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不等式（一）--考點梳理
一、考試內容
不等式，不等式的性質，不等式的證明，不等式的解法，含有絕對值的不等式。
二、考試要求
1.掌握不等式的性質及其證明，掌握證明不等式的幾種常用方法，掌握兩個和三個（不要求四個和四個以上）“正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數”這兩個定理，并能運用上述性質、定理和方法解決一些問題。
2.在熟練掌握一元一次不等式（組）、一元二次不等式（組）的解法的基礎上初步掌握其他的一些簡單的不等式的解法。
3.會用不等式||a|－|b||≤|a+b|≤|a|+|b|。
三、考點簡析
1.不等式知識相互關系表
2.不等式的性質
（1）作用地位
不等式性質是不等式理論的基本內容，在證明不等式、解不等式中都有廣泛的應用。高考中，有時直接考查不等式的性質，有時間接考查性質（如在證明不等式、解不等式中就間接考查了掌握不等式性質的程度）。準確地認識、運用基本性質，并能舉出適當反例，能辨別真假命題是學好不等式的要點。
（2）基本性質
實數大小比較的原理與實數乘法的符號法則是不等式性質的依據。在不等式性質中，最基本的是：
①a>bb②a>b,b>ca>c（傳遞性）
③a>ba+c>b+c（數加）
④
（a>b,c=0a·c=b·c）
與等式相比，主要區別在數乘這一性質上，對于等式a=bac=bc，不論c是正數、負數還是零，都成立，而對于不等式a>b，兩邊同乘以c之后，ac與bc的大小關系就需對c加以討論確定。這關系即使記得很清楚，但在解題時最容易犯的毛病就是錯用這一性質，尤其是需討論參數時。
（3）基本性質的推論
由基本性質可得出如下推論：
推論1：a>b>0,c>d>0ac>bd
推論2：a>b>0,c>d>0
推論3：a>b>0an>bn(n∈N)
推論4：a>b>0(n∈N)
對于上述推論可記住兩點：一是以上推論中a,b,c,d均為正數，即在{x|x是正實數}中對不等式實施運算；二是直接由實數比較大小的原理出發。
3.不等式的證明
（1）作用地位
證明不等式是數學的重要課題，也是分析、解決其他數學問題的基礎，特別是在微積分中，不等式是建立極限論的理論基礎。
高考中，主要涉及“a,b>0時，a+b≥2”這類不等式，以及運用不等式性質所能完成的簡單的不等式的證明。用數學歸納法證明的與自然數有關命題的不等式難度較大。
（2）基本不等式
定理1：如果a,b∈{x|x是正實數}，那么≥（當且僅當a=b時取“=”號）
定理2：如果a,b,c∈{x|x是正實數}，那么≥(當且僅當a=b=c時取“=”號)
定理3：如果a、b∈{x|x是正實數}，那么
≤≤≤
（當且僅當a=b時取“=”號）
推論4：如果a,b,c∈{x|x是正實數}，那么
≤≤≤
（當且僅當a=b=c時取“=”號）
由上述公式還可衍生出一些公式
①4ab≤(a+b)2≤2(a2+b2),a、b∈R（當且僅當a=b時等號成立）
②a2+b2+c2≥ab+bc+ca,a,b,c∈R（當且僅當a=b=c時等號成立）
③a2+b2+c2≥(a+b+c)2≥ab+bc+ca,a,b,c∈R（當且僅當a=b=c時等號成立）
④|+|≥2（當且僅當|a|=|b|時取“=”號）
⑤a>0,b>0,a+b=1，則ab≤等。
（4）不等式證明的三種基本方法
①比較法：作差比較，根據a－b>0a>b，欲證a>b只需證a－b>0；作商比較，當b>0時，a>b>1。比較法是證明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有時根據題設可轉化為等價問題的比較（如冪、方根等）。
②分析法：從求證的不等式出發尋找使該不等式成立的充分條件。對于思路不明顯，感到無從下手的問題宜用分析法探究證明途徑。
