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高中新課標數學選修（1-2）3.1~3.2教材解讀
一、數系的擴充和復數的概念
　　1．復數的引入：回想數系的每一次擴充都主要來自兩個方面：一方面數學本身發展的需要；另一方面由于實際的需要.而復數的引入屬于前者．[21世紀教育網
　　我們知道，方程在實數范圍內無解，于是需引入新數i使方程有解，顯然，需要．21世紀教育網
　　數系的擴充過程：自然數集整數集有理數集實數集復數集．
　　2．復數的代數形式：由實數的運算類似地得到新數i可以同實數進行加、減、乘運算，于是得到：形如的數叫做復數，并且把的這一表現形式叫做復數的代數形式，其中的a叫做復數的實部，b叫復數的虛部．注意復數的虛部是，而不是．
　　3．復數相等的充要條件
　　且
　　注意事項：
　　（1）復數
　　（2）復數集21世紀教育網
　　（3）兩個實數可以比較大小，但兩個復數如果不全是實數，則不能比較大小.
二、復數的幾何意義
　　1．復數可以用平面直角坐標系的點來唯一表示，于是：
　　復數集與坐標系中的點集，可以建立一一對應．
　　2．建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面.在復平面內，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，x軸的單位是１，y軸的單位是i，實軸與虛軸的交點叫做原點，且原點對應復數0．于是有下面的一一對應關系：復數復平面內的點．
　　3．由于平面向量與坐標平面的點一一對應，于是有：
　　復數平面向量．
　　在這些意義下，我們就可以把復數說成點或向量，這給研究復數運算的幾何意義帶來了方便．
　　4．復數的模就是這個復數對應的向量的模，復數的模為．
　　三、復數代數形式的四則運算
　　1．復數的加法、減法
　　①運算法則．
　　其運算法則類似于多項式的合并同類項
②復數加法的運算律
　　對于任意的，有：
　　交換律：．
　　結合律：．
　　③復數加法的幾何意義
　　設，分別與復數，對應，根據向量加法的平行四邊形（三角形）法則，則有（如圖1）．
　　由平面向量的坐標運算：，即得與復數對應．
　　可見，復數的加法可以按向量加法的法則進行．
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　　④復數減法的幾何意義
　　設，分別與復數，對應（如圖2），
　　根據向量加法的三角形法則有：．
　　于是：．
　　由平面向量的坐標運算：，即得與復數對應．
　　于是得到向量的減法運算法則為：兩個復數的差與連接兩個向量的終點并指向被減數的向量相對應．
　　2．復數代數形式的乘法運算
　　①運算法則：．
　　兩個復數相乘類似于兩個多項式相乘，只是把換為，并且把實部與虛部分別合并即可．
　　②運算律：交換律：．
　　結合律：．
　　分配律：．
　　③虛數i的乘方及其規律：，，，，，，，，．
　　可見，，，，，即具有周期性且最小正周期為4．
　　④共軛復數
　　與互為共軛復數，即當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數．
　　它的幾何意義是：共軛的兩個復數關于x軸對稱．主要用于復數的化簡以及復數的除法運算.
　　3．復數代數形式的除法運算
　　運算法則：．[來源:21世紀教育網]
　　其實質是分母“實數化”，即分子以及分母同乘以分母的“實數化”因式．類似于以前所學的把分母“有理化”．

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