資源簡介

數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入復(fù)習(xí)指導(dǎo)
『教材重點(diǎn)』：１．復(fù)數(shù)的相等，復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)以及虛數(shù)的關(guān)系，復(fù)數(shù)的幾何意義；２．復(fù)數(shù)的加減、乘除運(yùn)算法則，以及復(fù)數(shù)加法、減法的幾何意義；３．體會數(shù)學(xué)思想方法－類比法．
　　　　　『教材難點(diǎn)』：復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)加法以及復(fù)數(shù)減法的幾何意義，復(fù)數(shù)的除法．
　『復(fù)習(xí)過程指導(dǎo)』
在復(fù)習(xí)本章時(shí)，我們重點(diǎn)從數(shù)學(xué)思想方法上勾通知識的內(nèi)在聯(lián)系：(1)復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、有理數(shù)的聯(lián)系；（2）復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加法、減法運(yùn)算與平面向量的加法、減法運(yùn)算的聯(lián)系；（3）復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加法、減法、乘法運(yùn)算與多項(xiàng)式的加法、減法、乘法運(yùn)算的聯(lián)系．
在知識上，在學(xué)法上，在思想方法上要使知識形成網(wǎng)絡(luò)，以增強(qiáng)記憶，培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)邏輯思維能力．其數(shù)學(xué)思想方法（類比法、化一般為特殊法）網(wǎng)絡(luò)如下：
　　　　　
多項(xiàng)式運(yùn)算
類比
復(fù)數(shù)
運(yùn)算
　類比
向量
運(yùn)算21世紀(jì)教育網(wǎng)
實(shí)數(shù)
運(yùn)算
類比
數(shù)軸上向量運(yùn)算
有理數(shù)
運(yùn)算
　　　一．?dāng)?shù)學(xué)思想方法總結(jié)
1數(shù)學(xué)思想方法之一：類比法
　（1）復(fù)數(shù)的運(yùn)算
復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法、減法運(yùn)算法則
　　　　　　
復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算運(yùn)算法則：
　　　　　　
顯然在運(yùn)算法則上類似于多項(xiàng)式的加減法（合并同類項(xiàng)），以及多項(xiàng)式的乘法，這就給我們對復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及記憶帶來了極大的方便．
（2）復(fù)數(shù)的幾何意義
我們知道，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)的；有序?qū)崝?shù)對與直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對應(yīng)；類似的我們有：
復(fù)數(shù)集C＝與坐標(biāo)系中的點(diǎn)集一一對應(yīng)．于是：
復(fù)數(shù)集＝復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)
　　　　　　復(fù)數(shù)集＝平面向量
例1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)＋(1＋i)2對應(yīng)的點(diǎn)
位于　( )
(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限
解答：復(fù)數(shù)＋(1＋i)2＝
　　　＝
因?yàn)閺?fù)數(shù)對應(yīng)著直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)，
　　　　　故在第二象限，答案為B．
　　　　此題一方面考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算能力，另一方面考察了對復(fù)數(shù)的幾何意義的理解．
例2．非零復(fù)數(shù)分別對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)向量，若=
則向量與的關(guān)系必有（ ）
A ．= B． C ． D．共線21世紀(jì)教育網(wǎng)
解答： 由向量的加法及減法可知：
　　　　　＝
　　　　　　　＝ 　　　　
由復(fù)數(shù)加法以及減法的幾何意義可知：
　對應(yīng)的模
　對應(yīng)的模
