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九年級上第一章第四節(jié)角平分線
試題資料庫：
例1.如下圖，AP、BP分別平分△ABO的外角，∠AOB＝40°，則∠AOP＝ 。

解：20°
例2.如圖ABC中，AB＝AC，BD、CE分別是ABC兩底角的平分線，求證：BD＝CE。
證明：ABC中∵AB＝AC
∴∠ABC＝∠ACB.
又∵BD、CE分別平分∠ABC和∠ACB
∴
∴∠1＝∠2
在BDC與CEB中
∴BDCCEB（ASA）
∴BD＝CE
例3. 已知：如圖，∠C=90°∠B=30°，AD是RtΔABC的角平分線。求證：BD=2CD。
分析：根據(jù)已知條件可求出∠BAC的度數(shù)，再由AD是ΔABC的角平分線，可分別求出上圖中其余各角的度數(shù)，再證明結論就容易了。
證明：由∠C=90°，∠B=30°，知∠BAC=60°。
因AD是ΔABC的角平分線，故∠BAD=∠CAD=30°。則∠B=∠BAD。可知AD=BD。
在ΔADC中，∠DAC=30°，∠C=90°，則AD=2CD。故BD=2CD。
引申：該題中，若條件不變，如上圖，從D點向AB作垂線交AB于點E，請問： ΔADE≌ΔADC是否成立？BD=2DE是否成立？
不難看出，因為AD是ΔABC的角平分線，由角平分線的性質可知DE=DC，則ΔADE與ΔADC全等的條件可輕松找到，BD=2DE顯然也成立。這是在特殊角三角形的情況下考慮的，若推廣到一般三角形的情況，解答該題的主要依據(jù)“角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等”依然是一個重要的解題條件。
例4. 已知：如下圖，ΔABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點F。
求證：點F在∠DAE的平分線上。
分析：該題圖比較簡單，單從上圖中很難看出應該怎么證明結論。但問題既然涉及角平分線，我們很容易想到定理“在一個角的內部，且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上”，所以不妨過點F分別作BD，BC，CE的垂線段，這樣就找到了解決問題的切入點。
證明：如上圖，過點F分別作BD，BC，CE的垂線段FG，F(xiàn)H，F(xiàn)M。
因BF是∠CBD的平分線，所以FG=FH。同理FH=FM，則FG=FM。
因點F在∠DAE內，且點F到AD，AE的距離相等，故點F在∠DAE的平分線上。
引申：該題中，若條件不變，請問：∠A與∠BFC有怎樣的數(shù)量關系？
請同學們進一步探索。
例5. 已知：如圖1所示，∠ABC，∠ACB的平分線交于F，過F作DE//BC，交AB于D，交AC于E，求證：（1）BD+EC=DE[來源:21世紀教育網(wǎng)]
圖1
（2）若將已知改為過一內角和一外角平分線交點作平行線，如圖2所示，那么DB、EC和DE之間還存在怎樣的關系。
圖2
（3）若將已知改為過兩個外角平分線交點作平行線如圖3所示，那么DB、CE、DE之間還存在什么關系。
圖3
證明：（1）∵DE//BC，∴∠2=∠3
∵∠1=∠2，∴∠1=∠3
∴BD=DF，同理FE=EC
∴BD+EC=DF+FE=DE
（2）DE=BD－CE
（3）DE=BD+CE
?
例6. 如圖所示，△ABC的邊BC的中垂線DF交△BAC的外角平分線AD于D，F(xiàn)為垂足，DE⊥AB于E，且AB>AC，求證：BE－AC=AE[來源:21世紀教育網(wǎng)]
證明：過D作DN⊥AC垂足為N，連結DB、DC
則DN=DE，DB=DC
又∵DE⊥AB，DN⊥AC


?
例7. 已知：如圖所示PA、PC分別是△ABC外角∠MAC和∠NCA平分線，它們交于P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F，求證：BP為∠MBN的平分線。
證明：過P作PE⊥AC于E
∵PA、PC分別是∠MAC
與∠NCA的平分線且PD⊥BM，PF⊥BN
∴PD=PE，PF=PE
∴PD=PF
又∵PD⊥BM， PF⊥BN
∴點P在∠MBN的平分線上
即BP為∠MBN的平分線
?
例8. 如圖DE是ABC的AB邊的垂直平分線，分別交AB、BC于D、E，AE平分，求∠C的度數(shù)。
解答：∵DE是AB的垂直平分線
∴EA＝EB ∴∠ABE＝∠1
∵ ∴
又AE平分∠BAC
∴∠2＝∠1＝ 即∠BAC＝
∴∠C＝－∠B－∠BAC＝
例9.如圖BD是ABC的角平分線，DE//BC交AB于E。求證：BED是等腰三角形。
證明：∵BD是ABC的角平分線
∴∠EBD＝∠DBC
∵DE//BC
∴∠EDB＝∠DBC
∴∠EBD＝∠EDB
∴EB＝ED，即BED是等腰三角形
例10. 已知：P是∠AOB內一點，PD⊥OA，PE ⊥OB，D，E分別是垂足，且PD＝PE，則點P在∠AOB的平分線上，請說明理由。
分析：“點在線上”的另一種說法是“線經(jīng)過點”。直接說明點P在∠AOB的平分線上不易說明，可以反過來先過P作射線OP，說明OP平分∠AOB，這樣就相當于說明了點P在角的平分線上。此時問題就轉化為說明∠DOP＝∠EOP。

