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考試命題與復習
馬：介紹嘉賓，簡單說明本主題意義。引出主講人隋淑春。
話題一：復習階段的高效命題。
（1） 一輪復習的命題，該怎樣涵蓋知識點，體現所命制的試題與課標、教材的關聯？
中 考 數 學 復 習 建 議
一、數學課程標準對我們初中數學要求掌握的知識點
課程標準分別從數與代數、空間與圖形、統計與概率、課題學習四個領域進行了知識點的規定，共包括148個知識點。
第一部分數與代數分為數與式、不等式與方程、函數三個方面，共包括48個知識點。
其中數與式中分為有理數、實數、代數式、整式與分式四個部分，共涉及21個知識點；不等式與方程中分為方程與方程組、不等式與不等式組兩個部分，共涉及8個知識點；函數中分為探索具體問題中的數量關系和變化規律、函數、一次函數、反比例函數和二次函數五個部分，共涉及19個知識點。
第二部分空間與圖形分為圖形的認識、圖形與變換、圖形與坐標、圖形與證明四個方面，共包括83個知識點。其中圖形的認識分為點線面、角、相交線與平行線、三角形、四邊形、圓、尺規作圖、視圖與投影八個部分，共涉及40個知識點；圖形與變換分為圖形的軸對稱、圖形的平移、圖形的旋轉、圖形的相似四個部分，共涉及20個知識點；圖形與坐標分為四個部分，共涉及4個知識點；圖形與證明又分為了解證明的含義、掌握一些基本事實，作為證明的依據、利用基本事實證明一些命題、通過對歐幾里得《原本》的介紹，感受幾何的演繹體系對數學發展和人類文明的價值四個部分，共涉及19個知識點。
第三部分統計與概率分為統計、概率兩個方面，共包括13個知識點。其中統計分為10個知識點，概率分為3個知識點。
第四部分課題學習包括4個知識點。
通過根據課程標準要求和課時安排以及每年山東省各市的中考題可以看出，數與代數、空間與圖形所占分值比例都大約為37.5%，統計概率所占分值比例大約為16.7%，課題學習所占分值比例大約為8.3%。按年級來說：7年級所占分值比例大約為8%（以填空選擇為主），8年級所占分值比例大約為37%，9年級所占分值比例大約為55%。
課程標準給我們提供了初中學段對數學的總體和具體目標要求，新課程標準對其中的具體內容又做了稍加改動，如果我們對課程標準不了解，對改動的內容不清楚，那么我們就會事倍功半。因此對課程標準的要求應該做到心中有數。對刪除的內容、增加的內容和要求難度有所降低的內容做到了如指掌，才能有的放矢。下面附表供大家參考。
刪除的內容
數與代數 空間與圖形
倒數 梯形中位線的性質。
最簡二次根式，同類二次根式，積與商的方根的運算性質，字母二次根式的討論和運算。最簡分式，分式的乘方。 兩圓連心線的性質，兩圓公切線。
添括號。整式除法運算。 弦切角定理，切線長定理，切割線定理，相交弦定理。
分組分解法，待定系數法。 正多邊形的有關計算，等分圓周。
三元一次方程組 作兩條線段的比例中項。
一元二次方程根的判別式、根與系數的關系。 cotA
增加的內容除統計與概率和課題學習外
數與代數 空間與圖形
能對含有較大數字的信息作出合理的解釋和推斷。能用有理數估計一個無理數的大致范圍。 探索并了解線段、矩形、平行四邊形、三角形的重心及物理意義（如一報均勻木棒、一塊均勻的矩形木板的重心）。
能理解一些簡單代數式的實際背景或幾何意義。能根據特定的問題查閱資料，找到所需要的公式， 通過探索平面圖形的鑲嵌，知道任意一個三角形、四邊形或正六邊形可以鑲嵌平面，并能運用這幾種圖形進行簡單的鑲嵌設計。
體會方程是刻畫現實世界的一個有效的數學模型。 視圖與投影
經歷用觀察、畫圖或計算器等手段估計方程解的過程。 圖形與變換
能根據一次函數的圖象求二元一次方程組的近似解。 了解圖形的位似，能夠利用位似將一個圖形放大或縮小。
能夠根據具體問題中的大小關系，列出一元一次不等式和一元一次不等式組，解決簡單的實際問題。結合函數關系的分析，嘗試對變量的變化規律進行初步預測。 能在方格紙上建立適當的直角坐標系，描述物體的位置。
體會二次函數的意義。能從圖象上認識二次函數的性質。 在同一直角坐標系中，感受圖形變換后點的坐標的變化。
會利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似解。 靈活運用不同的方式確定物體的位置
甚至對某些知識的要求難度也有所降低：
1、進行簡單的混合運算（以三步為主）。
2、進行有關實數的簡單四則運算（不要求分母有理化）。
3、會進行簡單的整式乘法運算（其中的多項式相乘僅指一次式相乘）。
4、進行因式分解（指數是正整數）。
5、一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超過兩個）。
6、二次函數對稱軸（公式不要求記憶和推導）
7、證明的難度有所降低（不要求2條以上填加輔助線）
馬：過渡話，引出主講人陳怡。
二、歷年山東省各市中考閱卷發現學生存在的問題及復習建議（以計算題和幾何證明為例）：
（一）計算題：
