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2010年數學高考試題評分細則
一、填空題（13~16題）
文科：(13)不等式的解集是 .
(14)已知為第二象限的角，,則 .
(15)某學校開設A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學從中共選3門，若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有 種.(用數字作答)
(16)已知是橢圓的一個焦點，是短軸的一個端點，線段的延長線交于點， 且，則的離心率為 .
理科：(13)不等式的解集是 .
(14)已知為第三象限的角，,則 .
(15)直線與曲線有四個交點，則的取值范圍是 .
(16)已知是橢圓的一個焦點，是短軸的一個端點，線段的延長線交于點，且，則的離心率為 .
理科：13．或 ；14．；15．或；16．或
文科：13． 或 或 ； 14． ；或 　；　15． 30；　　16． ， 或 ；
二、解答題
文17．（本小題滿分10分）
記等差數列的前項和為，設，且成等比數列，求.
解法1：設數列的公差為. 依題意有
　 ①　　　 ② 　　　　　　 …………2分
即 ③　　　 ④　
解得. ⑤　　 ……………………………………6分
因此 ⑥　或 　.⑦………………………..10分
解法2：設數列的公差為. 依題意有
① 即 ③ …………………………………2分
又 　②　即 ④ ……………………4分
解得 . ⑤ ……………………………………6分
因此 ⑥　或 　.⑦………………………..10分
解法3：設數列的公差為。依題意有
① 解得 ③ ………………………………… 2分
又 　　② 即 ④………………………… 4分
解得 或 . ⑤ ………………………………… …6分
因此 ⑥　或 　.⑦…………… …………..10分
解法4：設數列的公差為。依題意有
① 解得　　 ③ ……………… ………… 2分
又 　　② 即 ④ …………………… 4分
解得 或 ， 或0 ⑤ ………………………………… …..6分
因此 ⑥　或 　.⑦…………… …………..10分
說明：（1）①式可寫為或；
（2）方法一中的④式可寫為或；
（3）①式或③式正確，各給1分，全正確給2分；
（4）⑤式正確，①②式或③④式正確，則到此處給6分；
（5）⑤式不正確（指⑤式中的值沒有完全對或一個都不對），則看前面的①—④式：如果有③式，不管①式是否有，給③式相應的2分；如果有④式，不管②式是否有，給④式相應的2分；
（6）⑤式中的值有求對的，但有不完全對，給⑤式相應的1分；
（7）⑥式或⑦式正確，各給2分；
（8）⑥式或⑦式只要是只含變量n的多項式，且能化為答案所給形式的，視為正確。
理17、文18．(本小題滿分理10分、文12分)
已知△ABC的內角，及其對邊，滿足，求內角．
解法1：由已知a+b= a cotA +b cotB 及正弦定理
解法1：由已知a+b= a cotA +b cotB 及正弦定理
……2分
得sinA + sinB = cosA + cosB，移得項sinA－cosA = cosB－sinB ………4分
由輔助角公式（兩角和與差公式）得
……………6分
所以 　………………8分
又因為，，
所以 所以 所以 ………………10分
另：或 ………………8分
又因為，，
所以 所以 所以 ………………10分
另：或 ………………8分
又因為，，
所以 所以 所以 ………………（10分）
解法2：由已知a+b= a cotA +b cotB 及正弦定理 …………2分
得sinA + sinB = cosA + cosB，移得項sinA－cosA = cosB－sinB … ……………4分
兩邊平方得1+2sinAcosA=1+2sinBcosB ……………6分
由此可知A、B均為銳角，且sin2A = sin2B ………………8分
又因為，得2A=2B或2A+2B=
所以 A=B 代入原式得A=B=從而C= 或 A+B=即C= …………… …10分
解法3：由已知可得a+b= a +b ………………2分
由正弦定理 可得a+b = c + c …… ……4分
由余弦定理可得a+b = （+） …………6分
化簡可得sinC=即sinC+cosC=1 ……………8分
平方可得sinC cosC=0 又因 所以C= ……………10分
解法4：由已知a+b= a cotA +b cotB 及正弦定理 ………2分
得 sinA + sinB = cosA + cos B ……………4分
所以 （sinA + sinB） = （cosA + cos B）
（sinA + sinB） = （cosA + cos B）
（sinA + sinB） = （cosA + cos B）
（sinA + sinB） = （cosA + cos B） ……………6分
由前兩個式子可得 ，由后兩個式子可得 ，進而得 sin2A = sin2B ……………8分
又因為 得2A=2B 或 2A+2B=
所以 A=B 代入原式得A=B=從而C= 或 A+B=即C= . … ……10分
說明：（1）文科在第1、2個得分點處分值分別為3、6分，其余依次累加。
（2）用和差化積公式求解也給分；
（3）若直接令A=B=，然后代入解得結果給2分；
理18．(本小題滿分12分)
投到某雜志的稿件，先由兩位初審專家進行評審．若能通過兩位初審專家的評審，則予以錄用；若兩位初審專家都未予通過，則不予錄用；若恰能通過一位初審專家的評審，則再由第三位專家進行復審，若能通過復審專家的評審，則予以錄用，否則不予錄用．設稿件能通過各初審專家評審的概率均為0.5，復審的稿件能通過評審的概率為0.3．各專家獨立評審．
(I) 求投到該雜志的1篇稿件被錄用的概率；
(II) 記表示投到該雜志的4篇稿件中被錄用的篇數，求的分布列及期望．
（1）解法1：記表示事件：稿件能通過兩位初審專家的評審；表示事件：稿件恰能通過一位初審專家的評審；表示事件：稿件能通過復審專家的評審；表示事件：稿件被錄用.
