資源簡(jiǎn)介

九年級(jí)上第一章
第二節(jié)直角三角形
試題資料庫(kù)：
例1. （1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝8，求c。
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝40，c＝41，求b。
解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，
又∵c＞0，
（2）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，
又∵b＞0，
?
例2. 已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)，求第三邊的長(zhǎng)。
解：（1）若AB、BC均為直角邊

（2）若BC為斜邊

?
例3. （1）在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC：BC：AB＝___________；
（2）如圖所示，∠ACB＝90°，∠A＝30°，則BC：AC：AB＝___________；若AB＝8，則AC＝___________；又若CD⊥AB，則CD＝___________。
（3）等邊△ABC的邊長(zhǎng)為a，則高AD＝___________，___________。
解：（1）
（2）
（3）
通過(guò)此題總結(jié)幾個(gè)基本圖形中的常用結(jié)論：
①等腰直角三角形三邊比為
②含30°角的直角三角形三邊之比為21世紀(jì)教育網(wǎng)
③邊長(zhǎng)為a的等邊三角形的高為，面積為
?
?
例4. 如圖所示，，∠DAC＝90°，求BD的長(zhǎng)。
解：作AE⊥BC于E
設(shè)BD為x，則

又
將上式代入，得：
即

解得：
?
例5. 如圖所示，△ABC中，CD⊥AB于D，AC＞BC。
求證：
分析：（1）分解出直角三角形使用勾股定理。
Rt△ACD中，
Rt△BCD中，
（2）利用代數(shù)中的恒等變形技巧進(jìn)行整理：


例6. 設(shè)CD是△ABC的邊AB上的高，且CD2＝AD·DB，求證：∠ACB＝90°。
思維入門指導(dǎo)：要得到∠ACB＝90°，除了知道∠ADC＝∠BDC＝90°之外沒(méi)有別的角的條件，但題中告訴了CD2＝AD·BD，提醒我們是否由AC2＋BC2＝AB2得到△ACB是直角三角形，從而得到∠ACB＝90°。
解法一：∵CD⊥AB于D





∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°
解法二：∵CD⊥AB于D



21世紀(jì)教育網(wǎng)
∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°
點(diǎn)撥：這兩種解法的總體思路是一致的，只是在變形中采取了不同的方法。
例7. 如圖所示，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，求四邊形ABCD的面積。
思維入門指導(dǎo)：要求四邊形ABCD的面積，得把四邊形ABCD分割成三角形，連結(jié)AC，△ABC是Rt△，若△ACD也是Rt△，問(wèn)題就解決了。
解：連結(jié)AC
∵∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形
依據(jù)勾股定理得：

∴AC＝5


∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°
∴四邊形ABCD的面積＝△ABC的面積＋△ACD的面積

