個正方形，則兩直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形面積，這就是勾股定理?，F在直角三角形ABC三邊上任作兩兩相似的三個三角形BCD、ACE和ABF，如圖所示。關于這三個三角形的面積，你能得到什么結論？給出你的證明。案例2 相似三角形的應用案例2 相似三角形的應用 這個問題要用到相似三角形的另一個性質，即面積之比等于相似比的平方。事實上，古代巴比倫人已經知道這個性質；而對于畢達哥拉斯是如何發現勾股定理的，西方數學史家的其中一種推測也是基于這個性質：過直角三角形直角頂點向斜邊引高線，得大小三個兩兩相似的直角三角形，它們的面積之比等于各自斜邊平方之比，但兩個小直角三角形面積之和等于大直角三角形面積，故它們的斜邊平方之和等于大直角三角形斜邊的平方。案例2 相似三角形的應用例5、愛琴文明的遺跡
古希臘歷史學家希羅多德（Herodotus, 前5世紀）描述了畢 達哥拉斯的故鄉、薩莫斯島上的一條約建于公元前530年、用于從愛琴海引水的穿山隧道，設計者為工程師歐帕里諾斯（Eupalinos）。這個隧道后來被人遺忘，直到19世紀末，它才被考古工作者重新發現。20世紀70年代，考古工作者對隧道進行了全面的發掘。隧道全長1036米，寬1.8米，高1.8米。兩個工程隊從山的南北兩側同時往里挖掘，最后在山底某處會合，考古發現，會合處誤差極小。當時人們挖隧道所用的標準方法是在挖掘過程中在山的表面向下挖若干通風井，以確定所抵達的位置，并校正挖掘的方向。然而，令考古學家驚訝的是，該隧道挖掘過程中并未使用這一方法！人們不禁要問：歐帕里諾斯到底是用什么方法來確保兩個工程隊在彼此看不到的情況下沿同一條直線向里挖的？案例2 相似三角形的應用在歐帕里諾斯600年后，希臘數學家海倫在一本介紹測量方法的小書《Dioptra》中給出一種在山兩側的兩個已知出口之間挖掘直線隧道的方法，人們相信：這正是歐帕里諾斯當年用過的方法。案例2 相似三角形的應用練習題
1、如圖，過直角頂點C向斜邊AB引垂線，D為垂足。于是直角三角形ADC、BDC、和ABC兩兩相似。你能利用相似三角形的性質證明勾股定理嗎？案例2 相似三角形的應用2、解《九章算術》問題：“今有井徑五尺，不知其深。立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸。問：井深幾何？”案例2 相似三角形的應用3、在一個勾5米，股12米的直角三角形空地上，要建一個正方形花壇，要求花壇的面積盡量大。請給出你的設計方法。（改編自《九章算術》勾股章“勾股容方”問題）
案例3 等比數列前 n 項和上海市楊浦高級中學
方耀華老師等比數列的定義：等比數列的通項公式：通項公式的推廣：設等比數列 ，首項 ，公比為 ， 【知識回顧】【問題】“一個窮人到富人那里去借錢，原以為富人會不愿
意，哪知富人一口應承了下來，但提出了如下條
件：借錢第一天，窮人還1分錢；第二天，還2分錢，
……以后每天所還的錢數都是前一天的2倍，
30天后，互不相欠。在30天中，第一天借給窮人1萬元，第二天借
給窮人2萬元，第三天借給窮人3萬元，……，以后每一天多借給窮人1萬元。能不能答應富人以上的條件?【問題解析】窮人還錢總數－富人借錢總數 ＝ ？富人借錢總數＝窮人還錢總數＝小組討論班級交流【問題解析】窮人還錢總數－富人借錢總數 ＝ ？富人借錢總數窮人還錢總數【問題解析】窮人還錢總數－富人借錢總數富人借錢總數窮人還錢總數答：不能答應富人的條件。【問題小結】求等比數列 前30項和等比數列前 項和【公式探究】設等比數列 ，首項 ，公比為 ，其前 對于一般的等比數列，它的前 項和公式是什么？項和【公式探究】萊因得紙草書（1650B.C.） 【公式探究】萊因得紙草書（1650B.C.） 【公式探究】設等比數列 ，首項 ，公比為 ，其前 項和方程法：【公式探究】如果 是等比數列， 幾何原本Euclid