則， ………………2分
，
P(D)=P(A+BC)=P(A)+P(BC)=P(A)+P(B)P(C) ………………4分
……………………6分
解法2：稿件未通過兩位初審專家評審的概率為： …2分
稿件恰能通過一位初審專家的評審且未通過復審專家的評審的概率為：
…………… …4分
稿件被錄用的概率為： …………6分
（2），其分布列為：

……………………10分
期望
或 ………………12分
說明：（1）第（1）問中，沒有敘述不扣分；
（2）6～10分段中5個概率，式子對但得數錯不扣分，甚至可以只用組合數來表示而無需算出結果；
（3）6～10分段中5個概率，式子全對得4分，不全對得2分，全不對得0分；
（4）第（1）問中結果錯誤，6～10分段中5個概率按錯誤結果帶入全對者得2分，否則不得分；
（5）期望式子全對，結果計算錯誤扣1分。
文19．(本小題滿分12分)
投到某雜志的稿件，先由兩位初審專家進行評審．若能通過兩位初審專家的評審，則予以錄用；若兩位初審專家都未予通過，則不予錄用；若恰能通過一位初審專家的評審，則再由第三位專家進行復審，若能通過復審專家的評審，則予以錄用，否則不予錄用．設稿件能通過各初審專家評審的概率均為0.5，復審的稿件能通過評審的概率為0.3．各專家獨立評審．
(I)求投到該雜志的1篇稿件被錄用的概率；
(II)求投到該雜志的4篇稿件中，至少有2篇被錄用的概率．
（1）解法1：記表示事件：稿件能通過兩位初審專家的評審；表示事件：稿件恰能通過一位初審專家的評審；表示事件：稿件能通過復審專家的評審；表示事件：稿件被錄用.
則 ， ………………2分
，
P(D)=P(A+BC)=P(A)+P(BC)=P(A)+P(B)P(C)………………4分
……………………6分
解法2： 稿件未通過兩位初審專家評審的概率為： …2分
稿件恰能通過一位初審專家的評審且未通過復審專家的評審的概率為：
………………4分
稿件被錄用的概率為： …………6分
（2）解法1：記表示事件：4篇稿件中沒有1篇被錄用；表示事件：4篇稿件中恰有1篇被錄用；表示事件：4篇稿件中至少有2篇被錄用；則

解法2：記表示事件：4篇稿件中恰有2篇被錄用；表示事件：4篇稿件中恰有3篇被錄用；表示事件：4篇稿件中恰有4篇被錄用；表示事件：4篇稿件中至少有2篇被錄用；

說明：（1）兩問中沒有敘述不扣分；
（2）解法2中8～10分段中3個概率，對2個以上給10分；
（3）第（1）問中結果錯誤，8～10分段中按錯誤結果帶入全對者得2分，否則不得分。
理19、文20．（本小題滿分12分）
如圖，四棱錐S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E為棱SB上的一點，平面EDC平面SBC .
（Ⅰ）證明：SE=2EB；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小 .
解法1:（1）連結BD, 取DC的中點G, 連結BG, 由此知DG=GC=BG=1, 即為直角三角形, 故. …2分
又底面, 故, 所以BC平面BDS, BCDE.
作BKEC, K為垂足, 因平面平面, 故BK平面EDC, BKDE. DE與平面SBC內的兩條相交直線BK、BC都垂直. DE 平面SBC, DE EC, DE SB. ………………4分
SB =, DE =, EB =， 所以,SE=2EB. ……6分
（2）由SA=, AB=1, SE=2EB,ABSA知AE=1,又AD=1，故為腰三角形.
