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四川省各地市2010年高考數(shù)學(xué)最新聯(lián)考試題分類(lèi)大匯編
第8部分:立體幾何
一、選擇題：
（四川省成都市2010屆高三第三次診斷理科）設(shè)m、n為不重合的兩條直線，α、β為不重合的兩個(gè)平面，下列命題為真命題的是( )(A)如果m、n是異面直線，m(α，n(α，那么n∥α；(B)如果m、n是異面直線，m(α，n(α，那么n與α相交；(C)如果m、n共面，m(α，n∥α，那么m∥n；(D)如果m(β，m∥α，n(α，n∥β，那么m∥n.【答案】C
【解析】如圖，可知(A)不正確對(duì)于(B)，當(dāng)n與α平行時(shí)，也可以滿足m與n異面的條件，故(B)不正確對(duì)于(C)，因?yàn)閙、n共面，可設(shè)這個(gè)平面為γ，又因?yàn)閙(α，故m是平面α與γ的交線根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，當(dāng)n∥α?xí)r，必定有m∥n。(C)正確對(duì)于(D)，當(dāng)α與β相交時(shí)命題正確，但當(dāng)α∥β時(shí)，m、n可能是異面直線。故(D)錯(cuò)誤（3）(四川省綿陽(yáng)市2010年4月高三三診理科試題)已知m、n是兩條直線，α、β、γ是三個(gè)平面，下列命題正確的是（ B ）
（A）若 m∥α，n∥α，則m∥n （B）若m⊥α，n⊥α，則m∥n
（C）若 m∥α，m∥β，則α∥β （D）若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β
（8）(四川省綿陽(yáng)市2010年4月高三三診理科試題)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，A1C1到底面ABCD的距離為，若該四棱柱的八個(gè)頂點(diǎn)同在一個(gè)球面上，則B、B1兩點(diǎn)的球面距離為（ D ）
（A） （B） （C） （D）
4．（四川省雅安市2010屆高三第三次診斷性考試?yán)砜疲┰谡襟w中，M、N為棱AB與AD的中點(diǎn)，則異面直線MN與BD1所成角的余弦值是( D )
A． B． C． D．
6．（四川省自貢市2010屆高三三診理科試題）過(guò)空間一定點(diǎn)P的直線中，與長(zhǎng)方體的12條棱所在直線成等角的直線共有（ C ）
A．0條 B．1條 C．4條 D．無(wú)數(shù)條
8．（四川省南充高中2010屆高三4月月考理科試題）在正三棱錐S－ABC中，D是AB的中點(diǎn)，且SD與BC成45°角，則SD與底面ABC所成角的正弦為（C ）
A． B． C． D．
11．（四川省資陽(yáng)市2009—2010學(xué)年度高三第三次高考模擬理）在四面體ABCD中，已知，且DA、DB、DC兩兩互相垂直，在該四面體表面上與點(diǎn)A距離為的點(diǎn)形成一條曲線，則這條曲線的長(zhǎng)度是（ D ）
（A） （B）
（C） （D）
5、（四川省眉山市2010年4月高三第二次診斷性考試?yán)砜疲┮阎硎緝蓚€(gè)不同的平面，是一條直線且，則“”是“”的（ B ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