(325B.C.~265B.C.) 【公式探究】設等比數列 ，首項 ，公比為 ，其前 項和合比定理：【公式探究】設等比數列 ，首項 ，公比為 ，其前 項和錯位相減法：—）個構造常數列【例題舉隅】例 1 兩河流域泥版MS 1844（約公元前2050年）上的問題：七兄弟分財產，最小的得2，后一個比前一個多得1/6，問所分財產共有多少？
例 2. 求等比數列1，2，4，… 第5項到第16項的和。例 3. 求 的值. (a 為常數)一個中心:兩個基本點：(1) 重要的求和方法：方程法；比例法；錯位相
減法；
(2) 重要的思想方法：特殊到一般、類比與轉化、
分類討論的思想方法.等比數列前n項和公式的推導及運用?！菊n堂小結】數學史與中學數學教學 一座寶藏
一條進路
一縷書香
一種視角
一個領域5 一個領域1859年，達爾文發表進化論。在此基礎上，?？藸柼岢鲆粋€生物發生學定律：“個體發育史重蹈種族發展史”，并將該定律運用于心理學領域，指出“兒童的心理發展不過是種族進化的簡短重復而已”。該定律被運用于數學教育，便誕生了歷史發生原理。E. Haeckel (1834-1919)5 一個領域▲波利亞(G. Pólya, 1887-1985)
弗賴登塔爾(H. Freudenthal, 1905-1990) ?? 龐加萊(H. Poincaré, 1854-1912)
F·克萊因(F. Klein, 1849-1925) ▼案例1 角的概念Keiser(2004)
研究對象：6年級學生
研究問題：6年級學生是如何理解角概念 的？他們在理解0?、180?和360?時有困難嗎？
研究方法：課堂觀察和訪談。案例1 角的概念歷史回溯：
古希臘人從關系、質和量三方面之一來定義角，歐幾里得在《幾何原本》中將角定義為“平面上兩條不在同一直在線的直線彼此之間的傾斜度”（關系）?？ㄆ账梗–arpus）將角定義為“包含它的兩線或兩面之間的距離”（量）。而普羅克拉斯（Proclus）則認為必須同時從大?。浚?、存在案例1 角的概念 的形狀和特征（質）、兩條直線之間的關系三方面來定義角 。但在古希臘時代，無論從哪一種定義，都未能很完善地刻劃這個概念。
另外，歷史上數學家在理解0?、180?和360?三種特殊角時遇到了困難，許多數學家給出的“角”的定義（其中包括希爾伯特《幾何基礎》中的定義）都不含這三種角。 案例1 角的概念研究發現：學生對角的理解也分成三種情形：
(1) 強調“質”的方面：一些學生認為，隨著正多邊形邊數的增加，“角”越來越??；即形狀越“尖”的“角”越大。
(2) 強調“量”的方面：一些學生認為，邊越長或者邊所界區域越大，角越大；
(3) 強調“關系”方面：一個學生不同意把角看作“兩條射線之間的‘寬度’，他認為角是將一條邊（終邊）旋轉后與始邊之間的一種“關系”。 案例1 角的概念 課堂上學生同樣很難理解0?、180? 和 360?這三種特殊角，因為在他們的概念表像中并不存在這些角。
Claire：
“如果它（180?）是一個角的話，那么它就需要有兩條邊，我看不出哪兒有兩條邊相交。”
“角有頂點以及兩條不同的線。我知道（在180?中）有兩條直線，但你說不出頂點在哪兒?！?br/> “（對于360?的角）圓是沒有任何角的，所以我不明白?！?br/> ……………………………………案例1 角的概念 研究結論
