資源簡介

統計案例中的基本思想及應用
通過對統計中典型案例的研究和討論，我們可以提煉出許多基本思想方法，并體驗這些基本思想方法在解決實際問題中的應用．
一、獨立性檢驗思想
在日常生活中，經常會面臨一些需要推斷的問題．在對這些問題作出推斷時，我們不能僅憑主觀臆斷得出結論，需要通過試驗來收集數據，并依據獨立性檢驗的原理作出合理的推斷，這就是獨立性檢驗的基本思想．依據這一基本思想，我們可以考察兩個分類變量是否有關系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度．其基本步驟是：①考察需抽樣調查的背景問題，確定所涉及的變量是否為兩個分類變量；②根據樣本數據制作2×2列聯表；③計算統計量，并查表分析．
例1　為了調查某生產線上質量監督員甲對產品質量好壞有無影響，現統計數據如下：質量監督員甲在現場時，990件產品中有合格品982件、次品8件；甲不在現場時，510件產品中有合格品493件、次品17件．畫出列聯表并用獨立性檢驗的方法對數據進行分析．
解：可得2×2列聯表如下：
正品數
次品數
總計
甲在現場
982
8
990
甲不在現場
493
17
510
總計
1475
25
1500
由2×2列聯表中數據，計算
　　．
所以約有的把握認為“質量監督員甲在不在現場與產品質量有關系”．
二、回歸分析思想
回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統計分析的常用方法．采用回歸分析基本思想，解決實際問題的基本步驟如下：①明確對象；②畫散點圖；③選擇模型，即通過觀察分析散點圖確定回歸方程的類型，如果觀察到數據呈線性關系，則選用線性回歸方程；④估算方程，即按一定的規則估計回歸方程的參數，如最小二乘法原理；⑤線性相關程度的判定，即通過樣本相關系數的大小作出判斷：；越接近于，線性相關程度越強；越接近于，線性相關程度越弱．
例2　想象一下一個人從出生到死亡，在每個生日都測量身高，并作出這些數據的散點圖，這些點將不會落在一條直線上，但在一段時間內的增長數據有時可以用線性回歸來分析．下表是一位母親給兒子作的成長記錄：
年齡/周歲
3
4
5
6
7
8
9
身高/cm
90.8
97.6
104.2
110.9
115.6
122.0
128.5
10
1121世紀教育網
12
13
14
15
16
134.2
140.8
147.6
154.2
160.9
167.5
173.0
（1）用樣本相關系數判定年齡和身高之間具有怎樣的相關關系？求出與之間的回歸直線方程；
（2）如果年齡相差5歲，則身高有多大差異（3～16歲之間）？
（3）如果身高相差20cm，其年齡相差多少？
解：（1）已知樣本相關系數公式為．
　　代入數據可得，表明有的把握認為“與之間具有線性相關關系”．
　　設年齡與身高之間的回歸直線方程為，
由公式，，
所以；
（2）如果年齡相差5歲，則預報變量變化，即身高相差約；
（3）如果身高相差20cm，年齡相差（歲）．
三、數形結合思想
數形結合思想，就是將抽象的數學語言與直觀圖形結合起來，通過數與形（以形助數、以數釋形）的雙向聯系與溝通來處理數學問題，達到化抽象為直觀、化難為易的目的．在統計案例中數形結合思想體現的較為充分，主要表現在：在回歸分析中，常把數據用散點圖表示出來．
通過散點圖，直觀地了解兩個變量的相關關系，進而構建回歸模型，利用模型進一步刻畫變量間的關系，并進行相應的預測．在直觀地展示兩個變量的相關關系方面，散點圖具有特別重要的作用．
例3　某商場經營一批進價為元/臺的小商品，在市場銷售中發現，此商品的銷售單價（元）與日銷售量（臺）之間有如下關系：
銷售單價/元
35
40
45
50
日銷售量/元
57
42
27
12
（1）與是否具有線性相關關系？如果具有線性相關關系，求出回歸直線方程；
（2）設經營此商品的日銷售利潤為元，根據（1）寫出關于的函數關系式，并預測當銷售價為多少元時，能獲得最大日銷售利潤？
解：（1）作出散點圖如右圖所示，并從圖中可以看出，這些點大致分布在一條直線附近，因此可判斷兩個變量具有線性相關關系．
設回歸直線方程為，則由公式易求得，，
所以；
（2）依題意有，當時，有最大值，即預測銷售單價為元時，能獲得最大日銷售利潤．
四、化歸轉化思想
