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復(fù)數(shù)與平行四邊形家族
　　菱形、矩形、正方形等特殊的平面幾何圖形與某些復(fù)數(shù)式之間存在某種聯(lián)系及相互轉(zhuǎn)化的途徑．在求解復(fù)數(shù)問(wèn)題時(shí)，若能善于觀察條件中給定的或者是通過(guò)推理所得的復(fù)數(shù)形式的結(jié)構(gòu)特征，往往能獲得簡(jiǎn)捷明快的解決方法．下面列舉幾例，以供參考．
　　一、復(fù)數(shù)式與矩形的轉(zhuǎn)化
　　例1　已知復(fù)數(shù)滿足，，且，求與的值．
　　解析：設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，由于，故，故以，為鄰邊的平行四邊形是矩形，從而，則；．
　　二、復(fù)數(shù)式與正方形的轉(zhuǎn)化
　　例2　已知復(fù)數(shù)滿足，且，求證：．
　　證明：設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，由條件知，以，為鄰邊的平行四邊形為正方形，而在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的向量為正方形的一條對(duì)角線，所以．
　　點(diǎn)評(píng)：復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系賦予了復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義的運(yùn)用是本題考查的重點(diǎn)．
　　三、復(fù)數(shù)式與菱形的轉(zhuǎn)化
　　例3　已知，，，求
　　解析：設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，由知，以，為鄰邊的平行四邊形是菱形，在中，由余弦定理，得，
　　∴，∴，因此，是正三角形，
∴．
　　點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)復(fù)數(shù)模的幾何意義的應(yīng)用來(lái)判斷四邊形的形狀，并且應(yīng)用到了余弦定理，使得問(wèn)題解決的很巧妙．
　　例4　求使（）為純虛數(shù)的充要條件．
　　解析：∵是純虛數(shù)，∴可設(shè)．設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，以為鄰邊的平行四邊形是菱形，∴，
∴．考慮到時(shí)，；時(shí)，無(wú)意義，故使為純虛數(shù)的充要條件是，且，．
復(fù)數(shù)的加減法符合平行四邊形法則，是復(fù)數(shù)與平行四邊形家族聯(lián)姻的前提．通過(guò)本文我們發(fā)現(xiàn)深入抓住復(fù)數(shù)加減法的幾何意義的本質(zhì)，可使我們求解復(fù)數(shù)問(wèn)題的思路更加廣闊，方法也更加靈活．
復(fù)數(shù)中的數(shù)形結(jié)合
因?yàn)閺?fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，體現(xiàn)了數(shù)與形的對(duì)應(yīng)，所以在復(fù)數(shù)中利用數(shù)形結(jié)合解某些問(wèn)題不僅巧妙，而且也體現(xiàn)出一種數(shù)學(xué)之美．
知識(shí)點(diǎn)鏈接：設(shè)動(dòng)點(diǎn)、定點(diǎn)分別表示復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，則
（1）表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離；21世紀(jì)教育網(wǎng)
（2）表示以為半徑，點(diǎn)為圓心的圓；
（3）表示線段的垂直平分線；
（4），當(dāng)時(shí)，表示線段；
當(dāng)時(shí)，表示以點(diǎn)為焦點(diǎn)，2a為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓．
上述幾種曲線都可以結(jié)合（1）中的的幾何含義來(lái)理解．比如，（3）中表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，即點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離相等，所以，點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線．
下面舉例說(shuō)明數(shù)形結(jié)合的用法：
例1　若，則的最大值為_(kāi)_______．
解析：由知，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的軌跡是以2為半徑，點(diǎn)為圓心的圓及其內(nèi)部，所以的最大值為．
例2　如果復(fù)數(shù)z滿足，那么的最小值為（ ）21世紀(jì)教育網(wǎng)
（A）　　（B）　　（C）　　（D）
解析：如右圖，由知，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是線段，其中．
　　又表示點(diǎn)到線段上點(diǎn)的距離，故當(dāng)時(shí)，．
例3　復(fù)數(shù)z滿足條件，則的最小值為_(kāi)_____．
解析：由知，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡為線段的垂直平分線，其中，即原點(diǎn)到垂直平分線上的點(diǎn)的距離．故．
例4　復(fù)數(shù)z滿足，則的取值范圍是（ ）
（A）　　　　　（B）21世紀(jì)教育網(wǎng)
（C） 　　　（D）
解析：由可得．21世紀(jì)教育網(wǎng)
　　因此復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以，為圓心，1為半徑的圓周，而，故點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為，最大值為．
復(fù)平面與高斯
歷史上，人們對(duì)虛數(shù)的認(rèn)識(shí)與對(duì)負(fù)數(shù)、無(wú)理數(shù)的認(rèn)識(shí)一樣，經(jīng)歷了一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程．
　　眾所周知，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)負(fù)數(shù)偶次方根不存在．公元1545年，意大利人卡爾丹（Ｃardan）討論這樣一個(gè)問(wèn)題：把10分成兩部分，使它們的積為40，他找到的答案是和．即
　　，
　　．
卡爾丹沒(méi)有因?yàn)橛羞`前人負(fù)數(shù)不能開(kāi)平方的原則而予以否定，笛卡兒給這個(gè)還找不到合理解釋的數(shù)起了個(gè)名字———“虛數(shù)”．由理論思維得出的數(shù)能表示自然界中哪些量呢？從此“虛數(shù)”這個(gè)令人不解的怪物困擾數(shù)學(xué)界達(dá)幾百年之久．即使在1730年棣莫弗得到公式、1748年歐拉發(fā)現(xiàn)關(guān)系式的情況下，這種困擾仍沒(méi)有澄清．
　　伴隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，1831年德國(guó)人高斯創(chuàng)立了虛數(shù)的幾何表示，它被理解為平面上的點(diǎn)或向量，即復(fù)數(shù)與平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)和向量相互對(duì)應(yīng)，從而與物理學(xué)上的各種矢量相溝通，使復(fù)數(shù)成為研究力、位移、速度、電場(chǎng)強(qiáng)度等量的強(qiáng)有力的工具．比如在電工學(xué)中，交流電的電動(dòng)勢(shì)、電流都可以用復(fù)數(shù)表示：
　　，
　　，
由它們的模和輻角完全確定了電壓和電流的變化規(guī)律．從此復(fù)數(shù)才被普遍接受．
　　高斯是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一．他不僅以少年時(shí)代對(duì)“”的巧妙算法傾倒眾人，而且在他探索過(guò)的眾多科學(xué)領(lǐng)域，都留有重要的貢獻(xiàn)：
　　在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，他發(fā)現(xiàn)了素?cái)?shù)定理；發(fā)現(xiàn)并證明了數(shù)論中的二次互反律；首次嚴(yán)格證明了代數(shù)基本定理：一元n次方程在復(fù)數(shù)集上恰有n個(gè)根．他還解決了兩千年來(lái)古希臘人的遺留問(wèn)題，找到了用直尺和圓規(guī)作正17邊形的方法……
　　在物理學(xué)領(lǐng)域，他定出地磁南、北極的位置；給出了第一張地磁場(chǎng)圖；建立了電磁學(xué)的高斯單位制……
　　在天文學(xué)領(lǐng)域，高斯創(chuàng)立計(jì)算行星軌道的方法；算出小行星谷神星的軌道，發(fā)現(xiàn)小行星智神星的位置；發(fā)表有關(guān)天體運(yùn)動(dòng)的重要著作《天體運(yùn)動(dòng)理論》……21世紀(jì)教育網(wǎng)

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