學生對角概念的理解具有歷史相似性。教材和學生都可以從前人理解角概念的困難中獲得諸多啟示。案例2 符號代數E. Harper (1987)
研究問題：學生對符號代數的認知過程是否與符號代數的歷史發展過程相似？
研究方法：測試。丟番圖《算術》：“已知兩數的和與差，證明這兩個數總能求出?！?br/> 被 試：英國兩所文法學校1-6年級各12名學生，共144人。案例2 符號代數G. H. Nezzelmann《希臘代數》(1842)：
代數學的發展經歷三個階段：
案例2 符號代數修辭代數解法：文字表達
丟番圖的解法：設和為 100，差為 40，較小數為x，則較大數為 x + 40。這樣就有2x + 40 =100，從而得 x = 30。因此兩數分別為30、70。
韋達的解法：設和為a，差為b。又設較小數為x，則較大數為 x + b，于是 2x+b=a，故得x =(a-b)/2。因此兩數分別為 (a-b)/2、(a+b)/2。案例2 符號代數 1? 修辭的解法
Jane（二年級，12歲零8月）：
“和除以2，差除以2。和除以2的商與差除以2的商相加，得到第一個數；從和除以2的商中減去差除以2的商，得到第二個數。例如：和＝8，差＝2，8/2＝4，2/2=1，第一個數＝4+1=5；第二個數＝4-1=3?！卑咐? 符號代數 2? 丟番圖的解法
Barry（三年級，13歲零10個月）：
x – y = 2 （1）
x + y = 8 （2）
（1）+（2）得2x =10，x =5。代入（2）得：5+ y =8，y = 8-5，y = 3。對于任何數，你都可以這樣做?！卑咐? 符號代數 3? 韋達的解法
設兩數為 x 和 y，n = x 和 y 的和，m = x 和 y 的差，一般的方程為 n = x + y，m = x- y。兩式相加，m + n = 2x。求得 x，回代，求出y。案例2 符號代數案例2 符號代數研究結論：
學生對符號代數的認知發展過程與符號代數的歷史發展過程具有相似性。
案例3 數軸上的無理數——它們在何處？
1 研究背景
前人的研究表明：被試在有理數和無理數的判斷、有理數、無理數的定義和對無理數不同表征的靈活運用等方面，存在困難。案例3 數軸上的無理數——它們在何處？Arcavi運用數學史知識，從教師的知識、觀念、誤解三個方面對84位在職初中數學教師作了調查。70%的教師知道無理數概念最早出現于公元前的希臘。但很少有人知道無理數是如何產生的。
關于歷史上負數、小數和無理數的出現次序，55%的教師認為歷史上小數的出現比無理數早；10%的教師不作回答。這表明，教師不僅缺乏歷史知識，而且認為無理性取決于小數。案例3 數軸上的無理數——它們在何處？Arcavi認為，無理數起源與幾何有關，這為無理數教學提供一個新的視角。
大約在公元前400年，歐多克斯首次從理論上討論了無理數，后出現在歐幾里得的《原本》中。
斯蒂文（S. Stevin，1545-1620）在《十進算術》（1585）中引入了十進制小數。
歐拉（L. Euler,1707-1783）在《代數學引論》(1770)中首次正式引入負數。案例3 數軸上的無理數——它們在何處？研究問題：初中數學教師是如何理解無理數的幾何表示的？案例3 數軸上的無理數——它們在何處？ 2 研究方法
問卷調查與訪談。
你怎樣在數軸上找出 的準確位置？
這里用 而不用 ，是因為 會讓測試者不由自主地回憶起原來的知識，而不是自己構造。