10、（四川省眉山市2010年4月高三第二次診斷性考試?yán)砜疲┮阎谕磺蛎嫔希?平面，若則兩點(diǎn)間的球面距離是（ A ）
A. B. C. D.
10．(四川省成都市石室中學(xué)2010屆高三三診模擬理科)如圖所示，在正三棱錐S—ABC中，M、N分別是
SC、BC的中點(diǎn)，且，若側(cè)棱
則正三棱錐S—ABC外接球的表面積是 （ C ）
A．12π B．32π
C．36π D．48π
二、填空題：
15. （四川省成都市2010屆高三第三次診斷理科）如圖，ABCD為菱形，CEFB為正方形，平面ABCD⊥平面CEFB，CE＝1，∠AED＝30(，則異面直線BC與AE所成角的大小為_(kāi)_________________.【答案】45(
【解析】由題意，正方形和菱形變成均為1，又平面ABCD⊥平面CEFB，所以CE⊥平面ABCD于是CE⊥CD，從而DE＝在△ADE中，AD＝1, DE＝,∠AED＝30(由正弦定理得：，
所以sin∠DAE＝＝，故∠DAE＝45(又BC∥AD，故異面直線BC與AE所成角等于∠DAE。15．（四川省雅安市2010屆高三第三次診斷性考試?yán)砜疲├忾L(zhǎng)為2的正四面體的各頂點(diǎn)都在同一球面上，則此球的表面積等于 。
14．（四川省自貢市2010屆高三三診理科試題）如圖3，A、B、C是球面上三點(diǎn)，且AB=2cm，BC=4cm，∠ABC=60°，若球心O到截面ABC的距離為cm，則該球的表面積為 。48
14．（四川省資陽(yáng)市2009—2010學(xué)年度高三第三次高考模擬理）若三條射線OA、OB、OC兩兩成角60(，則直線OA與平面OBC所成的角為_(kāi)______．
15．(四川省成都市石室中學(xué)2010屆高三三診模擬理科)在矩形ABCD中，AB=a，AD=2b，a 。
三、解答題
得分
評(píng)卷人
（19）(四川省綿陽(yáng)市2010年4月高三三診理科試題)（本小題滿分12分）
已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面BB1C1C與底面ABC垂直，BB1=BC，∠B1BC=60o，AB=AC，M是B1C1的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AB1//平面A1CM；
（Ⅱ）若AB1與平面BB1C1C所成的角為45o，求二面角B-AC-B1的大小．
19．解：（I）證明：如圖，連結(jié)AC1，交A1C于N，連結(jié)MN．
∵ M是中點(diǎn)，N是AC1的中點(diǎn)，
∴ MN//AB1．
∵ MN平面A1CM，
∴ AB1//平面A1CM．………………4分
（II）作BC的中點(diǎn)O，連接AO、B1O．
由 AB=AC，得AO⊥BC．
∵ 側(cè)面BB1C1C與底面ABC垂直，
∴ AO⊥面BB1C1C， …………………………………………………………6分
∴ ∠AB1O是AB1與平面BB1C1C所成的角，即∠AB1O=45o，從而AO=B1O．
又∵ BB1=BC，∠B1BC=60o，
∴ △B1BC是正三角形，故B1O⊥BC．
以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)B、OB1、OA為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．設(shè)OA=a，則A(0，0，a)，B1(0，a，0)，C(，0，0)，O(0，0，0)，
∴ ，，．
∵ OB1⊥平面ABC，故是平面ABC的一個(gè)法向量，設(shè)為n1，
則n1=，
設(shè)平面AB1C的法向量為n2=(x2，y2，z2)，
由 n2=0且 n2=0 得
令y2=a，得n2=(a，a，a)．
∴ cos=，
∴ =．
即二面角B-AC-B1的大小是． ……………………………………12分
19．（四川省自貢市2010屆高三三診理科試題）（本小題滿分12分）
如圖5，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=BC=AB,E是BP的中點(diǎn)。
（I）求證：EC//平面APD；
（II）求BP與平面ABCD所成角的正切值；
（III）求二面角P-AB-D的大小。
19、解：解法一(Ⅰ) 如圖，取PA的中點(diǎn)為F，連結(jié)EF、FD。
∵ E是BP的中點(diǎn)
∵ EF∥AB 且EF＝AB, 又 ∵DC∥AB, DC=AB
∴　EF∥DC ，∴ 四邊形EFDC是平行四邊形，故得EC∥FD.
又∵ EC平面PAD,FD平面PAD ∴ EC∥平面ADE ……(4分)
(Ⅱ) 取AD中點(diǎn)H，連結(jié)PH，因?yàn)镻A＝PD， 所以PH⊥AD,
∵平面PAD⊥平面ABCD于AD, ∴PH⊥面ABCD
∴HB是PB在平面ABCD內(nèi)的射影，
∴∠PBH是PB與平面ABCD所成角　　 ………(6分)
∵四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°∴四邊形ABCD是直角梯形, ∴DC＝CB＝AB,
設(shè)AB＝，則BD＝　在ABD中，易得∠DBA＝45°, AD＝，
　PH＝＝＝　
又 ∵ BD2+AD2＝4＝AB2,　 ∴ABD是等腰直角三角形，∠ADB＝90°, ………(7分)
∴ HB＝＝＝　
∴二面角P—AB—D的大小為 ……(12分)
解法二(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)設(shè)AB＝2，同解法一中的(Ⅱ)可得∠ADB＝90°,
如圖以D為原點(diǎn)，DA所在直線為軸，DB所在直線為軸，過(guò)D點(diǎn)且垂直于
平面ABCD的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系， ………(5分)[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)]
