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聯(lián)立分析法、綜合法
　　分析法和綜合法是兩種常用的解題方法，有時(shí)候我們會(huì)把這兩種方法結(jié)合起來使用．
　　一、用分析法尋找思路，用綜合法表述過程
　　例１　已知，求證：．
　　分析：本題用綜合法不容易找到證明思路，因此用分析法探路．要證原不等式成立，由得，因此移項(xiàng)，只需證．
　　通分得，即證．
　　只需證成立．思路找到．
　　證明：∵，
　　∴，，．
　　∴．
　　∴，
　　即．21世紀(jì)教育網(wǎng)
　　∴．
　　點(diǎn)評(píng)：分析法解題方向較為明確，有利于尋找解題思路；綜合法條理清晰，宜于表述．因此，在實(shí)際解題時(shí)，通常以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表述過程．
　　二、分析法與綜合法聯(lián)合使用
　　對(duì)于那些較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)命題，不論是從“已知”推向“未知”，或者是由“未知”靠攏“已知”，都有一個(gè)比較長(zhǎng)的思考過程，單靠分析法或綜合法顯得較為困難．為保證探索方向準(zhǔn)確及過程快捷，人們常常把分析法與綜合法兩者結(jié)合起來使用，即常采取同時(shí)從已知和結(jié)論出發(fā)，尋找問題的一個(gè)中間目標(biāo)．從已知到中間目標(biāo)運(yùn)用綜合法思索，而由結(jié)論到中間目標(biāo)運(yùn)用分析法思索，以中間目標(biāo)為橋梁溝通已知與結(jié)論，構(gòu)建出證明的有效路徑．上面所言的思維模式可概括為如下圖所示：
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　　綜合法與分析法是邏輯推理的思維方法，它對(duì)于培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性極為有用．把分析法與綜合法并列起來進(jìn)行思考，尋求問題的解答途徑，就是人們通常所說的分析綜合法．
　　例2　若a，b，c是不全相等的正數(shù)，
求證：．
　　證明：要證，
　　只需證，
　　只需證．
　　但是，，，．
　　且上述三式中的等號(hào)不全成立，
　　所以．
　　因此．
點(diǎn)評(píng)：這個(gè)證明中的前半部分用的是分析法，后半部分用的是綜合法．
反證法知識(shí)點(diǎn)睛
　　反證法是一種重要的間接證明方法，在數(shù)學(xué)中使用相當(dāng)普遍．下面加以系統(tǒng)歸納，供參考．
　　一、反證法的基本內(nèi)容
　　①定義；②思考過程、特點(diǎn)；③解題步驟；④推出矛盾情形．
　　二、注意事項(xiàng)
　　注意一：“否定所證結(jié)論”是反證法的第一步，它的正確與否直接影響能否正確使用反證法．
　　否定結(jié)論的步驟是：①弄清結(jié)論本身的情況；②找出結(jié)論的全部相反情況；③正確地否定上述結(jié)論．
　　注意二：反證法中引出矛盾的結(jié)論，不是推理本身的錯(cuò)誤，而是由于開始假定“結(jié)論的反面是正確的”是錯(cuò)誤的．
　　注意三：在反證法證題的過程中，經(jīng)常畫出某些不正確的圖形，甚至是不可能存在的圖形，這樣做的目的，是為了能清楚地說明問題．在證明過程中，每一步推理所得結(jié)論的正確性，應(yīng)完全由它所依據(jù)的理由來保證，而不能借助圖形的直觀性，這與用直接證法借助圖形的直觀性找到證題的途徑是不完全一樣的．
　　注意四：用反證法證明命題時(shí)，若原命題結(jié)論的反面不惟一，這時(shí)要把每種可能一一否定，不要遺漏．
　　三、何時(shí)運(yùn)用反證法
　　1．正面繁瑣或困難時(shí)宜用反證法；
　　2．惟一性命題可考慮用反證法；
　　3．當(dāng)命題的結(jié)論涉及“至少”、“至多”、“無限”時(shí)，可考慮用反證法；
