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高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)易做易錯題選
平面向量
一、選擇題：
1．（如中）在中,,則的值為 ( )
A 20 B C D
錯誤分析:錯誤認為,從而出錯.
答案: B
略解: 由題意可知,
故=.
2．（如中）關(guān)于非零向量和，有下列四個命題：
（1）“”的充要條件是“和的方向相同”；
（2）“” 的充要條件是“和的方向相反”；
（3）“” 的充要條件是“和有相等的模”；
（4）“” 的充要條件是“和的方向相同”；
其中真命題的個數(shù)是 （ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
錯誤分析:對不等式的認識不清.
答案: B.
3．(石莊中學(xué))已知O、A、B三點的坐標(biāo)分別為O(0,0)，A(3，0)，B(0，3)，是P線段AB上且 =t (0≤t≤1)則· 的最大值為 （ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
正確答案：C 錯因：學(xué)生不能借助數(shù)形結(jié)合直觀得到當(dāng)(OP(cos(最大時，· 即為最大。
4．(石莊中學(xué))若向量 =(cos(,sin() ， =， 與不共線，則與一定滿足（ ）
A． 與的夾角等于(-( B．∥
C．(+)((-) D． ⊥
正確答案：C 錯因：學(xué)生不能把、的終點看成是上單位圓上的點，用四邊形法則來處理問題。
5．(石莊中學(xué))已知向量 =(2cos(，2sin()，((()， =（0,-1)，則 與 的夾角為( )
A．-( B．+( C．(- D．(
正確答案：A 錯因：學(xué)生忽略考慮與夾角的取值范圍在[0，(]。
6．(石莊中學(xué))O為平面上的定點，A、B、C是平面上不共線的三點，若( -)·(+-2)=0，則(ABC是（ ）
A．以AB為底邊的等腰三角形 B．以BC為底邊的等腰三角形
C．以AB為斜邊的直角三角形 D．以BC為斜邊的直角三角形
正確答案：B 錯因：學(xué)生對題中給出向量關(guān)系式不能轉(zhuǎn)化：2不能拆成(+)。
7．(石莊中學(xué))已知向量M={ ( =(1,2)+((3,4) ((R}， N={(=(-2,2)+ ((4,5) ((R }，則M(N=（ ）
A ｛（1，2）｝ B C D
正確答案：C 錯因：學(xué)生看不懂題意，對題意理解錯誤。
8．已知，，若，則△ABC是直角三角形的概率是（ C ）
A． B． C． D．
分析：由及知，若垂直，則；若與垂直，則，所以△ABC是直角三角形的概率是.
9．(磨中)設(shè)a0為單位向量，（1）若a為平面內(nèi)的某個向量，則a=|a|·a0;(2)若a與a0平行，則a=|a|·a0；（3）若a與a0平行且|a|=1，則a=a0。上述命題中，假命題個數(shù)是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
正確答案：D。
錯誤原因：向量的概念較多，且容易混淆，注意區(qū)分共線向量、平行向量、同向向量等概念。
10．(磨中)已知|a|=3,|b|=5，如果a∥b，則a·b= 。
正確答案：。±15。
錯誤原因：容易忽視平行向量的概念。a、b的夾角為0°、180°。
11．(磨中)O是平面上一定點,A,B,C是平面上不共線的三個點,動點P滿足
,則P的軌跡一定通過△ABC的( )
(A)外心 (B)內(nèi)心 (C)重心 (D)垂心
正確答案：B。
錯誤原因：對理解不夠。不清楚
與∠BAC的角平分線有關(guān)。
12．(磨中)如果，那么 （ ） A． B． C． D．在方向上的投影相等
正確答案：D。
錯誤原因：對向量數(shù)量積的性質(zhì)理解不夠。
13．（城西中學(xué)）向量＝（3，4）按向量a=(1,2)平移后為 （ ）
A、（4，6） B、（2，2） C、（3，4） D、（3，8）
正確答案： C
錯因：向量平移不改變。
14．（城西中學(xué)）已知向量則向量的夾角范圍是（ ）
A、[π/12，5π/12] B、[0，π/4] C、[π/4，5π/12] D、 [5π/12，π/2]
正確答案：A
錯因：不注意數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用。
15．（城西中學(xué)）將函數(shù)y=2x的圖象按向量 平移后得到y(tǒng)=2x+6的圖象，給出以下四個命題：① 的坐標(biāo)可以是（-3，0） ②的坐標(biāo)可以是（-3，0）和（0，6） ③的坐標(biāo)可以是（0，6） ④的坐標(biāo)可以有無數(shù)種情況，其中真命題的個數(shù)是 （ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