題目已經給出帶有格點的笛卡爾坐標系，為了簡化作圖已在其上標出數軸。顯然是利用勾股定理來構造所需的長度。答案如圖1所示。案例3 數軸上的無理數——它們在何處？圖 1 的幾何構造法一案例3 數軸上的無理數——它們在何處？被試
46名中學數學職前教師
（參加專業發展課程“學習的設計：中學數學” ）
其中16人參加了訪談。
案例3 數軸上的無理數——它們在何處？ 3 研究結果案例3 數軸上的無理數——它們在何處？ 3.1 幾何表示法有4人運用以下方法：圖2 的幾何構造法二 案例3 數軸上的無理數——它們在何處？有4人運用以下方法： 圖3 運用現成的直角三角形來確定 的位置 案例3 數軸上的無理數——它們在何處？11有1人運用以下方法：圖4 運用螺旋三角形法來構造 案例3 數軸上的無理數——它們在何處？有1人運用以下方法：圖5 運用等積法來確定 的位置 A的面積 = B的面積案例3 數軸上的無理數——它們在何處？ 5.2 數字表示法 有24人運用 的小數展開形式來確定 的位置，按照精確度由低到高來排列：一些教師在可能存在的周圍畫了一個“大大的點”，并說“大約在這里”。 ，因此在2和3之間。在2和3之間的某個位置。我不知道具體的位置，但是肯定比較接近2。案例3 數軸上的無理數——它們在何處？我用計算器算出 ，找到2、3之間的中點，再
找2和2.5之間的中點，則 大約在2.25處。 在4和9這兩個平方數之間一共有5個整數，而5就在4的后面，因此 在2和3之間的 處。線形插值法
把2和3之間10等分，找到兩個相鄰的分點 ，使得 的平方值小于5而 的平方值大于5。然后再將 之間10等分，重復以上過程直至找到最合適的近似值。案例3 數軸上的無理數——它們在何處？離5最近的平方數是4 ， ，所以應該比2大一點。為了更加精確，我們嘗試更多的數字。案例3 數軸上的無理數——它們在何處？3.3 函數圖像表示法有3名教師運用圖像法。他們假設圖像是具有有效性，從圖中可以簡便地讀出長度，而不是尋找一種構造該長度的方法。應該指出的是，其中一名教師對該做法有效性進行質疑。根據函數 的圖像 ，然后找到 的解。該解法附有如下說明，“如果圖像作得絕對精確，我就會找到確切的位置”。與上述做法類似，運用函數 的圖像，在圖上找出函數在 的值。案例3 數軸上的無理數——它們在何處？ 5.4 不可能 一些教師對該題的正確性產生了懷疑，大部分可能是因“準確”這個詞產生了如下的回答。 我認為在數軸上無法找到 確切的位置，因為它是一個無限小數。我確信用計算器可以做出來，但是我不知道怎么做。案例5 數軸上的無理數——它們在何處？如果不知道小數點后的無窮位數，我能找到 準確的位置嗎？ 你不能作出確切的位置。這是個詭秘的問題， 是無理數（即無限小數），因此它不可能在數軸上準確地標出。計算器上就沒有那樣的點。案例3 數軸上的無理數——它們在何處？3.5 實數軸與有理數軸只有9 名職前教師（ 19.6 ％ ）能夠找到 的位置，我們調查其中的原因。結果發現，絕大多數準教師認為數軸就是有理數軸。那些認為“你不能”和或多或少用小數近似值的人都持有這一看法。
我們希望從訪談中，探討 一個精確的而不是近似的位置。在這樣的要求下，大家共同的意見是它必須四舍五入后才可以定位。案例3 數軸上的無理數——它們在何處？安娜：不可以，因為我們不知道確切值。由于以5結尾的小數0.05比以6結尾的小數0.06要小。所以它們不相等，而 沒有尾數我們就永遠都不會知道其確切的值。卡拉：嗯，它就在那，因為還有很多其它無理數。你看，如果你能夠像距離1和2點之間就是1厘米或什么，你就可以精確地做出這個點，像這樣一個無理數我不能標出精確的位置，或者你也知道……訪談的問題：在數軸上是否可以精確地標出 的位置？案例3 數軸上的無理數——它們在何處？3.6 找出有理數精確的位置訪談者： 呢，你能夠在數軸上找到 的位置嗎？