每年的中考數學試題中，計算類的題目是各市必定要考察的內容，主要包括二元一次方程組、不等式（組）、分式方程、分式化簡、一元二次方程等的考察比較多，雖然計算題比其他解答題目簡單，也容易得分，但是每年中考閱卷中各市都會發現學生出錯較多，下面就各種類型的易錯點總結如下：
1、二元一次方程組：以07年濟南市18題（2）小題為例：
學生出現的問題：
① x、y求對了，但最后不寫結論 x= 2
y= -2
②寫結論了，但寫成原方程解是 x=2
y= -2
應該寫成原方程組的解是 x= 2
y= -2
更有甚者，寫成原不等式組的解是 x=2 ，
y=-2
可能是中考復習中老師們把不等式組，列不等式組解應用題 強調的太多了，所以使學生見了什么都寫成不等式組。
如果學生只寫最后結果是 x= 2 也可以，且更簡捷。
y= -2
③運算問題不少，有的連有理數的四則運算都不會了
④粗心，筆下誤也很影響得分，如方程明明是2x -y=6 有的同學卻抄成
2x+y=6 照此作下去肯定全錯。
再如 原方程組的解是 x=2 可有的同學寫成 x=-2
y=-2 y=2
⑤兩個方程相減或移項時，符號的變號出現問題。
⑥步驟跳躍大。如個別學生在解出第一個未知數后，直接寫出第二個未知數答案，沒體現第二個未知數的任何解題過程，這種情況均扣分；
2、分式方程，以08年濱州第20題為例：
①去分母時右邊漏乘最簡公分母（x+1）（x-1）；
②不進行檢驗；
③進行檢驗，但是只是限于寫步驟，不管對錯，即下結論x=1是原方程的根，而實際上原方程無解。
3、用配方法解一元二次方程，以08年青島市16題為例： ；【08泰安20（2））用配方法解方程：．】
問題：解法選擇錯誤，題目對解法有要求，必須用配方法。一些考生因選擇了錯誤的解法而導致6分全丟。
4、分式的化簡求值：以08年威海19題為例：先化簡，再求值：，其中
解： ………………………………………2分
＝ …………………………………………………………3分
＝ …………………………………………………………4分
＝． ……………………………………………………………………5分
當時，原式＝． ……………………………………7分
問題：（1）“類比”乘法的分配律，錯誤的寫成，導致全錯；應該先算括號里面的。
（2）最后化簡的結果中漏寫“-”號；
（3）代數后未進行分母有理化。
5、不等式組（不等式）：以07威海19題為例：解不等式組，并把它的解集表示在數軸上：
出現問題：（1）不等式①去括號和不等式②去分母后，沒有變號；
（2）不等式①系數化成1是兩邊同時除以-2，不等號方向沒有改變；
（3）不會取不等式組的解集；
（4）在數軸上不會表示解集。
復習建議：
1、平日教學時，應嚴格步驟，詳細寫出過程；
2、做題要規范；對于易混、易錯的知識要善于總結、積累，從而有針對性的進行練習。
3、在平日教學中關注學生讀題，審題能力的培養。
4、沒必要給學生補充過多。囫圇吞棗，似是而非，會讓學生知識成夾生飯。
5、在教學過程中不能只要求學生學會方法，要訓練學生回答問題的規范性和嚴密性。
（二）幾何證明題
存在問題：
（1）審題不認真，數學語言不夠規范（或者數學語言不夠到位）
例如：
①“△”符號不寫，或寫成“∠”
② “∽” 符號寫成“≌”或“≈”或“＝”
③∠M=∠C ；∠P=∠Q
④∵□，∴AB=CD；
⑤用◇代表菱形。
表述M是BC中點時：
①M在BC的中間
②M在BC的中心
③M在BC的垂直平分線上（或∠A平分線上）
④M=BC
具體以2006年青島市中考第21題試題為例：
原題：
已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線，AG∥DB交CB的延長線于G。
⑴求證：ΔADE≌ΔCBF；
⑵若四邊形BEDF是菱形，則四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并證明你的結論。
解題出現問題情況分析
（一）簡單的幾何證明的邏輯形式存在問題。
最突出的例子是第⑴問中，由四邊形ABCD是平行四邊形，得到兩組對邊分別相等，即AD=BC、DC=AB；對角相等，即∠DAB=∠C。
有的學生不提四邊形ABCD是平行四邊形的條件，直接得結論，有的說“由題意得”等等，都不合適，特別是由四邊形ABCD是平行四邊形得到DC=AB，再利用E、F分別為邊AB、CD的中點，得到AE=CF時，不少學生沒能指出DC=AB，便得到了AE=CF。
（二）思維跳躍，邏輯混亂
例如：
（1）第二問證明四邊形AGBD是矩形時，在證明了一個角為90°后，有的學生證了AD∥BG，擺了條件AG∥DB，在沒有說明四邊形AGBD是平行四邊形的情況下，就直接說四邊形AGBD是矩形。
（2）同樣在證第二問四邊形AGBD是矩形時，連接EF,由菱形BEDF得EF⊥BD,學生想利用AD∥EF,得到AD⊥BD,但卻沒有證明AD∥EF.
（3）解答第二問時，部分學生連接EG后，沒能說明點E是對角線交點,或者說明點D、E、G在同一條直線上，便利用DG=AB得到矩形AGBD.
