資源簡(jiǎn)介

直接證明與間接證明知能闡釋
　　一、要點(diǎn)透析
　　1．綜合法
　　一般地，從已知條件出發(fā)，以已知的定義、公理、定理為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證明的結(jié)論為止．這種證明方法常稱為綜合法．
　　綜合法的推證過程如下：
　　注意：應(yīng)用綜合法時(shí)，應(yīng)從命題的前提出發(fā)，在選定了出發(fā)點(diǎn)以后（它基于題設(shè)或已知的真命題），再依次由它得出一系列的命題（或判斷），其中每一個(gè)都是真實(shí)的（但它們并不一定都是所需求的）．當(dāng)最后一個(gè)包含我們要證明的命題的結(jié)論時(shí)，命題得證．
　　2．分析法
　　一般地，從問題的結(jié)論出發(fā)，追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件，逐步上溯，直到使結(jié)論成立的條件與已知條件吻合為止．這種證明方法常稱為分析法．
　　分析法的推證過程如下：
　　注意：這種推理方法僅僅是建立與需要證明的命題的等效關(guān)系，因而需要從這些關(guān)系中逐個(gè)考查，逐個(gè)思索，逐個(gè)分析，逐個(gè)判斷，在得到了所需的確定結(jié)論時(shí)（它們是已證的命題或已知的條件），才知道前面各步推理的適當(dāng)與否，從而找出證明的路子．
　　3．綜合法和分析法的區(qū)別與聯(lián)系
　　綜合法的特點(diǎn)：是從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，實(shí)際上是要尋找它的必要條件；分析法的特點(diǎn)是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實(shí)際上是要尋找它的充分條件．分析法與綜合法各有其特點(diǎn)，有些具體的特征命題，用分析法和綜合法都可以證明出來，人們往往選擇比較簡(jiǎn)單的一種．
　　分析法解題方向較為明確，利于尋找解題思路；綜合法條理清晰，宜于表述．因此，在實(shí)際解題時(shí)，通常以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表述解題過程．
　　4．反證法
　　反證法是一種常用的間接證明方法．用反證法證明命題“若p則q”的過程可以用以下框圖表示：
　　應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題，一般有下面三個(gè)步驟：
　　（1）反設(shè)———假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假定原結(jié)論的反面為真；
　　（2）歸謬———從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果；
　　（3）存真———由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立．
　　注意：所說的矛盾結(jié)果，通常是指推出的結(jié)果與公理、定義、定理、條件矛盾或與臨時(shí)假定矛盾，以及自相矛盾等各種情況．
　　二、范例點(diǎn)悟
　　例1　已知，求證：．
　　證明：∵， ，
　　∴，
　　∴，
∴．
　　同理：，，
　　將三式相加得．
．
　　∴．
　　評(píng)注：在運(yùn)用綜合法證明不等式時(shí)，常利用不等式的基本性質(zhì)，如同向不等式相加，同向不等式相乘等，但在運(yùn)用這些性質(zhì)時(shí)，一定要注意這些性質(zhì)成立的前提條件．
　　例2　當(dāng)一個(gè)圓與一個(gè)正方形的周長(zhǎng)相等時(shí)，這個(gè)圓的面積比正方形的面積大．
　　證明：設(shè)圓和正方形的周長(zhǎng)為，依題意，圓的面積為，正方形的面積為，因此本題只需證明．
　　為了證明成立，只需證明，21世紀(jì)教育網(wǎng)
　　兩邊同乘以正數(shù)，得顯然成立，
　　所以．
　　這就證明了，如果一個(gè)圓和一個(gè)正方形的周長(zhǎng)相等，那么這個(gè)圓的面積比這個(gè)正方形的面積大．
　　評(píng)注：在分析法證明中，從結(jié)論出發(fā)的每一個(gè)步驟所得到的判斷都是結(jié)論成立的充分條件，最后一步歸結(jié)到已被證明了的事實(shí)．因此，從最后一步可以倒推回去，直到結(jié)論，但這個(gè)倒推過程可以省略．
　　例3　已知三個(gè)關(guān)于x的方程，；中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
　　解析：三個(gè)方程都沒有實(shí)根的充要條件是
　　即解得．
　　∴使三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根的實(shí)數(shù)m的取值范圍為．
評(píng)注：反證法的邏輯根據(jù)為：要證明命題“若p則q”為真，應(yīng)證“若p則”為假，因此，反證法的核心是從出發(fā)導(dǎo)出矛盾．
綜合法及其應(yīng)用
　　綜合法就是從命題提供的條件，或是已證明過的結(jié)論，或是已知的定義、公理、定理等條件及事實(shí)出發(fā)，經(jīng)正確的推理得到結(jié)論的方法，是一種直接的演繹推理方法，也就是“由因?qū)Ч钡姆椒ǎ?br/>　　一、綜合法適用范圍