化歸轉化思想是指把待解決的問題通過轉化歸結為在已有知識范圍內可解的問題的一種思維方式，在數學中是應用最為廣泛的一種思維形式．可以說數學解題就是轉化問題．每一個數學問題無不是在不斷地轉化中獲得解決的．在統計案例中，對兩個具有非線性關系的變量進行回歸分析時，常通過變量變換的方法，將問題轉化為線性回歸分析問題來解決，充分體現了化歸轉化思想．
　　例4　在試驗中得到變量與的數據如下：
　　由經驗知，與之間具有線性相關關系，試求與之間的回歸曲線方程；當時，預測的值．
　　分析：通過換元轉化為線性回歸問題．
　　解：令，由題目所給數據可得下表所示的數據：
序號
1
15.0
39.4
225
1552.36
591
2
25.8
42.9
665.64
1840.41
1106.82
3
30.0
41.0
900
1681
1230
4
36.6
43.1
1339.56
1857.61
1577.46
5
44.4
49.2
1971.36
2420.64
2184.48
合計
151.8
215.6
5101.56
9352.02
6689.76
　　計算得，，∴．
　　故所求回歸曲線方程為，當時，．
點評：非線性回歸問題有時并不給出經驗公式，此時我們可以由已知的數據畫出散點圖，并把散點圖與已經學習過的各種函數，如冪函數、指數函數、對數函數、二次函數等作比較，挑選出跟這些散點擬合的最好的函數，然后再采用變量的變換，把問題轉化為線性回歸問題，使問題得以解決．
統計案例考試技巧點撥
　　本章的重點和難點是回歸分析和獨立性檢驗的基本思想、方法及其應用．除了掌握基本的公式和應用的步驟外，對考查題型的強化和把握也尤為重要．現把基本的題目類型歸納如下，以供參考．
　　1．有關基本概念的考查
　　如回歸分析、相關性檢驗、獨立性檢驗等，這是本章考查的主要內容，大多以選擇題或填空題出現，如：
　　例1　下列說法中，錯誤的個數是（　）．
　　①隨機變量是引起預報值與真實值之間的誤差的原因之一；
　　②，有95％的把握認為兩變量有線性相關關系；
　　③．
　　（Ａ）　　　（Ｂ）1　　　（Ｃ）2　　　（Ｄ）3
　　答案：（Ｂ）．
　　例2　相關系數是衡量兩變量之間的線性相關程度的，對此有下列說法：
　　①越接近于1，相關程度越大；
　　②越接近于0，相關程度越小；
　　③越接近于1，相關程度越小；
　　④越接近于0，相關程度越大．
　　其中正確的是（　）．
　　（Ａ）①②　　（Ｂ）①④　　（Ｃ）②③　　（Ｄ）③④
　　答案：（Ａ）．
　　2．注意巧妙利用“線性回歸直線一定過樣本中心點”這一特征
　　例3　已知兩個變量的樣本中心點是，則兩個變量間的回歸直線方程可能為（　）．
　　（Ａ）　　（Ｂ）
　　（Ｃ）　　（Ｄ）
　　答案：（Ｂ）．（樣本中心點的坐標為，代入驗證即可）
　　3．一元線性回歸分析是回歸分析中最簡單，也是最基本的一種類型，它類似于代數方程理論中的一元一次方程，但是不要盲目的去求回歸直線方程，應該首先進行相關性檢驗，判斷一下變量之間線性相關關系的強弱，否則很有可能得出沒有價值甚至是完全錯誤的結論．
　　例4　某公司購進一新型設備，為了分配合適的工人操縱設備，進行該設備的工人勞動生產率與工齡之間的相關分析．下表是12個5～10年工齡的工人操縱新設備的勞動生產率的試驗記錄．
工人（序號）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1221世紀教育網
工齡（年）
5
5
6
6
6
7
7
8
8
9
10
10
生產充（件/小時）
7.1
7.2
7.5
7.5
7.7
8.3
8.6
9.2
9.2
10
9.7
10
　　解：根據上表計算工齡與勞動生產率的相關關系，利用相關系數計算公式：
　　
　　，
　　，
　　，，
　　，因此求得相關系數．
　　結果說明工齡與勞動生產率之間存在較強的線性相關關系．
　　經計算，，所以可得到回歸直線方程為．
　　4．使用統計量作列聯表的獨立性檢驗時，要求表中的四個數據都要大于等于5，為此，在選取樣品時，容量一定要適當．
　　例5　某些行為在運動員的比賽之間往往被賦予很強的神秘色彩，如有一種說法認為，在進入某乒乓球場比賽前先邁入左腳的運動員就會贏得比賽的勝利．某記者為此追蹤了某著名乒乓球運動員在該球場中的308場比賽，獲得數據如下表：
勝
負
合計
先邁入左腳
178
27
205
先邁入右腳
84
19
103
合計
262
46
308
　　據此資料，你能得出什么結論？
　　解：由
　　．
　　因為，所以我們沒有充分理由認為先邁進左腳與否跟比賽的勝負有關．

展開更多......

收起↑