（三）結論開放后，證明思路不明確。
對于第二問中的結論開放題，部分學生搞不清楚已知條件是什么，結論是什么，從而出現將矩形AGBD作為條件，去證四邊形AGBD是菱形的情況。這顯然是解題時的思路與書寫證明過程給混淆了
復習建議：
（1）建議老師在平日的教學過程中有意識的鍛煉和訓練學生獨自讀題、申題和解題的能力。
（2）在日常的教學過程中，建議老師使用規范、嚴謹的數學用語。
（3）在復習期間，注意加強學生嚴密的邏輯推理能力的訓練，避免書寫時邏輯的跳躍。
（4）抓住課本，夯實基礎，理順關系，避免出現數學知識點之間的混亂。
（5）建議教師在落實幾何基礎知識的同時，關注幾何開放型問題，提高學生的邏輯思維能力。
馬：過渡話，引出主講人趙美香。
（2） AB卷分層檢測——關注不同層次學生的發展需求，更好地為二輪復習做好學情上的服務
復習過程中的檢測反饋環節是反饋復習效果、查缺補漏、調控復習過程，促進師生雙方改進教與學策略的重要環節，是及時診斷、及時反思的最有效途徑。長期以來，無論是升學考試，還是學生學習過程中的檢測，均以篩選、競爭為特征，用一套試卷作為“惟一公開尺度”來衡量學生。這種考試模式，對于以選拔為目的的考試是公平的，而對于檢測學習者在學習過程中的水平而言則表現出很多弊端：一卷檢測的結果雖然有利于區分和排隊，有利于對優生的激勵，但在客觀上卻直接造成了對差生的心理打擊。之所以中差生怕考試，就是因為考一回，心理受打擊一次，信心也喪失一次，他們感受不到自己學習的成功和提高，時間久了，形成自卑、自棄的心理，產生厭學情緒。從對待考試結果看，測試后，多數教師不是積極地進行質量分析，而是注重按分數給學生排隊，搞群體分類，這既不利于根據考試信息改進教學，又挫傷了多數學生學習的信心。
面對初三年級的學生，由于個體心智水平的差異、學習基礎的差異、學習能力的差異，學生的學習不可避免的發生了分化，尤其是在中考復習的過程中，隨著對綜合知識綜合能力要求的的不斷提高，這種分化就更加明顯。面對這種分化，老師們必須反思如何讓學優生在原有基礎上不斷提高，同時保證學困生不掉隊不放棄，最有效的方法就是分層教學，老師們探索AB卷分層檢測的方法，變“一把尺子”為“多把尺子”，多方面激勵學生、培養學生，讓不同層次的學生在復習過程中的每一小步都能有自己的提高和收獲
（一）分層分卷考試操作步驟
　第一步，科學分層。按照學生的學、學習能力，科學地劃分出不同層次。分層的目的不在于給學生排隊，而是為了便于因材施教。在平時的教學中，教師要根據不同層次學生的學，分別提出不同的學習要求，使其在時時成功的學習樂趣中，不斷實現高層次的發展目標
第二步，分別命題。針對學生的學、學習能力，根據不同的學習目標，分別命制不同難度的試卷，以供學生自由選擇。A卷主要是針對學困生的水平，以近階段復習中的最基本知識點、最基本考察點為主，甚至可以以教材中的原題、上課的例題、平日的作業題（題目可略作修改，部分典型題目甚至可以不做任何改動）呈現，讓學困生感受到自己只要努力學了就會有收獲，不斷的鼓勵他的學習信心和興趣，關注檢測對學學困生的激勵；B卷主要針對非學困生的水平，在檢測基本知識基本考察點的基礎上，進行一定的拓展和提高題目的訓練，B卷的試題設計難度比按照4：4：2的比例，再對參加B卷檢測學生的不同層次進行有針對性的檢測反饋
第三步，自由考試。檢測前，教師不人為地給學生分類，而是讓學生根據自己的學、學習能力，自由選擇試卷參加考試。讓學生診斷其學習的真實水平，改進學習方法，確立新的學習目標。
第四步，質量評價。檢測成績均以百分制評價，因此，成績統計與分析是以不同學生群體來進行的。對教師而言，通過對不同群體成績的分析，可以更準確地了解各類學生的學習狀況，正確地把握因材施教的要求；對學生而言，學不同、考試要求不同，但可以得到相同的分數。此時，分數已淡化了因排隊而帶來的學生心理上的壓力，更多地體現了對學習程度的認可。
（二）AB卷分層檢測的意義
與傳統考試模式相比，分層檢測的意義表現在：①針對學習能力、學不同的學生提出不同的要求，確立不同的考試目標，有利于全體學生的發展；②讓不同層次的學生得到不同程度的提高，使學有余力的學生有大顯身手的機會，較后進的學生也能夠體驗到成功的快樂，有利于學生自信心的培養和個性的發展；③使教師能夠準確地了解教與學的信息，有利于調控教學，有利于改進教學工作；④避免了以分數排名次的弊端，減輕了學生的心理負擔，有利于學生生動活潑地發展。總之，在這種考試模式下，考試不再是套在學生身上的沉重枷鎖，所有的學生都能找到自己的優勢，確立自己的發展目標。
（三）AB卷分層檢測實施后的效果
目前，在教育界流行這樣一句話“成功是成功之母”！不錯的，渴望成功，享受快樂是人的天性，對那些屢屢在考試中受挫、失敗的學困生們尤其如此，他們渴望從考試中來證明自己的努力是有收獲的，從而逐步樹立自己對學習的信心.在具體實行了一段時間AB卷分層檢測后收到了良好的效果，學困生的信心和學習興趣有了明顯提高，他們明白了一個道理：只要自己平日認真聽講，用心完成作業，就能在考試中取得一個比較理想的成績，他們用自己的努力感受到了考試帶來的樂趣，他們不再恐懼和抵觸考試；而那些優等生們也不再盲目自大，覺得考試題目過于簡單，無事可做，他們的學習積極性和主動性也被充分地調動起來，平日里會經常會湊到一起互相交流、討論自己找的一些難題的做法.