安娜：在數軸上？
訪談者：是…
一數。但因為我們假設3是循環的，我們可以四舍五入。從這些片斷中，很顯然看出困惑在于無限小數。認為它不是無理數而是小數的無限展開，訪談者詢問有理數的精確位置。案例3 數軸上的無理數——它們在何處？安娜：是啊，也就是，好吧你可以用除法，1除以3等于0.3的循環小數…哦它又是沒有終點的。好吧，（停頓）嗯，我覺得由于3是不變的，所以我們可以知道它的位置，但是它是循環的我又不知道了。就像我們不知道在小數的百萬分位上是4或什么，或是0
訪談者：也就是說我們無法找到確切的位置嗎？
安娜：不是，是說在0.3的循環小數與0.4之間的某個位置。
訪談者：在中間的某個位置？
安娜：但是，不（笑）我猜不是，因為它是一個不同的數，如果使它不循環的話你減小它的值。像假設它有一個特定值，而實際上它沒有，在現實中也不會有。案例3 數軸上的無理數——它們在何處？在進一步采訪中,討論做法產生這樣一個疑問，究竟是什么導致大家認為把一個單位10等分比把它3等分更容易。
威廉：我知道，我把直尺放在那我就知道了，很簡單的。直尺可以十等分，我也可以用圓規來做…（在這，威廉想要示范用圓規來十等分一個單位，但沒有成功） …我不知道怎樣做，但我認為顯然是可能的。直尺是最簡單的，在直尺上你不用看，如果把10厘米分成3等分，作每一份是3.33時，我想，我通常取近似值大概是3 …案例3 數軸上的無理數——它們在何處？ 應該指出的是，威廉對無理數的理解是接受訪談教師中最差之一。從威廉的有理數概念上很難建構無理數的概念。在大多數實際應用中有理數的近似值就足夠了，他看成數軸變成一把普通直尺子的極端例子，也就是說無限循環小數不存在。案例3 數軸上的無理數——它們在何處？ 3.7 從數值法到幾何法 如上所述，最常見的方法是小數近似值。這個問題很少有人用勾股定理。我們好奇地是，是否因為一看題目沒人想起勾股定理，或是否有更深層次的問題。原來，雖然職前教師熟悉定理，一般會用它來求某個直角三角形的未知邊長，而不會構造所需的長度。訪談者提示史蒂夫思考幾何方法，甚至用 例子來說明對于如何來做。訪談如下：
訪談者：好的，下一個問題。嗯，你在數軸上如何找到 確切的位置？
史蒂夫：那么，這次也不能用計算器？
訪談者：是的，不能。案例3 數軸上的無理數——它們在何處？史蒂夫：嗯，大致找到。兩個最近的完全平方數，4的平方根是2，9的平方根是3，所以就在2和3之間的某個地方。那么我猜我會用2.2試一下，看2.2平方是否是5，或是否太小了，我猜我會嘗試不同的數，然后平方看它與 接近的程度…
訪談者：如果不用計算器的話，這種做法相當的枯燥，對嗎？
史蒂夫：是的，是的。
訪談者：用一種幾何的方法呢？
（訪談者介紹找 的思想，就是邊長是1的等腰直角三角形的斜邊）
史蒂夫：哦好的，這很有趣。案例3 數軸上的無理數——它們在何處？訪談者：嗯，其他方法很好，但是都只是一個近似值而且做法相當繁瑣。那么我想看看是否也可以用幾何法來找 確切的位置。
史蒂夫：嗯，嗯，那么你怎么處理 的問題，嗯（停頓）
訪談者：你知道的，我打算跳過的…
史蒂夫：別跳過，我要用很長的時間來思考哪些數可以湊成 …
訪談者：你用什么方法來湊出 的？案例3 數軸上的無理數——它們在何處？史蒂夫：好的，你看邊長為45、45、90的三角形可作出 ，邊長為60、30、90的三角形可以作出 ，但是我必須，我猜我能夠找到關于 的比率。只是看看是找不到答案的…不用計算器的話對我來說確實很難。
