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由遞推式如何求數列的通項公式
貴州石阡民族中學 楊華章 電話 13385565259 郵編：555100
數列中由遞推公式求通項是一類常見又較復雜的問題，是一個難點，近幾年來高考數學卷中多有涉及，特別是2007年、2008年高考，全國數學卷Ⅱ中的數列問題就涉及典型的由遞推公式求通項的問題，因此這個問題是高考寵兒，變成了近幾年的高考熱點，也是重點，同學們要加以注意！
本問題可歸結為“已知”.這類問題本身很難，教材中沒有專門作出討論，但高考命題卻“遵照大綱而不拘泥于大綱，遵循教材而又要超越教材”，而本問題對考察學生思維的靈活性是很好的題材，故成為了高考的熱點.這里我們要強調的是，不是所有的遞推公式都可以求出通項，但我們注意到在千變萬化的遞推關系中，有一部分還是有章可循的.本文擬對這類問題作一些概括、歸納和探討，以使學生對這類問題不再感到棘手，消除得分障礙.
公式法
形如型的，可直接用等差、等比數列的通項公式求解.
已知.
解 由已知故是以1為首項，3為公差的等差數列，
所以
例2 已知
解 由已知得，數列是以為首項，為公比的等比數列，
所以
二、疊加法
形如的問題可用此法求解
已知.
解 ∵.∴
∴
上述各式相加，得
所以 .
累積法
形如的問題，可先求出，再將上述各式相乘即得.
例4 已知.
解 由已知，.再將上述各式相乘，得
所以
四、迭代法
形如），可將代入，代入，…，依此類推.
例5 已知
解
五、構造新數列法
對于非等差、等比的數列，我們可以根據給出的遞推關系的特點，構造一個新數列，使其成為等差或等比數列，進而求解.
如例5的另兩種解法如下：
解1 ∵，∴
兩式相減得
∴ 為首項，以為公比的等比數列，故，又
∴ ，得出.
解2 ∵， ∴.
∴
故為首項，為公比的等比數列
∴
例6 已知
解 ∵，∴.
可見是以為首項，2為公差的等差數列.
∴∴.
六、數學歸納法
此法是解決這類問題的通法，即先由遞推關系計算出若干項，據此猜出的一般形式，再用數學歸納法證明之.
例7 已知
解 由已知
由此猜想
下面用數學歸納法證明.
當時，顯然成立.
假設當時成立，即，那么當+1時，可見，當時命題也成立.
綜合（1）（2）知，對于一切自然數命題均成立.
所以 .
七、待定系數法
形如 （其中的為常數）可考慮用待定系數法。
例8 已知數列滿足求.
解 可設與比較系數得，則數列是以為首項，以2為公比的等比數列.故有
所以
例9 已知數列由遞推關系給出，求.
解 可設將它展開整理得
比較可得因而，數列
是以為首項，3為公比的等比數列，
所以 故.
八、特征根法
形如可考慮用特征根法。
例10 已知數列求數列的通項.
解 其特征根方程為
令
由 得
所以.
二0一0年九月十八日

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