（視頻呈現AB卷考試現場\視頻呈現AB層學生的采訪自述，見《AB卷考試現場、采訪》光盤）
尤其在初三中考一輪復習階段，實施AB卷分層檢測，保證了各層次學生對基本知識的全面掌握，學困生能夠體會到學習成功的快樂，有效的遏制了學困生的掉隊。有能力的學生在牢固掌握基本知識的基礎上可以進一步拓展提高。使個層次學生為二輪專題復習和綜合練習打下了堅實的基礎。
(四)實施過程中遇到的問題及改進的方法
初期的做法是給學生出不同的卷子，每個班分A卷（后進生做）、B卷（中等生做）、C卷（優生做），具體實施以后，發現效果并不明顯. 首先是命題過于繁瑣，每次考試要出三種試題，工作量較大，同時班里的優生平日只做難題而忽略了基本功的練習，直接后果就是基礎不扎實，考試成績并不理想，而中等生和后進生則覺得自己受到歧視，低人一等，心理上抵觸，并不領情，無心學習，成績提高不明顯. 遭受一番挫折之后，組內的老師們充分討論了這種情況，重新調整了命題方式，具體而言，每次考試分A、B卷（在同一份卷子上），A卷主要面對班級的中下等學生，內容主要是老師們平日課堂上講的例題，學生們平日的練習題和作業題（題目可略作修改，部分典型題目甚至可以不做任何改動），B卷供班級中部分學有余力的學生們做，主要面對班級中的優生和部分能力較強的中等生，單獨計分，內容主要是一些難度較大，需靈活運用所學知識的題目.我們用一次次的考試向學生傳遞這樣一個信息：只要上課認真聽講，課后認真完成作業，就能取得一個理想的成績，只要我努力，我就有希望進步，我可以在現有基礎上更優秀，用這樣的方式讓學生逐步樹立信心！
馬：過渡話，引出主講人陳怡。
話題二：中考的二輪復習有哪些有效的教學策略？
二輪復習在內容與方法的深度、梯度、綜合度上較之一輪復習給我們提出了更為縱深和精細化的執行要求，這就要求我們老師不能僅依賴于感覺和經驗，而應盡快從復習的時間、內容、資料、方法上，尤其是復習資料方面習題的篩選與呈現上，對整個二輪復習做出合理規劃，用老師的集思廣益，代替蠻干，幫助學生不走或少走彎路；側重教法、學法研究，遵循認知規律，力求課堂復習新穎的切入點，并本著“厚基礎、強能力”的原則，在適量和優質上做文章，尤其要以探究為核心，淡化知識機械的記憶和重復，著力于學生體驗過程，形成一定的分析問題、解決問題基本策略。
（1） 多題一解，觸類旁通：
其實有許多數學習題看似不同，但它們的內在本質（或者說是解題的思路、方法）是一樣的，這就要求教師在教學中關注知識間的聯系、重視對這類題目的收集、比較，引導學生善于分析、歸納、總結，學會類比，尋求通法通解，充分發揮“例題模型”的作用，力爭做到精通一道題，會解一類題，讓學生自己感悟它們之間的內在聯系，形成數學思想方法。青島53中學的韓艷麗在這方面就有過比較成功的嘗試。（展示教學課件、并加以解釋）
解直角三角形是初中數學聯系實際生活的重要內容，是中考命題的熱點之一。這類題目求解的主要方法是：將實際應用問題中的數量關系歸結為直角三角形中的元素（邊、角）之間的關系，其基本解題思路可概括為：把實際問題轉化為數學問題，建立相應的數學模型，在題設圖形中尋求相應的直角三角形；如果沒有現成的直角三角形，則可添加適當的輔助線，構造所需直角三角形，選擇恰當的邊角關系求解。這其中的難點是如何發現涵蓋已知和所求的直角三角形，并選擇恰當的關系式求解。韓老師發現采用類比典型例題的方法，借助圖形變換可以有效的攻克難點，輕松實現多題一解。
三角函數的實際應用
青島53中學 韓艷麗
【畫外音】
學情及教材分析：
學生已進行完了第一輪復習，積累了一定的解直角三角形的相關經驗，但還沒能建立相應的數學模型。
一、教學目標
1、學會應用三角函數解決實際生活中的問題。
2、提高學生觀察、分析、綜合解決問題的能力；培養學生的建模意識。
3、增強學生創新意識，培養學生學習能力；體驗數學在實際生活中的應用；
滲透理論聯系實際的辯證唯物主義思想。
二、重點和難點：
重點：掌握解直角三角形的方法，能解決一些實際中的應用問題。
難點：把實際問題中復雜圖形化為數學中簡單的幾何圖形，建立相應的幾何模型。
三、
（一）、知識回顧：（課件）
1、常見圖形：
2、直角三角形邊角關系．
（1）三邊關系：勾股定理：
（2）三角關系：∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B =
∠C=90°．
⑶邊角關系tanA= ，sinA=cosA=
3、有關概念：
仰角、俯角、坡度、坡角、方位角
【畫外音】
此環節的設計意圖：通過簡單的回顧讓學生進一步理解掌握三角函數實際應用問題中涉及到的相關知識點，
為后繼學習開辟道路。
（二）、典型例題（課件）
如圖，海中有一個小島A，該島四周10海里內有暗礁。今有貨輪由西向東航行，開始在A島南偏西63.5°的B處，往東行駛20海里后到達該島的南偏西21.3°的C處。之后，貨輪繼續向東航行。你認為貨輪繼續向東航行途中會有觸礁的危險嗎？你是怎樣想的？與同伴進行交流。