正確答案：D
錯因：不注意數(shù)形結(jié)合或不懂得問題的實質(zhì)。
16．（城西中學(xué)）過△ABC的重心作一直線分別交AB,AC 于D,E,若 ,(),則的值為( )
A 4 B 3 C 2 D 1
正確答案：A
錯因：不注意運用特殊情況快速得到答案。
17．（蒲中）設(shè)平面向量=(－2，1)，=(λ，－1)，若與的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：A
點評：易誤選C，錯因：忽視與反向的情況。
18．（蒲中）設(shè)=(x1，y1)，=(x2，y2)，則下列與共線的充要條件的有（ ）
① 存在一個實數(shù)λ，使=λ或=λ； ② |·|=|| ||；
③ ； ④ (+)//(－)
A、1個 B、2個 C、3個 D、4個
答案：C
點評：①②④正確，易錯選D。
19．（江安中學(xué)）以原點O及點A（5，2）為頂點作等腰直角三角形OAB，使，則的坐標(biāo)為（ ）。
A、（2，-5） B、（-2，5）或（2，-5）
C、（-2，5） D、（7，-3）或（3，7）
正解：B
設(shè)，則由 ①
而又由得 ②
由①②聯(lián)立得。
誤解：公式記憶不清，或未考慮到聯(lián)立方程組解。
20．（江安中學(xué)）設(shè)向量，則是的（ ）條件。
A、充要 B、必要不充分
C、充分不必要 D、既不充分也不必要
正解：C
若則，若，有可能或為0，故選C。
誤解：，此式是否成立，未考慮，選A。
21．（江安中學(xué)）在OAB中，，若=-5，則=（ ）
A、 B、 C、 D、
正解：D。
∵∴（LV為與的夾角）
∴∴∴
誤解：C。將面積公式記錯，誤記為
22．（丁中）在中，，，有，則的形狀是 （D）
銳角三角形 B、直角三角形 C、鈍角三角形 D、不能確定
錯解：C
錯因：忽視中與的夾角是的補角
正解：D
23．（丁中）設(shè)平面向量，若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是 （A）
A、 B、（2，+ C、（— D、（-
錯解：C
錯因：忽視使用時，其中包含了兩向量反向的情況
正解：A
24．（薛中）已知A（3，7），B（5，2），向量平移后所得向量是 。
A、（2，-5）， B、（3，-3）， C、（1，-7） D、以上都不是
答案：A
錯解：B
錯因：將向量平移當(dāng)作點平移。
25．（薛中）已知中， 。
A、銳角三角形 B、直角三角形 C、鈍角三角形 D、不能確定
答案：C
錯解：A或D
錯因：對向量夾角定義理解不清
26．（案中）正三角形ABC的邊長為1，設(shè)，那么的值是 （ ）
A、 B、 C、 D、
正確答案：(B)
錯誤原因：不認真審題，且對向量的數(shù)量積及兩個向量的夾角的定義模糊不清。
27．（案中）已知，且，則 （ ）
A、相等 B、方向相同 C、方向相反 D、方向相同或相反
正確答案：(D)
錯誤原因：受已知條件的影響，不去認真思考可正可負，易選成B。
28．（案中）已知是關(guān)于x的一元二次方程，其中是非零向量，且向量不共線，則該方程 （ ）
A、至少有一根 B、至多有一根
C、有兩個不等的根 D、有無數(shù)個互不相同的根
正確答案：(B)
錯誤原因：找不到解題思路。
29．（案中）設(shè)是任意的非零平面向量且互不共線，以下四個命題：
① ②
③ ④若不平行
其中正確命題的個數(shù)是
（ ）
A、1個 B、2個 C、3個 D、4個
正確答案：(B)
錯誤原因：本題所述問題不能全部搞清。
二填空題：
1．（如中）若向量=，=，且，的夾角為鈍角，則的取值范圍是______________.
錯誤分析：只由的夾角為鈍角得到而忽視了不是夾角為鈍角的充要條件,因為的夾角為時也有從而擴大的范圍,導(dǎo)致錯誤.
正確解法: ，的夾角為鈍角,
解得或 (1)
又由共線且反向可得 (2)
由(1),(2)得的范圍是
答案: .
2．（一中）有兩個向量，，今有動點，從開始沿著與向量相同的方向作勻速直線運動，速度為；另一動點，從開始沿著與向量相同的方向作勻速直線運動，速度為．設(shè)、在時刻秒時分別在、處，則當(dāng)時， 秒．正確答案：2
（薛中）1、設(shè)平面向量若的夾角是鈍角，則的范圍是 。
答案：
錯解：
錯因：“”與“的夾角為鈍角”不是充要條件。
3．（薛中）是任意向量，給出：，方向相反，都是單位向量，其中 是共線的充分不必要條件。
答案：
錯解：
錯因：忽略方向的任意性，從而漏選。
4．（案中）若上的投影為 。
正確答案：
錯誤原因：投影的概念不清楚。
5．（案中）已知o為坐標(biāo)原點，集合,且 。
正確答案：46
錯誤原因：看不懂題意，未曾想到數(shù)形結(jié)合的思想。
三、解答題：
1．（如中）已知向量,且求
(1) 及;
(2)若的最小值是,求實數(shù)的值.