③綜合法：從已知的不等式及題設條件出發，運用不等式性質及適當變形（恒等變形或不等變形）推導出要求證明的不等式。
4.不等式的解法
（1）作用與地位
解不等式是求定義域、值域、參數的取值范圍時的重要手段，與“等式變形”并列的“不等式的變形”，是研究數學的基本手段之一。
高考試題中，對解不等式有較高的要求，近兩年不等式知識占相當大的比例。
（2）一元一次不等式（組）及一元二次不等式（組）
解一元一次不等式（組）及一元二次不等式（組）是解其他各類不等式的基礎，必須熟練掌握，靈活應用。
（3）高次不等式
解高次不等式常用“數軸標根法”。一般地，設多項式
F(x)=a(x－a1)(x－a2)…(x－an) （a≠0）
它的n個實根的大小順序為a1(－∞,a1)，（a1,a2），…，(an－1,an),(an,+∞)
自右至左給這些區間編上順序號，則當a>0時有：
①在奇數區間內，F(x)>0。
②在偶數區間內，F(x)<0
（4）分式不等式
分式不等式的等價變形：
>0f(x)·g(x)>0
≥0
（5）無理不等式
兩類常見的無理不等式等價變形：
≥g(x) 或
（6）指數不等式與對數不等式
①當0a(fx)>ag(x)f(x)②當a>1時
a(fx)>ag(x)f(x)>g(x)
logaf(x)>logag(x)f(x)>g(x)>0
（7）含參數不等式
對于解含參數不等式，要充分利用不等式的性質。對參數的討論，要不“重復”不“遺漏”。
5.含有絕對值的不等式
（1）作用與地位
絕對值不等式適用范圍較廣，向量、復數的模、距離、極限的定義等都涉及到絕對值不等式。
高考試題中，對絕對值不等式從多方面考查。
（2）兩個基本定理
定理1：||a|－|b||≤|a+b|≤|a|+|b| （a、b∈R）
定理2：||a|－|b||≤|a－b|≤|a|+|b| （a、b∈R）
應理解其含義，掌握證明思路以及“=”號成立的條件。
（3）解絕對值不等式的常用方法
①討論法：討論絕對值中的式于大于零還是小于零，然后去掉絕對值符號，轉化為一般不等式。
②等價變形：解絕對值不等式常用以下等價變形
|x|0)
|x|>ax2>a2x>a或x<－a(a>0)
一般地有：
|f(x)||f(x)|>g(x)f(x)>g (x)或f(x)四、思想方法
1.不等式中常見的基本思想方法
（1）等價轉化。具體地說，就是無理化為有理，分式化為整式，高次化為低次，絕對值化為非絕對值，指數、對數化為代數式等。
（2）分類討論。分類討論的目的是處理解決問題過程中遇到的障礙，在無障礙時不要提前進行分類討論。
（3）數形結合。有些不等式的解決可化為兩個函數圖像間的位置關系的討論等幾何問題。
（4）函數方程思想。解不等式可化為解方程或求函數圖像與x軸交點的問題，根據題意判斷所求解的區間。如“標根法”實際上就是一種函數方程思想。
2.證明不等式的常用方法
除了課本上介紹的證明不等式的三種基本方法外，還有如下常用方法：
（1）放縮法
若證明“A≥B”，我們先證明“A≥C”，然后再證明“C≥B”，則“A≥B”。
（2）反證法
反證法是通過否定結論導致矛盾，從而肯定原結論的一種方法。
（3）數學歸納法
證明與自然數n有關的不等式時，常用數學歸納法。此法高考中已多次考查。
（4）變量代換法
變量代換是數學中的一種常用的解題方法，對于一些結構比較復雜，變化較多而關系不太清楚的不等式，可適當地引進一些新的變量進行代換，以簡化其結構。其代換技巧有局部代換、整體代換、三角代換、增量代換等。
（5）函數方法
通過利用函數的性質，如單調性、凹凸性、有界性、實根存在的條件等證明不等式的方法稱為函數方法。
（6）構造方法
不等式證明中的構造方法，主要是指通過引進合適的恒等式、數列、函數、圖形及變量等輔助手段，促使命題轉化，從而使不等式得證。此法技巧要求較高，高考試題中很少見。

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