　　1．定義明確的題型，如證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，求證無條件的等式或不等式問題等；
　　2．已知條件明確，且容易通過找已知條件的必要條件逼近欲得結(jié)論的題型．
　　二、應(yīng)用舉例
　　例１　設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，，且對(duì)任意的，均有，求證：．
　　分析：直接運(yùn)用綜合法給予證明，不妨設(shè)，運(yùn)用分類討論即可．
　　證明：不妨設(shè)，則
　　（1）如果，則．
　　（2）如果，由，得
　　

。
　　綜合（1）（2），得．
　　例2　已知：x，y，z都是小于1的正數(shù)，且它們的和為2．求證：．
　　分析：直接運(yùn)用綜合法進(jìn)行證明，但證明過程中要應(yīng)用不等式證明的放縮法．
　　證明：∵，
　　∴．
　　∵，，，
　　∴．
　　即．
　　∵，，，
　　∴，，，
　　∴．
　　∴．
　　∴．
∴得證．　
瞄準(zhǔn)反證法
　　反證法是間接證明的一種基本方法，常常是解決某些“疑難”問題的有力工具．對(duì)于一些用直接證明的方法難以證明的結(jié)論，常采用反證法．熟練掌握并運(yùn)用反證法，對(duì)提高同學(xué)們的解題能力大有裨益．下面就反證法的要點(diǎn)進(jìn)行歸納整理．
　　1．反證法的基本思想是：否定結(jié)論就會(huì)導(dǎo)致矛盾．它可以用下面的程序來表示：“否定——推理——肯定．”
　　“否定”——假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立，而結(jié)論的反面成立．
　　“推理”——從已知條件和假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用一系列的論據(jù)進(jìn)行推理，導(dǎo)致邏輯矛盾．
　　“肯定”——由于推理過程正確，故矛盾是由假設(shè)所引起的．因此，假設(shè)是錯(cuò)誤的，從而肯定結(jié)論是正確的．
　　2．應(yīng)用反證法的原則：正難則反，即如果一個(gè)命題的結(jié)論難以用直接法證明時(shí)可考慮用反證法．21世紀(jì)教育網(wǎng)
　　3．宜用反證法證明的題型：①易導(dǎo)出與已知矛盾的命題；②“否定性”命題；③“惟一性”命題；④“必然性”命題；⑤“至少”、“至多”命題等．
　　4．注意事項(xiàng)：（1）應(yīng)用反證法證明命題時(shí)，反設(shè)必須恰當(dāng)．如“都是”的否定是“不都是”、“至少一個(gè)”的否定是“不存在”等．
　　（2）用反證法證明時(shí)最好在開篇注明“下面用反證法證明”，以告知讀者按反證法的思路閱讀或評(píng)卷．
　　下面舉例說明“反證法”在證題中的應(yīng)用．
　　例１　設(shè)、是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，，證明數(shù)列不是等比數(shù)列．
　　分析：命題的結(jié)論呈否定形式，故可用反證法．21世紀(jì)教育網(wǎng)
　　證明：設(shè)、的公比分別為，，．
　　假設(shè)是等比數(shù)列，則只需證．
　　由于，21世紀(jì)教育網(wǎng)
　　而．
　　從而有，而，
　　故有，即，這與已知相矛盾，因此假設(shè)不成立，故不是等比數(shù)列．
　　點(diǎn)評(píng)：當(dāng)遇到結(jié)論為否定形式的命題時(shí)，常常采用反證法．
　　例2　求證：兩條平行線中一條與一個(gè)平面相交，那么另一條也與這個(gè)平面相交．
　　已知：，平面，如圖1所示．
　　求證：直線b和平面相交．
　　證明：假設(shè)b和平面不相交，即或．
　　（1）若，因?yàn)椋?br/>　　所以，這與相矛盾．
　　（2）如果，因?yàn)椋詀和b確定一個(gè)平面，顯然平面與平面相交．
　　設(shè)，因?yàn)椋裕?br/>　　又，從而且，．
　　故，這與矛盾．
　　由（1）（2）可知，假設(shè)不成立．
　　故直線b與平面相交．
例3　求證：正弦函數(shù)沒有比小的正周期．
　　證明：假設(shè)是正弦函數(shù)的周期，且，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有成立．
　　令，得，即，．
　　又，故，從而對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有，這與矛盾．
　　所以正弦函數(shù)沒有比２?仔小的正周期．
　　例4　今有50位同學(xué)，男女各一半，圍坐一圈，是否存在一種座位的安排方法，使得每一位同學(xué)左右兩側(cè)的兩位同學(xué)為一男一女？證明結(jié)論．
　　解：不存在這樣的座位安排．
　　證明：假設(shè)存在這樣的安排，則每一位同學(xué)必與一同性別的同學(xué)相鄰，若以Ｍ表示男同學(xué)，Ｗ表示女同學(xué)，則每一對(duì)相鄰而坐的男性（女性）同學(xué)的左右兩側(cè)必為兩對(duì)相鄰而坐的女性（或男性）同學(xué)，如圖2所示，因此男性或女性同學(xué)數(shù)應(yīng)是偶數(shù)，這和男性或女性同學(xué)數(shù)各占25矛盾，所以這種安排方法不存在．
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