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高中新課標數(shù)學(xué)選修（1-2）3.1~3.2教材解讀
一、數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念
　　1．復(fù)數(shù)的引入：回想數(shù)系的每一次擴充都主要來自兩個方面：一方面數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要；另一方面由于實際的需要.而復(fù)數(shù)的引入屬于前者．
　　我們知道，方程在實數(shù)范圍內(nèi)無解，于是需引入新數(shù)i使方程有解，顯然，需要．
　　數(shù)系的擴充過程：自然數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集復(fù)數(shù)集．
　　2．復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：由實數(shù)的運算類似地得到新數(shù)i可以同實數(shù)進行加、減、乘運算，于是得到：形如的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，并且把的這一表現(xiàn)形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，其中的a叫做復(fù)數(shù)的實部，b叫復(fù)數(shù)的虛部．注意復(fù)數(shù)的虛部是，而不是．
　　3．復(fù)數(shù)相等的充要條件
　　且
　　注意事項：
　　（1）復(fù)數(shù)
　?。?）復(fù)數(shù)集
　?。?）兩個實數(shù)可以比較大小，但兩個復(fù)數(shù)如果不全是實數(shù)，則不能比較大小.
二、復(fù)數(shù)的幾何意義
　　1．復(fù)數(shù)可以用平面直角坐標系的點來唯一表示，于是：21世紀教育網(wǎng)
　　復(fù)數(shù)集與坐標系中的點集，可以建立一一對應(yīng)．
　　2．建立了直角坐標系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面.在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，x軸的單位是１，y軸的單位是i，實軸與虛軸的交點叫做原點，且原點對應(yīng)復(fù)數(shù)0．于是有下面的一一對應(yīng)關(guān)系：復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點．
　　3．由于平面向量與坐標平面的點一一對應(yīng)，于是有：
　　復(fù)數(shù)平面向量．
　　在這些意義下，我們就可以把復(fù)數(shù)說成點或向量，這給研究復(fù)數(shù)運算的幾何意義帶來了方便．
　　4．復(fù)數(shù)的模就是這個復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模，復(fù)數(shù)的模為．
　　三、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算
　　1．復(fù)數(shù)的加法、減法
　　①運算法則．
　　其運算法則類似于多項式的合并同類項
②復(fù)數(shù)加法的運算律
　　對于任意的，有：
　　交換律：．
　　結(jié)合律：．
　?、蹚?fù)數(shù)加法的幾何意義
　　設(shè)，分別與復(fù)數(shù)，對應(yīng)，根據(jù)向量加法的平行四邊形（三角形）法則，則有（如圖1）．
　　由平面向量的坐標運算：，即得與復(fù)數(shù)對應(yīng)．
　　可見，復(fù)數(shù)的加法可以按向量加法的法則進行．
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　?、軓?fù)數(shù)減法的幾何意義
　　設(shè)，分別與復(fù)數(shù)，對應(yīng)（如圖2），
　　根據(jù)向量加法的三角形法則有：．
　　于是：．
　　由平面向量的坐標運算：，即得與復(fù)數(shù)對應(yīng)．
　　于是得到向量的減法運算法則為：兩個復(fù)數(shù)的差與連接兩個向量的終點并指向被減數(shù)的向量相對應(yīng)．
　　2．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算
　　①運算法則：．
　　兩個復(fù)數(shù)相乘類似于兩個多項式相乘，只是把換為，并且把實部與虛部分別合并即可．
　　②運算律：交換律：．
　　結(jié)合律：．
　　分配律：．
　　③虛數(shù)i的乘方及其規(guī)律：，，，，，，，， ．
　　可見，，，，，即具有周期性且最小正周期為4．
　　④共軛復(fù)數(shù)
　　與互為共軛復(fù)數(shù)，即當兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)．
　　它的幾何意義是：共軛的兩個復(fù)數(shù)關(guān)于x軸對稱．主要用于復(fù)數(shù)的化簡以及復(fù)數(shù)的除法運算.
　　3．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算
　　運算法則：．
　　其實質(zhì)是分母“實數(shù)化”，即分子以及分母同乘以分母的“實數(shù)化”因式．類似于以前所學(xué)的把分母“有理化”．
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