經提示后，史蒂夫引用一些常用三角形比，這些三角形比是要求學生記憶的，如果想不起來就先用勾股定理來算。事實上，只有20 ％職前教師能夠運用勾股定理解題。此外，在訪談通過啟發提問，也沒能從職前教師的概念印象中喚起該定理。
基于此，我們認為勾股定理對大多數職前中學數學教師來說，是一種惰性知識。我們可以把它看成目前國家數學教育2個普遍問題的征兆：一、在學校課程中弱化幾何的趨勢；二、不成體系的課程。案例3 數軸上的無理數——它們在何處？ 3.8 精確的位置：可以得到什么？那些能夠找到 確切位置的職前教師，我們發現他們確信這樣的數是存在的。他們的理解似乎更強勁。甚至我們可以說正是幾何表示的有效性，幫助他們的概念發展升華到最后階段。這與那些提供小數近似值的人形成了對比，數被看作是一個過程，需要不停地試。斯蒂芬妮的訪談如下：
斯蒂芬妮：嗯，好吧。我想，你怎么可以建立這樣一個三角形并且該三角形是存在的，是無理數的另一種解釋。由于存在這樣一個三角形，這個斜邊長表示 。所以應該我們可以接觸的一些一樣，我不知道。案例3 數軸上的無理數——它們在何處？在克萊爾的訪談中，她談了一下教師不應該僅滿足于無理數近似值的原因?？巳R爾的訪談如下：
克萊爾：一點當然沒有尺寸的。因此在數軸上你不能用鉛筆點，因為這樣是有尺寸的，盡管它沒有。從直覺上你可以說是的，它在那，用這種方式表示一個數…作為答案，如果你用圓規來做，而且你假設構造是準確和精細的，好的， 則 表示無理數 ，而不是我們常說的近似值1.41 。
訪談者：在你看來，我們讓學生了解這一點的重要性是什么，你知道精確值和近似值，他們什么時候做出的答案是近似值？對你有什么價值？你覺得他們應該了解這些東西嗎？案例3 數軸上的無理數——它們在何處？克萊爾：我仍然認為最好求出精確值，而不是估計值。我是一個喜歡講數學術語的人，如果你在7、8年級不強調 不是3.14，它只是一個數的估計值的話，你解釋圓的周長或什么就出現問題。我覺得對于理解某個特定值來說，這是一個非常重要的術語。
訪談者：好的…
克萊爾：因此我認為不應該輕視這個問題。當它是精確值，那么就求精確值，當它是四舍五入的時候，那么就求四舍五入的估計值。案例3 數軸上的無理數——它們在何處？ 4 結論與教學建議無理數概念對于理解從有理數系到實數系——數的概念擴充是至關重要，因此教學應關注這個概念的發展。 無理數的小數表示，對無理數概念的理解毫無幫助。 必須清楚地認識到，從有理數的發現到建構實數集合經歷了2500年。數學家們花費幾千年才發展起來的內容，要讓學生幾節課的時間就理解了，這是不合理的。尤其是學習者處于無理數概念的形成階段時，無理數的幾何表示是一個非常有力的和不可缺少的教學工具。案例3 數軸上的無理數——它們在何處？無理數的幾何表示可以從以下兩方面來幫助學生。
第一，學生可能會對無理數和它的有理近似值之間的區別更加敏感。
第二，通過無理數的另一種表示法（數軸上的點，無理數的長度）來吸引學生的注意力，及時地擺脫無限構造，幫助他們掌握無理數的概念。
但是如果教師自己沒有掌握相關的知識，企圖讓學生理解是不可能的。案例3 數軸上的無理數——它們在何處？案例4 平面概念K. Zormbala, C. Tzanakis
研究對象：51位大學非數學專業畢業、從事各種職業的對象（社會學家、小學教師、德文和英文教師、心理學家、律師、醫生）
研究問題：非數學專業畢業生是如何理解平面概念的？案例4 平面概念研究方法：問卷調查。