（Sin63.5°=9/10 tan63.5°≈2 Sin21.3°=9/25 tan21.3°≈2/5）
A
B C
拓展：
1、你能求AB、AC邊的長度嗎？
2、為什么要先求AD？
練習：如圖，一人工湖的岸邊有一條筆直的小路，湖上原有一座小橋與小路垂直相通，現小橋有一部分已斷裂，另一部分完好，在完好的橋頭B處測得路邊的小樹A在它的北偏西30°，前進32m到斷口C處，測得小樹A在它的北偏西45°。請計算小橋斷裂部分的長（Sin30°=1/2 tan30°≈0.6 Sin64.5°=7/10 tan45°=1）
學生反思：
1、解決這類問題的一般思路。2、做完題后一定要及時反思總結。
【畫外音】
此環節的設計意圖：以一道典型題目為例，教師通過學生的板書規范解題格式，同時通過練習初步建立解決這類問題的數學模型。
（三）、變式訓練（課件）
1、如圖，為保衛祖國的海疆，我人民解放軍海軍在相距20海里的B,C兩地設立觀測站（海岸線是過B,C的直線），按國際慣例，海岸線以外12海里范圍內均為我國領海，外國船只除特許外，不得私自進入我國領海。某日，觀測員發現一外國船只行駛至A處，在B觀測站測得∠CBA＝34°，同時在C觀測站測得∠ACB＝63°。問：是否需要向此未經特許的船只發生警告，命令其退出我國領海？
（參考數據：）
A
B D C
2、如圖，水庫大壩的橫斷面是梯形ABCD壩頂AE＝6米，坡底BC＝8米，斜坡AB與CE的坡比分別是0.4、2，請根據以上數據計算該大壩的高度。
A E
B C
3、嘹望臺AE高20米，從嘹望臺底部A測得對面塔頂B的仰角為63.5度，從嘹望臺頂部E測得對面塔頂B的仰角為21.3度，已知嘹望臺與塔BD地勢高低相同。求塔高BD是多少
米？
B
F E
D A
此環節的設計意圖：這三道題都是在基本題的基礎上翻折，平移得到的，是基本題的變式。在學生分析解題思路的過程中,進一步體會它與基本題的內在關聯，體會解題思路和方法的遷移，從而建立相應的數學模型。
（四）、回顧反思（課件）
通過這節課的學習，你有什么收獲？
1、圖形之間的關聯。
2、解決此類問題的一般思路。
3、學習方法：類比法、建模思想。
【畫外音】
此環節的設計意圖：學生回顧反思本節課的內容，體會到這幾道題雖然各不相同，但其本質是一樣的，都可化歸為1題的模型求解，從而建立起相應的數學模型，進而把握解決此類問題的方法實質，使數學能力進一步升華。
（五）、檢測反饋（課件）
為了測量某小山坡的高度，某數學活動小組在測點A處安置測傾器，測得此時山頂M的仰角∠MCE＝30；在測點A與小山之間的B處安置測傾器（A、B與N在同一條直線上），測得此時山頂M的仰角∠MDE＝45；量出測傾器的高度BC=BD=1.5米，以及測點A、B之間的距離AB＝30米。根據上述測量數據，你能求出小山的高度MN？
【畫外音】
此環節的設計意圖：學生在前一環節已基本建立該類問題的幾何模型，掌握該類題的解題規律，在此設置一道檢測題進一步加以鞏固。
（六）、布置作業
1、完成題紙中剩余的題目。
2、每位同學針對今天所學的內容自編一道三角函數的實際應用題，并解答出來。
【畫外音】
此環節的設計意圖：設計這兩項作業使學生進一步鞏固今天所復習的內容，同時作業2的設計進一步激發了學生的數學興趣。
像這樣將解決某一問題的方法加以歸納、總結,形成技巧，并用以解決其他問題，達成多題歸一，培養學生知識、方法的遷移能力，是一種值得關注的有效復習策略。
馬：過渡話，引出主講人趙美香。
（2） 變式教學，感悟方法：
讓學生從不同角度思考問題、解決問題，可以引起學生強烈的求異欲望，培養學生思維的靈活性與發散性；籍方法優化又可以幫學生開拓視野、增長見識，變式教學在幫助學生體驗變式中類比的作用、使之運用類比思想找到解決問題的恰當的切入點、在解決問題時對自己已有的知識結構不斷總結完善，進而得到解決問題的方法，發展學生的思維能力等方面可謂得天獨厚。我們來看一個青島五十三中袁文媛老師提供的案例。
證明題復習課
授課人：青島53中 袁文媛
【畫外音】
本節課的設計意圖是通過對課本題目的變式，借助圖形變換引導學生嘗試從不同角度尋求解決問題的方法，提高解決問題的能力，感悟并掌握與證明相關知識的綜合應用；進一步體驗數學研究和發現的過程，體驗圖形變換思想，發展合情推理，培養學生的探索能力和合作交流的習慣。使學生在平時學習時能夠主動的運用這些方法對題目進行適當的變式，從而達到一題多練的目的，從題海中解放學生。并依附這種變式，引導學生加強對問題本質的認識，關注解決問題方法的多樣性，體驗變式中類比的作用，發展學生的思維能力。
一、直面中考
1、你知道在中考試題中，幾何證明題出現在什么位置嗎？
2、證明題要考察哪些知識點？
3、你對中考題證明題的提問方式有什么印象？
4、圖形的變換有哪幾種方式？
二、典型例題
1、原題重現：如圖，在平行四邊形ABCD中，過點D作DE∥AC交BA的延長線于點E.