取ED中點F,連結AF,則AFDE,連結FG, 則FG//EC, FGDE. 所以, AFG是二面角A-DE-C的平面角. ……………9分
連結AG, AG=, FG=, AF=,, …………11分
所以二面角A-DE-C的大小為120o. ……………12分
解法2：（1）以D為坐標原點,射線DA為x軸的正半軸,建立直角坐標系D-xyz.設A(1,0,0),則B(1,1,0), C(0,2,0), S(0,0,2) …2分
,.
設平面SBC的法向量為, 由,得
,. 故,. 令,則，，. 又設（），則,
. . ……………4分
設平面CDE的法向量為，則，.
故，. 令，則.
由平面平面得, ，，故SE=2EB. ………6分
（2）由（1）知,取DE中點F,則, , 故,由此得. 又, 故，由此得
，向量與的夾角等于二面角A-DE-C的平面角. ……………9分
, ………11分
所以二面角A-DE-C的大小為120o. ……………12分
解法3：（2）平面ADE的法向量, ……………8分
平面CDE的法向量，向量與的夾角等于二面角A-DE-C的平面角. ……………10分
， …………11分
所以二面角A-DE-C的大小為120o. ……………12分
說明：（1）在求二面角時，找到角得2分，簡單證明得3分；
（2）第一問用傳統方法證明并已得分，則第二問中建立坐標系這一步就不給分，若第一問用傳統方法證明但沒有得分，則第二問中建立坐標系這一步就給分；
（3）本題中，沒有向量標記的均不扣分。
理20．(本小題滿分12分)
已知函數.
(I) 若，求的取值范圍；
(II)證明： .
（1）解法1： ……………………2分

得 . 由題設 整理得， …………3分
令，
當0<<1時,>0,遞增，當時,,遞減. 所以，是的最大值點 ……………5分
，所以 ……………6分
解法2： …………2分
得，. 由題設 整理得，…………3分
令 ，兩者圖像相切、相離時，成立. 令切點為，則 得. 得， ……………5分
當時，與相切，當>-1時兩者圖像相離，且的圖像在的圖像上方. 所以， ……………6分
（2）解法1：由（1）知，得，
當時， ……………8分
……………9分
當時， ………11分

…………12分
解法2： …………8分
當時，，遞減
，遞增， ……10分
同理 當時，，遞增
遞增，， …………12分
解法3：，當時， ………8分
遞增，， …9分
當時，令，，遞減
， …………11分
遞增，， …………12分
解法4：令，
， ………8分
當時，，遞減，，遞增
，遞減 ………10分
同理，當時， ………12分
說明：8分段中，三個導數只要有一個求對就給2分.
解法5：令， …8分
當時，，遞減， ………9分
當時，令，，
遞增， ………11分
遞增，，遞增， …12分
文21．(本小題滿分12分)
已知函數
（I）當時，求的極值;
（II）若在上是增函數，求的取值范圍.
解：（1） -----------------2分
當時，，在內單調減，在內單調增， 在時，有極小值. -------------------4分
所以是的極小值. -------------------5分
（2） 在上，單調增加當且僅當
即 -------------------7分
解法1：（i） 當時，（1）恒成立；
（ii）當時（1）成立， 當且僅當 解得 -----9分
（iii）當時（1）成立， 當且僅當
當且僅當解得. -------------------11分
綜上，的取值范圍是 -------------------12分
解法2：（i） 當時（1）對任意的恒成立；
（ii）當時（1）成立， 當且僅當
令 單調遞減，所以 -------------------9分
（iii）當時（1）成立， 當且僅當
令則單調遞減， 單調遞增，為最小值點，，所以 -------------------11分
綜上，的取值范圍是 -------------------12分
說明：（1）(I) 中求導數，對了給2分，錯了扣1分；（只要求導就給分）
（2）(I) 中2-4分段中由 得到給1分；
（3）(I) 中結果多了扣1分；
（4）(II) 對單調增給出了，給2分；若是扣1分；（無論幾個式子中，只要有一個無等號，就扣1分，這是根據中學教師要求設置的）
（5）(II) 中給出，各給2分；
（6）其它方法相應給分.
理21、文22．(本小題滿分12分)
已知拋物線的焦點為F，過點的直線與相交于、兩點，點A關于軸的對稱點為D .
(I) 證明：點F在直線BD上；
(II) 設，求的內切圓M的方程.
(I)解法1：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，－y1)，l的方程為x=my－1（m≠0）. ….1分
將x=my－1代入y2=4x并整理得y2－4my+4=0，從而y1+y2=4m，y1y2=4.① ………….2分
直線BD的方程為y－y2=， ……………….4分
即 y－y2=. 令y=0，得x==1.