　　　　　　又因?yàn)?，且非零復(fù)數(shù)分別對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)向量　
　　　　　　所以四邊形OACB是正方形
　　　　　　因此，故答案選B．
　　注：此題主要考察了復(fù)數(shù)加法以及減法的幾何意義
（3）復(fù)數(shù)的化簡
虛數(shù)除法運(yùn)算的分母“實(shí)數(shù)化”，類似的有實(shí)數(shù)運(yùn)算的分母“有理化”．
例３若復(fù)數(shù)（∈R，i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為
（A）-2 　 　 (B)4 　　(C) -6 　 (D)6
解答：由＝＝
＝　
　因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)
　　　　所以且
　　　　解得
　　　　故答案選C．
　　注：這里在復(fù)數(shù)的化簡中主要用了一對共軛復(fù)數(shù)的積是實(shí)數(shù)＝５，一般地（）（）＝
　　這也是一個(gè)復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)轉(zhuǎn)化的過程，即是純虛數(shù)可得：且，21世紀(jì)教育網(wǎng)
2．?dāng)?shù)學(xué)思想方法之二　　轉(zhuǎn)化法
　　　　　我們知道在運(yùn)算上，高次方程要轉(zhuǎn)化為低次方程，多元方程要轉(zhuǎn)化為一元方程進(jìn)行運(yùn)算；實(shí)數(shù)的運(yùn)算要轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的運(yùn)算；類似地，有關(guān)虛數(shù)的運(yùn)算要轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的運(yùn)算．
　　　　　基礎(chǔ)知識：復(fù)數(shù)
例４若 , ，且為純虛數(shù)，則
實(shí)數(shù)a的值為 ．
　解答：＝＝
因?yàn)闉榧兲摂?shù)
所以且．解得
　　　例５．設(shè)、、、，若為實(shí)數(shù)，則，
（A）（B）
（C）（D）
　解答：　由　　
　　　因?yàn)?為實(shí)數(shù)，
　　　所以其虛部，即
　　　故答案選C．
這里先把分母“實(shí)數(shù)化”，即分子以及分母同乘以分母的“實(shí)數(shù)化”因式．
類似于以前所學(xué)的實(shí)數(shù)化簡時(shí)的把分母“有理化”．再把它轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的運(yùn)算．
　　二．解題規(guī)律總結(jié)
　　　１有關(guān)虛數(shù)單位的運(yùn)算及拓展
虛數(shù)的乘方及其規(guī)律：，＝－１，，，……（）
拓展（1）任何相鄰四個(gè)數(shù)的和為０；
　　（2）指數(shù)成等差的四個(gè)數(shù)的和為０；　
例如：＝０
　　　　　　　　（3）連續(xù)多個(gè)數(shù)相加的規(guī)律．　
　　　　　　　 例6．求…的值
　　　　　解答：共有2006－10＋１＝１997項(xiàng)
　　　　　　由于1997＝4499＋1
　　　　　　由于連續(xù)4個(gè)的和等于0
　　　　　　因此原式＝＝－1
　2．有關(guān)復(fù)數(shù)的幾個(gè)常用化簡式
，，
例7（2005高考重慶2）．　　　　（　　）
A．　　B．－　　C．　　D．－
　　　解答：
　　　　　故答案選A
　　　　　　3．有關(guān)復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算21世紀(jì)教育網(wǎng)
　　　　　例７、（本題滿分12分）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程（為虛數(shù)單位）
　　解法一．設(shè)，則21世紀(jì)教育網(wǎng)
　　　由于
　　　＝＝
所以＝
　　　根據(jù)復(fù)數(shù)的相等得
　　　解得
　　　因此，即為所求．
　　　　　　　解題評注：（1）設(shè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式（）以代入法解題的一種基本而常用的方法；（2）復(fù)數(shù)的相等（＝　　）是實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)運(yùn)算的重要方法．這兩種方法必須切實(shí)掌握；
　　　　　三．高考命題趨勢
　從新教材的特點(diǎn)來看，高考題的難度不會大，主要以客觀題的形式考察基礎(chǔ)知識．以上結(jié)合高考題給出了復(fù)習(xí)的方法，以及重點(diǎn)難點(diǎn)，希望同學(xué)們結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法，使知識形成網(wǎng)絡(luò)，系統(tǒng)全面的掌握所學(xué)知識．

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