①求證△ABC≌△AED
②△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDC是矩形？
③△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDC是菱形？
2、美麗的平移：將△ABC沿BA平移到△EAD的位置則：
①△ABC≌△AED嗎？
②△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDC是矩形？
③△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDC是菱形？
3、漂亮的旋轉：將△ACD繞AD中點O旋轉180°得到△DEA。則：
①△ABC≌△AED嗎？
②△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDC是矩形？
③△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDC是菱形？
4、精彩的折疊：若將平行四邊形ABCD中的△ABC沿AC向下折疊，得到 △AEC ，EC交AD于點P，連結BE和DE。你能得到那些結論？選擇其中一個說明理由。
5、小結
【畫外音】
這一環節的設計思路是：通過4個變式例題幫學生感悟方法。
1.在課本原始例題的背景下，將圖形進行平移、旋轉和折疊三種不同的變換，從運動的角度讓學生體會三角形、四邊形以及特殊四邊形的轉化與演變，以此來深入了解三種變換的本質特征和不同四邊形的不同判定方法。
2.在問題設置方面，采用條件開放和結論開放，甚至是條件與結論全開放的形式，激發學生的學習興趣和積極性，并掌握開放型問題的證明方法。
3.通過變式，讓學生能熟練進行三角形全等和特殊四邊形的證明，并總結形成知識體系。
在解題教學的思維訓練中，變式是一種很有效的方法。通過這樣的變式訓練，可以引導學生嘗試從不同角度去改編題目，通過改變條件，可以讓學生對滿足不同條件的情況作出正確的分析，通過改變結論等提高學生推理、探索的思維能力，進而通過解題后的反思，學生感悟歸納出同一類問題的解題思維形成過程與方法。
【畫外音】這里要說明的是：新課程倡導自主探索的學習方式，但并不意味著教師要把教學的舞臺全部讓給學生，自己不自覺的由教學的“中心”走向教學的“邊緣”，甚至于退出教學的舞臺，當起了觀眾。事實上，探究活動不是學生個體的一種自由活動，學生不可能一開始就能獨立從事探究活動，特別是當學生在探究中遇到困難時，最需要教師的精心指導，經歷一個由“扶”到“放”的過程，循序漸進。在下面這段視頻中我們看到：教師首先預設一個開放性的問題空間，給學生提問的自主權、講問題進行梳理和歸類（插入師生互動的視頻片斷一和二），在學生討論時進行有效的、有針對性的指導，再在此基礎上對全班進行有重點地講解、師生交流共同解決難點問題，優化了課堂效率。（插入師生交流互動的視頻片斷三和四）
課堂教學中有效的探究活動是一個師生共同互動的行為，雖然我們的學生有很大的探究空間，但課堂教學時間卻是有限的，學生的探究活動如果得不到教師適時、必要、謹慎、有效的指導，在很多情況下學生的探究就不能深入，探究的結果到頭來只能停留在淺層的認識活動水平上，學生的思維也就得不到應有的發展。特別是在探究活動中學生遇到困難時，學生需要教師在思維、方法等方面的“點化”，使學生打開思路、拓展思維、找到探究方向，順利完成探究任務，進而實現探究活動的目的。
三、應用提升
1、原題重現：在△ABC中，AB=AC，點D為BC邊中點，過點D分別作AB、AC的平行線交AB于E，交AC于F.
①△BDE≌△CDF嗎？
②四邊形AEDF是什么形狀？
③ △ABC滿足什么條件，四邊形AEDF是正方形？
2、變式1：若過BC中點D分別作DE⊥AB于E、DF⊥AC于F。類比前面的學習，你能提出哪些問題？你能解答它們嗎？
3、變式2：在變式1的基礎上，若將△BDE沿DE折疊，使B落在M處，將△CDF沿DF折疊，使C落在N處，則△ABC滿足什么條件，四邊形AMDN是菱形？說明理由。
4、展開想象的翅膀：
【畫外音】
1、本環節的設計意圖：通過本環節的訓練使學生能夠較為熟練的識別變化的本質，從而運用類比思想找到解決問題的恰當的切入點。
四、學會反思，感悟收獲
【畫外音】本環節的設計意圖：學生對變式方法及解決問題思路的總結。
學生經過了艱苦的探索過程，獲得了來之不易的“勝利果實”和較豐富的主觀感受，產生強烈的表達意向，不吐不快。交流溝通就是在探索的基礎上，讓學生在小組或班集體內相互交流，充分展示自己的思維方法及探究過程，揭示規律、解決問題，從而加強學生之間、群體之間的交往、溝通及相互了解，促進學生不斷反思自己的思考過程，分析思考其他同學的思路并做出自己的判斷。交流給每個同學提供了表現自己的機會，不僅使自己對知識的理解更全面，而且豐富了想象力，使能力得到了提高。
五、反饋作業：1、整理導學案
2、A組：從學案中任選兩題寫出證明過程
B組：從課本或指導上任選一題進行改編，并加以證明。
【畫外音】這節課選用的例習題以課本例、習題為藍本，衍生而來。一題多變，橫向聯想，很多時候變換的是問題的形式，而不變換問題的本質，這使學生不迷戀于事物的表象，而能自覺地注意到從本質看問題，同時使學生學會比較全面地看問題，注意從事物之間的聯系的矛盾上來理解事物的本質，從變中加深對不變的理解，避免題海戰術，提高學生歸納概括的能力，從而使學生靈活掌握基礎知識，提高解決問題的能力，培養良好的思維品質。
伽利略曾說過“科學是在不斷改變思維角度的探索中前進的”。故而課堂教學要常新、善變，重視發揮習題的變式功能和解法的多樣性，通過原題目延伸出更多具有相關性、相似性、相反性的新問題，培養學生聯想、轉化、推理、歸納、探索的思維能力。通過結論與條件的互換來理解原命題與逆命題之間的關系，可以加深對命題真假的辨析能力，更重要的是通過變式教學，培養學生敢于思考，敢于聯想，敢于懷疑的品質，培養學生自主探究能力與創新精神。