調查問題：
(1) 請描述什么是平面；
(2) 在你看來，“平面”和“表面”有何不同？
(3) 作出一個平面。 案例4 平面概念案例4 平面概念案例4 平面概念萊布尼茨辛松高斯案例4 平面概念研究結論
被試對平面概念的理解與歷史上巴門尼德(Parme-nides, 前5世紀)、海倫(Heron, 1世紀)、萊布尼茨(G. W. Leibniz, 1646～1716)、辛松 (R. Simson, 1687-1768)、高斯 (C. F. Gauss, 1777-1855)、皮埃里(M. Pieri, 1860-1930)等數學家的理解具有相似性 。案例5 實無窮概念研究問題：高中生比較無窮集合時采用何種策略？是否具有歷史相似性？
研究方法：測試與訪談
被試：江蘇省某中學高二、高三兩個年級各一個班，共94人。他們只具有一些初步的集合和元素的知識，尚未接觸過無窮集合的知識，也不曾閱讀過有關康托爾集合論方面的書籍。 案例5 實無窮概念實無窮測試題
1、正整數集{1，2，3，4，5，…}中的元素是否比平方數集
{1，4，9，16，25，…}中的元素多？
A、是 B、否 C、不知道
解釋你的答案。
2、正整數集{1，2，3，4，5，…}中的元素是否比偶數集
{2，4，6，8，10，…}中的元素多？
A、是 B、否 C、不知道
解釋你的答案。案例5 實無窮概念3、觀察長度分別為4厘米和6厘米的線段AB和CD，若比較
AB和CD上的點，CD上的點是否比AB上的點更多？
A、是 B、否 C、不知道
解釋你的答案。 案例5 實無窮概念 4、再觀察線段AB和CD，連接CA和DB，并延長，交于點O，設P是CD上任意一點，連接PO，交AB于P?。CD上的點是否比AB上的點更多？
A、是； B、否； C、不知道
解釋你的答案。案例5 實無窮概念5、設 ， ，則集合A和
B是否具有同樣多的元素？
A、是; B、否; C、不知道
解釋你的答案。案例5 實無窮概念 兩個集合 A 和 B都滿足：
(1) A和B都是無窮集合；
(2) B是A的真子集；
(3) A和B的元素之間存在一一對應關系。 案例5 實無窮概念案例5 實無窮概念研究發現：學生比較無窮集合所用的策略
類型1 集合A與集合B中的元素個數均為無窮，所以元素一樣多。
類型2 集合A與集合B的元素都是無窮多，無法比較。
類型3 集合B是集合A的真子集，集合A中的元素比集合B中的元素多。
類型4 集合A與B之間存在一一對應關系，兩個集合中的元素一樣多。案例5 實無窮概念歷史相似性
古希臘
G. Galilei (1638)：Dialogues concerning two new sciences：兩條不相等的線段AB和CD上的點可以構成一一對應；正整數集和正整數平方所構成的集合之間可以建立一一對應關系。伽利略沒能解決部分與整體“相等”的矛盾。他認為無窮大量都是一樣的，不能比較大小，即不能將“大于”、“小于”和“等于”這樣的詞用于無窮大量。 案例5 實無窮概念19世紀，高斯（C. F. Gauss, 1777-1855）、柯西（A. L. Cauchy, 1789-1857）、魏爾斯特拉斯（K. Wierestrass, 1815 -1897）等都無法接受無窮集合，因為它們和伽利略一樣，無法解決“部分等于整體”這個矛盾。
波爾察諾（B. Bolzano,1781-1848）Paradoxes of the Infinite：包含關系準則－－“如果集合A是集合B的真子集，即A真包含于B，那么A中的元素少于B中的元素?！卑咐? 中學生對古典概率的理解研究問題：中學生在解決概率論早期歷史上的古典概率問題時是否重復了歷史上數學家的解決方法？