　　4．當(dāng)問題的結(jié)論是以否定形式出現(xiàn)的否定性命題，可考慮用反證法；
　　5．當(dāng)反面結(jié)論比原結(jié)論表述更明確時(shí)，可考慮用反證法．
　　四、典例剖析
例１　已知函數(shù)對(duì)其定義域內(nèi)的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b，當(dāng)時(shí)，都有．求證：至多有一個(gè)實(shí)數(shù)x使得．
證明：假設(shè)存在兩個(gè)不等實(shí)數(shù)，使得．（※）
不妨設(shè)，由條件可得，與（※）式矛盾．21世紀(jì)教育網(wǎng)
故至多有一個(gè)實(shí)數(shù)x使得．
　　點(diǎn)評(píng)：此命題中出現(xiàn)“至多”，宜用反證法．欲證“至多有一個(gè)”，可從反面假設(shè)存在“兩個(gè)”，證明過程中出現(xiàn)矛盾，即證得原命題成立．
　　例2　已知，求證：．
　　分析：本題已知為關(guān)于p、q的三次冪等式，而結(jié)論中只有p、q的一次冪，應(yīng)考慮求其立方根，同時(shí)用到放縮法，但很難得證．這時(shí)可考慮反證法．
　　證明：假設(shè)，則．
　　將其兩邊立方，得．
　　將代入上式，得，
　　即，與矛盾．故．
　　點(diǎn)評(píng)：當(dāng)命題“結(jié)論反面”比“結(jié)論”更明確具體時(shí)，可采用反證法．本題的結(jié)論的反面只有一種情況，故推翻此種情況就可達(dá)到證明目的．
反證法中的“特殊化”
　　反證法是一種重要的證明方法．反證法的難點(diǎn)在于提出與結(jié)論相反的假設(shè)后，如何合理地展開思路，以便盡快凸現(xiàn)矛盾．筆者認(rèn)為，“特殊化”有時(shí)是反證法得以成功的一個(gè)重要突破口．
　　一、特殊值
　　巧合的數(shù)目，特殊的數(shù)字，個(gè)性化的特征，看似純屬偶然，但往往蘊(yùn)含著正確的解法的必然．
　　例1　設(shè)、是上的函數(shù)．證明：存在、，使得．
　　分析：要找出具體的、，難以下手，不妨考慮用反證法．
　　證明：假設(shè)這樣的、不存在．取特殊值，，得．
　　同理，，，．
　　故，
　　這是不可能的．
　　因此，原命題成立．
　　注：本題反復(fù)利用0與1這兩個(gè)特殊值，并進(jìn)行湊配，從而推得矛盾“”．
二、特殊運(yùn)算
　　某些相對(duì)獨(dú)立的對(duì)象各有各的特點(diǎn)，不足以發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，而通過特殊運(yùn)算使之形成一個(gè)整體，矛盾便暴露無遺了．
　　1．求和
　　例2　今有有限個(gè)砝碼，它們的總重量是，將它們分別編號(hào)為1，2，…．證明：從這有限個(gè)砝碼中必可找出一個(gè)編號(hào)為的砝碼，它的重量大于．
　　證明：假設(shè)不存在這樣一個(gè)編號(hào)，使得相應(yīng)的砝碼重量．
　　設(shè)共有個(gè)砝碼，．
　　從而，有，，…，．
　　累加求和得
　　，矛盾 ．
　　因此，原命題成立．
　　2．求積
　　例3　證明：任何三個(gè)實(shí)數(shù)都不可能同時(shí)滿足下列三個(gè)不等式：，，．
　　分析：本題要證明所有的對(duì)象都具有同一性質(zhì)，無法從正面考慮，宜用反證法．
　　證明：假設(shè)存在某三個(gè)實(shí)數(shù)同時(shí)滿足題設(shè)的三個(gè)不等式．將它們的兩端都同時(shí)平方，然后分別移項(xiàng)、分解因式得
　　，　　①
　　，　　②
　　．　　③
　　①×②×③得
　　，這顯然是不可能的．21世紀(jì)教育網(wǎng)
　　因此，原命題成立．
　　注：本題所得到的三個(gè)不等式，單獨(dú)看哪一個(gè)都看不出有什么毛病，而一旦求積，矛盾便凸現(xiàn)在眼前了．
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