解：作射線OP。
∵PD⊥OA，PE ⊥OB ∴∠PDO＝∠PEO＝90°
∵PD＝PE，OP＝OP ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）
∴∠DOP＝∠EOP即P點在∠AOB的平分線上。
歸納：在直接說明某個問題有困難時，我們常常把問題進行轉化成可以直接說明的問題來解決。21世紀教育網(wǎng)
例如：請說明三角形的三個角的平分線剛好相交于一點。我們知道兩直線相交只有一個交點，于是兩個角的平分線CD、BE相交于點O，想說明第三個角的平分線也剛好經(jīng)過O點不易，因此可轉化為“連結OA，說明AO平分∠CAB”，即說明∠OAB＝∠OAC，就相當于說明了第三個角的平分線與前兩個角的平分線相交于一點。
例11. 如下圖，等腰直角△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E。試說明：AB＝BE。
分析：AB、BE分別屬于兩個直角三角形，要說明它們相等，只要能夠說明它們所在的直角三角形全等即可。
解：∵等腰直角△ABC中，
∴∠A＝90°，AB＝AC
∵DE⊥BC，BD平分∠ABC
∴DA＝DE（角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等）
∵∠A＝∠DEB＝90°，DA＝DE，BD＝BD
∴Rt△ADB≌Rt△EDB（HL）
∴AB＝BE。
變式：說明上題中AB+AD＝BC。你能說明嗎？
學習小結：
這節(jié)內容要注意兩點：一是勾股定理與其逆定理表述上的區(qū)別；二是判定直角三角形全等時若使用HL，一定要強調直角三角形，若仍用SAS、ASA、AAS或SSS來判定直角三角形全等，則不需要強調直角三角形。
例12. 如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，∠C=60°，AT平分∠BAC，AH⊥BC，垂足為H，則∠TAH=____________。
圖1
解析：因AH⊥BC，所以∠TAH=90°－∠ATH。
由三角形外角性質可知，∠ATH=∠B＋∠BAT[來源:21世紀教育網(wǎng)]
∵∠BAT=∠BAC
=（180°－∠B－∠C）
=90°－（∠B＋∠C）
∴∠ATH=∠B＋90°－（∠B＋∠C）
∴∠TAH=90°－∠B－90°＋（∠B＋∠C）
=（∠C－∠B）
=15°
想一想，如果∠BAC是銳角或者鈍角，那么∠TAH=（∠C－∠B）還成立嗎？自己動手做做看。[來源:21世紀教育網(wǎng)]
2. 過三角形角平分線所在直線上任一點向第三邊作垂線，角平分線與垂線的夾角等于三角形另外兩角差的絕對值的一半。
例13 如圖2，在△ABC中，∠B<∠C，AQ平分∠BAC，AQ交BC于點Q，點T是AQ延長線上的一點，TH⊥BC于點H，試說明∠HTA=（∠C－∠B）。
圖2[來源:21世紀教育網(wǎng)]
解析：過點A作AH'⊥BC，則AH'//TH。根據(jù)平行線的性質，可得∠HTA=∠AQH'
由上題的結論，可得∠QAH'=（∠C－∠B）
故∠HTA=（∠C－∠B）
例14. 如圖1，OC平分，P是OC上一點，D是OA上一點，E是OB上一點，且PD=PE，求證：。
分析：要證，、在圖形的不同位置，又無平行線使它們聯(lián)系起來，但若考慮設法把其中的一個角轉化為另一個角的鄰補角，問題便可以解決。由于OC是角平分線，故可過P點作兩邊的垂線，構造出兩個直角三角形，再證明這兩個三角形全等即可。
證明：過點P作，，垂足分別為M、N
因OC是角平分線，，，故PM=PN
由PD=PE，PM=PN，得
則，而
點撥：遇到角平分線問題，我們可以過角平分線上的一點向這個角的兩邊引垂線，以便充分運用角平分線定理。
例15. 如圖2，在中，的平分線與BC邊的垂直平分線相交于點P。過點P作AB、AC（或延長線）的垂線，垂足分別是M、N。求證：BM=CN。
分析：要證BM=CN，由圖形特征可構造以BM、CN為邊的兩個三角形，并證明這兩個三角形全等。考慮的平分線與BC邊的垂直平分線相交于點P，于是連接PB、PC，則利用垂直平分線和角平分線的知識即可解決。
證明：因AP是角平分線，，，故PM=PN
又因PD是BC的垂直平分線，故PB=PC
因PB=PC，PM=PN，故
點撥：這是一道垂直平分線與角平分線的綜合運用問題。上述解答省去了兩次全等的證明，相信同學們一定能體會到線段的垂直平分線定理與角平分線定理在幾何證明中的重要性。

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