一變：把∠B＝90°變成∠ACD＝90°，其它不變。
二變：把∠B＝90°變成AC＝5，其它不變。
點(diǎn)撥：經(jīng)過(guò)變化，整體思路沒(méi)變，均利用直角三角形的判定條件。
例8. 已知：如圖，ΔABC中，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，AD⊥BC交BE于F。
求證：AE＝AF
證明：∵AD⊥BC ∴∠1＋∠5＝90°（直角三角形兩銳角互余）21世紀(jì)教育網(wǎng)
又∵∠3＝∠5（對(duì)頂角相等） ∴∠1＋∠3＝90°
又∵∠BAC＝90° ∴∠2＋∠4＝90°（直角三角形兩銳角互余）
又∵∠1＝∠2 ∴∠3＝∠4
∴AE＝AF（等角對(duì)等邊）[21世紀(jì)教育網(wǎng)]
例9. 已知：如圖，ΔABC中，AB＝AC，BD⊥AC。求證：
分析：只需作出∠A的角平分線，轉(zhuǎn)化為證角相等，注意到等腰三角形底邊上的中線、高線、頂角的平分線“三線合一”，所以輔助線有多種添法。
證明：作AH⊥BC于H
∵AB＝AC ∴∠BAH＝∠CAH（等腰三角形三線合一）[來(lái)源:21世紀(jì)教育網(wǎng)]
在RtΔAHC和RtΔBDC中，分別有
∠CAH＋∠C＝90°
∠DBC＋∠C＝90°
∴∠CAH＝∠DBC（同角的余角相等）
例10.. 已知：如圖，ΔABC中，∠A＝120°，AB＝AC，BD＝DC，DE⊥AB于E。
求證：
分析：在等腰三角形中可通過(guò)添加底邊上的高線，產(chǎn)生直角三角形，利用“三線合一”得到直角三角形的30°，再利用直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可以證明。
證明：連結(jié)AD
在RtΔABD中
∵∠B＝30°
（直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）
同理可證
例11. 如圖所示，一棵36米高的樹(shù)被風(fēng)刮斷了，樹(shù)頂落在離樹(shù)根24米處，求折斷處的高度AB。
分析：已知的36米是AC與AB的和，若設(shè)AB為x米，則AC為（36－x）米，這樣就可以利用勾股定理列方程求解了。
解：設(shè)AB＝x米，則AC＝（36－x）米
∵AB⊥BC，∴
∴
∴x＝10，∴折斷處的高度AB是10米。
例12. 飛機(jī)在空中水平飛行，某一時(shí)刻剛好飛到小明頭頂正上方4000米處，過(guò)了20秒，飛機(jī)距離小明頭頂5000米，問(wèn)：飛機(jī)飛行了多少千米？
分析：根據(jù)題意，可以先畫(huà)出符合題意的圖形，如圖，圖中△ABC中的∠C＝90°，AC＝4000米，AB＝5000米，要求出飛機(jī)這時(shí)飛行多少千米，就要知道飛機(jī)在20秒時(shí)間里飛行的路程，也就是圖中的BC長(zhǎng)，在這個(gè)問(wèn)題中，斜邊和一直角邊是已知的，這樣，我們可以根據(jù)勾股定理來(lái)計(jì)算出BC的長(zhǎng)．
解： 根據(jù)題意可得示意圖：(如圖)
在△ABC中的∠C＝90°，AC＝4000米，AB＝5000米，
根據(jù)勾股定理可得：BC＝AB +AC ＝5000+4000 ＝3000(千米）
所以：飛機(jī)飛行了3000千米.
【點(diǎn)撥】注意勾股定理的應(yīng)用條件是必須在直角三角形中，另外還要辨別要求的邊是斜邊，還是直邊，進(jìn)而選擇利用勾股定理公式還是變形公式。
例13在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題的意思是：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面.請(qǐng)問(wèn)這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度各為多少？
我們可以將這個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型.
解：如圖，設(shè)水深為x尺，則蘆葦長(zhǎng)為（x+1）尺，由勾股定理可求得
（x+1）2＝x2+52，x2+2x+1＝x2+25
解得x＝12
則水池的深度為12尺，蘆葦長(zhǎng)13尺.
例14如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，DC＝5cm，在DC上存在一點(diǎn)E，沿直線AE把ΔAED折疊，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上，設(shè)此點(diǎn)為F，若ΔABF的面積為30cm2，那么折疊的ΔAED的面積為_(kāi)_____.
分析： 注意折疊后相等的角與相等的線段的轉(zhuǎn)化，通過(guò)設(shè)未知數(shù)列方程求解.
解：由已知條件可得BF＝12，則在RtΔABF中，AB＝5，BF＝12根據(jù)勾股定理可知AF＝13，再由折疊的性質(zhì)可知AD＝AF＝13，所以FC＝1，可設(shè)DE＝EF＝x，則EC＝5－x，則在RtΔEFC中，可得方程：12＋(5－x)2＝x2.解這個(gè)方程，得x＝.所以SΔAED＝××13＝16.9(cm2).
例15 在一棵樹(shù)的10m高的B處有兩只猴子，其中一只猴子爬下樹(shù)走到離樹(shù)20m處的池塘A處，另一只爬到樹(shù)頂后直接躍向池塘的A處，如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的距離相等，試問(wèn)這棵樹(shù)有多高？
分析：如圖所示，其中一只猴子從共30m，另一只猴子從也共走了30m。并且樹(shù)垂直于地面，于是此問(wèn)題可化歸到直角三角形解決。
解：如圖，設(shè)，由題意知
中，，解之得
答：這棵樹(shù)高15m。
【點(diǎn)撥】：本題的關(guān)鍵是依題意正確地畫(huà)出圖形，在此基礎(chǔ)上，再運(yùn)用勾股定理及方程的思想使問(wèn)題得以解決。

展開(kāi)更多......

收起↑