錯誤分析:(1)求出=后,而不知進一步化為,人為增加難度;
(2)化為關(guān)于的二次函數(shù)在的最值問題,不知對對稱軸方程討論.
答案: (1)易求, = ;
(2) ==
=

從而:當(dāng)時,與題意矛盾, 不合題意;
當(dāng)時, ;
當(dāng)時,解得,不滿足;
綜合可得: 實數(shù)的值為.
2．（如中）在中,已知,且的一個內(nèi)角為直角,求實數(shù)的值.
錯誤分析:是自以為是,憑直覺認為某個角度是直角,而忽視對諸情況的討論.
答案: (1)若即
故,從而解得;
(2)若即,也就是,而故,解得;
(3)若即,也就是而,故,解得
綜合上面討論可知,或或
3．（石莊中學(xué)）已知向量m=(1,1)，向量與向量夾角為，且·=-1，
(1)求向量；
(2)若向量與向量=(1,0)的夾角為，向量=(cosA,2cos2)，其中A、C為(ABC的內(nèi)角，且A、B、C依次成等差數(shù)列，試求(+(的取值范圍。
解：(1)設(shè)=(x,y)
則由<,>=得：cos<,>== ①
由·=-1得x+y=-1 ②
聯(lián)立①②兩式得或
∴=(0,-1)或(-1,0)
(2) ∵<,>=
得·=0
若=(1,0)則·=-1(0
故((-1,0) ∴=(0,-1)
∵2B=A+C，A+B+C=(
(B= ∴C=
+=(cosA,2cos2)
=(cosA,cosC)
∴(+(===
=
=
=
=
∵0∴0<2A<
∴-1∴(+((()
4．（石莊中學(xué)）已知函數(shù)f(x)=m(x-1((m(R且m(0)設(shè)向量)，，，，當(dāng)(((0，)時，比較f()與f()的大小。
解：=2+cos2(，=2sin2(+1=2-cos2(
f()=m(1+cos2((=2mcos2(
f()=m(1-cos2((=2msin2(
于是有f()-f()=2m(cos2(-sin2()=2mcos2(
∵(((0,) ∴2(((0, ) ∴cos2(>0
∴當(dāng)m>0時，2mcos2(>0，即f()>f()
當(dāng)m<0時，2mcos2(<0，即f()5．（石莊中學(xué)）已知(A、(B、(C為(ABC的內(nèi)角，且f(A、B)=sin22A+cos22B-sin2A-cos2B+2
(1)當(dāng)f(A、B)取最小值時，求(C
(2)當(dāng)A+B=時，將函數(shù)f(A、B)按向量平移后得到函數(shù)f(A)=2cos2A求
解：(1) f(A、B)=(sin22A-sin2A+)+(cos22B-cos2B+)+1
=(sin2A-)2+(sin2B-)2+1
當(dāng)sin2A=,sin2B=時取得最小值，
∴A=30(或60(，2B=60(或120( C=180(-B-A=120(或90(
(2) f(A、B)=sin22A+cos22()-
=
=
=
6．（石莊中學(xué)）已知向量（m為常數(shù)），且,不共線，若向量,的夾角落< , >為銳角，求實數(shù)x的取值范圍.
解：要滿足<>為銳角
只須>0且（）
=
=
=
即 x (mx-1) >0
1°當(dāng) m > 0時
x<0 或
2°m<0時
x ( -mx+1) <0

3°m=0時 只要x<0
綜上所述：x > 0時，
x = 0時，
x < 0時，
7．(磨中)已知a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ），a與b之間有關(guān)系|ka+b|=|a－kb|，其中k>0，
（1）用k表示a·b;
（2）求a·b的最小值，并求此時a·b的夾角的大小。
解 （1）要求用k表示a·b,而已知|ka+b|=|a－kb|，故采用兩邊平方，得
|ka+b|2=(|a－kb|)2
k2a2+b2+2ka·b=3(a2+k2b2－2ka·b)
∴8k·a·b=(3－k2)a2+(3k2－1)b2
a·b =
∵a=(cosα，sinα),b=(cosβ,sinβ)，
∴a2=1, b2=1,
∴a·b ==
（2）∵k2+1≥2k，即≥=
∴a·b的最小值為，
又∵a·b =| a|·|b |·cos，|a|=|b|=1
∴=1×1×cos。
∴=60°,此時a與b的夾角為60°。
錯誤原因：向量運算不夠熟練。實際上與代數(shù)運算相同，有時可以在含有向量的式子左右兩邊平方，且有|a+b|2=|(a+b)2|=a2+b2+2a·b或|a|2+|b|2+2a·b。
8．（一中）已知向量，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，，且，求的值．
解（Ⅰ）,
.
, ,
即 . .
（Ⅱ）
，
，

.

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