則B（0，，0），P（，0，）， ∴（－，，－），
平面ABCD的一個(gè)法向量為（0，0，1）， ………(6分)
所以， ………(7分)
可得PB與平面ABCD所成角的正弦值為，
所以PB與平面ABCD所成角的正切值為， 　 ………(8分)
(Ⅲ)易知A（，0，0），則＝（－，，0，）， ………(9分)
設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為＝（）則
　　由 => =>
令　可得＝(1，1，1) ……(11分)
從而，所以二面角P—AB—D的大小為 ……(12分)
19．（四川省南充高中2010屆高三4月月考理科試題）（本小題滿分12分） 如圖，在四棱維P—ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AB＝a，E是PB的中點(diǎn)．
（1）求異面直線PD與AE所成角的大?。?br/>（2）在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)F，使得EF⊥平面PBC；
（3）在（2）的條件下，求二面角F－PC－E的大小．
[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK] 19．（四川省資陽(yáng)市2009—2010學(xué)年度高三第三次高考模擬理）（本小題滿分12分）
如圖，已知PO⊥平面ABCD，點(diǎn)O在AB上，EA∥PO，四邊形ABCD是直角梯形，AB∥DC，且BC⊥AB，BC=CD=BO=PO，EA=AO=．
（Ⅰ）求證：PE⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角C－PB－D的大??；
（Ⅲ）在線段PE上是否存在一點(diǎn)M，使DM∥平面PBC，若存在求出點(diǎn)M；若不存在，說(shuō)明理由．
19．（本小題滿分12分）
（Ⅰ）連接DO，BO∥CD且BO=CD，則四邊形BODC是平行四邊形，故BC∥OD，又BC⊥AB，則BO⊥OD，因?yàn)镻O⊥平面ABCD，可知OD、OB、OP兩兩垂直，分別以O(shè)D、OB、OP為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系． 2分
設(shè)AO=1，則，，，，，則，，．
則，，故PE⊥PB，PE⊥BC，又PB∩BC=B，
∴PE⊥平面PBC． 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，平面PBC的一個(gè)法向量，設(shè)面PBD的一個(gè)法向量為，，，
由得取，則，
故二面角C－PB－D的大小為． 8分
（Ⅲ）存在滿足條件的點(diǎn)M． 9分
由（Ⅰ）可知，向量是平面PBC的一個(gè)法向量，若在線段PE上存在一點(diǎn)M，使DM∥平面PBC，設(shè)，則
，由，
得，∴，即M點(diǎn)與線段PE的端點(diǎn)E重合． 12分
19、（四川省眉山市2010年4月高三第二次診斷性考試?yán)砜疲ū绢}滿分12分）
已知梯形中，分別是上的點(diǎn)，是的中點(diǎn)。沿梯形翻折，使平面平面（如圖）。
（1）當(dāng)時(shí)，求證：；
（2）若以為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為，求的最大值；
⑶當(dāng)取得最大值時(shí)，求二面角的余弦值。
１９、（四川省攀枝花市2010年4月高三第二次統(tǒng)考文科試題）（12分）如圖，四棱錐的底面是直角梯形，為的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證：底面；
（Ⅱ）求二面角的大小.
19. （本小題滿分12分）
解法一：（Ⅰ）證明：，O為BC中點(diǎn)
∴
又
而ABCD是直角梯形，從而B(niǎo)C與AD相交 （沒(méi)有說(shuō)明扣1分）
∴PO⊥底面ABCD
（Ⅱ） PO⊥底面ABCD ，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)E，連接PE
由三垂線定理知
∴∠PEO為二面角P—AD—B的平面角
∵AB＝BC＝PB＝PC＝2CD＝2，O為BC中點(diǎn)
∴，，
由等面積法知
∴
∴∠PEO＝，即二面角P—AD—B的大小為（或或）
解法二： （Ⅰ）同解法一；
如圖，以BC中點(diǎn)O為原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)O與
AB平行的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O—xyz
（Ⅱ）∵BC＝PB＝PC＝2 且PO⊥底面ABCD
∴平面ABCD的法向量為
∵，，
∴，
設(shè)平面的法向量為，由得到
，令，則，，即
二面角的大小為（或或）
19．(四川省成都市石室中學(xué)2010屆高三三診模擬理科)（12分）
在如圖所示的多面體中，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，EC⊥AC，EF//AC，
（1）求證：平面BEF⊥平面DEF；
（2）求二面角A—BF—E的大小。
19．（12分）
解：（1）∵平面ACEF⊥平面ABCD，
EC⊥AC，∴EC⊥平面ABCD；
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
，
…………2分
設(shè)平面BEF、平面DEF的法向量分別為[來(lái)源:學(xué)§科§網(wǎng)]
，則
①
②
③
④
由①②③④解得
…………4分
，
故平面BEF⊥平面DEF …………6分
（2）設(shè)平面ABF的法向量，
…………8分
…………10分
由圖知，二面角A—BF—E的平面角是鈍角，
故所求二面角的大小為 …………12分

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