馬：過渡話，引出主講人隋淑春。
話題三：如何上好期中期末數學復習課
如何上好數學復習課，提高復習課的效率，這是每位數學教師都非常關注的問題。但是往往有很多老師在復習課教學中會陷入“做試卷——講師卷——再做試卷”的題海怪圈。學生在每節課做題、講題、再做題中漸漸喪失了學習數學的興趣。隨著素質教育的全面推進和展開，新課程改革近八年來我聽了很多專家的講座，學習了不少的先進經驗，自己也在教學中摸索和實踐，尤其是對于如何提高數學復習課的有效性進行了反思，有了幾點自己認為比較有效的嘗試和大家進行交流。
1、 實驗背景
青島是第一批國家級實驗區，課改試驗近八年，在中考招生方面做了很多的改革，尤其是直升生和指標生方面進行了改革。在直升生和指標生中，非常重視學生的過程性評價和口頭表達能力、創新能力等。所以在平日教學中教師非常重視對學生這些方面的積累和培養。尤其是每次期中或期末，都要將學生的平日成績錄入，但是只能錄入一次的成績作為代表。每每這時，我都會非常矛盾，也感到對學生的不公平，因為我不能保證我選擇的這次成績是我們班每個學生考的最理想的成績，每次都會出現有的學生就這次考得最好，那他肯定很高興，也有的學生就這次考得不理想，被錄進成績后就感到非常難過。為了彌補對學生的這種不公平，也更想在帶領學生復習數學迎接考試的課堂上讓學生不那么枯燥，我將全班分為6個小組，進行評分獎勵制，選派1人擔任組長，負責計分。教師將作業、課堂上的表現等作為考查的項目，根據每個小組成員的具體表現，進行相應的加分，每組最終將幾次加分進行累計，并按照適當的比例換算，最終加入期中和期末的平日成績中。這樣通過每個小組的通力合作，有的學生會由“良好”成為“優秀”，有的會由“待達標”成為“達標”，讓每個學生表現自己最好的一面，也給了他們學習數學的信心和勇氣。具體操作以我在帶領學生復習七年級下冊第五章《三角形》的期末復習課中作詳細的解釋。
二、幾點嘗試
（一）課前準備的嘗試
1、教師準備：數學復習課的教學和新授課有著本質的區別，復習的量大，練習的內容多，環節雜亂。所以每次我上課前一周就把課先備好。首先我深挖教材，對學過的知識進行整理，找出書中涉及到本節復習內容的題目。然后進行富有創意的設計，將要復習的內容作有機的組合，以一種新的問題方式呈現給學生，使學生有新穎感、復雜感和驚奇感，由此來喚起學生的注意，促使學生保持認知加工的主動心理傾向。其次，復習中的練習題，不是舊知識的單一重復，機械操作，要體現知識的綜合性，體現質的飛躍，達到訓練學生思維敏捷性、創造性的目的。再次，注重復習方式的新穎性、多樣性，激勵學生主動參與復習。
2、學生準備：我在上復習課的前兩天將要復習的章節告訴學生，布置學生根據自己的喜好做好復習內容的總結。主要分為三個部分：第一，本章節的知識框架圖或者知識樹，包含重點知識點；第二，統計自己在本章節中掌握比較好的內容；第三，統計自己在本章節中掌握不理想或容易出錯的內容。可以用語言敘述，也可以以例題的形式說明。
3、教師的再準備：教師根據學生上交的總結，首先分等級進行評比，其次對學生已掌握和未掌握的內容進行統計，結合自己已經準備好的教學設計進行適當的調整，
如原先自己認為應重點講解的內容學生普遍反映掌握較好，那么這種題型可以進行簡單講解甚至刪除；對于學生普遍反映掌握不好的題目要充實進來，在課堂上重點強調。例如我在準備七年級下冊第五章《三角形》的期末復習課時，根據學生的知識總結，我確定郭雪琪、邱璐雯等9名學生的總結為優秀等級，為他們所在的小組各加5分。結合學生總結的易錯點將三角形的判定和三角形的特征類的題目適當增加，對學生普遍認為掌握很好的作圖題進行了刪減，重新調整了自己的教學設計，為課堂教學做好充分的準備。
（二）課堂提問的嘗試
以往的課堂提問基本上由老師進行，學生在老師的提問中逐步回顧所學的知識點。結合青島中考以及學校的實際情況和要求，我將課堂提問交給了學生。要求學生平日觀察我在教學中的提問方式，課堂上模仿老師，結合自己總結的知識點以提問的形式帶領同學回憶本章的知識，并根據自己的理解加以強調。例如在七年級下冊第五章《三角形》的期末復習課時，我確定由郭雪琪同學帶領大家復習知識點，先由她自己準備如何提問，我再給與適當的幫助。當上課時，郭雪琪同學能夠像模像樣的帶領同學將這一章中的三角形的性質、判定方法的探究和應用以及尺規作圖中應該注意的問題一一進行了復習，同學們在她的帶領下饒有興致的溫習了所學的知識，而且她能夠根據問題的難易度，提問不同層面的學生，并且給與他們適時地毫不吝嗇的表揚和鼓勵，不僅鍛煉了自己的口頭表達能力、邏輯思維能力，而且極大地調動了同學們的積極性。然后我根據她的提問又補充了三角形的判定與特征的區別，得到了雙贏的效果。
（三）課堂教學的嘗試
1、習題環節的嘗試
在本章復習課的設置中，我根據我們數學組研究的“任務驅動式在數學教學中的有效使用”的課題研究，將本節課分為4個任務。任務1，溫故而知新，由郭雪琪同學帶領大家復習第五章的知識內容。任務2，你掌握了嗎？由教師針對第五章的知識點和學生反饋的易錯點設置相關的基礎性題目加深學生對知識的回顧與理解。任務3，爭先恐后。這一環節是本節課的高潮，雖然還是帶領學生練習相關的習題，但是采用小組分工，以競賽的形式進行，極大地激發了學生競爭的意識和學習數學的興趣。任務4，能力提升，【用字幕顯示】
在學生已有的基礎上相應的進行拓展訓練，提高學生的能力。
2、教學方法的嘗試
