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復數運算的常用方法
復數運算問題在高考中出現的頻率較高，它有效地考查了學生的運算能力．因此，對復數的運算法則，我們必須牢固掌握，并會靈活運用．除此之外，在代數式運算中要牢記常用的有關復數的關系式，以提高我們復數運算的速度．下面例析幾種常用的運算方法．
一、分母實數化
對于分式型（或除法）的復數運算或化簡問題，可先用分母實數化來解決，即同乘以分母的共軛復數．特別地，運用分母實數化，有，，．
例1　（　　）．
　　（A）　　　（B） （C）　　　 （D）
解：原式，故選（C）．
二、運用的周期性
由于，，，，于是就有．
例2　（　　）．
（A）　　（B）　　（C）　（D）
解：由，原式，故選（A）．
三、運用乘法公式
是指直接運用乘法公式計算，即．
例3　設復數，則（　　）．
（A）　　　 （B）
　　（C）　　　（D）
解：原式，故選（A）．
四、運用，．先化簡后代入，再計算，可減少運算量．
例4　________．
解：由，則原式．
五、運用的性質
①，，；②，．
例5　復數的值是（　）．
（A）　　　（B）　　（C）　　（D）
解：由，．
則原式，故選（A）．
六、運用進行轉換
此公式一邊為兩復數的積，一邊為非負實數，是實數與復數相互溝通的橋梁．
例6　若，，，且，求的值．
　　解：∵，，
∴．
復數問題中的數學思想
在解決復數問題時，若能適當地運用數學思想，往往能迅速找到解題的突破口，同時能提高同學們的思維能力和數學素養，增強分析問題、解決問題的能力．
一、函數思想21世紀教育網
函數思想是一種重要的數學思想，有關復數的最值問題，常通過構造函數利用函數的性質求解．
例1　已知復數，求為何值時，取得最大值和最小值，并求出最大值和最小值．
分析：本題可以轉化為利用三角函數求最值的問題．
解：
．[來源:21世紀教育網]
∵，
　　∴當時，；
當時，．
二、數形結合思想
復數的表示形式常含有明顯的幾何意義．在處理復數問題時，靈活地運用復數的幾何意義，以數釋形、以形助數，可使許多問題得到快捷地解決．
例2　設復數滿足，求的最值．
分析：依據復數的幾何意義求解．
解：由復數的幾何意義知表示復數的對應點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓．因而所求向量的幾何意義是求此圓上的點到點的距離的最大值與最小值．如右圖易知，
．
例3　已知集合，，．
（1）指出集合在復平面內所對應的點表示的圖形；
（2）求集合中復數的模的最值．
分析：利用復數的幾何意義確定圖形，進而轉化為方程關系，求得復數的模的最值．21世紀教育網
解：（1）由可知，集合在復平面內所對應的點集是以點為圓心，以為半徑的圓面（含邊界）；
　　由可知，集合在復平面內所對應的點集是以、為端點的線段的中垂線．
　　因此集合是圓截直線所得的一條線段（設是兩個交點）；
（2）易求得圓的方程為，直線的方程為．
解方程組得
　　交點、，
　　∴，，點到直線的距離為，且過向直線引垂線，垂足在線段上．
　　又，
　　故集合中復數的模的最大值為，最小值為．
三、整體思想
對于有些復數問題，若從整體上去觀察、分析題設結構，充分利用復數的有關概念、共軛復數與模的性質等，對問題進行整體處理，可進一步提高靈活、綜合運用知識的能力．
例4　設復數和它的共軛復數滿足，求復數的值．
分析：充分利用共軛復數性質、復數的模的意義、復數相等的充要條件即可解出．在求解過程中，整體代入可獲得簡捷、明快、別具一格的解法．
解：設，將化為．
由，整體代入，得，
　　∴．
根據復數相等的充要條件，
得到解得
故．
四、分類討論思想
分類討論就是將數學對象劃分為不同種類進行研究或求解的一種數學思想．通過合理的分類討論，可以使較復雜的問題簡單化．有關復數問題中若含有參數，常常需要根據參數的范圍分類討論．
例5　已知，復數．當為何值時：
　　（1）；
（2）是純虛數；
（3）對應的點位于復平面第二象限；
（4）對應的點在直線上．[來源:21世紀教育網]
分析：復數，當且僅當時，；
　　當且僅當且時，為純虛數；
　　當，時，對應的點位于復平面的第二象限；
　　復數對應的點的坐標是直線方程的解，這個點就在這條直線上．
解：（1）由且，得．故當時，；
（2）由解得或．
故當或時，為純虛數；
（3）由解得或．
故當或時，對應的點位于復平面的第二象限；
（4）由，得，
解得或．
故當或時，對應的點在直線上．
例6　已知復數，，當在內變化時，試求的最小值．
分析：設法表示出來，然后轉化求解，針對的情況討論．
解：．
令，則，且．
　　從而，
當，即時，；
當，即時，．
五、轉化思想
在解決一些復數問題時，常需要將復數問題轉化為實數問題來解決．
例7　設是虛數，是實數，且．
（1）求的值及的實部的取值范圍；
（2）設，求證：為純虛數；
（3）求的最小值．
分析：所給條件與復數的概念有關系，不妨設，且，從而轉化為實數問題．
（1）解：設，且，
則．
　　∵是實數，，
　　∴，即．
　　于是，，∴．
　　故的實部的取值范圍是；
（2）證明： ．
∵且，
　　∴為純虛數；
（3）解：
．
∵，∴．
于是．
當且僅當，即時等號成立．
∴的最小值為．
新題速遞
復數的題目具有活而不難的特點，且常考常新，要求具有靈活處理問題的能力，注意抓好基礎，對復數的概念和運算要熟練掌握．同時在運算過程中要注意復數問題實數化方法，復數相關公式的靈活運用等．同學們在閱讀本版“復數運算的常用方法”的基礎上，再看下例．
　　例　設是虛數單位，，則使得成立的最小的正整數的值等于__________．
　　分析：可以先將復數求出，再取逐一計算驗證，從而求出的最小值；也可以根據復數的冪值的周期性進行求解．
　　解法一：由于，
　　所以，
　　于是，，，，，，，，，，．
　　所以的最小值是．
　　解法二：由于，，，，，，，
　　所以，
　　故使成立的最小正整數是．
　　點評：本題主要考查復數的乘法運算以及兩個常用的虛數，的有關性質．對于虛數單位，它的冪值具有周期性，復數是的一個虛立方根，它的冪值也具有周期性，利用這些性質可以方便地解決這類題目，它能考查同學們探索問題、解決問題的能力．21世紀教育網

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