研究方法：測試、訪談
被試：浙江省某一級重點中學、普通中學和綜合高中高一（16-17歲）、高二（17-18歲）兩個年級共16個班級652名學生。案例6 中學生對古典概率的理解研究工具
1.在古代機會游戲中，一方擲兩個骰子，讓另一方猜點數和。顯然，有些點數出現的可能性要小一些。比如，要擲得 12 點，只有一種方式，即兩個骰子必須同為 6 點，亦即。但要擲出 8 點，就不止一種方式了，因為，等等。其他點數相類似。案例6 中學生對古典概率的理解(1) A 認為，最佳選擇是7點，因為它是可能性最大的點數；
(2) B 認為，最佳選擇是6點或8點，因為它們都是可能性最大的點數；
(3) C 認為，最佳選擇是6點、7點或8點，因為它們都是可能性最大的點數；
(4) D認為，最佳選擇是3、4、5、6、7、8、9、10或11點（除了2點和12點以外的所有點數），因為它們都是可能性最大的點數。
你認為A、B、C、D四人中誰的看法是正確的？為什么？案例6 中學生對古典概率的理解案例6 中學生對古典概率的理解16世紀貴族們以及數學家卡丹、帕西沃里等人都出了錯，把有序當作了無序，直到伽俐略解決了它。而本測試結果看，總共有204人選C，占了31.3%。而選C的被試中有57.8%的學生所給出的理由重復了歷史上貴族與數學家們長達3個世紀的錯誤， 案例6 中學生對古典概率的理解2. 賭技相當的甲、乙兩人各出資賭金96金幣，規定必須要贏三場者才能贏得全部賭金共192金幣，但比賽中途因故終止，且此時甲乙勝局數為2:1。若你是仲裁者，請問此時應如何分配賭金，并說明理由。案例6 中學生對古典概率的理解案例6 中學生對古典概率的理解案例6 中學生對古典概率的理解結論
中學生在解決概率前史階段的“投擲問題”、“點數問題”時與歷史上數學家們的方法具有相似性。案例7 虛數與發散級數研究問題：中學生對虛數和發散級數的理解是否具有歷史相似性？
研究方法：測試
被 試：江蘇揚州某中學高一 3 個班級共 155 名學生，他們在學校里都沒有學過復數和無窮級數概念。案例7 虛數與發散級數 (1) 瑞士大數學家歐拉（L. Euler, 1707～1783）曾經遇到這樣的題目：求 。歐拉的結果是： 。丹麥著名數學家鄒騰（H. G. Zeuthen, 1839～1920）在大學考試中也遇到類似題目：求 。鄒騰的答案是 。你認為歐拉和鄒騰的答案對嗎？請發表任何評論。 案例7 虛數與發散級數 (2) 1703年，意大利數學家格蘭第（G. Grandi, 1671～1742）研究了 的和（有無窮多個加數，1 和-1交替出現）。你能求出這個和嗎？ 案例7 虛數與發散級數第1題結果案例7 虛數與發散級數第2題結果案例7 虛數與發散級數研究結論
就虛數和無窮級數概念而言，學生的認知過程重蹈歷史發展過程。本研究支持了F·克萊因、龐加萊、波利亞、弗賴登塔爾、M ·克萊因這些論斷。 案例8 函數概念研究問題：高中生是如何理解函數概念的？是否具有歷史相似性？
研究方法：測試與訪談。用自己的語言描述什么是函數。
被試：洛陽某中學高一和高三兩個年級的部分學生，其中高一122人，高三116人。案例8 函數概念案例8 函數概念案例8 函數概念研究結論
盡管中學生已經學過函數概念，但他們對函數的理解卻是多種多樣的，與17世紀以后到20世紀上葉不同時空數學家的理解有著高度的相似性。
謝謝關注

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