以往的教學方法局限于做題、講題，再做題。復習課往往讓學生感到枯燥無味。而進行復習課的嘗試以來，根據教學的實際情況，我適當根據教學內容增加了“爭先恐后”這一環節，評價也明顯有變化。插入拍攝的視頻（爭先恐后環節）具體操作如：在第五章《三角形》這節課的任務3中，我根據學生的實際情況設置了8道小題，題目由易到難，分數由低到高，分為3個10分，2個15分，1個20分，1個25分，1個30分。學生分為6個小組，課前由小組長抽簽決定上課選題的順序，提前帶領組員確定回答問題的人員，課堂上按照順序優先選題。答題加分規則是：如果是組內優秀學生回答，回答正確按照題目所寫分值加分；如果是組內學習有一定困難的學生（由教師評判）回答且回答正確，除題目所寫加分外，額外再加5分，以鼓勵學習有困難的學生積極參與；如果回答問題的同學不會或回答不完整，組內其他同學補充且正確的加一半的分數；如果其他組的同學補充且正確，每人次加2分；如果本組不能正確回答所選題目，則不得分。加分由教師確定，每小組組長負責填寫相應的表格，課后必須由任課教師簽字認可方可計入平日成績，否則無效。
附平日成績加分表：
初一 三班數學平日成績加分表
組長：
成員：
時間 加分（分值及加分原因） 任課老師簽字
3、課后作業的嘗試
復習課的課后作業不是簡單的幾道習題的堆砌，為了更好落實復習課的有效性，在作業上我也進行了嘗試，分為三部分：必做題、選做題、對本章節易錯點的再總結。在必做題部分，我設計了A、B、C三組習題，根據本節課每個小組的不同加分情況，第1名：A組；第2—4名：A組+ B組；第5—8名：A組+ B組+ C組，從題量上加以區分，一方面給得分高的學生更多自主復習的時間，另一方面促進其他學生在后面的復習課中積極表現。選做題部分，我會提供給學生一道拓展題目，供學有余力的學生開闊眼界，提高能力。對本章節易錯點的再總結，主要是考慮到學生通過本節課的復習，易錯點會發生變化，重新統計后教師可以有針對性地加以補救，從而更好更快的幫助學生解疑答惑。
4、教學評價的嘗試
由于教學方法和教學環節的變化，對學生的教學評價有相應有了變化。
以往復習課上，對學生的評價側重于做題的準確率，而在爭先恐后這個環節中，不僅學習優秀的學生有很多展示自己的機會，而且由于他們想額外的加更多的分數，每個小組也會積極鼓勵和推薦學習有困難的學生進行回答，在大家的幫助下他們也會正確的解決一些問題，不僅這些學生體驗到了成功的喜悅，樹立了學好數學的信心，而且也為小組加了分，小組成員都受益。另外注重學生的交流活動，鼓勵學生從不同角度探索盡可能多的事實，用多種方法正確的解題，這就需要小組成員團結合作，共同提高。此外，我有意識的培養學生有條理的思考和表達。如任務1中讓學生以教師的身份帶領同學回顧知識，任務3和任務4中引導學生在活動中自覺地進行思考，自覺地用自己的語言解釋結果的正確性等。評價方式轉變，必將鼓勵學生更好的學習數學。
三、實驗效果
經過自己一學期的摸索和實踐，讓我感觸最深的就是在調動學生課堂回答問題的積極性上有了明顯的變化，尤其是我所教的初一（三）班，上學期無論是你怎樣調動，課堂上回答問題的學生老是為數不多的幾人，而且永遠都是那幾個人，課堂氣氛沉悶，學生學得沒有情緒，教師教的也情緒不高。通過這學期在復習課上的這幾點嘗試，學生的課堂積極性明顯提高了，因為每個人都想為自己加分，為小組出力，尤其是對那幾個學習有困難的學生來講，他們也有很強的自尊心和小組榮譽感，在小組成員的幫助下，他們慢慢的敢回答問題了，有時能回答對了，上課也敢抬頭挺胸了……有了這么多的變化，我相信，只要堅持下去，我的學生一定會成為最優秀的學生的！
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馬：過渡話，引出主講人陳怡。
話題四：復習考試的作用是為了更好的調整教學。
考試改革是基礎教育課程改革的重要組成部分，對課程改革的順利實施有極為重要的影響。《新課程標準》中明確指出：評價的主要目的是為了全面的了解學生的學習歷程，激勵學生的學習和改進教師的教學。怎樣多角度全方位的關注學生的學習狀態、提升學生的學習品質，讓考試成為學生再學習的過程？這是我們一直努力研討的一個課題，青島市市北區教研室引導老師們在開發考試的功效上作了這樣兩個嘗試：實施卷后感悟、研討“試卷講評課”。
卷后感悟包括的欄目有“得意之筆”“進步之階”“老師的話”“家長的話”。“得意之筆”包含題號、知識點、教你一招、經驗之談等欄，側重學生對掌握較好的知識與技能的回顧、對好的學習策略、學習方法的自我提煉與推廣，以及感受成功體驗。“進步之階”包含題號、知識點、障礙分析、學法反思、我會了等欄，側重學生對學習中存在的困難的自我診斷，和對解決問題過程的反思，從中提煉解決問題的經驗，并將解法或策略主動概括到一個新的問題情景中。這兩個欄目體現了老師對學生自身發展的關注，學生的完成情況，便于老師了解每個學生的優點、潛能、不足以及發展需要，而學生完成這兩個欄目的過程，有助于培養他們反省認知的能力，可以幫助學生認識到自己在解題策略、思維或習慣上的長處與不足，是他們看到自己的進步，辨明努力的方向，感受獲得成功的喜悅，從而激發新的學習動力。
“老師的話“采用評語的形式，以學生個人為標準，以個性化、鼓勵性評價為主，以學生已經掌握什么內容、獲得哪些進步、具備了什么能力為著眼點。老師從智力和非智力兩方面用激勵性的語言，客觀描述學生的進步、潛能或不足，同時簡要明確的給出適于學生發展得改進計劃；給學生更多賞識和贊揚，讓學生從老師的評語中，感受到陽光，認識自我、樹立自信，愉快的學習和成長。這實質是一種延遲判斷，突出反映著學生的縱向發展。
“家長的話”為體現家長的支持與協調作用而設，實現在評價機制中學生、老師、家長的共同參與、交互作用。
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（備用圖）
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