所以點F（1，0）在直線BD上. 　　 　　………………5分
解法2-1：若證明直線DF與DB斜率相等同樣給分
設A（x1，y1），B（x2，y2），D（x1，－y1），又F（1，0）
，（）， ……….2分
只須證明 ，即,
設l的方程為x=my－1（m≠0），代入y2=4x并整理得y2－4my+4=0，
從而　　y1+y2=4m，y1y2=4. ① 　　　　… …………….4分
利用①式可驗證 ，所以點F（1，0）在直線BD上. …………5分
解法2-2：可證，即， ……….2分
即，y1（my2－1）+y2（my1－1）= y1+y2，可驗證成立.
所以點F（1，0）在直線BD上. ………………5分
說明： 也可
解法3-1：(用=或=同樣給分)
略證：=（,），=（,），若=，
則須證 ， ………2分
得，可驗證成立. 所以點F（1，0）在直線BD上. …………5分
說明： =0 也可.
解法3-2：=（,），=（,），若=，
則須證， ………2分
得，可驗證成立. 所以點F（1，0）在直線BD上.……………5分
說明： 也可.
解法4：證明
設A（x1，y1），B（x2，y2），D（x1，－y1），又F（1，0），，因為= …… 2分
==，故.
所以點F（1，0）在直線BD上. 　　　 　………………5分
解法5：設法不同
設A（x1，y1），B（x2，y2），D（x1，－y1），l的方程為y=k(x+1)（k≠0） ……1分
將y=k(x+1) 代入y2=4x并整理得k y2－4y+4 k =0，從而y1+y2=，y1y2=4.（下同）2分
解法6：設法不同（用x表示y）
設A（x1，y1），B（x2，y2），D（x1，－y1），l的方程為y=k(x+1)（k≠0） ……1分
將y=k(x+1) 代入y2=4x并整理得k 2x2+(2 k 2－4) x+ k 2 =0，
從而　　x1+x2=，x1x2=1. ……2分
直線BD的方程為y－y2=， ……………….4分
即y－y2=. 令y=0，得x==1.
所以點F（1，0）在直線BD上. ………………5分
（Ⅱ）解法1：由①知，x1+x2=( m y1－1)＋(my2－1)=4m2－2，x1x2=( m y1－1)( m y2－1)=1.
因為= (x1－1，y1)，= (x2－1，y2)，＝(x1－1)(x2－1) + y1y2 = x1x2－(x1+x2) +1+ 4 = 8－4m2， ..... 7分
故8－4m2=，解得m=±.
所以l的方程為3x+4y+3=0，3x－4y+3=0.　 　　　　　 …......................8分
又由①知 　　y2－y1=±=±，故直線BD的斜率，因而直線BD的方程為3x+y－3=0，3x－y－3=0. ………….…10分
因為KF為∠BKD的平分線， 故可設圓心Ｍ(t，0)(－1由得. .........11分
故圓Ｍ的半徑r=. 所以圓Ｍ的方程為 …..…………12分
解法2：設法不同（用x表示y）
由①知, 12==4，因為＝(1-1,1), =(2-1, 2)，
所以·＝(1-1)( 2-1)+12=12－(1+2)+1+12=1-+1+4
=6-=， …....................... 7分
解得2=，所以=±.所以的方程為3+4+3=0,3-4+3=0， .................8分
又由①知，所以直線BD的斜率為.
因而直線BD的方程為3x+y－3=0，3x－y－3=0. ………….…10分
因為KF為∠BKD的平分線， 故可設圓心Ｍ(t，0)(－1故圓Ｍ的半徑r=.所以圓Ｍ的方程為. ..…………12分
說明：不舍，兩個圓Ｍ的方程扣1分.
理22．(本小題滿分12分)
已知數列中， .
（I）設，求數列的通項公式；
（II）求使不等式成立的的取值范圍.
解法1：（I）， 3分
所以是首項為，公比為4的等比數列，…5分
……………6分
（II） 由得 ……………8分
用數學歸納法證明：當時，.
（i）當時，，命題成立；
（ii）假設當時，，則當時，.
故由(i)、(ii)可知當時，. ……………9分
當時，令，當時，. ……………11分
當時，，且，于是當時，. 因此不符合要求.
所以的取值范圍是. ……………12分
解法2：（I） ，，，
因此是首項為，公比為的等比數列. ……………5分
由此可得 ……………6分
（II）由得 ……………8分
用數學歸納法證明：當時，.
（i）當時，，命題成立；
（ii）設當時，，則當時，.
故由(i)、(ii)可知當時，. ……………9分
令，故是方程的兩個根，
所以，由此可得. 于是當時，.…11分
另一方面，當時，不妨設.
考慮到是方程的兩個根. 因此.
若時，所有，則由
可得,,
于是，當時，，矛盾.
綜合以上討論可得的取值范圍是. ……………12分

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